Combinaciones
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Combinaciones
- 2. COMBINACIONES Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. Por ejemplo: Mi ensalada de frutas es una combinación de papaya, mango y plátano: en este caso, no importa el orden, ya que también podría ser: mango, papaya y plátano o plátano, papaya y mango; la ensalada es la misma. La combinación de mi caja fuerte es 1965: aquí sí importa el orden, ya que cualquier cambio en la combinación, no abriría la chapa de la caja. Así que, en Matemáticas, se hace necesario usar un lenguaje más preciso: Si el orden no importa, se trata de una combinación. Si el orden sí importa, se trata de una permutación.
- 3. DEFINICIÓN Una combinación es uno de los diferentes grupos que pueden formarse tomando todos o parte de los elementos de un conjunto, sin considerar el orden de los elementos tomados. Veamos otros ejemplos donde el orden importa. En la escuela existen baños para hombres y para mujeres, ¿a qué atribuyes este hecho?, ¿importa el orden?, mientras que en las casas solo hay un baño para toda la familia, ¿Cómo lo explicas? Cuando caminas por la colonia donde vives seguramente has notado que las casas están numeradas, además, los números pares van de un lado de la calle y los impares del otro, ¿a qué se debe este ordenamiento? ¿Por qué la numeración no es continua?
- 4. COMBINACIONES VS PERMUTACIONES Ilustremos la diferencia entre permutaciones y combinaciones por medio del siguiente ejemplo: supongamos que tenemos 4 objetos (A, B, C, D), las permutaciones tomadas de tres en tres serán: Es decir, 24 permutaciones. Por otro lado, las combinaciones serán: Según la tabulación, vemos que se obtienen 4 combinaciones y 24 permutaciones, por lo que a cada combinación le corresponden 6 permutaciones. ABC ACB CAB CBA BAC BCA ABD ADB DAB DBA BAD BDA ACD ADC DAC DCA CAD CDA BCD BDC DBC DCB CBD CDB ABC ABD ACD BCD 4 COMBINACIONES
- 5. FÓRMULA De lo anterior se deduce que el número total de combinaciones es igual al número total de permutaciones entre el número de permutaciones por cada combinación; que expresado en forma matemática queda de la siguiente forma:
- 6. EJEMPLO:Si un club tiene 5 miembros ¿cuántos comités de 3 miembros se pueden formar sin considerar el orden?
- 7. Para determinar las combinaciones que se obtienen al aplicar la fórmula correspondiente, se recomienda seguir un orden que consiste en tomar las dos primeras letras e ir cambiando la última letra; hasta completar las combinaciones, teniendo en cuenta que no se debe repetir ninguna letra y en ninguna combinación se deben repetir las mismas letras.
- 8. EJEMPLO: En una mochila hay una caja con seis lápices de colores marcados con los números: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si sacaras dos lápices de la caja, ¿cuántas posibles combinaciones de colores podrías extraer? SOLUCIÓN Datos n = 6 r = 2