分类： 数学趣识

绝对收敛和条件收敛

绝对收敛级数必定条件收敛：构造1/2的绝对值项与原项的和，基于比较判别法证收敛性，再基于收敛级数的线性运算不变收敛性的性质，证得级数条件收敛

判断绝对收敛或条件收敛例题

绝对收敛具有条件收敛不具备的一般项次序任意性

绝对/条件收敛判定例题

本题缩放第二步用到了，不等式：几何平均小等于于算术平均
正项级数，要么绝对收敛要么发散。
对于比值判别法失效的场景，使用比较判别法

参考

交错级数及其审敛法

交错级数

交错级数是指级数一般项正负交替

莱布尼兹判别法

基于敛散性的充要条件，部分和的极限 {Sn} 存在(收敛)
先基于单调有界收敛准则证 {S2n} 收敛
然后证明{S2n+1}的极限等于{S2n}，因此数列极限存在

莱布尼兹判别法证交错级数敛散性例题

参考

曲线积分与路径无关问题

第一型曲线积分

第二型曲线积分



曲线积分与路径相关的例子

格林公式的引入

平面曲线积分的路径无关的条件

单连通域与多（复）连通域

曲线积分路径无关例题

化简第二类曲线积分

D是xOy平面，单连通域

不能应用路径无关&格林公式的例题

偏导不连续，路经相关，且格林公式不适用，使用一般的参数方程变量归一，解此Ⅱ曲线积分

利用曲线积分性质的例题

二元函数的全微分与Ⅱ曲线积分

参考

https://wenku.baidu.com/view/d9b739dfc1c708a1284a44dc.html

正项级数及其审敛法

回顾一般级数的敛散性证明(适用于正项级数)

几何级数与P级数的敛散性
温故前一篇博客的证敛散性的方法
1、必要条件/收敛级数性质证发散性
2、充要条件证明敛散性(各部分，然后求和敛散性)
级数收敛的必要和充要条件复习

补充

级数间 (比较判别法 [极限形式] )

基于常用参考数列的严格比较判别法
基于常用参考数列的一般项极限比较判别法

单个级数前后一般项之间(达朗贝尔比值法)

数列极限的e-N语言， 基于几何级数的比较判别法可证(1)的<1情况下收敛
数列极限的e-N语言， 基于几何级数的比较判别法可证(2)的>1情况，发散
基于p级数的比较判别法可证(2)的+∞情况，发散
比值判别法(1),(2)是当数列极限存在时的敛散性充分条件

达朗贝尔比值法的例题

达朗贝尔比值判别
达朗贝尔比值判别 ，a>1&a=b是利用必要条件证明发散性
达朗贝尔判别法

单个一般项(根值判别法)

数列极限的e-N语言，基于几何级数的比较判别法证(1)的<1情况，收敛
数列极限的e-N语言，基于几何级数的比较判别法证(2)的>1情况，发散
数列极限的M-n语言，基于几何级数的比较判别法证(2)的+∞情况，发散
以p级数为例，证不确定性
根治判别法是一般项极限存在时的敛散性充分条件

根值判别法的例题

根值判别法

参考

https://wenku.baidu.com/view/8fa9a504195f312b3069a58d.html?from=search&smallflow20190502=1

级数的收敛性

收敛的意思

无限个实数相加结果确定
无限个实数相加结果不确定
由数列定义数项/无穷级数
数项级数的部分和
部分和的极限是数项级数
几何级数的收敛性讨论
几何级数的收敛依赖等比稀疏
收敛的数项系数

数项级数与数列的敛散性关系

级数收敛的柯西准则：e-m-p语言 (充要条件)
级数收敛的必要条件，一般项趋于零
调和级数先利用必要条件判断发散性

调和级数利用柯西准则判定收敛性

更多例题

利用必要条件证明发散
级数收敛的柯西准则需要缩放技巧

级数收敛性可分割证明
收敛级数增减一般项产生的余项
括号敏感，顺序敏感即发散

分割证例题

参考

https://wenku.baidu.com/view/257ba1a9c9d376eeaeaad1f34693daef5ef713f3.html?from=search&smallflow20190502=1

高斯公式与斯托克斯公式

高斯公式


条件仅为：分片光滑曲面上的一阶连续偏导数

高斯公式的证明

高斯公式其实是三式之和
构造xy型区域(对于非xy型可切分成若干xy型)
积分区域x,y逆换成有向曲面S，z(x,y)逆换成z

证明高斯定理

点电荷q产生的静电场，通过任意包含q的闭合曲面的电通量为4*pi*q^2
对于包含Q的封闭球面，计算出电通量 4*pi*q
利用电通量的定义证曲面形状任意性，可证包含球面的其它封闭曲面的电通量等于小的球面

斯托克斯公式

空间曲线L与有向曲面S满足右手法则。 分割曲面S使每一部分都能有 z=z(x,y)
方向余弦与正侧法线方向数的关系
多元复合函数的偏导数
方向余弦与曲面乘积得对应坐标面投影曲面
斯托克斯公式和高斯公式一样是三式之和
记忆

例题

区域V按曲面单连通

空间曲线积分的路径无关性

空间曲线积分与路径无关

验证无关，构造平行坐标轴的有向路径
积分路径的起点任意，可得通解

参考

https://wenku.baidu.com/view/dd0db91a6bd97f192279e903.html

https://wenku.baidu.com/view/7f9ab0e69b89680203d82500.html

第二类曲面积分

有向曲面

(封闭)曲面的(内)下(外)上侧
法向量方向区分双侧
单侧曲面莫比乌斯

有向曲面和其投影曲面的表示

法向量区分曲面的侧

有向曲面与流量

用速度和曲面的点积表示流量
速度的函数
分割
求和
取极限

概念与性质

定义

第二类曲面积分存在的条件

性质

计算

例题

计算规则

两类曲面积分联系

利用联系（合一投影法）计算

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