7.1 格的基本概念
7.1.1 格的定义
定义7.1 设是偏序集，对
，子集
在
中存在最大下界(下确界)记作
和最小上界(上确界)记作
；则称
为格。
多个元素当然也是同理的；
全序集肯定是格。
上确界和下确界具有唯一性。
定义7.2 设是一个格，若
上定义两个二元运算
和
，使得
，
等于
和
的下确界，
等于
和
的上确界。称
为由格所诱导的代数系统。
称为交运算，
称为并运算。
与环有一点相似。
小小总结以下：
定义7.3 设是格，
是由格中的元素及
等符号所表示的命题；若将
中的
分别替换为
得到命题
称为
的对偶命题，简称对偶。
例7.3 判定下图偏序集是否为格。
解：
(a)是格；因为任意两个元素在图中都能找到他们上和下确界；比如：
上确界：d
下确界：a
(b)不是格；因为存在两个元素在图中找不到他们的上或下确界；比如：
上确界：无（d和e之间不可比，无法判定它们谁最小）
下确界：a
(c)是格；因为任意两个元素在图中都能找到他们上和下确界；比如：
上确界：h
下确界：a
7.1.2 格的性质
定理7.1 在一个格中对
都有：
根据定义7.2知：
是
和
的上确界；
是
定理7.2 设是格，
，则有：
(1) 且
可得
(2) 且
可得
是
的下界；
又
和
；
因此
定理7.3 在格中，对于
，若
，则
且
。
定理7.4 设是一个格，由它所诱导的代数系统
，则对
有：
(1)交换律：
(2)结合律：
(3)幂等律：
(4)吸收率：
定理7.5 设是一个代数系统，其中
和
都是二元运算，且满足交换律、结合律、吸收率；则
上存在偏序关系，使
是一个格，且
有
。
定义7.4 设是代数系统，其中
和
是二元运算，若
和
满足交换律、结合律、吸收率；则称
是一个格。
定理7.6 设是格，则：
(1)，若
则
(2)，若
且
则
7.2 分配格与有补格
7.2.1 分配格
定义7.6 设是格，若
，满足：
则称是分配格。
在格的基础上满足分配律。
例 判断下图中的是不是分配格
解：
和
是分配格；
和
不是分配格。
而
而
定义7.7 设和
是两个格，由它们分别诱导的代数系统
和
；若存在一个从
到
的映射
，使得
有：
称为从
到
的**格同态**，也称
是
格同态象。
若为双射时，格同态也称格同构。
定理7.7 格是分配格，当且仅当
中不含有钻石格或五角格同构的子格。
推论7.1
(1)小于5元的格都是分配格。
(2)任意一条链都是分配格。
链就是全序集。
7.2.2 有补格
定义7.8 设是一个格，如果存在元素
，对于
，都有
，则称
为格
的全下界；若都有
，则称
为格
的全上界。
全下界就是最小元，用0表示；
全上界就是最大元，用1表示。
定义7.9 设是格，若
存在全下界和全上界，则称其为有界格，记作
。
钻石格和五角格都是有界格，同时任何有限格
也都是有界格。设
则：
是
是
例7.8 设有限集，那么在格
中，空集
是其全下届，集合
就是其全上界。
定义7.10 设是有界格，
，若存在
，使得
且
，则称
是
的补元。
的补元记作：
或
。
显然，是
的补元，那么
也是
的补元；也就是
和
互补，简称互补。
在任何有界格中全下界
与全上界
总是互补的；集合中的其他元素则可能存在补元也可能无补元，当有补元时补元也可能不是唯一的。
对于有界分配格，若集合中的元素存在补元，则补元必定唯一。
定理7.8 设是有界分配格，若
，且对于
存在补元
，则
是
的唯一补元。
定义7.11 设是一个有界格，若对于
，在
中都有
的补元存在，则称其为有补格。
再次汇总下关系：
例7.9 判断下图中四个格的性质
解：①找到格的全上界：1和全下界：0；它们必定互补。
②逐个找到其他元素的补元
：
全上界：，全下界：
；是有界格。
与
互补，
在格中不存在补元；因此本格不是有补格。
：
全上界：，全下界：
；是有界格。
与
互补，
与
互补；因此本格是有补格。
：
全上界：，全下界：
；是有界格。
与
互补，
中任一元素与剩余两个元素都互补，即每个元素都有2个补元；因此本格是有补格。
：
全上界：，全下界：
；是有界格。
与
互补，
的补元是
和
，
和
的补元是
；因此本格是有补格。
7.3 布尔代数
定义7.12 若一个格是有补分配格，则称它为布尔格或布尔代数。()
分配格中，若某元素存在补元那么它的补元是唯一的。
故在布尔代数中，每个元素都存在唯一的补元。
一般地，将求补元的运算(一般记作
)看作是布尔代数中的一元运算。
再次汇总下关系：
定理7.9 设有代数系统，其中
至少包含两个元素，
和
是
上的两个二元运算，
是
上的一元运算，对
，满足：
①交换律：
②分配律：
③同一律：在中存在零元
，使
##这里不要理解为求上界和下界
在中存在幺元
，使
##这里不要理解为求上界和下界
④补元律：，使
则是布尔代数。
定义7.13 设是代数系统，
，
是
上的二元运算，
为
上的一元运算，运算满足定理7.9中的①②③④条件时，则此代数系统为布尔代数。
废话！！！
定理7.10 设是布尔代数，则：
①
②
