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- 1. PANDEO DE COLUMNAS 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐
- 2. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Estudiar el pandeo de columnas y la fórmula de Euler OBJETIVOS ESPECIFICOS describir que es una falla estructural y sus formas más comunes Mostrar casos de colapso de edificios por pandeo de columnas Definir que es pandeo de columnas Conocer que es carga critica y esfuerzo critico y sus tipos según el tipo de apoyo en sus extremos. Estudiar los límites de aplicación de la fórmula de Euler Conocer los modos de fallo: por pandeo y por el limite elástico. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 Pcr : Carga critica E : Modulo elástico I : Momento de Inercia Mínima Le : Longitud Efectiva
- 3. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 FALLA ESTRUCTURAL “Una falla de un elemento estructural ocurre cuando cesa de desempeñar su función en forma satisfactoria” “Falla es una diferencia inaceptable entre el desempeño esperado y observado” FORMAS COMUNES DE FALLAS Colapso: Cuando una construcción se rompe en partes. Una estructura colapsa porque sus resistencias internas no están ya disponibles. Porque ya no hay camino disponible para direccionar las cargas aplicadas hasta los apoyos. Una falla local desencadena el proceso Falla funcional: Ocurre cuando el uso normal de la estructura no puede continuar
- 4. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 CAUSAS DE UNA FALLA ESTRUCTURAL Sobrecarga imprevista Mal uso del edificio Cargas anormales como explosión accidental o acto terrorista Evento natural (Sismo o Viento) Defecto constructivo y/o error de diseño: Estructura que carece de adecuada Resistencia Continuidad Ductilidad Redundancia
- 5. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 COLAPSO DEEDIFICIOSPORFALLOSESTRUCTURALES (PANDEODECOLUMNAS) COLAPSO DEL EDIFICIO MALAGA-BOLIVIA Edificio de 43 viviendas, 27 garajes (2006- 2011) Proyecto inicial 8 pisos-proyecto final 10 pisos sobre la estructura de las columnas inicialmente construidas CAUSAS: Dimensionamiento de las columnas CONSECUENCIAS: Sobre esfuerzo en las columnas Pandeo de una de las columnas centrales Derrumbe del edificio 17 personas fallecidas
- 6. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 COLAPSO DEEDIFICIOSPORFALLOSESTRUCTURALES (PANDEODECOLUMNAS) COLAPSO DEL HOTEL NEW WORLD- SINGAPUR Edificio de 6 pisos y un sótano(1971-1986) CAUSAS DESCARTADAS: Material de construcción no era defectuosa Suelo pantanoso pero no era la causa CAUSA REAL El que realizo los cálculos estructurales olvido añadir el peso propio del edificio. El edificio se encontraba al limite de su resistencia durante 15 años CONSECUENCIAS: Grietas imperceptibles en las columnas Terminaron por ceder las columnas el año 1986 Derrumbe del edificio 33 personas fallecidas Arquitecto y autoridades procesadas
- 7. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 COLAPSO DEEDIFICIOSPORFALLOSESTRUCTURALES (PANDEODECOLUMNAS) COLAPSO DEL EDIFICIO SPACE DE MEDELLIN - COLOMBIA 6 edificios - 2013 CAUSAS El edificio (etapa 6) no cumplió con la norma vigente del momento Columnas mal dimensionadas para el nivel de las cargas que debía transmitir. Columnas deficientes. CONSECUENCIAS: Grietas que se evidencian 8 meses antes de la ocurrencia del colapso Falla concentrada en una de las columnas principales del edificio Colapso de la etapa 6 Un residente muerto Orden de demolición de todas las etapas
- 8. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 MARCO TEORICO: COLUMNA COLUMNA son elementos estructurales largos y esbeltos, cargados axialmente en compresión. Se considera una columna si su longitud es mas de diez veces su dimensión transversal menor PANDEO la deflexión lateral que se produce * Deflexión.- aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas.
- 9. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 Clasificación de columnas COLUMNAS LARGAS.- las columnas largas fallan por pandeo. COLUMNAS INTERMEDIAS.- fallan en combinación de pandeo y aplastamiento. *COLUMNAS CORTAS. - fallan por aplastamiento. Este tipo de falla se conoce como “falla de material”.
- 10. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 COLUMNA IDEAL Y COLUMNA REAL COLUMNA IDEAL La columna es simétrica y perfectamente recta La columna esta perfectamente centrada La carga es colineal con el eje de la columna Isotropia y homogeneidad del material las secciones se mantienen planas después de las deformaciones. COLUMNA REAL Suele tener siempre pequeñas imperfecciones de material y fabricación, asi como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga.
- 11. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 TIPOS DE APOYOS EN COLUMAS IDEALES APOYO - ARTICULADO - ARTICULADO COLUMNA FUNDAMENTAL APOYO - ARTICULADO - EMPOTRADO APOYO EMPOTRADO EMPOTRADO APOYO - EMPOTRADO MOVIL - EMPOTRADO APOYO - EMPOTRADO MOVIL - ARTICULADO APOYO - LIBRE - EMPOTRADO
- 12. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 CARGA CRITICA Es la carga axial máxima que puede soportar una columna cuando está al borde del pandeo, Pcr, como se muestra en la figura (a). . Cualquier carga adicional hará que la columna se pandee y, por lo tanto, sufra una deflexión lateral como se muestra en la figura (b). (Gere J., Goodno B.) Si P < Pcr, la columna está en equilibrio estable en la posición recta. Si P = Pcr, la columna está en equilibrio neutro en posición recta o en una posición ligeramente flexionada. Si P > Pct, la columna está en equilibrio inestable en la posición recta y se pandeará ante la más pequeña perturbación.
- 13. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 ANALISIS DE LA FORMULA DE EULER 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐 . 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝟐 Pcr : Carga critica E : Modulo elástico I : Momento de Inercia Mínima L : Longitud de la columna MOMENTO DE INERCIA MINIMA (Imin) Una columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es mas flexible La formula de Euler no depende de la resistencia del material sino de sus dimensiones y el modulo de elasticidad. Mientras mas larga es una columna mayor es su tendencia al pandeo
- 14. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 Longitud efectiva de pandeo 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐 . 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐 . 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 (𝑲. 𝑳) 𝟐 Pcr : Carga critica E : Modulo elástico I : Momento de Inercia Mínima Le : Longitud Efectiva Le = (K.L) Donde K : factor de fijación de los extremos L : Longitud de la columna K: factor de fijación de los extremo mide el grado de limitación contra rotación de cada extremos. Se dan dos valores de K, valor teórico y el valor que por lo general se usa en situaciones prácticas.
- 15. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐CARGACRITICASEGÚNTIPOSDEAPOYO 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐.𝑬.𝑰 𝒎𝒊𝒏 (𝟎.𝟕𝑳) 𝟐 → 𝑷 𝒄𝒓 = 𝟐. 𝟎𝟒. 𝝅 𝟐.𝑬.𝑰 𝒎𝒊𝒏 (𝑳) 𝟐 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐.𝑬.𝑰 𝒎𝒊𝒏 (𝟎.𝟓𝑳) 𝟐 → 𝑷 𝒄𝒓 = 𝟒. 𝝅 𝟐.𝑬.𝑰 𝒎𝒊𝒏 (𝑳) 𝟐 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐.𝑬.𝑰 𝒎𝒊𝒏 (𝟐.𝑳) 𝟐 → 𝑷 𝒄𝒓 = 𝟎. 𝟐𝟓. 𝝅 𝟐.𝑬.𝑰 𝒎𝒊𝒏 (𝑳) 𝟐 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐.𝑬.𝑰 𝒎𝒊𝒏 (𝟐.𝑳) 𝟐 → 𝑷 𝒄𝒓 = 𝟎. 𝟐𝟓. 𝝅 𝟐.𝑬.𝑰 𝒎𝒊𝒏 (𝑳) 𝟐
- 16. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 ESFUERZO CRITICO DE EULER 𝝈 𝒄𝒓 = 𝑷 𝒄𝒓 𝑨 = 𝝅2. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 2. 𝑨 σcr: Esfuerzo critico de Euler A: área de la sección transversal de la columna 𝑰 𝒎𝒊𝒏 = 𝑨. 𝒓 𝒎𝒊𝒏 𝟐 → 𝒓 𝒎𝒊𝒏 𝟐 = 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑨 rmin : Radio de giro mínimo Por teoría tenemos que 𝝈 𝒄𝒓 = 𝑷 𝒄𝒓 𝑨 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 (𝑳 𝒆) 𝟐. 𝑨 = 𝝅 𝟐 . 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑨 (𝑳 𝒆) 𝟐 𝝈 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐 . 𝑬. 𝒓 𝒎𝒊𝒏 𝟐 (𝑳 𝒆) 𝟐 = 𝝅 𝟐 . 𝑬 𝑳 𝒆 𝒓 𝒎𝒊𝒏 𝟐 Reemplazando en la ecuación tenemos: Relación de esbeltez (λ). Se llama “relación de esbeltez de la columna” a la relación que hay entre longitud efectiva de la columna y el radio de giro mínimo. 𝝀 = 𝑳 𝒆 𝒓 𝒎𝒊𝒏 Donde λ : esbeltez de una columna Entonces en la ecuación tenemos : 𝝈 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐 . 𝑬 𝝀 𝟐
- 17. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 LIMITEDE APLICACIÓNDELAFORMULADEEULER El Módulo Elástico todos los razonamientos presentados antes son aplicables siempre que el comportamiento del material permanezca linealmente elástico. Como la ecuación se basa en el comportamiento elástico de un material, la tensión critica no puede exceder el límite proporcional del material(también denominado límite de elasticidad (Fy), es la tensión máxima que un material elastoplástico puede soportar sin sufrir deformaciones). la hipérbola mostrada en línea de segmentos mas allá del limite proporcional no debe ser usado por sobrepasar el límite elástico del material. 𝝈 𝒄𝒓 = 𝝅2 . 𝑬 𝝀 2 Una columna con una esbeltez correspondiente al punto P, es la columna mas corta de un material dado que se pandeara elásticamente. Una columna mas corta, con una esbeltez mas pequeña, no se pandeara en el limite elastico del material(fy). El punto P corresponde a una esbeltez limite, la cual divide las columnas que se pandean elásticamente, denominadas columnas largas, y las columnas de baja esbeltez, que no presentan esencialmente fenomenos de pandeo y que reciben el nombre de “columnas intermedias y cortas”.
- 18. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 MODOS DE FALLO 1. Fallo por pandeo 2. Fallo por haber rebasado el límite elástico Esta expresión es llamada hipérbola de euler que data de 1744, la que fue largamente discutida porque no se observa una coincidencia. Debido a que los materiales y, sobre todo, las columnas cargadas de punta no cumplían con las condiciones hipotéticas establecidas por Euler, porque ni las columnas son de material totalmente homogéneas, ni son enteramente rectas, ni centradamente cargadas, ni ilimitadamente elásticas. Hiperbola de Euler
- 19. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐ejercicios
- 20. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐
- 21. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐
- 22. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐
- 23. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐
- 24. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐
- 25. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐
- 26. 𝑷 𝒄𝒓 = 𝝅 𝟐. 𝑬. 𝑰 𝒎𝒊𝒏 𝑳 𝒆 𝟐 GRACIAS