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- 2. INTRODUCION Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables ‘procesos de la vida real. En la Ingeniería Eléctrica podemos ver a las Ecuaciones Diferenciales en los cursos de circuitos Eléctricos, donde vemos circuitos RC, RL y RLC
- 3. MARCO TEORICO 1.LEY DE KIRCHHOFF: Elija los puntos 𝑎1, 𝑎2, … . . , 𝑎 𝑛 en el circuito y supóngase que la corriente fluye, de 𝑎1 a 𝑎𝑖+1, i = 1,2,…., n (𝑎 𝑛+1 = 𝑎1). Entonces: • 𝑣 𝑎1 𝑎2 + 𝑣 𝑎2 𝑎3 +. . . 𝑣 𝑎𝑛𝑎1 = 0 Donde
- 4. 2. RESISTOR: Cuando la corriente fluye por un segmento de circuito donde hay un resistor, se pierde mucha energía. La caída de voltaje a través de un resistor y la corriente que fluye por el son modelados por ley de Ohm. • LEY DE OHM : La caída de voltaje 𝑉𝑎𝑏 entre los extremos a y b de un resistor es proporcional a la corriente I que fluye por el resistor : • 𝑉𝑎𝑏 = 𝑅. 𝐼 , la constante R se conoce como resistencia del resistor.
- 5. 3. INDUCTOR: Una corriente eléctrica cambiante I(t) que pasa por un circuito crea un campo magnético cambiante que induce una caída de voltaje entre extremos del segmento ab. La caída de voltaje 𝑉𝑎𝑏 a través de un inductor (bobinas) esta modelado por la ley de Faraday. • LEY DE FARADAY: La caída de voltaje 𝑉𝑎𝑏 a traes de un inductor es proporcional a la tasa de cambio de la corriente: 𝑉𝑎𝑏 = 𝐿 𝑑 𝐼 𝑑 𝑡 La constante L se denomina la inductancia del inductor.
- 6. 4.CAPACITADOR: Un capacitador consta de dos placas separadas por un aislante como el aire. Si las terminales a y b del capacitor se conectan a una fuente de voltaje, se empezaran a acumular cargas de signo opuesto en las placas. Se habla de la carga total q (t) en el capacitador y obsérvese que si q (𝑡0) es la carga inicial, entonces: 𝒒 𝒕 = 1 𝑐 𝒒 𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 ≥ 𝒕 𝟎
- 7. APLICACION 1° Hallaremos el modelo para la carga y la corriente en un circuito RLC . • Las medidas básica de flujo de energía electica en un circuito son la CORRIENTE y el VOLTAJE.
- 8. •Si en el circuito adjunto la Ley de Kirchhoff tendremos: E (t) = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 + 𝑉𝐶 ………. (1) •Cuando la corriente fluye de A hasta B , el voltaje 𝑉𝑅 en el RESISTOR (por la ley de Ohm) es 𝑉𝑅 = R.I(t). •Cuando la corriente fluye de B a M, el voltaje 𝑉𝐿 el inductor es:
- 9. •Cuando la corriente fluye de M a N, el voltaje del capacitador es: 𝑉𝐶 = 1 𝐶 𝑞 𝑡0 (Ley de Coulomb) •Luego, al sustituir en (1), se obtiene: 𝐸 𝑡 = 𝑅. 𝐼 𝑡 + 𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑞 𝑡0 ………(2)
- 10. • Debemos dejar todo en función de un mismo factor ,sabiendo que la carga del capacitador q(t) esta relacionada con la corriente i(t) mediante: I = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 1° derivada: 𝑞´(𝑡) = 𝐼(𝑡) 2° derivada: 𝑞"(𝑡) = 𝐼´(𝑡) Al derivar respecto a t: 𝐸 𝑡 = 𝑅. 𝐼 𝑡 + 𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑞 𝑡0 ………(2)
- 11. • Al sustituir en (2) obtenemos: 𝐸 𝑡 = 𝑅𝑞´ 𝑡 + 𝐿𝑞"(𝑡) + 1 𝐶 𝑞(𝑡) Ordenando: 𝐸 𝑡 = 𝐿𝑞" 𝑡 + 𝑅𝑞´(𝑡) + 1 𝐶 𝑞(𝑡) 2° Si E (t) es derivable, el derivar en (2) respecto a t, obtenemos; 𝐸´ 𝑡 = 𝑅𝐼´ 𝑡 + 𝐿𝐼"(𝑡) + 1 𝐶 𝑞(𝑡) Ordenando: 𝐸´ 𝑡 = 𝐿𝐼" 𝑡 + 𝑅𝐼´(𝑡) + 1 𝐶 𝑞(𝑡)
- 12. CONCLUSIONES • Se interpretó el modelo matemático de la aplicación de circuitos eléctricos de un modo minucioso a partir de ecuaciones diferenciales. • Las ecuaciones diferenciales nos ayuda modelar funciones con aplicaciones en la ingeniería y en otras áreas más.