La respuesta natural de un circuito RL se puede describir a través del siguiente ejemplo:
Suponemos que la fuente de corriente independiente genera una corriente constante Is, y que el interruptor ha estado cerrado durante largo tiempo (todas las corrientes y tensiones han alcanzado un valor constante). Sólo las corrientes constantes o cd pueden existir en el circuito antes de que se abra el interruptor y, por tanto, la bobina se presenta como un corto circuito (Ldi/dt =0) antes de liberar la energía almacenada.
Antes de abrir el interruptor:
Debido a que la bobina está en corto circuito, la tensión en la rama inductiva es cero y no hay corriente en R0 ni en R. Por tanto, toda la corriente Is de la fuente aparece en la rama inductiva.
El cálculo de la respuesta natural requiere encontrar la tensión y la corriente en los terminales de la resistencia después de que se haya abierto el interruptor, esto es, después de desconectarse la fuente y cuando la bobina empieza a liberar energía. Si se deja que t=0 sea el instante en que el interruptor se abre, el problema consistirá en encontrar v(t) e i(t) para t=0.
Para t≥0 el circuito queda reducido a:
Para determinar i(t), aplicamos la ley de las voltajes de Kirchhoff. La suma de las tensiones alrededor del lazo cerrado produce:
Donde se usa la convención pasiva de signos. La ecuación anterior se conoce como ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ya que contiene términos que implican la derivada ordinaria de una incógnita, esto es, di/dt. El orden más alto de la ecuación es 1, de ahí el término primer orden.
Resolver esta ecuación arroja el siguiente resultado:
Donde Io se puede calcular de despejar:
La siguiente gráfica muestra el comportamiento de i(t):
Constante de tiempo
La expresión para i(t) incluye un término de la forma exp(-Rt/L). El recíproco de este cociente es la constante de tiempo del circuito:
Mediante la constante de tiempo, podemos determinar importantes parámetros del circuito, como los siguientes:
Resumen del cálculo de la respuesta natural RL.
El cálculo de la respuesta natural de un circuito RL se puede resumir así:
- Se determina la corriente inicial Io a través de la bobina.
- Se encuentra la constante de tiempo del circuito.
- Se utiliza la ecuación de i(t) para generar i(t) a partir de Io y t.
- El resto de corrientes y tensiones en el circuito se pueden obtener a partir de i(t).
Ejemplo:
Respuesta forzada
Para empezar el análisis de la respuesta al escalón se considera el siguiente circuito de primer orden:
Vamos a expresar la tensión en la bobina después de cerrarse el interruptor en términos de la corriente. Usamos el análisis de circuitos para obtener la ecuación diferencial que describe al circuito en términos de la variable de interés y luego se usa el cálculo elemental para resolver la ecuación. Después de cerrarse el interruptor, la LTK impone:
Resolviendo obtenemos:
En términos de la constante de tiempo:
La corriente queda expresada como
En cuanto a V(t):
Ejemplo:
Siguiente:
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