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- 1. 109 Aplicaciones de las Leyes de Newton Movimiento circular uniforme En una trayectoria circular de radio r con velocidad uniforme v, una partícula experimenta una aceleración que tiene una magnitud dada por 2 r v = r a (0.1) Debido a que el vector velocidad v cambia su dirección continuamente durante el movimiento, el vector aceleración ra se dirige hacia el centro del círculo, por lo cual recibe el nombre de aceleración centrípeta. Además, ra siempre es perpendicular a v. Fuerzas centrales Considere una bola de masa m unida a una cuerda de longitud r que da vueltas en una trayectoria circular horizontal sobre la parte superior de una mesa, como se muestra en la figura 1. Figura 1. Supóngase que la bola se mueve con rapidez constante y que tiende a mantener su movimiento en línea recta, sin embargo, la cuerda evita ese movimiento al ejercer una fuerza sobre la bola haciendo que siga una trayectoria circular. Esta fuerza, dirigida a través de la cuerda hacia el centro del círculo, es un ejemplo de fuerza central. Si aplicamos la segunda ley de Newton a lo largo de la dirección radial, se encuentra que la fuerza central es
- 2. 110 2 r r v F = m = m r a (0.2) De la misma manera que la aceleración centrípeta, la fuerza central actúa hacia el centro de la trayectoria circular que sigue la partícula. Debido a que actúan hacia el centro de rotación, las fuerzas centrales producen un cambio en la dirección de la velocidad. Estas fuerzas no son diferentes a las otras que hemos encontrado. El término central se utiliza simplemente para indicar que la fuerza está dirigida hacia el centro de un círculo. En el caso de una bola que gira en el extremo de una cuerda, la fuerza ejercida por ésta sobre la bola es la fuerza central. Para un satélite en una órbita circular alrededor de la Tierra, la fuerza central es la fuerza de gravedad. La fuerza central que actúa sobre un automóvil que recorre una curva en un camino plano es la fuerza de fricción entre las llantas y el pavimento, etcétera. En general, un cuerpo puede moverse en una trayectoria circular bajo la influencia de fuerzas, como la fricción, la fuerza gravitacional o una combinación de fuerzas. Si la fuerza central que actúa sobre un objeto desaparece, el objeto ya no se moverá en su trayectoria circular; en vez de ello, se moverá a lo largo de la trayectoria recta tangente al círculo. Esta idea se ilustra en la figura 2 para el caso de una bola que da vueltas en un círculo en el extremo de una cuerda. Figura 2. Si la cuerda se rompiera en cierto instante, la bola se movería por la línea recta tangente al círculo.
- 3. 111 Se Consideraran algunos ejemplos de movimiento circular uniforme. En cada caso, se deben reconocer las fuerzas externas que obligan al cuerpo a moverse en su trayectoria circular. Velocidad contra tensión Una bola de masa m = 0.500 kg está unida al extremo de una cuerda cuya longitud es 1.50 m. La figura 2 muestra cómo gira la bola en un círculo horizontal. Si la cuerda puede soportar una tensión máxima de 50.0 N, ¿cuál es la velocidad máxima que la bola puede alcanzar antes de que la cuerda se rompa? Solución: Como en este caso la fuerza central es la tensión T ejercida por la cuerda sobre la bola, de la ecuación (1.2), se obtiene 2 v T = m r (0.3) Despejando la velocidad, se obtiene rT v = m (0.4) La rapidez máxima que la bola puede alcanzar corresponde a la tensión máxima. En consecuencia, se encuentra que max (50.0N)(1.50m) v = 0.500kg Es decir vmax = 12.2 m/s. Ejercicio Calcule la tensión en la cuerda si la rapidez de la bola es 5.00 m/s. Respuesta: 8.33 N. El péndulo cónico Un pequeño cuerpo de masa m está suspendido de una cuerda de longitud L El cuerpo gira en un círculo horizontal de radio r con rapidez constante v, como muestra la figura 3. (Puesto que la cuerda barre la superficie de un cono, el sistema se conoce como un péndulo cónico.) Encuentre la velocidad del cuerpo y el periodo de revolución, Tr, definido como el tiempo necesario para completar una revolución.
- 4. 112 Figura 3. Solución: En la figura 3 se muestra el diagrama de cuerpo libre para la masa m, donde la fuerza ejercida por la cuerda, T, se ha descompuesto en una componente vertical,Tcosθ , y una componente horizontal ,Tsenθ , que actúa hacia el centro de rotación. Puesto que el cuerpo no acelera en la dirección vertical, Tcosθ = mg Puesto que, en este ejemplo, la fuerza central es proporcionada por la componente Tsenθ , de la segunda ley de Newton se obtiene que 2 r v Tsenθ = m = m r a Al dividir la segunda ecuación entre la primera, se encuentra que 2 v tanθ = gr Pero, de acuerdo con la geometría del péndulo, se observa que r = Lsenθ y despejando v de la ecuación anterior, resulta que v = grtanθ = gLsenθtanθ En vista de que la bola recorre una distancia de 2πr (la circunferencia de la trayectoria circular) en un tiempo igual al periodo de revolución Tr, se obtiene que el periodo está dado por r 2πr 2πr T = = v grtanθ r r T = 2π gtanθ Pero r = Lsenθ, por lo que
- 5. 113 r Lcosθ T = 2π g Nótese que la expresión para Tr es independiente de la masa m. Si se toma L = 1.00 m y θ = 20.0°, se encuentra que el periodo del péndulo es Tr = 1.95 s. ¿Será posible tener un péndulo cónico con θ = 90o ? Curva con peralte Un ingeniero desea diseñar una rampa de salida curva para una carretera de manera tal que un auto no tenga que depender de la fricción para librar la curva sin patinar. Suponga que un auto ordinario recorre la curva con una velocidad de 30.0 mi/h (13.4 m/s) y el radio de la curva es 50.0 m. ¿Con qué ángulo debe peraltarse la curva? Figura 4. Vista de un auto que recorre una curva sobre un camino peraltado a un ángulo θ con la horizontal. Ignorando la fricción, la fuerza central es proporcionada por la componente horizontal de la fuerza normal. Razonamiento: Sobre un camino nivelado la fuerza central debe ser suministrada por la fuerza de fricción entre el auto y el suelo. Sin embargo, si el camino está peraltado a un ángulo θ, como se muestra en la figura 4, la fuerza normal, n, tiene una componente horizontal nsenθ , apuntando hacia el centro de la trayectoria circular. Supóngase que sólo la componente nsenθ proporciona la fuerza central. Por tanto, el ángulo de peralte que resulte será uno para el cual no se requiere fuerza de fricción. En otras palabras, un automóvil que se mueve a la velocidad correcta (13.4 m/s) puede recorrer la curva incluso sobre una superficie con hielo. Solución: De la segunda ley de Newton escrita para la dirección radial se obtiene 2 v nsenθ = m r Como el auto está en equilibrio en la dirección vertical, ncosθ = mg
- 6. 114 Dividiendo estas dos ecuaciones, se obtiene que 2 -1 v θ = tan gr = 20.1o . Si un auto recorre la curva a una velocidad menor que 13.4 mi/s. el conductor tendrá que confiar en la fricción para evitar deslizar hacia abajo por la pendiente. Un conductor que intente librar la curva a una velocidad mayor que 13.4 mi/s tendrá que depender de la fricción para evitar deslizar hacia arriba en el peralte. Ejercicio Escriba la segunda ley de Newton aplicada a la dirección radial para el auto en una situación en que una fuerza de fricción f se dirige hacia abajo de la pendiente del camino peraltado. Respuesta: 2 v nsenθ + fcosθ = m r . Rapidez máxima en curva plana. Un automóvil de 1,500 kg que se mueve sobre un camino horizontal plano recorre una curva cuyo radio es 35.0 m, como en la figura 5. Si el coeficiente de fricción estático entre las llantas y el pavimento seco es 0.5, encuentre la rapidez máxima que el automóvil puede tener para tomar la curva con éxito. Figura 5. La fuerza de fricción estática dirigida hacia el centro del arco mantiene al auto moviéndose en un círculo. Solución: En este caso, la fuerza central que permite al automóvil permanecer en su trayectoria circular es la fuerza de fricción estática fs. En consecuencia, de la ecuación (1.2) se obtiene que 2 s v f = m r (0.5)
- 7. 115 La rapidez máxima que el automóvil puede alcanzar alrededor de la curva corresponde al valor para el cual está a punto de patinar hacia afuera. En este punto, la fuerza de fricción tiene su valor máximo s maxf = µn Combinando estas dos últimas ecuaciones se obtiene que la velocidad máxima es s max max rf v = m (0.6) Como en este caso la fuerza normal es igual al peso( n = mg), se encuentra que fs max = (0.500) (1500 kg) (9.80 m/s2 ) = 7350 N. Al sustituir este valor en (1.6), se obtiene que el valor de la velocidad máxima es vmax = 13.1 m/s. Ejercicio. En un día húmedo el auto descrito en este ejemplo empieza a deslizarse en la curva cuando la velocidad es igual a 8.00 m/s. ¿Cuál es el coeficiente de fricción estático? Respuesta 0.187. Movimiento de satélites. Este ejemplo trata el problema de un satélite que se mueve en órbita circular alrededor de la Tierra. Para comprender mejor el problema se debe advertir primero que la fuerza gravitacional entre dos partículas con masas m1 y m2, separadas por una distancia r, es una fuerza de atracción que tiene una magnitud dada por 1 2 G 2 m m F = G r (0.7) donde G = 6.672 x 10-11 Nm2 /kg2 . Esta es la ley de gravitación de Newton. Considere ahora un satélite de masa m que se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra a velocidad constante v y a una altitud h sobre la superficie del planeta, como muestra la figura 6. Figura 6. Un satélite se mueve en una órbita circular con velocidad constante
- 8. 116 alrededor de la Tierra. La fuerza central es proporcionada por la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre el satélite. a) Determine la velocidad del satélite en función de G, h, RT (el radio de la Tierra) y MT (la masa de la Tierra). Solución: Puesto que la única fuerza externa sobre el satélite es la gravedad, la cual actúa hacia el centro de la Tierra, se tiene que T r 2 mM F = G r Combinando esto con la segunda ley de Newton se obtiene que 2 T 2 mM v G = m r r Al despejar la velocidad v y recordando que r = RT + h, se tiene T T T GM GM v = = r R + h b) Determine el periodo de revolución del satélite, Tr, alrededor de la Tierra. Solución: Puesto que el satélite recorre una distancia de 2πr (la circunferencia del círculo) en un tiempo Tr, con la ecuación anterior se encuentra que r T T 2πr 2πr T = = v GM R + h Es decir 3/2 r T 2π T = r GM Los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas aproximadamente circulares. Los radios de estas órbitas pueden calcularse de la ecuación anterior reemplazando MT por la masa del Sol. Obsérvese que si la ecuación anterior se eleva al cuadrado, se obtiene que 2 3 rT r∝ . El hecho de que el cuadrado del periodo sea proporcional al cubo del radio de la órbita se reconoció primero como una relación empírica basada en datos planetarios obtenidos por J. Kepler.
- 9. 117 Ejercicio Un satélite está en una órbita circular a 1,000 km de altura. El radio de la Tierra es RT = 6.37 x 106 m. Determine la velocidad del satélite y el periodo de su órbita. Respuesta: velocidad = 7.35 x 103 m/s; periodo = 6.31 x 103 s = 105 min. Movimiento circular no uniforme Si una partícula se mueve con velocidad variable en una trayectoria circular, además de la componente centrípeta de la aceleración, también hay una componente tangencial de magnitud d v dt . Puesto que la aceleración total de la partícula es r t= +a a a , la fuerza total ejercida sobre la partícula es r tF = F + F , como se muestra en la figura 7. Figura 7. El vector rF está dirigido hacia el centro del círculo y es responsable de la aceleración centrípeta. El vector Ft es responsable de la aceleración tangencial, la cual hace que la velocidad de la partícula cambie con el tiempo. El siguiente ejemplo demuestra este tipo de movimiento. Giro vertical Una pequeña esfera de masa m está unida al extremo de una cuerda de longitud R la cual gira en un círculo vertical alrededor de un punto fijo O, como se muestra en la figura 8a. Determinemos la tensión en la cuerda en cualquier instante cuando la velocidad de la esfera es v y la cuerda forma un ángulo θ con la vertical.
- 10. 118 Figura 8. Solución: Observemos que la velocidad no es uniforme puesto que hay una componente tangencial de aceleración que surge del peso de la esfera. A partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 8a se ve que las únicas fuerzas que actúan sobre la esfera son el peso, mg, y la fuerza de tensión ejercida por la cuerda, T. Después de esto se descompone mg en una componente tangencial, mgsenθ , y una componente radial, mgcosθ . Al aplicar la segunda ley de Newton a las fuerzas en la dirección tangencial, se obtiene t tF = mgsenθ = ma∑ Esta componente hace que v cambie en el tiempo, puesto que t = dv/dta . Si se aplica la segunda ley de Newton a las fuerzas en la dirección radial y se observa que tanto T como θ están dirigidas hacia O, se encuentra que 2 r mv F = T - mgcosθ = r ∑ 2 v T = m + gcosθ r Casos límite: En la parte más alta de la trayectoria, donde θ = 180°, se tiene cos 180° = -1, y la ecuación de la tensión se vuelve 2 arriba arriba v T = m - g R Este es el valor mínimo de T. En este punto t = 0a y, en consecuencia, la aceleración es radial y está dirigida hacia abajo, como en la figura 4b. En la
- 11. 119 parte inferior de la trayectoria, donde θ = 0°, en virtud de que cos 0° = 1, se ve que 2 abajo abajo v T = m + g R Este es el valor máximo de T. Otra vez, en este punto t = 0a y la aceleración es radial y está dirigida hacia arriba. Ejercicio ¿Con qué orientación del sistema sería más probable que la cuerda se rompiera si aumentara la velocidad promedio? Respuesta En la parte inferior de la trayectoria, donde T tiene su valor máximo. Movimiento en sistemas de referencia no inerciales Las leyes del movimiento de Newton sólo son válidas en un marco de referencia inercial. En esta sección analizamos cómo un observador en un marco de referencia no inercial (uno que está acelerado) intentaría aplicar la segunda ley de Newton. Si una partícula se mueve con una aceleración a respecto de un observador en un marco inercial, el observador inercial, con la segunda ley de Newton puede afirmar correctamente que F = ma∑ . En un sistema de referencia acelerado (observador no inercial) un observador que trate de aplicar la segunda ley de Newton para estudiar el movimiento de una partícula, debe introducir fuerzas ficticias para lograr que dicha ley trabaje en ese marco de referencia. Sin embargo, esas fuerzas ficticias no existen cuando el movimiento se observa en un marco inercial. Las fuerzas ficticias se emplean sólo en un marco acelerado, pero no actúan realmente sobre el cuerpo. (Por fuerzas reales entendemos la interacción del cuerpo con su ambiente.) Si las fuerzas ficticias se definen de manera apropiada en el marco acelerado, entonces la descripción del movimiento en éste será equivalente a la descripción de un observador inercial que sólo considera fuerzas reales. Para comprender el movimiento desde un sistema que es no inercial debido a una rotación, considere un automóvil que viaja por una autopista a gran velocidad y que se aproxima a una desviación curva, como se muestra en la figura 9.
- 12. 120 Figura 9. Cuando el auto toma la curva, en el momento de desviarse una persona sentada en el asiento del copiloto se desliza hacia la derecha sobre el asiento y golpea la puerta. En ese punto, la fuerza ejercida por la puerta evita que se salga del auto. ¿Qué es lo que ocasiona que el pasajero se desplace hacia la puerta? Una explicación popular, aunque inexacta, es que cierta fuerza misteriosa la empuja hacia afuera. (Ésta a menudo recibe el nombre de fuerza "centrífuga ", pero no debemos usar este término debido a que causa confusión.) El pasajero inventa esta fuerza ficticia con el fin de explicar lo que está ocurriendo en su marco de referencia acelerado. El conductor del auto también experimenta este efecto, pero se sostiene en el volante para no deslizarse en el asiento. El fenómeno se explica como sigue. Antes de que el auto entre a la curva, el pasajero se mueve en una trayectoria en línea recta. Conforme el carro entra a la desviación y recorre una trayectoria curva, el pasajero tiende a moverse a lo largo de su trayectoria original en línea recta. Esto concuerda con la primera ley de Newton: La tendencia natural de un cuerpo es continuar moviéndose en una línea recta. Sin embargo, si una fuerza central suficientemente grande (hacia el centro de curvatura) actúa sobre el pasajero, éste se moverá en una trayectoria curva junto con el auto. El origen de esta fuerza central es la fuerza de fricción entre el pasajero y su asiento en el vehículo. Si esta fuerza de fricción no es lo suficientemente grande, el pasajero se deslizará sobre el asiento cuando el auto libre la curva. En algún momento el pasajero se topará con la puerta, la cual brinda una fuerza central de suficiente magnitud para evitar que el pasajero se salga del auto. La causa de que el pasajero se deslice hacia la puerta no es ninguna fuerza misteriosa que apunta hacia afuera, se desliza porque no hay una fuerza central lo suficientemente grande para permitirle moverse a lo largo de la trayectoria circular que sigue el automóvil. En resumen, se debe tener mucho cuidado en distinguir fuerzas reales de fuerzas ficticias. Un observador en un auto que se mueve sobre una curva está en un sistema de referencia acelerado e inventa una fuerza ficticia para explicar por qué es lanzado hacia afuera. Sin embargo, un observador estacionario fuera del auto sólo considera las fuerzas reales sobre el pasajero. Para este
- 13. 121 observador, la misteriosa fuerza hacia afuera ¡no existe! La única fuerza externa real sobre el pasajero es la fuerza central (hacia adentro) debida a la fricción o a la fuerza normal ejercida por la puerta. Fuerzas ficticias en un sistema en rotación Un observador en un sistema en rotación representa un ejemplo de un observador no inercial. Supóngase un bloque de masa m que se encuentra sobre una mesa giratoria sin fricción horizontal y que se conecta a una cuerda, como muestra la figura 10. Figura 10. Un observador inercial vería que si el bloque gira de manera uniforme, entonces experimentará una aceleración de magnitud 2 v /r , donde v es la velocidad tangencial. El observador inercial concluye que esta aceleración centrípeta es proporcionada por la fuerza de tensión T ejercida por la cuerda, y escribe la segunda ley de Newton como 2 T = mv /r . Por su parte, un observador no inercial montado en la mesa giratoria vería que el bloque está en reposo. Por consiguiente, al aplicar la segunda ley de Newton introducirá una fuerza ficticia hacia afuera de magnitud 2 mv /r . Según el observador no inercial, dicha fuerza se equilibra con la fuerza ejercida por la cuerda y consecuentemente 2 T - mv /r = 0 . Se debe tener cuidado cuando se empleen fuerzas ficticias para describir fenómenos físicos. Recuerde que las fuerzas ficticias se emplean sólo en marcos de referencia no inerciales. Al resolver problemas es mejor usar un marco inercial. Fuerzas ficticias en el movimiento lineal En la figura 11 se muestra una pequeña esfera de masa m que cuelga de una cuerda amarrada al techo de un vagón. (Cuando el vagón no está acelerando, la cuerda está vertical, o θ = 0.) De acuerdo con el observador inercial en reposo (figura 11a).
- 14. 122 Figura 11. las fuerzas sobre la esfera son la tensión T ejercida por la cuerda y la de la gravedad mg. El observador inercial concluye que la aceleración de la esfera es la misma que la del vagón y que esta aceleración la causa la componente horizontal de T. Asimismo, la componente vertical de T equilibra el peso. Por consiguiente, el observador inercial escribe la segunda ley de Newton como T + mg = ma , que se descompone en las componentes xF = Tsenθ = ma∑ yF = Tcosθ - mg = 0∑ Así, al resolver las ecuaciones anteriores en forma simultánea, el observador inercial puede determinar la aceleración del carro por medio de la relación = gtanθa Es decir, la desviación de la cuerda de su posición vertical sirve como una medida de la aceleración del carro, y por tal razón un péndulo simple puede emplearse como un acelerómetro.
- 15. 123 Según el observador no inercial que viaja en el carro, figura 6b, la cuerda también forma un ángulo θ con la vertical, la esfera está en reposo y su aceleración es cero. En consecuencia, el observador no inercial introduce una fuerza ficticia, -ma , para equilibrar la componente horizontal de T y afirma que la fuerza neta sobre la esfera es ¡cero! En este sistema de referencia no inercial, la segunda ley de Newton en sus dos componentes nos da ' xF = Tsenθ - m = 0a∑ ' yF = Tcosθ - mg = 0∑ Estas expresiones son equivalentes a las que se obtienen del sistema inercial de referencia; por consiguiente, el observador no inercial obtiene los mismos resultados matemáticos que el observador inercial. Sin embargo, la interpretación física de la deflexión de la cuerda difiere en los dos marcos de referencia. Nótese que, en ambos sistemas de referencia, el péndulo no oscila. Movimiento en presencia de fuerzas resistivas Anteriormente describimos la interacción entre un objeto móvil y la superficie a lo largo de la cual se mueve. Se Ignoró por completo toda interacción entre el objeto y el medio a través del cual efectuaba su movimiento. Considérese ahora el efecto de un medio como un líquido o un gas. El medio ejerce una fuerza resistiva R sobre el objeto que se mueve a través de él. La magnitud de esta fuerza depende de factores como la velocidad del objeto, y se opone siempre al movimiento del objeto. Por lo general, la magnitud de la fuerza resistiva aumenta con la velocidad. Algunos ejemplos son la resistencia del aire asociada a vehículos en movimiento (llamada arrastre del aire) y las fuerzas viscosas que actúan sobre objetos que se mueven por un líquido. La fuerza resistiva puede tener una dependencia complicada de la velocidad. En los siguientes párrafos se consideran dos situaciones. Primero supóngase que la fuerza resistiva es proporcional a la velocidad; este es el caso para objetos que caen con baja velocidad por un líquido y para objetos muy pequeños, como partículas de polvo que se mueven a través del aire. En segundo lugar se tratarán situaciones en las cuales la fuerza resistiva es proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto; objetos grandes, como un paracaidista que se mueve a través del aire en caída libre, experimentan dichas fuerzas. Fuerza resistiva proporcional a la velocidad de un objeto Si suponemos que la fuerza resistiva que actúa sobre un objeto que se mueve por un medio viscoso es proporcional a la velocidad del objeto, en ese caso la fuerza resistiva puede expresarse como R = - bv
- 16. 124 donde v es la velocidad del objeto y, b es una constante que depende de las propiedades del medio y de la forma y dimensiones del objeto. Si éste es una esfera de radio r, entonces b es proporcional a r. Consideremos una esfera de masa m que se suelta desde el reposo en un líquido, como en la figura 12a. Figura 12. Supóngase que las únicas fuerzas que actúan sobre la esfera son la fuerza resistiva -bv, y el peso mg. Al aplicar la segunda ley de Newton al movimiento vertical, y al elegir la dirección hacia abajo positiva para el eje y, y observando que yF = mg - bv∑ , se obtiene dv mg - bv = m dt donde la aceleración apunta hacia abajo. Es decir, dv b = g - v dt m
- 17. 125 La ecuación anterior es una ecuación diferencial, y los métodos para resolver una ecuación de este tipo aún no nos son familiares. Sin embargo, observe que inicialmente, cuando v = 0, la fuerza resistiva es cero y la aceleración,dv/dt , es simplemente g. Cuando t aumenta, la fuerza resistiva se incrementa y la aceleración disminuye. En algún momento, la aceleración se vuelve cero cuando la fuerza resistiva se vuelve igual al peso. En este punto el objeto alcanza su velocidad terminal, vt , y de ahí en adelante se mueve con aceleración cero. La velocidad terminal puede obtenerse de la ecuación anterior considerando que = dv/dt = 0a . Esto produce tmg - bv = 0 o bien tv = mg/b La expresión para v que satisface la ecuación diferencial con v(0) = 0 es -bt/m -t/τ t mg v = (1 - e ) = v (1 - e ) b Esta función se grafica en la figura 12b. La constante de tiempo τ = m/b es el tiempo que tarda el objeto en alcanzar el 63.2% de su velocidad terminal. Esto puede verse cuando t = τ , la expresión anterior para la velocidad produce tv(τ) = 0.632v . Se puede comprobar que la expresión para la velocidad es una solución para la ecuación diferencial mediante una derivación directa, como se muestra a continuación -bt/m -bt/m -bt/mdv d mg mg mg d = - e = - e = ge dt dt b b b dt La sustitución de las expresiones para v y dv/dt en la ecuación diferencial muestra que la solución, en efecto, si la satisface. Resistencia del aire en altas velocidades En el caso de grandes objetos que se mueven a altas velocidades por el aire, Como aviones, paracaidistas y pelotas de béisbol, la fuerza resistiva es aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. En estas situaciones, la magnitud de la fuerza resistiva puede expresarse como 21 R = DρAv 2 donde ρ es la densidad del aire, A es el área de la sección transversal del objeto que cae medida en un plano perpendicular a su movimiento, y D es una cantidad empírica adimensional conocida como coeficiente de arrastre. Éste tiene un
- 18. 126 valor de aproximadamente 0.5 para objetos esféricos, aunque puede ser tan alto Como 2 para objetos de forma irregular. Considere un avión en vuelo que experimenta una de dichas fuerzas resistivas. La ecuación anterior muestra que la fuerza es proporcional a la densidad del aire. Puesto que la densidad del aire disminuye con el aumento en la altitud, la fuerza resistiva sobre un avión jet que vuela a una velocidad determinada también debe disminuir con las altitudes crecientes. Sin embargo, si a una altitud determinada se duplica la velocidad del avión, la fuerza resistiva aumenta por un factor de 4. Con el fin de mantener esta velocidad creciente, la fuerza de propulsión también debe aumentar por un factor de 4 y la potencia requerida (fuerza por velocidad) debe aumentarse por un factor de 8. Movimiento en caída libre Ahora se analiza el movimiento de un objeto en caída libre sujeta a la fuerza resistiva del aire hacia arriba cuya magnitud es 21 R = DρAv 2 . Supóngase que un objeto de masa m se suelta desde la posición y = 0, con velocidad inicial cero, como se muestra en la figura 13. Figura 13. El objeto experimenta dos fuerzas externas: la fuerza hacia abajo de la gravedad, mg, y la fuerza resistiva, R, hacia arriba. (Hay también una fuerza de flotación hacia arriba que se ignora.) Por tanto, la magnitud de la fuerza neta es 2 neta 1 F = mg - DρAv 2 Pero, de acuerdo con la segunda ley de Newton, netaF = ma . La aceleración del objeto que cae es entonces
- 19. 127 2DρA = g - v 2m a También en este caso es posible calcular la velocidad terminal, vt usando el hecho de que cuando el peso es balanceado por la fuerza resistiva, la fuerza neta es cero y, por lo tanto, la aceleración es cero. Haciendo = 0a en la ecuación anterior se obtiene 2 t DρA g - v = 0 2m Es decir, la velocidad terminal esta dada por t 2mg v = DρA Con esta expresión podemos determinar cómo la velocidad terminal depende de las dimensiones del objeto. Suponga que el objeto es una esfera de radio r. En este caso, 2 A r∝ y 3 m r∝ (puesto que la masa es proporcional al volumen). En consecuencia tv r∝ . La siguiente tabla registra las velocidades terminales de varios objetos que caen a través del aire. Velocidad terminal para objetos que caen en el aire Objeto Masa(kg) Área de la superficie (m2 ) tv (m/s) Paracaidista Bola de béisbol Bola de golf Granizo Gota de lluvia 75 0.145 0.046 4.8 x 10-4 3.4 x 10-5 0.70 4.2 x 10-3 1.4 x 10-3 7.9 x 10-5 1.3 x 10-5 60 43 44 14 9.0
- 20. 128 Problemas de aplicación de las leyes de Newton Movimiento circular uniforme 1. Un carro de juguete que se mueve con rapidez constante completa una vuelta alrededor de una pista circular (una distancia de 200 m) en 25.0 s. (a) ¿cuál es la rapidez promedio? (b) Si la masa del auto es de 1.50 kg, ¿cuál es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un circulo? Solución: (a) rapidez promedio = 200/25 = 8 m/s (b) 2 2 v 8 F = m = (1.50) = 3 N r 200/2(3.1416) 2. En un acelerador de partículas (ciclotrón), un deuterón (de masa atómica 2 u) alcanza una velocidad final de 10% la velocidad de la luz mientras se mueve en una trayectoria circular de 0.48 m de radio. El deuterón se mantiene en la trayectoria circular por medio de una fuerza magnética. ¿Qué magnitud debe tener la fuerza? Solución: 2 7 2 23 -9v (3 10 ) F = m = (2/(6.02 x 10 ) ) = 6.2 x 10 N r 0.48 × 3. En un átomo de hidrogeno el electrón en orbita alrededor del protón experimenta una fuerza atractiva de aproximadamente 8.20 X I0-8 N. Si el radio de la orbita es 5.30 X 10-11 m, ¿cuál es la frecuencia en revoluciones por segundo? Solución: 2 2 e e 2 e v (2πrf) F F = m = m f = r r 4π m r ⇒ f = 4.3 X 1014 rev/s 4. Una masa de 3.00 kg unida a una cuerda ligera gira sobre una mesa sin fricción horizontal. El radio del circulo es 0.800 m y la cuerda puede soportar una masa de 25.0 kg antes de romperse. ¿Qué intervalo de velocidades puede tener la masa antes de que se rompa la cuerda? Solución: 0 < v < vmax 2 max v Mgr F = m = Mg v = r m ⇒
- 21. 129 vmax = [(25)(9.8)(0.8)/3]1/2 = 8.08 m/s 5. Un satélite de 300 kg de masa se encuentra en orbita circular alrededor de la Tierra a una altitud igual al radio medio de la Tierra. Encuentre: (a) la velocidad orbital del satélite, (b) el periodo de su revolución, y (c) la fuerza gravitacional que actúa sobre él. Solución: (a) Velocidad: 6 3 v = rg = 2 (6.37 10 ) 9.8 = 11.2×10 m/s× × × (b) Periodo: 6 3 2πr 4 3.1416 (6.37 10 ) T = = 7147 s = 1.98 horas v 11.2 10 × × × = × (c) Fuerza: 24 11 9 2 6 mM 300×5.98×10 F = G 6.67 10 = 9.4×10 N r 12.74×10 − = × 6. Mientras dos astronautas estaban en la superficie de la Luna, un tercer astronauta la orbitaba. Suponga que la orbita es circular y se encuentra l00 km sobre la superficie de la Luna. Si la masa y el radio de la Luna son 7.40 x 1022 kg y 1.70 x 106 m, respectivamente, determine: (a) la aceleración del astronauta en orbita, (b) su velocidad orbital, y (c) el periodo de la orbita. 7. Una caja de huevos se localiza en la parte media de la plataforma plana de una camioneta en el momento que ésta circula por una curva no peraltada. La curva puede considerarse como un arco de un círculo de 35 m de radio. Si el coeficiente de fricción estático entre la caja y la camioneta es 0.60, ¿cuál debe ser la velocidad máxima del vehículo para evitar que la caja se deslice? 8. Una patinadora de hielo de 55 kg se mueve a 4.0 m/s cuando agarra el extremo suelto de una cuerda cuyo otro extremo esta amarrado a un poste. Después se mueve en un círculo de 0.80 m de radio alrededor del poste. (a) Determine la fuerza ejercida por la cuerda sobre sus brazos. (b) Compare esta fuerza con su peso. 9. Un disco de aire de 0.250 kg de masa esta amarrado a una cuerda y se deja que gire en un círculo de 1.00 m de radio sobre una mesa sin fricción horizontal. El otro extremo de la cuerda pasa por un agujero en el centro de la mesa y tiene una masa de 1.00 kg unida a él. La masa suspendida se mantiene en equilibrio mientras el disco gira. (a) ¿Cuál es la tensión en la cuerda? (b) ¿cuál es la fuerza central que actúa sobre el disco? (c) ¿cuál el velocidad del disco? 10. La velocidad de la punta de la manecilla de los minutos en el reloj de un pueblo es 1.75 x 10-8 m/s. (a) ¿Cuál es la velocidad de la punta de la manecilla de los segundos si tiene la misma longitud? (b) ¿cuál es la aceleración centrípeta de la punta de la manecilla de los segundos? Solución:
- 22. 130 (a) Velocidad segundero: s s 2πr v = T . Velocidad minutero: m m 2πr v = T . Pero m sT = 60T . Entonces s m s v2πr v = = 60T 60 . Luego, vs = 60 x 1.75 x 10-8 = 1.05 x 10-6 m/s. (b) El radio -6 -6sv T (1.05×10 )(60) r = = = 10×10 m 2π 2×3.1416 . Aceleración: 2 -6 2 -6 2s -6 v (1.05×10 ) = = = 0.11 10 m/s r 10×10 a × . 11. Una moneda situada a 30.0 cm del centro de una mesa giratoria horizontal que esta en rotación se desliza cuando su velocidad es 50.0 cm/s. (a) ¿Qué origina la fuerza central cuando la moneda está estacionaria en relación con la mesa giratoria? (b) ¿cuál es el coeficiente de fricción estático entre la moneda y la mesa giratoria? 12. Considere un péndulo cónico con una plomada de 80.0 kg en un alambre de 10.0 m formando un ángulo de 5.00° con la vertical (Véase la figura). Determine, (a) las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el alambre sobre el péndulo y (b) la aceleración radial de la plomada. Movimiento circular no uniforme 13. Un carro que viaja sobre un camino recto a 9.00 m/s pasa sobre un montecillo en el camino. Este puede considerarse como un arco de un círculo de 11.0 m de radio. (a) ¿Cuál es el peso aparente de una mujer de 600 N en el carro cuando ella pasa sobre el montecillo? (b) ¿cuál debe ser la velocidad del carro sobre el montecillo si ella no tiene peso en ese momento? (Es decir, su peso aparente es cero). 14. En el modelo del átomo de hidrogeno de Bohr, la velocidad del electrón es aproximadamente 2.2 x 106 m/s. Encuentre: (a) la fuerza central que actúa sobre el electrón cuando este gira en una orbita circular de radio 0.53 x 10-10 m, y (b) la aceleración centrípeta del electrón. 15. Un halcón vuela en un arco horizontal de 12.0 m de radio a una velocidad constante de 4.00 m/s. (a) Encuentre su aceleración centrípeta. (b) El halcón continúa volando a lo largo del mismo arco horizontal pero aumenta su velocidad
- 23. 131 a la tasa de 1.20 m/s2 . Encuentre la aceleración (magnitud y dirección) bajo estas condiciones. 16. Un niño de 40.0 kg se mece en un columpio soportado por dos cadenas, cada una de 3.00 m de largo. Si la tensión de cada cadena en el punto más bajo es de 350 N, encuentre: (a) la velocidad del niño en el punto más bajo, y (b) la fuerza del asiento sobre el niño en ese mismo punto. (Ignore la masa del asiento.) 17. Un objeto de 0.40 kg se balancea en una trayectoria circular en una cuerda de 0.50 m de largo. Si se mantiene una velocidad constante de 4.0 m/s, ¿cuál es la tensión en la cuerda cuando el objeto esta en el punto mas alto del círculo? 18. Un carro que viaja inicialmente hacia el este vira hacia el norte en una trayectoria circular a velocidad uniforme, como se muestra en la figura. La longitud del arco ABC es 235 m y el carro completa la vuelta en 36.0 s. (a) ¿cuál es la aceleración cuando el carro se encuentra en B localizado a un ángulo de 35.0°? Exprese su respuesta en función de los vectores unitarios i y j. Determine, (b) la velocidad promedio del carro y (c) su aceleración promedio durante el intervalo de 36.0 s. 19. Un carro de montaña rusa tiene una masa de 500 kg cuando esta totalmente lleno de pasajeros (Véase la siguiente figura). (a) Si el vehículo tiene una velocidad de 20.0 m/s en el punto A, ¿cuál es la fuerza ejercida por la pista sobre el vehículo en este punto? (b) ¿cuál es la velocidad máxima que el vehículo puede alcanzar en B y continuar sobre la pista?
- 24. 132 Movimiento en sistemas de referencia acelerados 20. Un carrusel completa una revolución en 12.0 s. Si un niño de 45.0 kg está sentado sobre el piso horizontal del carrusel a 3.00 m del centro, encuentre (a) la aceleración del niño y (b) la fuerza horizontal de fricción que actúa sobre él. (c) ¿Qué coeficiente mínimo de fricción estático es necesario para evitar que el niño se deslice? 21. La Tierra gira alrededor de su eje en un periodo de 24 h. Imagine que la velocidad rotacional puede incrementarse. Si un objeto en el ecuador va a tener peso aparente igual a cero, (a) ¿cuál debe ser el nuevo período? (b) ¿En que factor se incrementaría la velocidad del objeto cuando el planeta este girando a la velocidad más alta? (Sugerencia: Vea el problema 39 y note que el peso aparente del objeto se vuelve cero cuando la fuerza normal ejercida sobre el es cero. También, que la distancia recorrida durante un periodo de rotación es 2πR, donde R es el radio de la Tierra.) 22. Un helicóptero contra incendios transporta un recipiente de 620 kg en el extremo de un cable de 20.0 m de largo, como se muestra en la figura. Cuando el helicóptero vuela hacia un incendio a una velocidad constante de 40.0 m/s, el cable forma un ángulo de 40.0° respecto de la vertical. El recipiente presenta un área de sección transversal de 3.80 m2 en un plano perpendicular al aire que pasa por él. Determine el coeficiente de arrastre suponiendo que la fuerza resistiva es proporcional al cuadrado de la velocidad del recipiente.
- 25. 133 23. Una masa de 5.00 kg unida a una balanza de resorte descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, como se muestra en la figura. La balanza de resorte, unida al lado frontal del vagón, registra 18.0 N cuando el vagón está en movimiento. (a) Si la balanza de resorte marca cero cuando el vagón esta en reposo, determine la aceleración del vagón mientras esta en movimiento. (b) ¿cuál será la lectura de la balanza del resorte si el vagón se mueve con velocidad constante? (c) Describa las fuerzas sobre la masa según las observa alguien ubicado en el vagón y por alguien en reposo fuera de éste. 24. Una persona está sobre una balanza en un elevador. Las lecturas máxima y mínima de la balanza son 591 N y 391 N, respectivamente. Suponga que la magnitud de la aceleración es la misma cuando arranca y cuando se detiene, especifique: (a) el peso de la persona, (b) la masa de la persona, y (c) la aceleración del elevador. 25. Una plomada no cuelga exactamente a lo largo de una línea dirigida al centro de la rotación de la Tierra. ¿Cuánto se desvía la plomada de la línea radial a 35° latitud norte? Suponga que la Tierra es esférica. Movimiento en presencia de fuerzas resistivas 26. Suponga que la fuerza resistiva ejercida sobre un patinador de velocidad es f = -kmv2 , donde k es una constante y m es la masa del patinador. Muestre que, después de terminar la carrera, la velocidad del patinador como función del tiempo es v(t) = vf/(1 + ktvf) donde vf es la velocidad al cruzar la meta. 27. Un bote de motor apaga su maquina cuando su velocidad es 10.0 m/s y navega hasta detenerse. La ecuación que gobierna el movimiento del bote durante este período es v = v0e-ct , donde v es la velocidad en el tiempo t0, v0 es la velocidad inicial, y c es una constante. En t = 20.0 s la velocidad es 5.00 m/s. (a) Encuentre la constante c. (b) ¿cuál es la velocidad en t = 40.0 s? c) Diferenciando la expresión para v(t) demuestre que la aceleración del bote es proporcional a la velocidad en cualquier tiempo. 28. Un objeto de 9.00 kg que parte del reposo se mueve por un medio viscoso y experimenta una fuerza resistiva R = -bv, donde v es la velocidad del objeto. Si esta alcanza la mitad de la velocidad terminal en 5.54 s, (a) determine la
- 26. 134 velocidad terminal. (b) ¿En que tiempo la velocidad del objeto es igual a 3/4 de la velocidad terminal? (c) ¿Qué distancia recorre el objeto en los primeros 5.54 s de movimiento? 29. Debido a que la tierra gira en torno a su eje, un punto sobre el ecuador experimenta una aceleración centrípeta de 0.0340 m/s2 , en tanto que un punto en los polos no experimenta aceleración centrípeta. (a) Demuestre que en el ecuador la fuerza gravitacional sobre un objeto (el verdadero peso) debe exceder al peso aparente del objeto. (b) ¿cuál es el peso aparente en el ecuador y en los polos de una persona que tiene una masa de 75.0 kg? (Suponga que la Tierra es una esfera uniforme y considere g = 9.80 N/kg.) 30. Un pedazo de masilla se coloca en el punto A sobre el aro de una rueda que gira alrededor de un eje horizontal. La masilla se desprende del punto A cuando el diámetro a través de A es horizontal. Después se eleva verticalmente y regresa a A en el instante en que la rueda termina una revolución. (a) Encuentre la velocidad de un punto sobre el aro de la rueda en función de la aceleración de caída libre y del radio R de la rueda. (b) Si la masa de la masilla es m, ¿cuál es la magnitud de la fuerza que la mantiene en la rueda? 31. Una cuerda bajo una tensión de 50.0 N se usa para hacer girar una roca en un circulo horizontal de 2.50 m de radio a una velocidad de 20.4 m/s. La cuerda se jala hacia adentro y la velocidad de la roca aumenta. Cuando la cuerda tiene 1.00 m de longitud y la velocidad de la roca es de 51.0 m/s, la cuerda se revienta. ¿Cuál es la resistencia a la ruptura (en Newtons) de la cuerda? 32. La figura muestra un carro que recorre una curva peraltada. El radio de curvatura del camino es R, el ángulo de peralte es θ y el coeficiente de fricción estático es µ (a) Determine el intervalo de velocidades que el carro puede alcanzar sin deslizarse hacia arriba o hacia abajo del camino. (b) Determine el valor mínimo para µ de modo que la velocidad mínima sea cero. (c) ¿cuál es el intervalo de velocidades posible si R = 100 m, θ = 10° y µ = 0.10 (condiciones resbalosas)?
- 27. 135 33. Un avión a escala de 0.75 kg de masa vuela en un circulo horizontal en el extremo de un alambre de control de 60 m, con una velocidad de 35 m/s. Calcule la tensión en el alambre si este forma un ángulo constante de 20° con la horizontal. Las fuerzas ejercidas sobre el avión son la tensión hacia el centro del alambre de control, su propio peso y la sustentación aerodinámica, la cual actúa en 20° hacia adentro desde la vertical, como se muestra en la figura. 34. El juguete de un niño está compuesto de una pequeña cuña que tiene un ángulo agudo de vértice θ. El lado de la pendiente de la cuña no presenta fricción, y se hace girar la cuña a velocidad constante al rotar una barra que esta unida firmemente a ella en un extremo. Demuestre que, cuando la masa m asciende por la cuña una distancia L , la velocidad de la masa es v = gLsenθ . 35. El piloto de un avión ejecuta una pirueta de giro completo a velocidad constante en un plano vertical. La velocidad del avión es de 300mi/h y el radio del círculo es de 1 200 pies. (a) ¿Cuál es el peso aparente del piloto en el punto más bajo si su peso real es 160 Ib? (b) ¿cuál es su peso aparente en el punto mas alto? c) Describa cómo podría experimentar falta de peso el piloto si se variara tanto el radio como la velocidad. (Nota: Su peso aparente es igual a la fuerza que el asiento ejerce sobre su cuerpo.) 36. Para que un satélite se mueva en una orbita circular estable a velocidad constante, su aceleración centrípeta debe ser inversamente proporcional al cuadrado del radio r de la orbita. (a) Muestre que la velocidad tangencial de un satélite es proporcional a r-I/2 . (b) Muestre que el tiempo necesario para completar una orbita es proporcional a r3/2 .
- 28. 136 37. Una estudiante construye y calibra un acelerómetro con el cual determina la velocidad de su carro alrededor de cierta curva de una autopista. El acelerómetro es una plomada con un transportador que la estudiante une al techo del carro. Un amigo que viaja en el carro con ella observa que la plomada cuelga a un ángulo de 15.0° respecto de la vertical cuando el carro tiene una velocidad de 23.0 m/s. (a) ¿Cuál es la aceleración centrípeta del carro al recorrer la curva? (b) ¿Cuál es el radio de la curva? (c) ¿Cuál es la velocidad del carro si la desviación de la plomada es de 9.0° mientras recorre la misma curva? 38. Una moneda de 3.1 g descansa sobre un pequeño bloque de 20.0 g soportado por un disco giratorio. Si los coeficientes de fricción entre el bloque y el disco son 0.75 (estático) y 0.64 (cinético), en tanto que para la moneda y el bloque son 0.45 (cinético) y 0.52 (estático), ¿cuál es la velocidad máxima del disco en revoluciones por minuto sin que el bloque o la moneda se deslicen sobre el disco? 39. La figura muestra una rueda de la fortuna que gira cuatro veces cada minuto y tiene un diámetro de 18.0 m. (a) ¿cuál es la aceleración centrípeta de un pasajero? ¿Qué fuerza ejerce el asiento sobre un pasajero de 40.0 kg, (b) en el punto mas bajo del viaje, y (c) en el punto más alto? (d) ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza ejercida por el asiento sobre un viajero cuando éste se encuentra a la mitad entre los puntos más alto y mas bajo?
- 29. 137 40. Un juego de un parque de diversiones se compone de una plataforma circular giratoria de 8.00 m de diámetro desde la cual se suspenden asientos de 10.0 kg en el extremo de cadenas de 2.50 m sin masa. Cuando el sistema gira, las cadenas forman un ángulo θ = 28.0° con la vertical. (a) ¿Cuál es la velocidad de cada asiento? (b) Si un niño de 40 kg de masa ocupa un asiento, ¿cuál es la tensión en la cadena?