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2020.07.26 日 一 二 三 四 五 六  同学们，我们今天开始数学思维训练的第九讲“等积变形（二）”。上一期说到的“等积变形”问题就是研究面积相等但形状不同的三角形以及它们之间的关系。今天在上期等积变形的基础上再去探究同底等高情况下的“一半模型”。 
上一期，我们说到同底等高的三角形其面积是相等的。那如果同底等高的三角形和平行四边形，又会是什么关系呢？ 1.问题：同底等高的三角形和平行四边形有何关系？ 平行四边形面积=底×高，三角形面积=底×高÷2，所以在同底等高的情况下，平行四边形面积等于三角形面积的2倍或三角形的面积=平行四边形面积的一半。
在平行四边形中，阴影部分三角形和空白部分的三角形面积相等，都是平行四边形面积的一半。这里也称为一半模型。 因为这个三角形的底边和平行四边形底边重合，而其顶点在其对面平行边上，所以高也一样。 2.问题：同底等高的三角形和长方形有何关系？ 类似地，如果在一个长方形中画一个三角形，其面积要是最大，该如何画呢？ 一个长方形，如果沿对角线画出三角形，显然就是长方形面积的一半。除此之外，和上面平行四边形类似，三角形只要和长方形同底等高即可。
如果把三角形的顶点看成一个动点，不管它在长方形边上如何移动；这个三角形面积始终是长方形面积一半。并且，阴影部分=空白部分=整个图形的一半。
 3.如果图形中有多个三角形，其面积之和与平行四边形（长方形）有何关系？
像上面这样的图形，阴影部分的面积之和其实还是等于空白部分的面积之和。当然想要证明的方法不止一种，既可以分割也可以把几个三角形顶点移动成拼成一个大三角形。当然还可以用演绎推理面积公式证明。
如果这个阴影部分的图是左右或上下两个三角形，并且有公共的顶点。其阴影部分面积之和=空白部分面积之和=长方形面积一半。最简单的方法就是把它们分割成长方形，就能看出阴影部分等于空白部分。 先看第一行，这个红色的线从左向右移动；第二行红色先从上往下移动。不变的是刚才的结论。
如果这个顶点（动点）在红色的线上移动，结论也依然成立。这个红线像一个“拉链”，不管这个动点在“拉链”上如何移动，依然符合“一半模型”的结论。
如果把这个动点沿着这条线移动到长方形外，这个阴影部分的面积之和依然是长方形的面积一半。
 如果把长方形或平行四边形看成一张“嘴”，而阴影部分的三角形看成“牙齿”，可以形象称为“狗牙模型”。
“狗牙模型”的特点： （1）“牙齿”要无重叠的占满“嘴巴”一条边 （2）“牙齿”的面积是“嘴巴”
可以通过视频了解一下： 3.一半模型的实际应用
上面两个题目都可以用一半模型（“狗牙”模型）加以解决，阴影部分面积=空白部分面积=平行四边形面积一半=10×8÷2=40（平方厘米）。 一半模型主要是指同底等高前提下三角形和平行四边形（或长方形）之间关系。，后续还会继续推出“等积变形”的其它模型。 |
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