6.5 Κύκλοι και τόξα

Ας υπενθυμίσουμε τα στοιχεία εκείνα του κύκλου που είναι χρήσιμα για τις γεωμετρικές κατασκευές (εικ. 6.24).

Κατ'αρχήν κύκλος είναι όλα τα σημεία ενός επιπέδου, που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό αυτό σημείο λέγεται κέντρο του κύκλου.
Το εσωτερικό του κύκλου λέγεται κυκλικός δίσκος.
Χορδή του κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του.
Η χορδή του κύκλου που περνάει από το κέντρο του, λέγεται διάμετρος του κύκλου.
Τόξο είναι κάθε τμήμα του κύκλου (κυκλικό τόξο) ή άλλης καμπύλης γραμμής.
Τέλος, εφαπτομένη είναι η ευθεία που περνά από ένα συγκεκριμένο σημείο του κύκλου και είναι κάθετη στην ακτίνα του κύκλου που περνά από το σημείο αυτό.

6.5.1 Κατασκευή κύκλου που περνά από τρία δοσμένα σημεία. Εύρεση του κέντρου ενός κύκλου. (εικ. 6.25)

β. Φέρω τις μεσοκαθέτους των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και ΑΓ που τέμνονται στο Ο. Με κέντρο το Ο και ακτίνα ίση με OA ή ΟΒ γράφω το ζητούμενο κύκλο.

Αν δίνεται ο κύκλος και ζητώ το κέντρο του, αφού πάρω τρία τυχαία σημεία Α, Β, Γ πάνω στον κύκλο, εφαρμόζω την παραπάνω μέθοδο.

6.5.2 Κατασκευή εφαπτομένης ευθείας σε κύκλο ή σε τόξο που περνά από σημείο Α

I. Όταν το σημείο Α βρίσκεται πάνω στον κύκλο (εικ. 6.26),

αρκεί να φέρω την αντίστοιχη ακτίνα του κύκλου που περνά από το Α και στη συνέχεια να χαράξω κάθετη στην ακτίνα αυτή στο σημείο Α.

II. Όταν το σημείο Α βρίσκεται έξω από τον κύκλο (εικ. 6.27)

β. Ενώνω το σημείο Α με το κέντρο Ο του κύκλου και φέρω την μεσοκάθετη του OA, που περνά από το σημείο Μ.

γ. Με κέντρο το Μ και ακτίνα r ίση με ΟΜ κατασκευάζω κύκλο, που τέμνει τη δοσμένη στα σημεία Γ και Β.
Οι ευθείες ΑΓ και ΑΒ εφάπτονται στον κύκλο.

Και οι δύο αυτές κατασκευές μπορούν να γίνουν απλούστερα με τη χρήση χάρακα και τριγώνου (εικ. 6.28).

Ι. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε συγκεκριμένο σημείο δοσμένης ευθείας (εικ. 6.29),

Δίδεται η ευθεία (ε), σημείο Α πάνω σ'αυτήν και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου.

Φέρω κάθετη στην (ε) στο σημείο Α και παίρνω πάνω της τμήμα AO ίσο με την ακτίνα R. Με κέντρο το Ο και ακτίνα R γράφω κύκλο ή τόξο.

II. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε ευθεία και περνά από σημείο εκτός αυτής (εικ. 6.30)

α. Δίδεται το σημείο Α, η ευθεία (ε) και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου,

γ. Φέρω ευθεία (ε') παράλληλη στην (ε) σε απόσταση R, η οποία τέμνει το τόξο (χ) στο σημείο Ο.
Με κέντρο το Ο και ακτίνα R γράφω το ζητούμενο τόξο.

III. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε κύκλο και περνά από συγκεκριμένο σημείο εκτός αυτού (εικ. 6.31)

α. Δίδεται κύκλος Ο με ακτίνα r, το σημείο Α και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου,

δ. Με κέντρο το Ο' και ακτίνα R κατασκευάζω το ζητούμενο τόξο.

IV. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε δύο κύκλους (εικ. 6.32)

α. Δίδεται ο κύκλος 01 με ακτίνα r1, ο κύκλος 02 με ακτίνα r2 και η ακτίνα Rτου ζητούμενου τόξου.

β. Με κέντρο το 01 και ακτίνα r1 + R γράφω τόξο (x1) και με κέντρο το 02 και ακτίνα r2 + R γράφω τόξο (x2), που τέμνει το x1 στο Ο.

γ. Με κέντρο το Ο και ακτίνα R κατασκευάζω το ζητούμενο τόξο.

V. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε κύκλο και σε ευθύγραμμο τμήμα (εικ. 6.33)

α. Δίδεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, κύκλος Ο, με ακτίνα r και η ακτίνα R του ζητούμε- νου τόξου.

β. Φέρω την ευθεία (ε) παράλληλη στην ΑΒ. σε απόσταση R από αυτήν,

γ. Γράφω τόξο (χ), με κέντρο το 01 και ακτίνα r4R, που τέμνει την (ε) στο Ο.
Με κέντρο το Ο και ακτίνα R κατασκευάζω το ζητούμενο τόξο.

VI. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε δύο παράλληλες ευθείες (εικ. 6.34)

α. Δίδονται οι ευθείες (ε) και (ε') παράλληλες μεταξύ τους.

β. Φέρω παράλληλη ευθεία (χ) προς τις (ε) και (ε'), που ισαπέχει από αυτές.
Το κέντρο του ζητούμενου τόξου βρίσκεται πάνω στην (χ).

VII. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε δύο μη παράλληλες ευθείες (εικ. 6.35)

α. Δίδονται οι ευθείες (ε) και (ε') και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου,

β. Φέρω τις ευθείες (x) και (x') παράλληλες αντίστοιχα προς τις (ε) και (ε'), σε απόσταση R από αυτές.
Το σημείο τομής τους Ο είναι και το κέντρο του ζητούμενου τόξου.