B3.5: Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού

3.5 H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Ο υπολογισμός ενός ολοκληρώματος κατευθείαν από τον ορισμό είναι συνήθως μία δύσκολη και πολύ κοπιαστική διαδικασία. Στην παράγραφο αυτή θα αναζητήσουμε τρόπο υπολογισμού ολοκληρωμάτων χωρίς τη χρήση του ορισμού. Σ' αυτό θα μας βοηθήσει το γνωστό, ως θ ε μ ε λ ι ώ δ ε ς θ ε ώ ρ η μ α τ ο υ ο λ ο κ λ η ρ ω τ ι κ ο ύ λ ο γ ι σ μ ο ύ. Η απόδειξη του θεωρήματος αυτού στηρίζεται στο επόμενο θεώρημα, το οποίο μας εξασφαλίζει την ύπαρξη παράγουσας μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση

είναι μια παράγουσα της f στο Δ. Δηλαδή ισχύει :

Για παράδειγμα

ΣΧΟΛΙA

● Εποπτικά το συμπέρασμα του παραπάνω θεωρήματος προκύπτει (Σχ. 14) ως εξής :

● Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης προκύπτει ότι :

με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα.

Για παράδειγμα,

ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού)

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α,β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση είναι μια παράγουσα της f στο [α,β]. Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο [α,β], θα υπάρχει c ϵ R τέτοιο, ώστε

G(x) = F(x) + c

(1)

Από την (1), για x = α , έχουμε οπότε c = G(α).

Επομένως,

G(x) = F(x) + G(α),

οπότε, για x = β , έχουμε

και άρα

Πολλές φορές, για να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις μας, συμβολίζουμε τη διαφορά G(β) − G(α) με , οπότε η ισότητα του παραπάνω θεωρήματος γράφεται

Για παράδειγμα ,

ΕΦΑΡΜΟΓH

1. Δίνεται η συνάρτηση

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της F.

ii) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η F.

ΛΥΣΗ

i) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

(−∞, −1] ∪ [1, +∞)

Για να ορίζεται η F, πρέπει τα άκρα 2, x του ολοκληρώματος να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού της f. Άρα, πρέπει x ϵ [1, +∞) , οπότε το πεδίο ορισμού της F είναι το σύνολο [1, +∞).

ii) Για x ϵ [1, +∞) έχουμε :

Επειδή η F είναι συνεχής στο [1, +∞) και ισχύει Fʹ(x) > 0 για κάθε x ϵ (1, +∞) , η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα στο [1, +∞) , οπότε παρουσιάζει ελάχιστο το F(1) = 0.

Μέθοδοι ολοκλήρωσης

● Ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες για το ορισμένο ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή

όπου f ʹ, gʹ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β].

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα . Έχουμε :

● Ο τύπος ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής για το ορισμένο ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή

όπου f , gʹ είναι συνεχείς συναρτήσεις , u = g(x) , du = gʹ(x)dx και

u₁ = g(α) , u₂ = g(β)

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα Εικόνα .

Έχουμε :

Αν θέσουμε u = lnx , τότε du = (lnx)'dx , u₁ = ln1 = 0 και u₂ = lne = 1. Επομένως ,

ΕΦΑΡΜΟΓH

Nα υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

Εικόνα

ΛΥΣΗ

Εικόνα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Nα υπολογίσετε τα ολοκληρώματα :

Εικόνα

2. Nα αποδείξετε ότι

3. Nα αποδείξετε ότι

4. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(0,0) και Β(1,1), να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος , εφόσον η f ʹ είναι συνεχής στο [0,1].