La integral definida

Consideremos una curva situada sobre el eje X que representa la gráfica de la función con ecuacion y = f(x).
Se desea encontrar el área S de la superficie limitada por la curva con ecuación y = f(x), el eje X y las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Para tal efecto, dividimos el intervalo [a; b] en n partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuación:

Denotamos con x1 la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con x2 y así sucesivamente hasta la ultima xn. En cada parte elegimos puntos r1; r2; …rn, de tal forma que f(r1).x1 nos da el área del primer rectángulo, (x1, es la base y f(r1) la altura), f(r2) x2 da el área del segundo rectángulo y por lo tanto f(rn) .xn da el área del enesimo rectángulo. Luego se tiene que:
Sn = f(r1) .x1 + f(r2) .x2 + … + f(rn) .xn

es la suma de las áreas de los rectangulos de la figura anterior.

Integral indefinida

Dada una función f definida en un intervalo I se dice que otra función F es una primitiva de f en I si  F es derivable en I y F’=f en I.

Si consideramos la función f(x)=2x, las funciones

son primitivas de f pues la derivada de cada una de ellas es 2x.

Dada una función f, no existe para ella una única primitiva F, ya que cualquier otra función de la forma F+C, donde C es una constante, también cumple la condición de que su derivada es igual a f

Además, si F y G son primitivas de f en I entonces F-G=C (constante) en I pues

Las primitivas de una función forman una familia de funciones cuya representación gráfica es siempre la misma, estando cada una desplazada verticalmente respecto de las demás:

Al conjunto de todas las primitivas de una función  f se le llama integral indefinida de f y se representa por

Para f(x)=2x se tiene

Teniendo en cuenta  las derivadas de las funciones f  «elementales» (potencias, exponenciales, trigonométricas, y sus inversas) obtenemos las siguientes integrales indefinidas:

Las igualdades anteriores son ciertas cuando las expresiones que aparecen en ellas tienen sentido. Así, por ejemplo

Para f(x)=1/x  en I=(0,+∞) tenemos

Sin embargo en  I=(- ∞,0) obtenemos

Propiedades de la integral indefinida

Se verifica:

Estas propiedades son consecuencia de la linealidad de la derivación:

Utilizando la propiedad de linealidad de la integral indefinida y las primitivas de funciones sencillas podemos calcular la siguiente integral:

La generalización de estos resultados aparece en la tabla de integración inmediata.