CN101546347B - 矩形波导低通滤波器的参数确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种矩形波导低通滤波器的参数确定方法，它属于电器元件技术领域。主要解决矩形波导低通滤波器设计精度问题。其过程是：首先，根据矩形波导低通滤波器的电性能指标选择矩形波导型号，初步确定矩形波导电长度和电容膜片的结构参数；其次，利用施瓦茨-克里斯托弗反变换，通过改进的混合遗传算法求解矩形波导电容膜片的S’矩阵；再次，利用遗传算法优化，使得该S’矩阵与通过广义阻抗变换系数K得到的S矩阵近似相等，最终确定膜片结构参数；最后，利用电容膜片的S’矩阵修正两膜片间的波导长度，最终确定矩形波导的腔长。本发明具有确定参数准确，无需反复调试的优点，可用于对高精度矩形波导低通滤波器的设计。

Description

矩形波导低通滤波器的参数确定方法

技术领域

本发明属于电器元件技术领域，特别是矩形波导低通滤波器的参数确定方法，用于指导高性能矩形波导低通滤波器的设计。

背景技术

矩形波导低通滤波器设计，首先由滤波器电性能指标得到低通原型电路，再进行电路变换得到广义阻抗变换器K，最后用波导微波结构实现电路的阻抗变换器和支路元件，其中包括耦合电容膜片设计和传输段波导设计。对于采用电容膜片实现耦合的矩形波导低通滤波器来说，根据广义阻抗变换系数K设计电容膜片参数是非常关键的一步。

图1矩形波导低通滤波器的结构示意图，其中电容膜片实现并联电容，波导段实现串联电感。

图2所示为矩形波导中电容膜片结构及其等效电路。矩形波导中传输的TE₁₀模电磁波，在不连续性膜片处要激励起高次模，这些高次模在波导中是截止的，离膜片不远的地方就会很快地被衰减掉。由于TE₁₀模电场只有y分量，没有x分量，而不连续性又只在y方向上，x方向是连续的，故电力线在膜片两边以边缘电场形式分布着。这样一来，在膜片附近存储了净电能，同时膜片极薄，且无损耗，因此，该不连续性膜片可以等效为一个集总电容元件，用容纳jB表示。

对于已有的滤波器，在工程中常用测量反射系数的方法确定相应的电纳值。在波导终端接匹配负载，则由电纳jB所引起的反射系数是

$\mathrm{\Γ}=\frac{Y_0-(Y_0-\mathrm{jB})}{Y_0+(Y_0+\mathrm{jB})}=-\frac{\mathrm{jB}}{{2Y}_0+\mathrm{jB}}=-\frac{j\stackrel{\‾}{B}}{2+j\stackrel{\‾}{B}}$

式中 $\stackrel{\‾}{B}=\frac{B}{Y_0}$ 是归一电纳。求解上式可得 $j\stackrel{\‾}{B}=-\frac{2\mathrm{\Γ}}{1+\mathrm{\Γ}}.$

王欣稳、李萍在《微波技术与天线》第二章第七节中对此进行了详细叙述。然而，此方法的不能给出电纳与膜片尺寸的关系，不能直接应用于滤波器的设计。

目前在波导滤波器设计时，主要有以下几种计算容性膜片的电纳方法：

1准静态场法

准静场法是解决波导不连续性的一种常用的方法。静电场的特征是工作波长λ→∞，对于波导而言，工作波长虽然不会无限大。但是，对于波导中的消失波而言，有λ→λ_c，且消失波的阶数越高，截止波长λ_c越小，既有λ＞＞λ_c，因此，对于λ_c而言，就好像工作波长变长了，这样消失波的场就可以近似用静电场来表示。保角变换是直接从解静场问题入手获得准静场解的一种方法，可利用多种函数来进行变换。张钧在《导波的不连续性问题》一书第四章第二节中对此进行了详细分析。对于图1(a)的含有对称电容膜片的平行板波导，经过函数 $w=u+\mathrm{jv}=\arcsin \left[\csc \left(\frac{\mathrm{\πd}}{2b}\right)\sin \frac{\mathrm{\π}}{b}(y+\mathrm{jz})\right]$ 变换，变成单纯的平行板波导，求出等效电容C，再利用B＝ωC，从而可求出等效网络的并联电纳B，其归一化电纳值为

$\stackrel{\‾}{B}=\frac{B}{Y_0}=\frac{4b}{{\mathrm{\λ}}_g}\ln \csc \left(\frac{\mathrm{\πd}}{2b}\right)$

式中λ_g是波导波长，b是波导高度，d是两膜片间的间距。

2变分法

变分法是处理泛函极值的一种方法，最终寻求的是极值函数，使得泛函取得极大或极小值。其关键定理是欧拉-拉格朗日方程，它对应于泛函的临界点。在实际工程问题中，如果一个实际待求问题可表示成 $J\left[y\right]={\∫}_{x_0}^{x_1}F(x,y,y^{\′})\mathrm{dx},(y=y\left(x\right))$ 的泛函形式，那么要求的真实值就是泛函的极值，我们又称为稳定值。在解波导不连续性的问题时，常将等效网络的参量表示成为不连续处的未知切向电场或电流的积分式，而实际电场或电流就是使这个积分式取极值，并满足不连续处的边界条件，等效网络的参量可以通过变分法来确定。SangsterA.J等发表于《Progress In Electromagnetics Research IEE》1965年第112卷的“Variational method for the analysis of waveguide coupling”。采用变分法对波导耦合进行了分析，对于对称性容性膜片归一化电纳的一次近似值为：

$\stackrel{\‾}{B}=\frac{B}{Y_0}=\frac{4b}{{\mathrm{\λ}}_g}\ln \csc \left(\frac{\mathrm{\πd}}{2b}\right)$

3模式匹配法

模式匹配法考虑不连续处的高次模，将有厚度的膜片部分当作一个小波导处理，含对称性容性膜片的波导可看作两个波导双面阶梯与一段长度为t的小波导的级连，其中t为膜片的厚度。在分析时将所研究区域内的场视做无穷多个模式的叠加，利用在两区的分界面上电场和磁场连续的边界条件，应用模式函数的正交性可求出界面上的散射矩阵。模式匹配主要是分析具有规则几何结构的微波器件。R.Safavi-Naini和R.H.Macphie.等发表于《IEEE Transactions on M TT》1982年第82卷第11期的“Scattering atrectangular-to-rectangular waveguide junctions”中应用模式匹配分析波导不连续性。

现行方法存在以下不足：

1)准静场法中的保角变换采用函数变换求解等效电纳B，并没有将膜片的厚度和加工倾角等因素考虑在内，如果将厚度和倾角因素加入，很难直接通过变换函数实现含有对称电容膜片的矩形波导向单纯的平行板波导变换。

2)变分法没有将膜片厚度和加工倾角等因素考虑在内。

3)模式匹配主要是分析具有规则几何结构的微波器件，对于出现倾角等不规则变形情况目前没有进行准确分析。

发明内容

本发明的目的是避免上述已有方法的不足，提供一种矩形波导低通滤波器的参数确定方法，以提高矩形波导低通滤波器的设计精度。

为实现上述目的，本发明的矩形波导低通滤波器的参数确定方法，包括如下步骤：

参数预确定步骤：根据矩形波导低通滤波器的频率要求选择矩形波导型号；根据矩形波导低通滤波器的相对带宽BW，确定两电容膜片间矩形波导电长度θ₀；根据矩形波导低通滤波器电性能指标和电路变换得到只含有电容元件的低通原型电路，进而得到广义阻抗变换系数K，确定并联电容的容抗X，通过查取矩形波导电容加载的等效电纳图，初步确定矩形波导内电容膜片的窗口宽度d、膜片厚度m和加工倾角α；

膜片参数优化步骤：根据广义阻抗变换系数K，确定矩形波导单节电容膜片的S矩阵；对由初步确定矩形波导内电容膜片的窗口宽度d、膜片厚度m和加工倾角α及波导高度b所形成的膜片截面多角形进行施瓦茨-克里斯托弗反变换，并求解电容膜片的归一化等效电纳B；根据等效电纳B确定电容膜片的S′矩阵： $S_{11}^{\′}=\frac{-j\stackrel{\‾}{B}}{2+j\stackrel{\‾}{B}},$ $S_{12}^{\′}=\frac{2}{2+j\stackrel{\‾}{B}};$ 利用遗传算法优化使得S′矩阵近似等于S矩阵，最终确定单节电容膜片的窗口宽度d′、膜片厚度m′和加工倾角α′；

重复所述的膜片参数优化步骤，确定矩形波导低通滤波器的其余电容膜片参数；

修正波导腔长步骤：通过电容膜片的S′矩阵，得到修正后的两膜片间的波导长度为：

$L_i=\frac{{\mathrm{\λ}}_g}{2\mathrm{\π}}({\mathrm{\θ}}_0-\frac{1}{2}(\arctan \left(2{\stackrel{\‾}{X}}_{i-1,i}\right)+\arctan \left(2{\stackrel{\‾}{X}}_{i,i+12}\right))),$ i≥2，

λ_g为波导波长，θ₀为初始确定两电容膜片间矩形波导电长度，

X为电容膜片等效电路的归一化并联电抗即 $j\stackrel{\‾}{X}=\frac{2S_{12}}{{(1-S_{11}^{\′})}^2-S_{12}^{\′2}};$

重复所述修正波导腔长步骤，确定矩形波导低通滤波器其余两电容膜片间的波导长度，完成整个矩形波导低通滤波器的设计。

本发明与已有技术相比较，具有以下优点：

1)本发明考虑膜片加工过程中的尺寸公差和加工倾角，利用多边形近似将实际的膜片轮廓线近似为多边形，既保留了重要信息，又提高分析速度。

2)在解决多边形保角变换时，采用改进的遗传算法，既保证结果最优，又提高了计算速度。

3)本发明考虑矩形波导容性膜片因加工出现的厚度和倾角因素，通过矩形波导电容膜片进行施瓦茨-克里斯托弗反变换求解等效电纳和S′矩阵，并利用遗传算法优化，使得该S′矩阵与通过广义阻抗变换系数K得到的S矩阵近似相等，能够准确确定其结构参数。

4)利用本发明能够准确分析加工过程中出现的膜片公差对电性能的影响。

仿真试验证明，用本发明的方法可以提高矩形波导低通滤波器容性膜片参数设计的精度和提高整个滤波器的性能。

附图说明

图1是已有矩形波导低通滤波器的结构示意图；

图2是已有波导容性膜片结构及等效电路示意图；

图3是已有矩形波导低通滤波器的等效电路图；

图4是本发明进行施瓦茨-克里斯托弗反变换过程示意图；

图5是本发明的设计步骤流程图；

图6是本发明对施瓦茨-克里斯托弗反变换进行优化求解步骤流程图；

图7是本发明对单节电容膜片的计算结果与单节电容膜片仿真结果对比图；

图8是利用本发明方法设计的2GHz矩形波导低通滤波器的HFSS仿真特性图。

具体实施方式：

参照图5，本发明的具体步骤如下：

步骤1，输入矩形波导低通滤波器的电性能指标。

矩形波导低通滤波器的主要电性能指标包括：截止频率ω、通带内最大衰减、阻带内最小衰减和相对带宽BW，将这些电性能指标输入到计算机的计算程序当中。

步骤2，矩形波导低通滤波器结构参数预确定。

第2.1步，根据矩形波导低通滤波器的频率要求选择矩形波导型号；

第2.2步，根据矩形波导低通滤波器电性能指标由计算程序设计低通原型电路，得到原型电路参数：g₀……g_n+1，n为电路阶数；

第2.3步，将低通原型电路变换为只含有电容元件的低通原型电路，通过公式 $K_{01}=Z_0\sqrt{\frac{1}{\mathrm{\ω}{g}_0{g}_1}},$ $K_{i,i+1}=\frac{Z_0}{\mathrm{\ω}}\sqrt{\frac{1}{g_i{g}_{i+1}}},$ $K_{n,n+1}=Z_0\sqrt{\frac{1}{\mathrm{\ω}{g}_n{g}_{n+1}}},$ 计算得到广义阻抗变换系数K，Z₀为波导特性阻抗；根据矩形波导低通滤波器的相对带宽BW，通过公式 $\mathrm{BW}=\frac{4{\mathrm{\θ}}_0}{\mathrm{\π}},$ 计算得到两电容膜片间矩形波导电长度θ₀，如图3所示；

第2.4步，根据广义阻抗变换系数K，通过公式 $\stackrel{\‾}{X}=\frac{\stackrel{\‾}{K}}{1-{\stackrel{\‾}{K}}^2},$ K为归一化K，确定归一化并联电容的容抗X，通过查取矩形波导电容加载的等效电纳图，初步确定矩形波导内电容膜片的窗口宽度d、膜片厚度m和加工倾角α。

步骤3，根据广义阻抗变换系数K，确定单节电容膜片的A矩阵和S矩阵。

根据二端口微波网络特性，确定单节电容膜片的A矩阵和S矩阵分别为：

$A=\left[\begin{array}{cc}0& j\stackrel{\‾}{K}\\ j/\stackrel{\‾}{K}& 0\end{array}\right],$ $S=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\stackrel{\‾}{K}}^2-1}{1+{\stackrel{\‾}{K}}^2}& j\frac{-2\stackrel{\‾}{K}}{1+{\stackrel{\‾}{K}}^2}\\ j\frac{-2\stackrel{\‾}{K}}{1+{\stackrel{\‾}{K}}^2}& \frac{{\stackrel{\‾}{K}}^2-1}{1+{\stackrel{\‾}{K}}^2}\end{array}\right],$

式中 $\stackrel{\‾}{K}=\frac{K}{Z_0},$ $S_{11}=\frac{{\stackrel{\‾}{K}}^2-1}{1+{\stackrel{\‾}{K}}^2},$ $S_{12}=j\frac{-2\stackrel{\‾}{K}}{1+{\stackrel{\‾}{K}}^2},$ j为虚部。

步骤4，对电容膜片截面多角形进行施瓦茨-克里斯托弗反变换。

参照图4，对由初步确定矩形波导电容膜片的窗口宽度d、膜片厚度m和加工倾角α及波导高度b所形成的膜片截面多角形按如下步骤进行施瓦茨-克里斯托弗反变换：

第4.1步，采用施瓦茨-克里斯托弗反变换将复平面z内的多角形变换到复平面上半平面，将多角形边界变换为实轴，即将图4(a)中的多角形平面ABCDZ₀Z₂Z₃Z₄变换到图4(b)中的上半复平面A′B′C′D′T₀T₂T₃T₄。

由多角形的对称性以及保角变换的性质可得，T点在t平面内的坐标关于y轴对称。当T平面上邻边边长的比率太大或太小，可能引起被积函数的强峰现象而使被积函数部分不可积，正确的插入一些虚顶点就可以较好的解决此问题，同时可以提高精度，加速数值积分及迭代收敛的速度，如在图4(a)中加入虚顶点Z₁，Z₅。根据多角形保角变换法则，选取T₀＝0，T₁＝1，T_n-1＝∞，得到变换公式为：

$Z=C_1{\∫}_{T_0}^T{(T+T_4)}^{-\mathrm{\θ}}{(T+T_3)}^{\mathrm{\θ}}{(T+T_2)}^{-1/2}{(T-T_2)}^{-1/2}{(T-T_3)}^{\mathrm{\θ}}{(T-T_4)}^{-\mathrm{\θ}}\mathrm{dt}+C_2;$

第4.2步，建立计算变换公式Z中T_j值的优化模型为：

find T₂，T₃，T₄，...，T_n-2

$\min \mathrm{AIM}=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{(\frac{\stackrel{\‾}{Y_j}}{Y_j}-1)}^2$

$\mathrm{st}.Z=C_1{\∫}_{T_0}^T\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{(T-T_i)}^{{-v}_i}\mathrm{dT}+C_2$

其中：

$Y_j=\frac{Z{L}_j}{Z{L}_0}=\frac{\left|Z_{j+1}{-Z}_j\right|}{|Z_1-Z_0|}=\frac{\underset{T_j}{\overset{T_{j+1}}{\∫}}\left(\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{|T-T_i|}^{{-v}_i}\right)\mathrm{dT}}{\underset{T_0}{\overset{T_{j+1}}{\∫}}\left(\underset{i=0}{\overset{n=1}{\mathrm{\Π}}}{|T-T_i|}^{-v_i}\right)\mathrm{dT}},$ 其中j＝0，1，2，......n-3

${\stackrel{\‾}{Y}}_j=\frac{\underset{T_j}{\overset{T_{j+1}}{\∫}}\left(\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{|T-\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{T}{L}_j|}^{-v_i}\right)\mathrm{dT}}{\underset{T_0}{\overset{T_{j+1}}{\∫}}\left(\underset{i-0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{|T-\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{T}{L}_j|}^{-v_i}\right)\mathrm{dT}},$ 其中j＝0，1，2，......n-3

式中Z_i为电容膜片截面多角形的各顶点在z平面内的坐标，

T_i为电容膜片截面多角形的各顶点在t平面内的坐标，

|Z_j+1-Z_j|是Z平面上从Z_j到Z_j+1的边长，用ZL_j表示，

|T_j+1-T_j|是T平面上的对应边长，以TL_j表示，

Y_j是用顶点表示的第j边的相对边长，

Y_j是用边长表示的第j边的相对边长；

第4.3步，对模型中的目标函数AIM进行优化，使其小于给定的精度要求，从而得到所有的T_j的准确值，该优化过程如图6所示：

首先，确定未知参数集T_i，(i＝2，3，......n-2)，C₁，C₂、适应度函数AIM和约束条件，使优化搜索一直在可行解空间里运行；

其次，根据遗传算法的随机选择法则在可行解区域内生成初始种群，判断适应度函数是否满足终止条件，如果满足即停止，如果不满足则按着遗传法则进行选择、交叉和变异，直到满足条件，得到最优解，作为初始点；

最后，运用序列二次规划法再次优化，得到该模型最优解，即T₂，T₃，T₄，...，T_n-2。

步骤5，求解等效电纳值和S′矩阵。

第5.1步，利用公式ω＝μ+jv＝arcsin(μ′+jv′)将t平面的上半复平面变换为ω平面的平板电容器，即将图4(b)中上半复平面A′B′C′D′T₀T₁T₂T₃T₄T₅变换到图4(c)中的平板电容器A″B″C″D″E″F″G″H″I″；

第5.2步，将TA坐标代入上式，求出ω_A＝u_A+jv_A；

第5.3步，根据电容器的宽度和长度求出电容总电容C，

由图4(c)看出，AD与AF之间平行板的单位宽度电容 $C_{\mathrm{AD}}=\mathrm{\ϵ}\frac{v_A}{\mathrm{\π}},$

由于C_AD中包括了AB段平行板电容C_AB，设A点坐标为y＝-b/2，z＝L/2，则

$C_{\mathrm{AB}}=\mathrm{\ϵ}\frac{L}{2b}$

因此，由于膜片加入所引入的电容应为C_AD-C_AB，故由膜片引入的总电容C应为

$C=2(C_{\mathrm{AD}}-C_{\mathrm{AB}})=2\mathrm{\ϵ}(\frac{v_A}{\mathrm{\π}}-\frac{L}{2b});$

第5.4步，根据总电C求出等效电纳 $\mathrm{\ωC}=2\mathrm{\ω\ϵ}(\frac{v_A}{\mathrm{\π}}-\frac{L}{2b})=\frac{4}{\mathrm{\λ}}{Y}_0(v_A-\frac{\mathrm{L\π}}{2b})$

再以等效特性导纳Y₀/b归一得

$\stackrel{\‾}{B}=\frac{B}{Y_0/b}=\frac{4b}{\mathrm{\λ}}(v_A-\frac{\mathrm{L\π}}{2b})$

第5.5步，根据归一化等效电纳得到单节电容膜片的S′矩阵参数为：

$S_{11}^{\′}=\frac{-j\stackrel{\‾}{B}}{2+j\stackrel{\‾}{B}},$ $S_{i12}^{\′}=\frac{2}{2+j\stackrel{\‾}{B}}.$

步骤6，优化求解矩形波导电容膜片的结构参数。

第6.1步，建立优化模型为：

find d，m，α

minΔS_i11，ΔS_i12

其中， $S_{i11}=\frac{{{\stackrel{\‾}{K}}_i}^2-1}{1+{{\stackrel{\‾}{K}}_i}^2},$ $S_{i12}=j\frac{-2{\stackrel{\‾}{K}}_i}{1+{{\stackrel{\‾}{K}}_i}^2},$ $S_{i11}^{\′}=\frac{-j{\stackrel{\‾}{B}}_i}{2+j{\stackrel{\‾}{B}}_i},$ $S_{i12}^{\′}=\frac{2}{2+j{\stackrel{\‾}{B}}_i},$

ΔS_i11＝||S′_i11|-|S_i11||，ΔS_i12＝||S′_i12|-|S_i12||

式中，d_i，m_i，α_i分别为第i个电容膜片的窗口宽度、膜片厚度和加工倾角，B_i为归一化等效电纳，ΔS_i11，ΔS_i12分别为反射系数S_i11和传输系数S_i12误差；

第6.2步，利用遗传算法优化使得S′矩阵近似等于S矩降，最终确定单节电容膜片的窗口宽度d′、膜片厚度m′和加工倾角α′。

步骤7，重复将矩形波导膜片的截面多角形进行施瓦茨-克里斯托弗反变换求解等效电纳和S′矩阵步骤和优化矩形波导电容膜片结构参数步骤，确定矩形波导低通滤波器的所有电容膜片参数。

步骤8，修正波导腔长度。

第8.1步，根据电容膜片的S′参数，得到等效电路的并联电抗：

$j{\stackrel{\‾}{X}}_i=\frac{2S_{i12}^{\′}}{{(1-S_{i11}^{\′})}^2-{\left(S_{i12}^{\′}\right)}^2};$

第8.2步，根据并联电抗得到K变换器的相角：φ_i＝-arctan(2X_i)；

第8.3步，修正电长度为： ${\mathrm{\θ}}_k={\mathrm{\θ}}_0+{\mathrm{\φ}}_{i-1,i}+{\mathrm{\φ}}_{i,i+1}={\mathrm{\θ}}_0-\frac{1}{2}\left(\arctan \left(2{\stackrel{\‾}{X}}_{i-1,i}\right)\text{+arctan}\left(2{\stackrel{\‾}{X}}_{i,i+1}\right)\right);$

第8.4步，修正波导腔长度为： $L_i=\frac{{\text{\λ}}_g}{2\mathrm{\π}}({\mathrm{\θ}}_0+{\mathrm{\φ}}_{i-1,i}+{\mathrm{\φ}}_{i,i+1}).$

步骤9，重复所述波导腔长修正步骤，确定矩形波导低通滤波器所有两电容膜片间的波导腔长，完成整个矩形波导低通滤波器的设计。

本发明的有效性可以通过仿真数据进行说明：

1.选择主模频率范围为1.4-2.8GHz的单节矩形波导电容膜片，厚度为1mm，加工倾角为1°，进行仿真试验，分别得到本发明方法的S矩阵参数、传统方法的S矩阵参数和通过Ansoft HFSS仿真得到的S矩阵参数，如图7所示。

2.按照电性能指标为：截止频率为2.0GHz；通带内最大衰减为0.2dB，在阻带3.5GHz处衰减大于60dB，设计2.0GHz波导低通滤波器，并利用HFSS进行仿真验证可以得到如图8所示的幅频特性曲线。

在图7中，将传统方法的S矩阵参数与通过Ansoft HFSS仿真得到的S矩阵参数进行比较，S₁₁，S₁₂平均误差分别为-18.29％和3.04％；将本发明的S矩阵参数与通过AnsoftHFSS仿真得到的S矩阵参数进行比较，S₁₁，S₁₂平均误差分别为2.12％和-0.1％。可见利用本发明方法得到的传输系数和反射系数吻合相对于传统方法更准确，提高了设计精度。

从图8可见，本发明方法设计的滤波器截止频率为2.0GHz，通带内反射系数S₁₁低于-20dB，阻带内衰减大于60dB，满足设计性能要求。无需反复调试，提高了设计效率。

Claims (1)

1.一种矩形波导低通滤波器的参数确定方法，包括如下步骤：

A.参数预确定步骤：

根据矩形波导低通滤波器的频率要求选择矩形波导型号；根据矩形波导低通滤波器电性能指标和电路变换得到只含有电容元件的低通原型电路，进而得到广义阻抗变换系数K；根据矩形波导低通滤波器的相对带宽BW，确定两电容膜片间矩形波导电长度θ₀；根据广义阻抗变换系数，确定并联电容的容抗X，通过查取矩形波导电容加载的等效电纳图，初步确定矩形波导内电容膜片的窗口宽度d、膜片厚度m和加工倾角α；

B.膜片参数优化步骤：

根据广义阻抗变换系数K，确定矩形波导单节电容膜片的S矩阵；

对由初步确定矩形波导内电容膜片的窗口宽度d、膜片厚度m和加工倾角α及波导高度b所形成的电容膜片的膜片截面多角形进行施瓦茨-克里斯托弗反变换，并求解电容膜片的归一化等效电纳

，按如下步骤进行：

第一步，运用遗传算法与序列二次规划法相结合的混合优化算法对施瓦茨-克里斯托弗反变换

进行优化求解，其中，v_i＝α_i/π，n为多角形顶点个数，得到变换后的各顶点坐标：T₂，T₃，T₄，...，T_n-2；

按如下步骤进行：

第1步，建立优化模型为：

find T₂，T₃，T₄，...，T_n-2

min $\mathrm{AIM}=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{(\frac{{\stackrel{\‾}{Y}}_j}{Y_j}-1)}^2$

st. $Z=C_1{\∫}_{T_0}^T\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{\left({T-T}_i\right)}^{-v_i}\mathrm{dt}+C_2$

其中：

$Y_j=\frac{{\mathrm{ZL}}_j}{{\mathrm{ZL}}_0}=\frac{|Z_{j+1}-Z_j|}{|Z_1-Z_0|}=\frac{\underset{T_j}{\overset{T_j+1}{\∫}}\left(\underset{j=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{|T-T_i|}^{-v_i}\right)\mathrm{dT}}{\underset{T_0}{\overset{T_{j+1}}{\∫}}\left(\underset{i=0}{\overset{n=1}{\mathrm{\Π}}}{|T-T_i|}^{-v_i}\right)\mathrm{dT}},$ 其中j＝0，1，2，......n-3

${\stackrel{\‾}{Y}}_j=\frac{\underset{T_j}{\overset{T_{j+1}}{\∫}}\left(\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{|T-\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{T}{L}_j|}^{-v_i}\right)\mathrm{dT}}{\underset{T_0}{\overset{T_{j+1}}{\∫}}\left(\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{|T-\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{T}{L}_j|}^{-v_i}\right)\mathrm{dt}},$ 其中j＝0，1，2，......n-3

式中Z_i为电容膜片截面多角形的各顶点在z平面内的坐标，

T_i为电容膜片截面多角形的各顶点在t平面内的坐标，

|Z_j+1-Z_j|是Z平面上从Z_j到Z_j+1的边长，用ZL_j表示，

|T_j+1-T_j|是T平面上的对应边长，以TL_j表示，

是相对边长TL_j的优化对应值，

Y_j是用顶点表示的第j边的相对边长，

是用边长表示的第j边的相对边长；

第2步，采用改进的混合遗传算法对该模型进行优化求解：

首先，对遗传算法进行约束条件处理，即采取缩小搜索空间的方法，使优化搜索一直在可行解空间里运行，优化求解出初始点；

其次，运用序列二次规划法再次优化，得到该模型最优解，即：T₂，T₃，...，T_n-2；

第二步，将各顶点坐标代入施瓦茨-克里斯托弗反变换公式Z中，在复平面内，将z平面的多角形平面变换到t平面的上半复平面；

第三步，将t平面的上半复平面变换为ω平面的平板电容器，根据平板电容器的长度和宽度求出膜片电容及等效电纳值；

根据等效电纳

确定电容膜片的S′矩阵参数：

利用遗传算法优化使得S′矩阵近似等于S矩阵，最终确定单节电容膜片的窗口宽度d′、膜片厚度m′和加工倾角α′；

通过如下优化模型进行优化求解，即：

find d_i，m_i，α_i

min ΔS_i11，ΔS_i12

其中， $S_{i11}=\frac{{\stackrel{\‾}{K}}_i^2-1}{1+{\stackrel{\‾}{K}}_i^2},$ $S_{i12}=j\frac{-2{\stackrel{\‾}{K}}_i}{1+{\stackrel{\‾}{K}}_i^2},$ $S_{i11}^{\′}=\frac{-j{\stackrel{\‾}{B}}_i}{2+j{\stackrel{\‾}{B}}_i},$ $S_{i12}^{\′}=\frac{2}{2+j{\stackrel{\‾}{B}}_i},$

ΔS_i11＝||S′_i11|-|S_i11||，ΔS_i12＝||S′_i12|-|S_i12||

式中，d_i，m_i，α_i分别为第i个电容膜片的窗口宽度、膜片厚度和加工倾角，

K_i为广义阻抗变换系数，Z₀为特性阻抗，

为第i个电容膜片的归一化等效电纳，ΔS_i11，ΔS_i12分别为第i个电容膜片的反射系数S_i11和传输系数S_i12的误差；

重复所述的膜片参数优化步骤，确定矩形波导低通滤波器的其余电容膜片的参数；

C.波导腔长修正步骤：

通过电容膜片的S′矩阵，得到修正后的两膜片间的波导长度为：

i≥2，i为第i个电容膜片，

λ_g为波导波长，θ₀为步骤A中初始确定两电容膜片间矩形波导电长度，

为第i个电容膜片等效电路的并联电抗即

重复所述波导腔长修正步骤，确定矩形波导低通滤波器其余两电容膜片间的波导长度，完成整个矩形波导低通滤波器的设计。

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