Ondas estacionarias en líneas de transmisión terminadas

Tema 2. Líneas de Transmisión Terminadas
2.1 Introducción
2.2 Reflexión
2.3 Ondas estacionarias
2.4 Impedancia de entrada
2.5 Desadaptación en la carga y en el generador
2.6 Respuesta transitoria
L
Z
0

z
 

,
0
Z
z
1
José A. Pereda, Dpto. Ingeniería de Comunicaciones, Universidad de Cantabria

Bibliografía Básica para este Tema:
[2] W. H. Hayt Jr. and J. A. Buck , “Engineering Electromagnetics”,
7ª Ed, McGraw-Hill International Edition, 2006.
Hayt  Apartados 11.9
[3] D. M. Pozar, “Microwave Engineering” , 3ª Ed, Wiley, 2005.
[1] R. Neri, “Líneas de Transmisión”, McGraw-Hill, México, 1999.
Neri  Apartados 2.9
[4] F. T. Ulaby et. al “Fundamentals od Applied Electromagnetics” ,
6ª Ed, Pearson, 2010.
Pozar  Apartados 2.3, 2.6
Ulaby  Apartados 2.7, 2.8, 2.12
Waves
M 2

2.1 Introducción
- En el tema anterior estudiamos líneas de transmisión de longitud
infinita, lo cuál obviamente no se encuentra en la práctica.
- El objetivo de este tema es ampliar lo visto en el tema anterior
considerando líneas de transmisión terminadas
G
Z
G
V L
Z
Generador Carga
Línea de
Transmisión
- En general consideraremos un generador modelado mediante su
equivalente Thevenin y una impedancia de carga unidos por una
longitud finita de línea de transmisión.
3

2.2 Reflexión (Pozar 2.3)-(Hayt 11.9)
- La tensión y la corriente en los terminales de la carga (z = 0) vale:
r
i
L V
V
V 0
0 

 
r
i
r
i
L V
V
Z
I
I
I 0
0
0
0
0
1




- Además L
L
L I
Z
V 
- Consideramos una línea terminada en una impedancia de carga ZL:
 
r
i
L
L V
V
Z
Z
V 0
0
0


z
r
z
i e
V
e
V
z
V 
 


 0
0
)
(
z
r
z
i e
I
e
I
z
I 
 


 0
0
)
(
L
Z
0

z
 

,
0
Z
z
i
i e
V
V 

 0
z
r
r e
V
V 

 0
L
V
L
I


z
- Igualando las dos expresiones para VL:
 
r
i
L
L V
V
Z
Z
V 0
0
0


r
i
L V
V
V 0
0 

 
r
i
L
r
i V
V
Z
Z
V
V 0
0
0
0
0 


4

2.2 Reflexión
- Definimos el coeficiente de reflexión en la carga como
i
r
L
V
V
0
0


- Dividiendo la expresión inicial por , resulta
0
0
Z
Z
Z
Z
L
L
L




i
V0
- Podemos expresar la tensión y corriente totales en la línea como:
 
z
L
z
i e
e
V
z
V 
 



 0
)
(  
z
L
z
i
e
e
Z
V
z
I 
 




0
0
)
(
- Teniendo en cuenta que i
L
r V
V 0
0 

- Cuando no hay onda reflejada. Esta situación se da cuando
y se dice que la línea está terminada en una carga adaptada.
0

L
0
Z
ZL 
- El general, el coeficiente de reflexión es una cantidad compleja.
- Coeficiente de reflexión en la carga:
5

- Ejemplo 1: Una línea de transmisión de impedancia característica 100
Ohm está terminada en una impedancia de carga formada por una
resistencia de 50 Ohm en serie con una capacidad de 10 pF. Calcular
el coeficiente de reflexión en la carga a la frecuencia de 100 MHz.
Solución:
Ulaby 6ª Ej. 2-3
- La impedancia de carga vale
º
7
.
60
0
0
76
.
0
67
0
37
0
159.2
150
159.2
50
100
159.2
50
100
159.2
50 j
L
L
L e
.
- j
.
j
j
j
j
Z
Z
Z
Z 

























 
159.2)
50
(
10
10
2
50
1
11
8
j
j
C
j
R
Z
Z
Z c
R
L


- El coef de refl. resulta
6

0
5
pF
0
1
 

,
0
Z

2.2 Reflexión
- En general, cuando una parte de la potencia incidente se
refleja y otra parte es transmitida (disipada) a la carga.
0
Z
ZL 
 
z
L
z
i e
e
V
z
V 
 



 0
)
(
 
z
L
z
i
e
e
Z
V
z
I 
 




0
0
)
(
- Según hemos visto la tensión y la corriente en la línea son:
- Conservación de la potencia:
L
Z
0

z
 

,
0
Z
z
i
i e
V
V 

 0
z
r
r e
V
V 

 0
L
V
L
I


z
7

2.2 Reflexión
  z
i
i
i
i e
R
Z
V
z
I
z
V
z
P 
2
0
2
0
2
0
*
2
)
(
)
(
2
1
)
( 



  z
L
i
r
r
r e
R
Z
V
z
I
z
V
z
P 
2
0
2
0
2
2
0
*
2
)
(
)
(
2
1
)
( 




- La potencia reflejada resulta
- En los terminales de la carga (z = 0):
2
i
L
r P
P 

- La potencia transmitida es , luego
 
1
2
i
L
t P
P 


r
i
t P
P
P 

- Como vimos en el tema anterior, el valor medio de la potencia
incidente es
8

- Ejemplo 2: Una línea de transmisión de impedancia característica
50 Ohm y sin pérdidas esta terminada en una impedancia de carga
. Si la potencia incidente vale 100 mW, determinar la
potencia disipada en la carga.
Solución:
Hayt 7ª Ej. 11-5
- La potencia disipada viene dada por
48
.
0
36
.
0
50
75
50
50
75
50
0
0
j
j
j
Z
Z
Z
Z
L
L
L 












 )
75
50
( j
ZL
    mW
64
10
100
36
.
0
1
1 3
2







 
i
L
t P
P
    36
.
0
48
.
0
36
.
0
2
2
2



L
  i
L
t P
P
2
1 


- El coef. de refl. en la carga vale
- de donde
- La potencia disipada resulta
9

2.2 Reflexión
- Hemos definido el coef. de refl. en los terminales de la carga.
- Podemos generalizar esta definición para cualquier posición de la
línea (z = -l)





 


2
0
0
0
0
)
(
)
(
)
( 





 e
V
V
e
V
e
V
V
V
i
r
i
r
i
r
- Entonces
)
( 2 
 



 e
L
L
Z
0

z
 

,
0
Z L

z


- Coeficiente de reflexión en una posición arbitraria:
z
i
i e
V
z
V 

 0
)
(
z
r
r e
V
z
V 

 0
)
(



z
- El coef. de refl. en vale
- Para una línea sin pérdidas, el coef. de refl. es una función periódica
de periodo 2
 10

- Ejemplo 3: Una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia
característica 50 Ohm está terminada en una impedancia de carga
de valor 100 Ohm. Determinar el coeficiente de reflexión a una
distancia de la carga.
Solución:
L
Z
 

,
0
Z L




1
.
0
- Los datos del problema son:

1
.
0



 50
0
Z 
100
L
Z
R
con
, 
 

 j
)
( 2 
 



 e
L
- Según hemos visto, el coef. de refl. a una distancia vale:

3
1
50
100
50
100
0
0








Z
Z
Z
Z
L
L
L
- donde:
º
72
4
.
0
2
3
1
3
1 j
j
L e
e
e 






 






 2
.
0
1
.
0
2
j
j
j 

 

- luego
11

2.3 Ondas estacionarias (Neri 2.9)
- Consideramos una línea sin pérdidas terminada en una impedancia ZL:
 
z
j
L
z
j
i e
e
V
z
V 
 



 0
)
(
- La tensión total en la línea es el resultado de la interferencia (suma)
de la onda incidente con la reflejada:
- Como consecuencia de la interferencia se produce una onda
estacionaria. Para estudiar sus propiedades debemos obtener |
)
(
| z
V
r
i V
V
z
V 

)
( 
L
Z
0

z
 

,
0
Z
z
j
i
i e
V
V 

 0
z
j
L
i
r e
V
V 


 0
L

z
L
j
L
L e 
 



12

 
L
z
j
L
z
j
i e
e
V
z
V 


 



 2
0 1
)
(
 
z
j
L
z
j
i e
e
V
z
V 
 



 0
)
( 
- Teniendo en cuenta que
1
|
| 
 z
j
e   
)
2
sin(
)
2
cos(
2
L
L
z
j
z
j
z
e L












y
- Resulta  
 2
1
2
2
2
0 )
2
(
sin
)
2
cos(
1
)
( L
L
L
L
i z
z
V
z
V 




 




- Operando
 2
1
2
0 )
2
cos(
2
1
)
( L
L
L
i z
V
z
V 


 



- Haciendo en cambio 


z
 
)
2
cos(
2
1
)
( 2
1
2
0 L
L
L
i
V
V 


 


 

- La función |V(z)| (o |V(l)|) se denomina patrón de onda estacionaria
de tensión.
13

- |V(z)| es una función periódica de periodo ya que
2

  









 L
L z
z 




2
2
cos
2
cos
- Los máximos de tensión ocurren cuando y valen:
  1
2
cos 

 L
z 

)
1
(
)
( 0
max L
i
V
z
V 


- Los mínimos de tensión ocurren cuando y valen:
  1
2
cos 

 L
z 

)
1
(
)
( 0
max L
i
V
z
V 


- Propiedades del patrón de onda estacionaria
- La distancia entre 2 máximos (o 2 mínimos) consecutivos es 2

- La distancia entre un máximo y un mínimo consecutivos es 4

- Veamos algunos casos:
14

Cortocircuito Circuito Abierto


L
Z
 

,
0
Z
1


L
V
2
max 
V 0
min 
V
4

)
(
V
2
1
0
4
3
4
5
0

0

L
Z
 

,
0
Z
1


L
)
(
V
2
1
0
4
3
4
5
0
 4

V
2
max 
V 0
min 
V
15
V
1
0 
i
V

Carga Adaptada Carga Arbitraria
 

,
0
Z
0

L
)
(
V
2
1
0
4
3
4
5
0
 4

V
1
max 
V V
1
min 
V
0
Z
ZL   

,
0
Z
4

)
(
V
2
1
0
4
3
4
5
0

2

2

L
Z
16

- Ejemplo 4: Considérese una línea de transmisión sin pérdidas
terminada en una carga. El coeficiente de reflexión en el plano de la
carga vale y la longitud de onda . Determinar la
posición del mínimo y el máximo en tensión más cercanos a la carga.
Solución:
Ulaby 6ª Exercise 2.10
º
60
5
.
0 j
L e

 cm
24


  1
2
cos 

 L
z 

- Los máximos de tensión ocurren para
  1
2
cos 

 L


- Haciendo el cambio queda , de donde
...)
2
,
1
,
0
(
2
2 max 

 n
n
L 

 ...)
2
,
1
,
0
(
2
2
max 

 n
n L




- como , el primer máximo se corresponderá con n = 1:
0

L

cm
10
4
3
2
2
2
max 










 L




z
17

  1
2
cos 

 L
z 

- Los mínimos de tensión ocurren para
  1
2
cos 

 L


- Empleando la variable l:
,...)
3
,
1
(
2 min 

 n
n
L 

 ,...)
3
,
1
(
2
min 

 n
n L




- Para n = 1:
cm
4
4
3
2
min 










 L

- Se observa que, efectivamente , que se
corresponde con
cm
6
4
10
min
max 


 

4

18

- Definimos la Razón de Onda Estacionaria ROE (también S o VSWR)
como el cociente entre las tensiones máxima y mínima del patrón de
onda estacionaria en tensión.
1
1
)
(
)
(
ROE
min
max
L
L
z
V
z
V






- Veamos algunos ejemplos:
- Carga adaptada. 1
ROE
0 


L

- Corto circuito y circuito abierto. ROE
1 



L

- Carga pasiva de valor arbitrario. )
,
1
[
ROE
1]
,
0
[ 



L

19

- Ejemplo 5: Una línea de transmisión sin pérdidas y de impedancia
característica 140 Ohm está terminada en una impedancia de carga
. Sabiendo que la longitud de onda en la línea vale
72 cm, calcular:
a) El coeficiente de reflexión en el plano de la carga
b) La razón de onda estacionaria
c) La posición de los máximos de tensión
d) La posición de los mínimos de tensión
Solución:
Ulaby 6ª Exercise 2.11


 )
182
280
( j
ZL
a) El coef de refl en los terminales de la carga vale
º
29
0
0
5
.
0
0.243
0.439
140
182
280
140
182
280 j
L
L
L e
j
j
j
Z
Z
Z
Z 












b) La razón de onda estacionaria en la línea es
3
5
.
0
1
0.5
1
1
1
ROE 






L
L


20

c) Localización de los máximos de tensión
...)
2
,
1
,
0
(
2
2
max 

 n
n L




Según el ejemplo anterior, los máximos se sitúan a distancias
Teniendo en cuenta que resulta: ...)
2
,
1
,
0
(
2
4
max 

 n
n
L 



2 

 
rad
180
29
º
29 
 

L
Además
...)
2
,
1
,
0
(
cm
)
36
2.9
(
2
4
180
29
72
2
4
max 


















 n
n
n
n
L






Luego
d) Localización de los mínimos de tensión
...)
2
,
1
,
0
(
cm
)
36
20.9
(
4
max
min 



 n
n



21

- Análogamente al caso de la tensión, también es posible definir un
un patrón de onda estacionaria respecto de la corriente.
- Siguiendo el mismo procedimiento que con la tensión se llega a
 
)
2
cos(
2
1
)
( 2
1
2
0
0
L
L
L
i
Z
V
I 


 


 

- Los máximos de corriente están en la misma posición que los mínimos
de tensión y viceversa
)
(
V
0
0
 2


2
3
)
(
I
22

2.4 Impedancia de entrada (Ulaby 2.7-2.8)
- Consideramos una línea de transmisión sin pérdidas y desadaptada
)
(
)
(
)
(
z
I
z
V
z
Z 
- Sabemos que en una línea desadaptada, tanto la tensión como la
corriente totales son función de la posición, z
- Por tanto, el cociente V(z)/I(z) también será función de la posición
- Entonces, podemos definir la impedancia “vista” en una posición
arbitraria de la línea (z), como
23
L
Z
 

,
0
Z )
(z
Z

- Suele interesar el valor de Z(z) en los terminales de entrada de una
línea cargada. En este caso, se denomina impedancia de entrada Zin:
- La impedancia de entrada se puede expresar como:
)
tan(
)
tan(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
in
z
jZ
Z
z
jZ
Z
Z
e
e
e
e
Z
z
I
z
V
z
Z
L
L
z
j
L
z
j
z
j
L
z
j






















 



0
0
Z
Z
Z
Z
L
L
L




L
Z
0

z
 

,
0
Z
z




z
)
(z
V
)
(z
I
in
Z
24
 
z
j
L
z
j
i e
e
V
z
V 
 



 0
)
(
 
z
j
L
z
j
i
e
e
Z
V
z
I 
 




0
0
)
(

- La expresión anterior indica que la impedancia varía a lo largo de la
línea
- Los máximos y mínimos de la impedancia se sitúan en las mismas
posiciones que los máximos y mínimos de tensión, respectivamente.
- Al igual que el patrón de onda estacionaria, la impedancia es una
función de periodo espacial 2

25

- Evaluando la expresión de en z = -l, resulta
)
tan(
)
tan(
)
(
0
0
0
in





L
L
jZ
Z
jZ
Z
Z
Z



)
(
in z
Z
ROE
1
1
)
1
(
|
|
)
1
(
|
|
|
)
(
|
|
)
(
|
| 0
0
0
0
0
min
max
max Z
Z
Z
V
V
z
I
z
V
Z
L
L
L
i
L
i












ROE
1
1
)
1
(
|
|
)
1
(
|
|
|
)
(
|
|
)
(
|
| 0
0
0
0
0
max
min
min
Z
Z
Z
V
V
z
I
z
V
Z
L
L
L
i
L
i












- Los máximos de impedancia valen:
- y los mínimos:
- Se observa que los valores de y son reales
max
|
Z min
|
Z
26

- Ejemplo 6: Se dispone de una línea bifiliar en aire, sin pérdidas, de
impedancia característica 50 Ohm y de longitud 2.5 m. Si la línea está
terminada en una impedancia de carga a la frecuencia
de 300 MHz, determinar la impedancia de entrada.
Solución:
Ulaby 6ª P 2.27


 )
20
40
( j
ZL
)
tan(
)
tan(
0
0
0




L
L
in
jZ
Z
jZ
Z
Z
Z


 L
Z
0

z
 

,
0
Z
z




z
in
Z

 50
0
Z 

 )
20
40
( j
ZL
Hz
10
300 6


f
m
5
.
2


rad/m
2
10
3
10
300
2
2
8
6




 






c
f
vp
Línea en aire  c
vp 
- La impedancia de entrada vale:
- donde:






 )
20
40
(
)
tan(
)
tan(
0
0
0 j
Z
jZ
Z
jZ
Z
Z
Z L
L
L
in




5
5
.
2
2 

 


 (es una línea )
)
2
(
5 

27
0

0


- Veamos algunos casos particulares de la expresión para :
- Línea de media onda:
L
Z
0

z
 

,
0
Z
z
2

m





z
in
Z
,...
2
,
1
,
0
con
2

 m
m


- Luego
m
2
2




 
 m

L
Z
m
Z 
)
2
(
in 
- Entonces
¡ La impedancia de entrada es
igual a la impedancia de carga!
in
Z
28

- Línea de cuarto de onda:
L
Z
0

z
 

,
0
Z
z
4
)
1
2
(


 m




z
in
Z
,...
2
,
1
,
0
con
4
)
1
2
( 

 m
m


- Luego
2
1)
m
2
(
4
2
)
1
2
(




 


 m

L
Z
Z
Z
2
0
in )
4
( 

- Entonces
L
Z
Z
1
)
4
(
in 

- Normalizando
¡ La impedancia de entrada normalizada es
el inverso de la impedancia de carga normalizada!
- Una aplicación muy importante de la línea cuarto de onda es
la adaptación de impedancias. 29

Ejemplo 7: Una línea de impedancia esta terminada en una
carga de . Como consecuencia se producen reflexiones en la
carga. Para eliminar estas reflexiones (adaptar la carga a la línea)
se emplea un transformador como se indica en la figura.
Determinar la impedancia característica de dicho transformador.
Solución:
Ulaby 6ª Ex 2-10

 50
0
Z

100
L
Z
4

L
Z
0
Z
4

?
¿ t
Z
- La situación inicial (sin transformador) se muestra en la figura
- En este caso hay reflexión ya que
0
0
0





Z
Z
Z
Z
L
L
L
L
Z
0
Z
30

- Para eliminar la reflexión utilizamos un transformador como indica
el enunciado
L
Z
0
Z
4

?
¿ t
Z
in
Z
- El coef. de refl. en los terminales de la línea vale
0
0
Z
Z
Z
Z
in
in




- Para eliminar la reflexión debe verificarse 0
Z
Zin 
- Por otra parte, según sabemos
L
t
in
Z
Z
Z
2

- Por tanto




 7
.
70
100
50
0 L
t Z
Z
Z
0
2
Z
Z
Z
L
t

31

- Línea terminada en cortocircuito:
0
 

,
0
Z

in
Z
)
tan(
)
( 0
sc
in 
 
jZ
Z 
0

L
Z 1


L


ROE
)
sin(
2
)
( 0 
 
i
jV
V 
- Tensión en la línea:
)
cos(
2
)
( 0
0

 
Z
V i
I 
- Corriente en la línea:
- Impedancia:
2
0 
 
 
- Si  es inductiva
in
Z


 
 
2
- Si  es capacitiva
in
Z
32

- Línea terminada en circuito abierto:
0
 

,
0
Z

in
Z
)
cot(
)
( 0
oc
in 
 
jZ
Z 



L
Z 1


L


ROE
)
cos(
2
)
( 0 
 
i
V
V 
- Tensión en la línea:
)
sin(
2
)
( 0
0

 
Z
V i
j
I 
- Corriente en la línea:
- Impedancia:
2
0 
 
 
- Si  es capacitiva
in
Z


 
 
2
- Si  es inductiva
in
Z
33

- Ejemplo 8: Determinar la longitud física de una línea de transmisión
de 50 Ohm terminada en cortocircuito para que su impedancia de
entrada a la frecuencia de 2.25 GHz sea igual a la impedancia de un
condensador de 4 pF. La velocidad de fase en la línea vale 0.75c.
Solución:
Ulaby 6ª Ex 2-8
C
j
jZ


1
)
tan(
0 

C
Z
Z 
)
(
sc
in 
- Debe verificarse:
- luego
3537
0
1
)
tan(
0
.
C
Z






- de donde
- entonces










cuadrante)
(2º
rad
8
.
2
34
0
cuadrante)
(4º
rad
34
0
)
3537
0
arctan(


.
.
.

- Tomamos la solución del 2º cuadrante (la de longitud más corta)
cm
46
.
4
10
25
.
2
2
10
3
75
.
0
8
.
2
8
.
2
8
.
2
9
8












p
v

0

L
Z
 

,
0
Z
sc
in
Z

34

- Consideramos la unión de 2 líneas semiinfinitas de distinta impedancia:
0

z
 
1
1,
Z
z
i
i e
V
V 1
0



z
r
r e
V
V 1
0



z
t
t e
V
V 2
0



 
2
2 ,
Z
- Cuando la onda incidente “ve” un cambio de impedancia se produce
una onda reflejada y otra transmitida
- Reflexión y transmisión en la unión de dos líneas de transmisión:
- Una onda incidente se propaga por la línea 1
- Queremos calcular los coefs. de reflexión y de transmisión
en la unión (z = 0)
i
r
V
V
0
0


i
t
V
V
T
0
0

 T
35

0

z
2
Z
z
i
i e
V
V 1
0



z
r
r e
V
V 1
0



 
1
1,
Z
 
2
2 ,
Z
z
t
t e
V
V 2
0



- El problema planteado no cambia si tomamos una longitud finita
de línea 2 y la terminamos en su impedancia característica.
- Tomamos una longitud nula de línea 2
0

z
2
Z
z
i
i e
V
V 1
0



z
r
r e
V
V 1
0



 
1
1,
Z
- Este problema ya lo estudiamos en el apartado 2.2
36

1
2
1
2
Z
Z
Z
Z




2
2
1
2
Z
Z
Z
T


0

z
2
Z
z
i
i e
V
V 1
0



z
r
r e
V
V 1
0



 
1
1,
Z
- El coef. de refl. vale:
- Para calcular el coef. de trans. tenemos en cuenta que r
i
t V
V
V 0
0
0 

- Dividiendo por resulta
i
V0 

1
T
- Es usual expresar en decibelios a través de cantidades
conocidas como Pérdidas de Retorno
(dB)
|
|
log
20
RL 
 -
- y Pérdidas de Inserción
(dB)
|
|
log
20
IL T
-

(Return Loss)
(Insertion Loss)
T
,

37

- Ejemplo 9: Calcular, en el circuito de la figura, las potencias incidente,
reflejada y transmitida a la línea de 100 Ohm.
Solución:
Ulaby 6ª P 2.44

50
V
2 
 50
1
Z 
100
2
Z
2
 

i
P
r
P t
P
- Comenzaremos calculando la potencia incidente. Para ello, consideramos
la siguiente situación

50
V
2

 50
1
Z


i
P

50
V
2 
 50
i
R
i
V


mW
10
50
1
2
1
2
1 2



i
i
i
R
V
P
- Entonces
38

- Teniendo en cuenta la línea no tiene pérdidas, la potencia
transmitida es la misma que la potencia disipada en la impedancia de
entrada vista desde los terminales del generador

50
V
2 in
Z
in
V


- En este caso 
100
in
Z
mW
9
.
8
100
)
3
4
(
2
1
2
1 2
2



in
in
t
R
V
P
V
3
4
150
100
2 

in
V
- El coef de refl vale
3
1
50
100
50
100
1
2
1
2








Z
Z
Z
Z
- La potencia reflejada resulta
mW
1.1
mW
10
9
1
|
| 2




 i
r P
P
2

39

50
V
2 
 50
1
Z 
100
2
Z
2
 

i
P
r
P t
P
in
Z

2.5 Desadaptación en la carga y en el generador (Pozar 2.6)
- Consideramos una línea sin pérdidas terminada en una impedancia de
carga ZL y alimentada mediante un generador de impedancia ZG
- En general L
G Z
Z
Z 
 0
)
tan(
)
tan(
0
0
0
in




L
L
jZ
Z
jZ
Z
Z
Z



- Como ya sabemos:
G
Z
G
V L
Z
0

z
 

,
0
Z L
V
L
I





z
in
V


in
I
L


in
Z
0
0
Z
Z
Z
Z
L
L
L




40

- Potencia media entregada a la carga:
  








 *
*
*
2
1
2
1
in
in
in
in
in
Z
V
V
I
V
P
G
G
G jX
R
Z 

in
in
in jX
R
Z 

in
g
in
g
in
Z
Z
Z
V
V


- Sustituyendo la expresión de :
in
V
 
2
2
|
|
|
|
2
1
in
g
in
g
Z
Z
Z
V
P



- Veamos varios casos:
G
V in
V


in
Z
G
Z
in
I
2
2
2
)
(
)
(
|
|
2
1
in
g
in
g
in
g
X
X
R
R
R
V
P




41

1. Impedancia de carga adaptada a la línea:
G
Z
G
V L
Z
0

z
 

,
0
Z L
V
L
I





z
in
V


in
I
L


in
Z
0
Z
ZL 
- En este caso:
0

L
0
Z
Zin 
0
2
0
2
|
|
|
|
2
1
Z
Z
Z
V
P
g
g


2. Línea adaptada el generador: g
in Z
Z 
- En este caso: 0


)
(
4
|
|
2
1
2
2
2
g
g
g
g
X
R
R
V
P


- Surge la siguiente cuestión: ¿cuál es la impedancia óptima para
que se produzca la máxima transferencia de potencia a la carga?
in
Z
42

- Según sabemos de la Teoría de Circuitos,
la respuesta es:
*
G
in Z
Z  !Adaptación Conjugada!
- La potencia máxima transferida a la carga vale
8
|
V
|
G
2
G
max
R
P 
(suponemos fija)
G
Z
G
V in
V


in
Z
G
Z
in
I
- Este resultado no implica que los coefs. de refl. y sean nulos
 

- Si es real este resultado coincide con el caso 2 de la hoja anterior
g
Z
- Siempre hay pérdida de potencia en el generador. La mayor
eficiencia en la transmisión se consigue haciendo lo más pequeña
posible
g
Z
- Comentarios:
43

- Ejemplo 10: Calcular la potencia entregada a la carga en el circuito de
la figura.
Solución:
Pozar 3ª 2.15
G
Z
G
V L
Z
0

z
0
Z



z

V,
2
15

g
V ,
75 

g
Z ,
)
40
60
( 

 j
ZL .
7
.
0 


,
75
0 

Z
 
2
2
|
|
|
|
2
1
in
g
in
g
Z
Z
Z
V
P



- Según hemos visto, la potencia entregada a la carga vale
)
tan(
)
tan(
0
0
0




L
L
in
jZ
Z
jZ
Z
Z
Z



- La impedancia de entrada en se calcula mediante la expresión:



z
44

- Los datos para calcular son: ,
75
0 

Z ,
)
40
60
( 

 j
ZL .
7
.
0 


in
Z
4
.
1
0.7
2
2






 

 












27.33)
48.19
(
)
4
.
1
tan(
)
40
60
(
75
)
4
.
1
tan(
75
40
60
75
)
tan(
)
tan(
0
0
0
in
j
j
j
j
j
jZ
Z
jZ
Z
Z
Z
L
L






- Entonces
- Luego
  W
0.68
|
33
.
27
19
.
48
75
|
19
.
48
15
|
|
|
|
2
1
2
2
2
2







j
Z
Z
Z
V
P
in
g
in
g
- Sustituyendo en la expresión de la potencia
- La máxima potencia entregable a la carga es (no lo piden)
W
75
.
0
8
|
V
|
g
2
g
max 

R
P
45

2.6 Respuesta transitoria (Ulaby 2-12)
- Hasta ahora hemos estudiado líneas de transmisión en el dominio de la
frecuencia
- En este apartado abordamos en estudio de la respuesta transitoria
- Para ello, consideramos un circuito formado por un generador de
continua conectado a una línea de transmisión sin pérdidas y terminada
en una impedancia de carga resistiva pura, tal como se muestra en
la figura.
- Supondremos que el interruptor se cierra en t = 0.
46

- Comenzaremos estudiando el circuito en el instante t = 0+
- Justo en el instante en el que se cierra el interruptor, la impedancia
vista desde los terminales del generador (z=0) es igual a la impedancia
característica de la línea.
- Por tanto, el circuito equivalente en t = 0+ es:
- Entonces, la tensión y la corriente, en la entrada de la línea, en t = 0+
valen:
0
1
Z
R
V
I
g
g



0
0
1
Z
R
Z
V
V
g
g



- En consecuencia, la señal comienza a propagarse con velocidad vp a lo
largo de la línea
47

- En un intervalo de tiempo T=l/vp
la señal habrá llegado hasta la
posición de la carga (z=l).
- Si, por ejemplo, hacemos una
foto en el instante t = T/2
observamos que la señal ha
recorrido la mitad de la línea
- En t = T, la señal llega a la carga
y se produce otra señal reflejada



 1
1 V
V L
0
0
Z
R
Z
R
L
L
L




- Después de la primera reflexión,
la tensión en la línea es la suma de
la onda incidente y la reflejada



 1
1 V
V
V
- de donde



 1
)
1
( V
V L
48

- En t = 2T, la señal llega a la
carga (z = l). Si , se
produce una nueva onda reflejada



 1
2 V
V g
0
0
Z
R
Z
R
g
g
g





1
V
0
Z
Rg 
- Por ejemplo, la tensión en la
línea en t = 3T/2 sería la
mostrada en la figura.
- La onda viaja hacia la carga,
sumándose a la señal que ya existe
en la línea





 2
1
1 V
V
V
V
- Por ejemplo, la tensión en la
línea en t = 5T/2 sería la
mostrada en la figura
- de donde

2
V






 1
)
1
( V
V g
L
L
49

- Este proceso de múltiples reflexiones continua indefinidamente
- Después de mucho tiempo (t  inf) se alcanza el estado estacionario
- La tensión en la línea en el estado estacionario vale
...
3
3
2
2
1
1 





 





 V
V
V
V
V
V
V
- Escribiendo esta expresión en función de tensión incidente 
1
V
































1
3
3
2
2
1
2
3
2
2
2
...)
1
)(
1
(
...)
1
(
V
V
V
g
L
g
L
g
L
L
g
L
g
L
g
L
g
L
L
- El segundo paréntesis es una serie geométrica cuya suma vale
1
1
g
L


- Entonces







 1
1
1
V
V
g
L
L
50

- Sustituyendo las expresiones de , , , y simplificando, resulta

1
V L
 g

L
g
L
g
R
R
R
V
V



- Esta expresión representa la tensión en estado estacionario que,
como cabe esperar, coincide con el resultado obtenido en un análisis
de DC en el que la línea se sustituye por una conexión ideal.
- La corriente en estado estacionario vale
L
g
g
L R
R
V
R
V
I


 

51

Diagramas espacio-tiempo
- En general, resulta difícil calcular la tensión y/o corriente en un punto
de la línea debido a las múltiples reflexiones que se producen
- Esta tarea se simplifica considerablemente mediante el uso de
representaciones gráficas de tipo espacio-tiempo
- Un diagrama espacio-tiempo consta de:
- Un eje horizontal que se utiliza para representar la posición a lo
largo de la línea
- Un eje vertical que representa el tiempo
- El diagrama consiste en una línea en zigzag que indica la evolución de
la onda de tensión (o corriente) en la línea
- En z = 0 y z = l aparecen indicados los coefs. de refl. en el generador
y en la carga, respectivamente.
52

- La primera recta (del zigzag) indica que la onda comienza a
propagarse hacia z > 0 en z = t = 0, llegando a la carga (z = l) en t = T.

1
V
- La segunda recta indica que la onda reflejada se propaga hacia z < 0
llegando al generador en t = 2T y así sucesivamente
- En cada reflexión se multiplica por
el coef. de refl. correspondiente
- Este diagrama permite calcular
la tensión total en un punto y en
un instante determinados
- Así, para calcular V(z1,t1) hacemos
lo siguiente:
- se traza una vertical en z = z1,
desde t = 0 hasta t = t1
- se suman todas las ondas que
corten a la vertical trazada
- Por ejemplo









 1
2
)
1
(
)
4
,
4
( V
T
V L
g
L
g
L
 53

- La variación temporal de la tensión en una posición específica z1 de
la línea puede determinarse dibujando los valores de V(z1,t) obtenidos
al recorrer la línea vertical z = z1 desde t=0 hasta el instante deseado
- En la figura se muestra la tensión en z = l/4
54

- Ejemplo 10: El circuito de la figura se excita con un pulso de tensión
rectangular de altura 5 V y de anchura 1 ns. Calcular la forma de
onda de la tensión en los terminales de la carga sabiendo que la
línea de transmisión tiene 0.6 m de longitud y la velocidad de fase
es c.
Solución:
Ulaby 6ª Ex 2.15
- Trataremos el pulso como la suma de 2 funciones salto
0
ns
1
V
5

V
5

V
5

0 ns
1
- Debemos dibujar el diagrama espacio-tiempo incluyendo las 2
funciones salto. 55

- Antes hay que calcular los parámetros necesarios:
- Tiempo necesario para recorrer la línea:
ns
2
10
3
6
.
0
8




c
T

- Coefs. de refl.:
0.5
50
150
50
150
0
0








Z
R
Z
R
L
L
L
6
.
0
50
5
12
50
5
12
0
0









.
.
Z
R
Z
R
g
g
g
- Tensión inicial:
V
4
50
5
.
12
50
5
0
0
1 






Z
R
Z
V
V
g
g
(para el escalón positivo)
- Para el escalón negativo será -4V
56

- Se obtiene el siguiente diagrama
espacio temporal
- Con la información de este diagrama
se puede obtener la representación
de la tensión en la carga que se
muestra abajo
57

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