Texto m2

Diseño con Amplificadores Operacionales 1

Capítulo I.
Conceptos preliminares


Capítulo I: Conceptos Preliminares
I.1- Ley de Ohm

Suponemos al lector familiarizado con los conceptos de diferencia de
potencial o tensión eléctrica entre dos puntos de un circuito (voltios, V) y la
corriente eléctrica que produce (amperios, A) cuando entre esos dos puntos
existe algún medio conductor como puede ser una resistencia eléctrica. La
Ley de Ohm establece que la diferencia de potencial V entre los extremos
de una resistencia eléctrica R y la corriente I que circula de un extremo a
otro a través de esa resistencia, son directamente proporcionales. Una de las
formas que adopta la Ley de Ohm es:

V
R= (Ω ≡ V /A) (1)
I
forma ésta que permite definir la unidad de resistencia eléctrica, el Ohmio
(Ω) como el valor de aquella resistencia que cuando es atravesada por una
corriente de 1 A, presenta un voltaje entre sus extremos de exactamente 1
voltio. Como el tiempo de relajación dieléctrica [1] del material de la
resistencia (τd) suele ser inferior al picosegundo, podemos suponer que a
efectos prácticos, V e I aparecen simultáneamente en el circuito, siendo su
cociente el valor R. Una vez establecido lo anterior, no hay inconveniente
en suponer que uno es la causa de que aparezca el otro y esta forma de
pensar nos permite considerar unos cuadripolos elementales con una señal
de excitación a su entrada que hace aparecer instantáneamente una señal
respuesta a su salida.

I.2- Cuadripolos elementales

La forma de pensar que supone que la entrada se excita en corriente
(generador I) y que a consecuencia de ello se genera la tensión V entre los
extremos de la resistencia R (señal de salida), nos permite obtener la señal
respuesta a la salida mediante la Ley de Ohm, como el producto de una
función de transferencia del cuadripolo y de la señal excitación. Así
tenemos la expresión:

V (respuesta) = R (función de transferencia) × I (excitación) (2)

que corresponde a la visión circuital de un cuadripolo amplificador que se
presenta en la Figura 1.

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Figura 1

Nótese que en la Figura 1 atacamos el cuadripolo con el generador de
señales de corriente I, y medimos la salida con un osciloscopio o voltímetro
que se supone que no afecta a lo que debe medir (tensión V en este caso).
Ello significa que el medidor empleado para muestrear la tensión que haya
entre los terminales de salida, añadirá su propia resistencia RM en paralelo
con R (notación: RM||R), pero que tal efecto será despreciable, o en otras
palabras: que RM||R será esencialmente igual a R. Como la combinación de
RM y R en paralelo es:

R × RM
R RM = RM R = (3)
R + RM
diremos que el medidor o muestreador de tensión empleado a la salida casi
no perturba a la medida o al circuito sobre el que mide, si su resistencia RM
es mucho mayor que R, por ejemplo: RM=100R (condición RM>>R). En
nuestro lenguaje electrónico diríamos que ese medidor es de alta resistencia
de entrada y por tanto su efecto de carga sobre el circuito de salida es
despreciable. Nótese que muestrear bien la tensión de salida supone medir
la señal de salida V con los terminales de salida del cuadripolo en circuito
abierto (“al aire” o sin nada más). Esto exigirá que RM ∞ o que RM sea
incluída en el propio cuadripolo en paralelo con su salida. Este aspecto de
incluir los efectos de carga del muestreador de la señal de salida resultará
esencial a la hora de analizar circuitos con realimentación.
En cuanto a la utilidad del cuadripolo de la Figura 1 diremos que, si
tomamos un valor alto de resistencia (R=1 MΩ por ejemplo), podemos ver
dicho cuadripolo como un convertidor-amplificador I V de alta ganancia,
ya que una débil señal de entrada de algunos microamperios producirá una
señal de salida de algunos voltios. Esta conversión-amplificación mediante
resistencias resulta esencial en Electrónica para diseñar diversos tipos de
amplificadores. Respecto a éstos, hay cuatro tipos básicos según su función


de transferencia. En el caso de la Figura 1 la señal de salida es una tensión
y la señal de entrada es una corriente, por lo que la función de transferencia
salida/entrada tiene dimensiones de ohmios: V/A=Ω. Por ello diremos que
es un amplificador cuya ganancia GZ (o función de transferencia) es una
transresistencia. De forma análoga, un amplificador de transconductancia
tendrá una señal de entrada en tensión y la señal de salida que nos
interesará será una señal de corriente. Su ganancia GY tendrá dimensiones
inversas de ohmios: A/V=Ω-1, es decir mhos o Siemens, que es la unidad de
conductancia. Finalmente hay dos tipos más de amplificadores cuyas
ganancias son adimensionales: (V/V) o (A/A). Corresponden a ganancias
de tensión (GV) o de corriente (GI) y en ellos las señales de entrada y de
salida consideradas son del mismo tipo. Todo ello queda recogido en la
Tabla I y sólo añadiremos que, aunque otras ganancias son posibles (por
ejemplo ganancia en potencia) son fáciles de obtener a partir de las cuatro
anteriores y de la Ley de Ohm.

Tipo de ganancia Señal de entrada Señal de salida Símbolo y dimens.
De tensión Tensión (V) Tensión (V) GV (V/V)
Transresistencia Corriente (A) Tensión (V) GZ (V/A)
Transconductancia Tensión (V) Corriente (A) GY (A/V)
De corriente Corriente (A) Corriente (A) GI (A/A)

Tabla I

Volviendo a la Ley de Ohm, la forma de pensar que supone que la
entrada se excita en tensión (generador V) y que a consecuencia de ello
circula una corriente I a través de la resistencia R (señal de salida), nos
permite obtener la señal respuesta a la salida mediante la Ley de Ohm,
como el producto de la función de transferencia de otro cuadripolo y de la
señal excitación. Así tenemos la expresión:

I (respuesta) = 1/R (función de transferencia) × V (excitación) (4)

que corresponde a la visión circuital de un cuadripolo amplificador o
convertidor V I que se presenta en la Figura 2.
De forma dual al caso anterior atacamos la entrada del cuadripolo
con el generador de señales de tensión V y medimos o muestreamos la
salida con un medidor (amperímetro o sonda de corriente) que se supone
que no afecta a lo que debe medir (corriente I en este caso). Ello significa
que el medidor empleado para muestrear la corriente que sale y entra por
los terminales de salida (sale por uno y entra por el otro), añadirá su propia
resistencia RM en serie con R (notación: RM+R), pero que tal efecto será
despreciable, o en otras palabras: que RM+R será esencialmente igual a R.

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Como la combinación de RM y R en serie es simplemente su suma, diremos
que el medidor o muestreador de corriente empleado a la salida casi no
perturba a la medida o al circuito sobre el que mide, si su resistencia RM es
mucho menor que R, por ejemplo: RM=R/100 (condición RM<<R). En
nuestro lenguaje electrónico diremos que ese medidor es de baja resistencia
de entrada y por tanto su efecto de carga sobre el circuito de salida es
despreciable.

Figura 2

Obsérvese que muestrear bien la corriente de salida del cuadripolo
requiere medir la corriente de salida I con un buen cortocircuito en los
terminales de salida. Esto exigirá que RM 0, o que RM sea incluída en el
propio cuadripolo en serie con su salida. Al igual que dijimos con los
efectos de carga en paralelo al muestrear tensión de salida, el incluir los
efectos de carga en serie del muestreador de la corriente de salida resultará
esencial a la hora de analizar circuitos con realimentación.

I.3- Efectos de carga entre circuitos

Los efectos de carga que hemos comentado aparecen siempre en
Electrónica y parte de la formación de un buen ingeniero consiste en
conocerlos, saberlos evaluar e incluso modificarlos a su voluntad mediante
técnicas electrónicas tan poderosas como la Realimentación Negativa de
circuitos. Con vistas a esta técnica sobre todo resulta esencial entender qué
significa muestrear la señal de salida, sea una tensión o sea una corriente, y
saber cómo aparecen y a qué se deben los efectos de carga que tal muestreo
inevitablemente conlleva.
Para que sirva de ejemplo de efecto de carga y por la enorme utilidad
que presentará en capítulos posteriores vamos a pensar más detalladamente
sobre el circuito de la Figura 2 y la imposibilidad de tener un amperímetro
ideal (RM→0) que muestree perfectamente la corriente de salida I en dicha
figura. De hecho, es casi una práctica habitual en Electrónica el muestreo


de corrientes mediante una pequeña resistencia sensora RS sobre la que se
mide la caída de tensión VS para obtener el valor de la corriente que se
desea conocer como: I=VS/RS. Si RS es pequeña para perturbar poco el
muestreo de la corriente, la tensión recogida sobre RS será pequeña, pero en
Electrónica resulta bastante sencillo obtener una réplica de esa pequeña
tensión que sea mil veces mayor por ejemplo, para que sea leída por un por
voltímetro cómodamente.
Supongamos que para medir la corriente de salida I del cuadripolo de
la Figura 2, conectamos una pequeña resistencia RS en vez del cortocircuito
teórico de la Figura 2, como aparece en la Figura 3.

Figura 3

La corriente que circula ahora por R debido a la excitación V ya no
es exactamente I, sino un poco menor (I’) debido al efecto de carga de RS
en serie con R. En efecto, la nueva corriente I’ es:

V
I '= (5)
R + RS

que como vemos, difiere de la que venía dada por la ecuación (4), que es la
que circularía si nuestro muestreador de corriente fuera ideal (RS→0).
La diferencia entre I e I’ será pequeña si ocurre que: Rs<<R. Por
ejemplo, si R=1KΩ y RS=1Ω, el error sólo será del orden del 1 por mil o
del 0,1 %. Entonces, midiendo la pequeña tensión que aparece sobre RS
(VS) y aplicando la ley de Ohm (I’=VS/RS) obtendremos la corriente I’, que
es una muy buena aproximación de I en este caso (error debido a efectos de
carga de sólo el 0,1 %). Con valores numéricos, si V fuese de 1 voltio, la
corriente I para una R=1KΩ sería de 1mA en la Figura 2. Sin embargo, con
la resistencia sensora de corriente RS de la Figura 3, la corriente I’ será de
1V/1001Ω=0,999 mA y esta corriente, al atravesar RS generará en ella una
pequeña caída de tensión V’=RS×I’=0,999 mV, que muestreada o leída de

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forma adecuada nos permite medir I con una buena aproximación, de una
parte por mil en este caso.
Los efectos de carga no sólo aparecen en serie como nos ha ocurrido
al insertar RS para muestrear (o “sensar”) la corriente I. También aparecen
en paralelo como ya anticipamos al hablar de la Figura 1. De hecho, para
medir la corriente I de la Figura 2 tuvimos que intercalar RS, que introdujo
un efecto de carga serie haciendo que la corriente pasara a ser I’ (Figura 3).
Y ahora, para muestrear la pequeña tensión VS, conectaremos en paralelo
con ella el correspondiente voltímetro, cuya resistencia interna RM se
combinará en paralelo con RS haciendo que la corriente pase a ser I’’ en
lugar de I’. No obstante, dado el bajo valor de RS frente al de un voltímetro
normal, su combinación paralelo será esencialmente igual a RS, por lo que
I’’ e I’ sólo diferirán en unas pocas partes por millón. La nueva corriente I’’
vendrá dada por la siguiente expresión:

V
I ''= (6)
R + RS RM

expresión que será de utilidad en el siguiente apartado.

I.4- Divisores de tensión

Lo visto en el apartado anterior nos permite dibujar el circuito de la
Figura 4, denominado “divisor de tensión”, de gran utilidad en Electrónica:

Figura 4
Como vamos a ver enseguida, en este circuito la tensión de salida VO
es una fracción de la tensión de entrada VI. Tal fracción, menor que la
unidad, viene determinada por R1 y R2 con sólo respetar una condición: que
la corriente de salida sea despreciable frente a la corriente I que circula por
las resistencias R1 y R2. A veces, lo que se conecta a la salida posee cierta


resistencia que hace que la corriente de salida no sea despreciable. En este
caso hay que hacer que tal resistencia entre a formar parte del divisor de
tensión, poniéndola en paralelo con R2 lo que hace que cumpla la condición
mencionada. Si no hay RM (RM ∞) la tensión de salida se obtiene a partir
de la expresión (5) y de la Ley de Ohm. Si se incluye una resistencia RM de
la etapa siguiente en paralelo con R2, habrá que usar la expresión (6) en
lugar de la (5), pero ello no supone mayor inconveniente. Así tenemos:

R2
Vo = Vi × (7)
R1 + R2

sin RM y considerando el efecto de carga de la etapa siguiente (RM):

R2 RM
Vo = Vi × (8)
R1 + R2 RM

Las ecuaciones (7) y (8) pueden verse como la relación entre señales
respuesta y excitación (ambas en tensión) del cuadripolo de la Figura 4. La
función de transferencia VO/VI de este cuadripolo es adimensional (V/V) y
se puede leer como el cociente entre la resistencia sobre la que se muestrea
la tensión de salida y la suma de resistencias sobre las que se aplica la
tensión de entrada. De ahí el nombre de “divisor” de tensión (de entrada)
aplicado a la estructura. Con estos componentes resistivos, esta función de
transferencia está comprendida entre cero y uno según sea la relación entre
R1 y R2. Si R1<<R2, la función de transferencia tiende a la unidad y esta
condición suele buscarse a menudo en Electrónica para no perder ganancia
al acoplar etapas amplificadoras en cascada (una detrás de otra). En otros
casos se utilizan ventajosamente sus propiedades divisoras de tensión para
obtener muestras de tensión manejables a partir de otras mucho mayores.
Tal es el caso de una fuente de Muy Alta Tensión (MAT) donde haya que
mantener bajo control una tensión de salida de 10KV (10.000 voltios) por
ejemplo. En este caso podemos utilizar un divisor de relación 10.000/1
(R1=100 MΩ y R2=10 KΩ) para obtener una muestra de la tensión de salida
de tan sólo 1 voltio. Esta muestra (que es proporcional a la salida MAT) se
lleva a un comparador que posea una referencia interna de 1 voltio y actúe
de forma adecuada, según el diagrama de la Figura 5. Esta es una situación
razonable debida a un muestreo de tensión de la salida y lo que resultaría
extraño sería ver a un comparador manejando tensiones de miles de voltios
tanto en su tensión de referencia como en su sensor de tensión de salida.

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Figura 5

I.5- Circuitos equivalentes Thèvenin y Norton

Una vez presentados los efectos de carga de unos circuitos sobre
otros conviene recordar la forma en que un circuito electrónico “es visto”
por otro circuito electrónico que se conecte a dos de sus terminales. Ello
nos llevará a los denominados circuitos equivalentes, que pueden ser en
modo serie (equivalente de Thèvenin) o en modo paralelo (equivalente de
Norton). Aunque sea redundante decirlo, estos circuitos equivalentes son
funcionalmente iguales (equivalentes) al circuito original y su empleo de
forma sistemática puede ayudarnos a simplificar muchos análisis y
cálculos, por lo que no hay que dudar en usarlos tantas veces como sea
necesario. Hay que señalar que por ahora nos referimos a equivalentes para
circuitos electrónicos con dos terminales (dipolos) en lugar de cuadripolos
(con dos terminales de entrada y otros dos de salida). El manejo de
cuadripolos y sus equivalentes adecuados se verá más adelante. Como
punto de partida tomaremos del circuito de la Figura 1, encerrando en una
“caja negra” tanto el generador de corriente de entrada I como la resistencia
R y dejando fuera de esa caja negra los dos terminales de salida. Tenemos
por tanto lo que se muestra en la Figura 6.


Figura 6

Pensemos en un circuito o equipo electrónico conectado entre los
terminales A y B que pretende “saber” qué hay dentro de esa “caja negra”,
cuyo interior no puede “ver”. Para ello sólo puede llevar a cabo acciones
electrónicas tendentes a mostrar qué hay dentro y una de esas acciones es
medir la tensión que existe entre los terminales A y B “en vacío”, es decir:
sin que el voltímetro muestreador o medidor de esa tensión absorba
corriente de los terminales A y B (sin que introduzca efectos de carga). Si
hace eso, encontrará una tensión (Ley de Ohm) de valor: VVACÍO =I×R que
es la máxima tensión que puede encontrar de forma pasiva (sin inyectar
corriente por ejemplo). Otra operación electrónica útil que puede hacer es
ver qué corriente entrega el circuito en las mejores condiciones para ello, es
decir: sin que el amperímetro muestreador o medidor de esa corriente
presente resistencia alguna al paso de la misma (sin que introduzca efectos
de carga serie). Si hace esto, encontrará una corriente de valor: ICORTO =I,
que es la máxima corriente que el circuito de la figura 6 puede entregar
cuando toda la corriente I elija el camino fácil de salida con OΩ en vez de
circular a través de R, que requiere cierta tensión entre A y B.

Figura 7

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Con estos dos datos, el equipo conectado a los terminales A y B
puede proponer que el circuito que hay dentro de la “caja negra” es el de la
Figura 6: dos elementos en paralelo (generador de corriente y resistencia) o
puede proponer en el circuito serie de la Figura 7, que recuerda mucho al
circuito de la Figura 2 y que se comporta exactamente igual que el de la
Figura 6 de cara al exterior por sus terminales A y B.
En efecto, la tensión “en vacío” del circuito de la Figura 7 es I×R,
porque en R no cae tensión al no haber corriente de salida (terminales A y
B al aire). Del mismo modo, la máxima corriente de salida del circuito de
la figura 7 (terminales A y B cortocircuitados) es: ICORTO=VVACIO/R=I; que
es la misma que daba el circuito de la Figura 6. Por lo tanto, no es posible
distinguir uno de otro mediante medidas electrónicas realizadas en los
terminales A y B, por lo que son totalmente equivalentes entre sí, siendo el
de la Figura 6 el equivalente Norton o paralelo y el de la Figura 7 el
equivalente Thèvenin o serie.
Para mostrar cómo se obtienen y manejan estos equivalentes, nótese
que ambos poseen el mismo valor de R que es el cociente: VVACIO/ICORTO,
que además es el que se obtendría al medir la resistencia entre los
terminales A y B “cuando se anulase cualquier generador independiente”
como el generador I en la Figura 6. Esta es una “operación electrónica
sofisticada” que el equipo explorador conectado a los terminales A y B no
puede hacer (la caja negra está cerrada y él sólo puede acceder a los
terminales A y B). Por tanto, el equipo explorador deduce R del cociente:
R=VVACIO/ICORTO (es decir: hace dos medidas complementarias y aplica la
Ley de Ohm) y lo de “ver” la resistencia entre los terminales A y B
“cuando se anula cualquier generador independiente...”, no es necesario,
aunque ahorra tiempo a quien lo hace bien recordando cosas adicionales
como el cortocircuito que supone anular el generador de tensión o el
circuito abierto que aparece al anular uno de corriente.
Para asentar estas ideas emplearemos el divisor de tensión de la
Figura 8 con sus resistencias de 9 y 1 KΩ y su tensión de entrada de 12V.

Figura 8


Según la ecuación (7) este divisor presentará en vacío a su salida una
tensión que es la décima parte de los 12 voltios aplicados a su entrada.
Supongamos que deseamos saber cual será la tensión a la salida si, para
medirla, se conecta en ella un “mal” voltímetro con una resistencia interna
de sólo 50 KΩ. Aunque el problema puede resolverse directamente con la
ecuación (8) porque da la casualidad de que lo que queremos calcular es lo
que da aquella ecuación, vamos a mostrar que el uso de equivalentes resulta
igualmente sencillo. Obteniendo el equivalente Thèvenin del circuito de la
Figura 8, formaremos un nuevo divisor de tensión con la resistencia de ese
equivalente y la del voltímetro que se va a conectar. La tensión Thèvenin
(VVACIO) de los terminales de salida de la Figura 8 es: 1.2 voltios. La
corriente Norton o de cortocircuito (ICORTO) en esa figura se obtendrá al
hacer lo que se muestra en la Figura 9, lo que da: ICORTO=12V/9000Ω. Por
tanto, la resistencia del circuito equivalente (Thèvenin o Norton) será:
R=VVACIO/ICORTO, que es de 900Ω y es además la resistencia que se mediría
entre los terminales A y B de la Figura 8 (la combinación en paralelo de R
y RS) si se anulase VI.

Figura 9

Por tanto, el valor de tensión buscado se obtiene al resolver el divisor
de tensión de la Figura 10. Ello supone que el voltímetro de 50 KΩ medirá
una tensión que es V=1.2×(50000/50900)=1.18V.

Figura 10

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En otras palabras, la resistencia del circuito equivalente y la del
propio voltímetro han formado un atenuador o divisor de tensión que hace
que el voltímetro sólo mida el 98.23% de la tensión que había antes de
conectar el voltímetro. El resultado de la Figura 10 permite predecir que la
estructura del divisor de tensión se va a repetir en Electrónica con mucha
frecuencia, en especial al acoplar etapas en cascada, como ha sido el caso
(voltímetro de 50 KΩ que se conecta a un divisor previo y sobre el que
ejerce su correspondiente efecto de carga). De hecho, salvo cuando se
manejan circuitos realimentados, el cálculo de ganancias se reduce muchas
veces al manejo de divisores de tensión simples como el que acabamos de
ver (u otros algo más complejos, generalizados para impedancias en lugar
de resistencias), incrustados entre diversos generadores dependientes o
controlados que componen la cadena amplificadora. Así pues, sabiendo
resolver divisores de tensión y obtener circuitos equivalentes, se puede
obtener la ganancia de una gran cantidad de circuitos electrónicos y lo que
es más importante: se tiene una visión intuitiva de qué planteamientos hay
que hacer a fin de no formar atenuadores importantes en el camino de la
señal que se desea amplificar.

I.6- Superposición de efectos debidos a generadores

La equivalencia entre los equivalentes Thèvenin y Norton y la forma
de obtener R (cociente entre VVACIO e ICORTO) nos lleva a pensar si no puede
haber un equivalente que sea mezcla del Thèvenin y del Norton. La
respuesta es que sí, que no hay ningún problema en tomar el equivalente
Norton de la Figura 6 y hacer lo siguiente:

Figura 11

donde vemos que el generador de corriente I se ha partido en dos (50%
cada uno en este caso, pero cualquier otro reparto es factible) y luego se ha
obtenido el equivalente Thèvenin de R con una de las mitades del
generador de corriente. Así pues, los efectos en los terminales A y B de los
dos generadores del circuito final de la Figura 11, se obtienen mediante lo
que es la “superposición de efectos de generadores”, aunque a menudo se


denomina: “superposición de generadores”. Este es un término equívoco
porque dos generadores ideales de tensión por ejemplo, con diferentes
tensiones, no se pueden superponer en el sentido estricto de la palabra. Al
superponer sus terminales se tendría su conexión en paralelo, de forma que
un generador aniquilaría al otro. Lo que sí se pueden superponer son sus
efectos sobre una carga R, que es lo que vamos a ver a continuación.
La tensión total entre los puntos A y B del circuito final de la Figura
11 será la superposición de dos efectos: uno debido al generador de
corriente I/2 cuando el de tensión está anulado y el otro debido al generador
de tensión R×I/2 cuando el de corriente está anulado. Esa superposición
supone una suma en todo el sentido de la palabra: se consideran los signos
de los efectos si aquellos existen. Este es el caso y así tenemos lo que se
muestra en la Figura 12.

Figura 12

La Figura 12-a muestra que, cuando el generador de tensión está
anulado, el efecto debido al generador de corriente es una tensión entre los
terminales A y B de valor: I×R/2 y la Figura 12-b nos dice que, cuando el
generador de corriente está anulado, el efecto debido al generador de
tensión es otra tensión entre los terminales A y B de valor: I×R/2. Sumando
ambos efectos vemos que la tensión total entre los terminales A y B es I×R,
que es el valor de tensión entre los terminales A y B de la Figura 6 o de su
equivalente, la Figura 7. No insistiremos más sobre esta superposición de
efectos, pero advertimos al lector que su uso será frecuente en lo sucesivo,
casi tanto como el empleo de equivalentes Thèvenin o Norton, según nos
convenga. También resultará interesante recordar qué supone anular un
generador independiente de tensión o de corriente (cortocircuito o circuito
abierto respectivamente) como se ha hecho en la Figura 12.

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I.7- Generalización de la Ley de Ohm: Impedancias

Hemos ido viendo que una ley simple como la de Ohm, utilizada con
sentido común, nos da bastantes recursos para analizar circuitos (efectos de
carga, superposición, etc.). Sin embargo, el alcance de estos recursos sólo
se puede apreciar en su totalidad si se extienden a circuitos que además de
resistencias tengan otros componentes, y a señales de tensión y de corriente
que, en lugar de ser constantes en el tiempo, varíen de alguna forma a
medida que éste transcurre. Esos otros componentes lineales a los que nos
referimos son los condensadores (C) y las bobinas o inductancias (L). En
cuanto a la forma de variación temporal de las señales de tensión o de
corriente, la que estudiaremos es la variación senoidal o cosenoidal debido
a que cualquier otra forma de variación temporal de una magnitud física
(tensión, corriente, temperatura, etc) se puede “construir” como una suma
cuidadosa de señales senoidales y cosenoidales. Nos referimos a la síntesis
de Fourier de señales periódicas mediante sus armónicos, con la que
suponemos familiarizado al lector y si no es el caso, hay buenas referencias
sobre el tema [2] [3], que puede consultar. De esta forma, la respuesta de
un circuito a una señal excitación triangular periódica por ejemplo, será la
superposición de las respuestas a cada una de las señales senoidales que la
forman y esto no deja de ser una aplicación más de la superposición de
efectos de generadores que ya hemos recordado en este capítulo.
Aunque un estudio profundo nos llevaría a conceptos de autovalores,
autofunciones y aplicaciones entre espacios vectoriales, prescindiremos de
todo de ello y vamos a centrarnos en las señales senoidales y una de sus
interesantes propiedades que las hace únicas para su empleo en circuitos
Lineales e Invariantes en el Tiempo (LIT) como los que usaremos. Dicha
propiedad es que la señal respuesta de un circuito LIT a una señal senoidal
de excitación, también tiene la misma forma senoidal y, para fijar ideas,
podemos pensar que excitación y respuesta están relacionadas por una
función de transferencia como las expresiones (2) o (4). Por el contrario,
esto no sucederá en general con otras señales. Así por ejemplo, una señal
triangular aplicada a la entrada de un circuito LIT, no tiene por qué
conservar su forma cuando aparece a la salida, mientras que la senoidal
siempre lo hará. De ahí el interés de estas señales senoidales el tiempo.
Hasta ahora hemos considerado señales de tensión y de corriente que
eran constantes en el tiempo (de ahí su nombre con mayúsculas:V e I) y
como R también lo era, la relación entre la entrada y la salida del circuito
de la Figura 1 por ejemplo, era un simple número real que expresaba su
razón o cociente. Si en el circuito de la Figura 2 aplicamos una tensión
continua V=1V a una resistencia R=100 KΩ, la representación en el tiempo
de la tensión aplicada y de la corriente I que circula por la resistencia es la
de la Figura 13, donde puede verse que las formas de onda temporales de V


e I son idénticas y sus valores se relacionan por: 1V/10µA=100.000=R.
Podemos decir que la corriente I es plana en el tiempo como V y su valor
en amperios es el de V en voltios dividido por 105 en este caso, que es el
valor de R. Es decir: un simple número real (R=105) es lo que necesitamos
para expresar la relación entre señal de excitación v(t)=1V y señal de
respuesta i(t)=10 µA. Nótese de paso la nomenclatura empleada ahora con
letras minúsculas: v(t) e i(t), que se reserva para señales que pueden variar
en el tiempo, sólo que en este caso concreto no lo hacen o lo hacen con una
frecuencia de oscilación nula (dc).

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Corriente=10 microamperios
10
Tensión y corriente en R=100K

8

6

4

2
Tensión=1 voltio

0

-2
0 0.5 1 1.5
Tiempo

Figura 13
Veamos qué ocurre si la excitación v(t) es ahora una señal senoidal
en el tiempo como aparece dibujada en la Figura 14.

10

8 Corr. de pico=10 microamp.
Tensión y corriente en R=100K

6

4

2 Tensión de pico=1V

0

-2

-4

-6

-8

-10
0 0.5 1 1.5
Tiempo

Figura 14

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La corriente i(t) será una señal senoidal tambien, obtenida al dividir
v(t) en cada punto o instante de tiempo, por R=105 Ω y esta otra señal
senoidal da la casualidad de que cruza por cero en los mismos instantes que
v(t). En otras palabras: v(t) e i(t) se encuentran “en fase”, como se ha
dibujado en la Figura 14, siendo una de ellas exactamente igual a la otra en
su forma (senoidal) y estando relacionadas ambas mediante un factor de
escala R (su cociente es R). De nuevo basta un número real (R) para dar la
relación entre los valores de pico de ambas señales: 1Vp/10µAp=105Ω y
esto sin importar la escala de tiempos. Si el eje de tiempo tuviera unidades
de segundos, la frecuencia de las señales de la Figura 14 sería de 1Hz, pero
si tal eje tuviera unidades de µs, dicha frecuencia sería de 1 MHz (106 Hz).
Esto significaría que dicha señal cruzaría por cero 2 millones de veces por
segundo, la mitad de ellas pasando de valores positivos a valores negativos
(decreciendo por tanto) y la otra mitad de las veces pasando de valores
negativos hacia positivos (creciendo).
Veamos qué ocurre al aplicar esta señal de 1MHz al circuito de la
Figura 15, que es el de la Figura 2 con un condensador C en paralelo con R.

Figura 15

Al tener en vez de una resistencia R el simple circuito R-C paralelo
de la Figura 15, las cosas cambian porque ante la excitación v(t) variable en
el tiempo, el condensador conduce cierta corriente alterna iC(t). En efecto,
el condensador C que ante una señal v(t) continua como la de la Figura 13,
simplemente quedaría cargado con una tensión entre placas constante de
1V en aquel caso, ahora se ve forzado a seguir las variaciones de tensión
que aplica el generador de la Figura 15. Debido a ello, la evolución
temporal de la carga del condensador es algo como lo representado en la
Figura 16 bajo la señal senoidal v(t) que ataca al condensador. Suponemos
al lector familiarizado con el campo eléctrico existente entre las placas del
condensador creado por su carga, siendo carga y campo proporcionales a su


tensión entre placas. Pues bien, según la Figura 16, la carga de las placas y
por tanto el campo eléctrico existente entre ellas, varía con el tiempo, lo
que según las Ecuaciones de Maxwell conlleva una corriente eléctrica de
desplazamiento. En otras palabras: para que ocurra la variación de campo
eléctrico que conlleva la variación de carga representada en la Figura 16,
tiene que entrar o salir por los hilos que conectan las placas, una corriente
eléctrica de conducción igual a la corriente de desplazamiento que se
requiere para variar el campo eléctrico entre placas en la forma indicada.

Figura 16

Como la variación de campo eléctrico es senoidal, la corriente de
desplazamiento que conlleva es cosenoidal y la corriente de conducción
que exige por los hilos externos del condensador, también lo será. Nótese la
interesante diferencia entre la corriente de conducción, a la que estamos
más habituados, que supone el paso de cargas a través de un hilo conductor
o de una resistencia y la corriente de desplazamiento entre placas, que no
requiere el paso de cargas de una placa a otra por dentro del condensador.
Las cargas llegan a las placas, se acumulan ahí (no pasan de una a otra) y
dan lugar a un campo eléctrico entre placas, cuya variación temporal es la
causa de la corriente de desplazamiento.
El que la corriente de desplazamiento sea proporcional a la derivada
temporal del campo eléctrico, hace que dicha corriente y la tensión v(t) de
la Figura 15 estén en cuadratura o con 90º de desfasaje. Por tanto, si v(t) es
una función seno (cruza por cero al tomar una referencia de tiempo) su
derivada o pendiente será una función coseno, por lo que la corriente iC(t)
de conducción en los terminales del condensador aparecerá con un adelanto
de fase de 90º, lo que no tiene nada que ver con una anticipación temporal
de la respuesta a la excitación (circuito no-causal) o errores similares. Este
adelanto de fase de 90° sólo es la forma de superponerse en el tiempo la
señal de tensión y la señal de corriente del condensador mucho tiempo

20

después de haber conectado v(t) (régimen permanente) y de igual forma
podemos decir que iC(t) está retrasada en fase respecto a v(t) en 270°. En la
Figura 17 se ha dibujado la corriente iC(t) para un valor del condensador de
tan solo 1 picofaradio (1pF=10-12F) y una tensión v(t) cuyo valor de pico es
Vp=1V. Para ello se ha tenido en cuenta que la amplitud IC de tal corriente
en función de la amplitud de la onda senoidal de tensión Vp viene dada por:

IC =2×π× f ×C×Vp (9)

La ecuación (9), que se obtiene a partir de las de Maxwell, nos indica
en esencia que iC(t) es proporcional al número de veces por segundo que
deben variar las cargas de la Figura 16 (frecuencia f) y a la amplitud de la
tensión v(t), porque el campo eléctrico del condensador es reflejo de su
carga y ésta lo es de la tensión v(t) que hay entre sus placas (la que le aplica
el generador de la Figura 15). Por otro lado la capacidad de un condensador
se define como:

∂Q
C= (10)
∂V
expresión que para condensadores cuya capacidad no depende de la tensión
aplicada, nos permite escribir la carga Q del mismo como: Q=C×V, siendo
V la tensión entre sus placas. Con todo esto el lector puede recordar mejor
la ecuación (9), que será esencial para lo que viene a continuación.

Figura 17


Según la ecuación (9), la amplitud o valor máximo de corriente que
circula por el condensador de la Figura 15 para una excitación de 1V de
amplitud y 1 MHz de frecuencia, es de 2π microamperios (≈6.3µA). Es la
señal que en la Figura 17 aparece etiquetada como “Corr de C” mientras
que la etiquetada como “Corr de R” es la que corresponde a la corriente a
través de la resistencia R=100KΩ como la que usamos para las Figuras 13
y 14. La amplitud de esta corriente iR(t) es de 10 µA, que se obtiene
fácilmente aplicando la Ley de Ohm a la resistencia R. Como vemos en la
Figura 17, iR(t) es senoidal (fase 0°, que es la misma que la de v(t) como
aparece en la Figura 14), pero iC(t) es cosenoidal: desfasada +90° o -270°
con respecto a v(t). Salvo este “detalle” del desfasaje de 90°, la ecuación
(9) nos hace ver una relación proporcional entre las amplitudes o valores de
pico de la corriente iC(t) y de la tensión v(t). Esto nos permite pensar en una
nueva Ley de Ohm que sirva para señales senoidales y condensadores,
similar a la ecuación (4), que como sabemos sirve para resistencias y
señales tanto continuas como senoidales (recuérdese la Figura 14).
Esa nueva Ley de Ohm para “condensadores y señales senoidales de
frecuencia f” es posible diciendo que por analogía con la resistencia, el
condensador ofrece a estas señales una “resistencia especial” o reactancia
de valor X(f)=1/(2πfC) y diciendo además que la corriente iC(t) está
desfasada +90° o -270° respecto a la tensión v(t) entre los extremos del
condensador. En el caso de una resistencia, decimos que ofrece a estas
señales una resistencia de valor R(f)=R y que la corriente iR(t) no está
desfasada respecto a la tensión v(t) entre los extremos de la resistencia.
Entonces, podemos resolver circuitos con sólo resistencias o con sólo
condensadores mediante la Ley de Ohm y hasta con un poco de cuidado,
llevando por separado las corrientes de un tipo y otro según el desfasaje,
podríamos pensar en resolver circuitos con ambos elementos y al final
sumar de algún modo las corrientes de un tipo u otro. Así surge la pregunta:
¿Existe una ley de Ohm más general que permita manejar condensadores y
resistencias juntos, a fin de obtener la corriente total i(t) del circuito de la
Figura 17?. La respuesta es sí, pero empleando números complejos en vez
de números reales, como veremos enseguida.
Para llegar a este interesante resultado, vamos a obtener la corriente
total i(t)=iR(t)+iC(t) en la Figura 15. Esto se ha hecho en la Figura 17 al
sumar en cada instante de tiempo los valores de iR(t) y de iC(t). Por tanto, la
corriente total i(t) que da el generador v(t) de la figura 15 será la suma de
una corriente iR(t) que está en fase con v(t) y otra ic(t) que está desfasada
+90º con respecto a v(t). Tal suma i(t) aparece en la Figura 17 con símbolos
del tipo “+” y como puede verse, esa suma también tiene forma senoidal de
amplitud mayor que cualquiera de las dos componentes iR(t) (en fase) o
iC(t) (en cuadratura) y con un desfasaje θ que no es cero como el de iR(t) ni

22

es de +90º como el de iC(t), sino intermedio entre ellos y más cercano a 0º
que a 90º en este caso. Lo anterior proviene de las propiedades de las
funciones seno y coseno (trigonometría). Así θ depende del tamaño relativo
de iR(t) e iC(t) y con los datos empleados en la figura 17 la componente en
fase iR(t) domina (0°<θ<45°), pero si C fuese mayor o la frecuencia más
alta, bien podría dominar iC(t), con lo que el desfasaje de i(t) estaría más
cerca de 90° que de 0° (45°<θ<90°).
Aunque podemos anticipar que la forma de obtener la amplitud o el
módulo de i(t) a partir de las amplitudes de sus componentes en fase y en
cuadratura (P=10µA y Q=2πµA≈6.3µA respectivamente) va a ser mediante
el Teorema de Pitágoras, no está de más recordar un poco de Trigonometría
y deducirlo. Así pues, tenemos:

i (t ) = iR (t ) + iC (t ) = P × sen(2πft ) + Q × cos(2πft ) =

 P Q 
P +Q × 2
2 2
sen(2πft ) + cos(2πft ) (11)
 P +Q P +Q
2 2 2

Dada la forma de los factores que multiplican a las funciones seno y
coseno en la ecuación (11) (la suma de sus cuadrados es igual a 1), no hay
inconveniente en denominarlos cos(θ) y sen(θ). De esta forma tenemos:

i (t ) = P 2 + Q 2 × [cosθ × sen(2πft ) + sen θ × cos(2πft )] (12)

i (t ) = P 2 + Q 2 × [sen(2πft + θ )] (13)

y además:

sen θ Q Q 
tg θ = = ⇔ θ = arctg   (14)
cosθ P P
De las ecuaciones (11) a (14) o considerando la ortogonalidad de las
funciones seno y coseno, se puede dibujar la Figura 18 como forma de
memorizar la obtención de i(t) a partir de P=iR(t) y Q=iC(t). El módulo de
i(t) y su defasaje θ salen de forma natural con el Teorema de Pitágoras
aplicado a la figura 18, de modo que sin mucha trigonometría (sólo este
Teorema) podríamos combinar adecuadamente (en rigor sumar) corrientes
desfasadas 90° (en cuadratura entre sí) y manejar circuitos con resistencias


y condensadores. Tan sólo haría falta llevar por un lado las corrientes en
fase y por otro las corrientes en cuadratura, ambas obtenidas mediante sus
leyes de Ohm correspondientes y a la hora de combinarlas, hacerlo como
corresponde a su relación en cuadratura (usando el Teorema de Pitágoras).

Figura 18

Es fácil comprobar que la amplitud de la corriente total i(t) que se
obtiene así en la Figura 18 es de 11.81 µA y que este valor es el valor de
pico de la corriente total de la Figura 17. Por cierto, ese valor máximo
aparece en la Figura 17 cierto tiempo antes de que aparezca el máximo de
la curva etiquetada como: “Corr. de R”, que va en fase con la tensión v(t) y
cuyo máximo está exactamente a los 0.25 microsegundos. El adelanto
“temporal” al que nos referimos es de unos 0.09 microsegundos (los
símbolos “+” molestan un poco a la hora de determinarlo en el pico, pero
no tanto en el cruce por cero). Para traducir este adelanto en el tiempo a su
adelanto de fase correspondiente, hay que considerar que el periodo de la
señal es T=1µs y en un periodo hay un ciclo completo de señal o 360° de
fase. El adelanto de fase al que nos referimos es por tanto: θ=360×0.09/1,
es decir: unos 32°, que no es otra cosa que el arco cuya tangente vale 0.628
según la ecuación (14).
Como el lector irá intuyendo, todo este complicado o “complejo”
método para combinar las componentes iR(t) e iC(t), ortogonales entre sí,
queda muy simplificado si empleamos números complejos para representar
impedancias en general (Z) en vez de resistencias en particular. De este
modo, la impedancia compleja que denominaremos Z(jω) siendo “j” la
unidad del eje imaginario de los números complejos y ω=2πf la frecuencia
angular de la señal de interés, va a ser un número complejo con su parte
real llamada Resistencia (R) y su parte imaginaria llamada Reactancia (X).
Así tenemos Z(jω)=R(jω)+jX(jω) cuyas partes real e imaginaria suelen

24

depender de la frecuencia, que nos va a permitir aplicar la Ley de Ohm a
cualquier circuito con resistencias, condensadores y bobinas. Como forma
de empezar podemos escribir la versión generalizada de la ecuación (1) en
la forma siguiente:

V ( jω )
Z ( jω ) = (Ω ≡ V /A) (15)
I ( jω )

siendo ésta la Ley de Ohm generalizada que se utiliza de forma similar a
como vimos que se empleaba la ley de Ohm básica de la ecuación (1).
Para emplear bien la ecuación (15) hay que recordar que las señales
V(jω) e I(jω) poseen amplitud o módulo y cierta fase con relación a una
referencia de fases. Eso hace directa su expresión en forma compleja en la
notación módulo-fase y se ve de forma inmediata que el cociente de dos
números complejos V(jω) e I(jω) dará otro número complejo cuyo módulo
será el cociente de los módulos o amplitudes de V(jω) e I(jω) y cuya fase
es la resta de las fases de V(jω) (minuendo) e I(jω) (sustraendo). De esta
forma vemos que Z(jω) va a tener cierto módulo y cierta fase, siendo por
tanto un valor complejo para cada valor de frecuencia f. Como además su
módulo y su fase suelen variar al variar la frecuencia f, decimos que Z(jω)
es una función compleja de la variable real f.
La forma de “construir” impedancias mediante las de elementos
circuitales (R, L y C) utiliza las mismas operaciones que vimos con las
resistencias para combinarlas en paralelo o en serie y sólo se requiere
conocer las tres impedancias individuales correspondientes a resistencias,
bobinas y condensadores. Para una resistencia de R Ohmios (Ω) tenemos:

Z ( jω ) = R + j 0 (sólo parte real) (16)

La impedancia de una bobina de inductancia L Henrios (H) es:

Z ( jω ) = 0 + j ω L (sólo parte imaginaria) (17)

y la impedancia de un condensador de capacidad C Faradios (F) es:

1 1
Z ( jω ) = 0 + = 0− j (sólo parte imag.) (18)
jωC ωC


Con esto ya estamos en condiciones de resolver con la simple Ley de
Ohm generalizada el problema de obtener la corriente i(t) en el circuito de
la Figura 15. Como la resistencia y el condensador están en paralelo, hay
que combinar en paralelo las impedancias dadas por las expresiones (16) y
(18). Ello se hace con arreglo a la ecuación (3) que vimos al principio, solo
que trabajando con números complejos. Así tenemos que la impedancia del
circuito RC paralelo de la Figura 15 será:

1
R×
jω C R
Z RC ( jω ) = = (19)
1 1 + jωRC
R+
j ωC

Puede comprobarse que cuando el condensador se carga y descarga
pocas veces por unidad de tiempo (en bajas frecuencias) la impedancia es
esencialmente el valor R de la resistencia: ZRC(jω) R. Por el contrario, a
muy altas frecuencias, la corriente dominante es la de cargar y descargar
muchas veces por segundo el condensador, lo que se traduce en que la
impedancia es esencialmente la del condensador: ZRC (jω) 1/jωC. La
coriente i(t) se obtendrá a partir de la ecuación (15) o de la versión
generalizada de la ecuación (4) cambiando la conductancia G=1/R de (4)
por la admitancia Y(jω)=1/ZRC(jω). Esta magnitud inversa de impedancia,
al igual que ZRC(jω) es un valor complejo YRC(jω)=G(jω)+jB(jω), cuya
parte real se llama conductancia y cuya parte imaginaria es la susceptancia.
La corriente I(jω) será por tanto:

V ( jω ) 1 
I ( jω ) = = V ( jω ) ×  + jωC  (20)
Z ( jω ) R 
La ecuación (20) nos dará tanto el módulo como la fase de la onda de
corriente senoidal i(t) en relación con la onda de tensión senoidal v(t). Si
tomamos como fase cero la de v(t) y su amplitud de 1V, tendremos:
V(jω)=1∠0 y la ecuación (20) nos dará:

 1 
I ( jω ) = 1∠ 0 ×  5 + j 2π × 10 6 × 10 −12  =
10 
= 10−5 × (1 + 0.628 j ) = 11.8 × 10−6 ∠ + 32.13 (21)

que son exactamente las mismas corrientes que vimos en la Figura 17.

26

La referencia [4] citada en la Bibliografía es muy aconsejable para el
lector interesado en profundizar en las interesantes propiedades de estas
funciones típicas del régimen permanente senoidal de circuitos LIT y en las
de otras funciones muy relacionadas (variable “s”) que permiten su estudio
en régimen transitorio. Igualmente encontrará esta información en obras
más específicas sobre análisis de circuitos [5].

I.8- Algunos divisores de impedancias interesantes

Con ayuda de la Ley de Ohm generalizada vamos a estudiar unos
divisores de impedancias sencillos, pero de gran utilidad para la educación
del sentido común necesario para abordar con éxito muchos problemas en
Electrónica. El primero de ellos será el circuito R-C paso-bajo de primer
orden, el segundo será su versión paso-alto y el tercero será el que
podríamos denominar R-C paso-banda del oscilador en puente de Wien, un
circuito muy interesante con Amplificadores Operacionales.
La figura 19 resume el enfoque de impedancias y tensiones
complejas (módulo y fase) que emplearemos para estudiar estos circuitos:

Figura 19

Empleando la Ley de Ohm generalizada, la señal de salida Vo(jω) (su
módulo y su fase) vendrá dada por la ecuación generalizada equivalente a
la ecuación (7), es decir:

Z 2 ( jω )
Vo ( jω ) = × Vi ( jω ) (22)
Z1 ( jω ) + Z 2 ( jω )
La ecuación (22) es válida con las mismas consideraciones que se
hicieron para la ecuación (7): que la tensión de salida fuese muestreada sin
provocar corriente de salida. Esto requiere que el módulo de la impedancia
del circuito que se conecte a la salida ZM (jω) sea enorme o, si no es así,
que su efecto de carga ya esté incluido en Z2 (jω).


I.8.1- R-C paso-bajo

Este divisor de impedancias, que se muestra en la Figura 20, está
compuesto por una resistencia y un condensador conectados en serie de
cara al generador excitador vi(t). La señal de salida se toma en paralelo con
el condensador y sirven las mismas consideraciones hechas para el divisor
resistivo de la Figura 4 en cuanto a que no haya corriente en la salida al
muestrear la tensión de salida vo(t).

Figura 20

En el dominio de la variable jω (regimen permanente sensoidal) la
ecuación (22) que nos da la señal de salida Vo(jω) en función de la señal de
entrada Vi(jω) y de las impedancias del circuito se convierte en:

1
× Vi ( jω )
jωC V ( jω ) V ( jω )
Vo ( jω ) = = i = i (23)
1 1 + jωRC 1 + j f
+R
jωC fC

Al interpretar la ecuación (23) en función de la frecuencia lo primero
que debemos hacer es considerar la frecuencia de corte fc=ωc/2π=1/2πRC,
que nos va a permitir hablar de altas (f>>fc) y bajas (f<<fc) frecuencias. Así
en bajas frecuencias la señal de salida y la de entrada tienden a ser iguales:

1
Vo ( jω ) = × Vi ( jω ) ≅ 1∠ 0 × Vi ( jω ) (24)
1 + j (a lg o << 1)
Es decir: las bajas frecuencias aparecen a la salida sin atenuación ni
desfasaje importantes.

28

Por el contrario, las altas frecuencias (f/fc>>1) hacen que el “1” (la
parte real) del denominador de la ecuación (23) sea despreciable frente a la
parte imaginaria y en este caso se tiene:

1 Vi ( jω )
Vo ( jω ) = × Vi ( jω ) ≅ 1∠ − 90 × (25)
f f
1+ j
fC fC
La ecuación (25) significa que las altas frecuencias aparecen a la
salida atenuadas, tanto más cuanto mayor sea su frecuencia y además
presentarán un retraso de fase de unos 90º debido al complejo 1/j =1∠-90. De
aquí la característica de filtro paso-bajo de este circuito. Para fijar ideas,
vamos a diseñar este filtro de la Figura 20 con una frecuencia de corte
fc=10 KHz (1/2πRC=104) y de forma que no cargue al generador vi(t) con
menos de 100 KΩ. Esta última condición es necesaria para poder definir el
valor de R, ya que fc sólo nos permite definir el del producto RC. Como a
frecuencias muy altas el módulo de la impedancia del condensador se hace
muy pequeño (el condensador tiende a ser un cortocircuito) la forma de
garantizar 100 KΩ. o más como módulo de la impedancia de R en serie con
C, es hacer R=100 KΩ. Esto ya nos permite obtener C a partir de fc,
obteniéndose un valor de 159 pF. Con el circuito así diseñado, una señal de
entrada vi(t) de 1 KHz y 1V de amplitud y la señal de salida vo(t) se verían
en un osciloscopio como se muestra en la Figura 21.

1

0.8

0.6

0.4

0.2
Amplitud

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tiempo (un periodo completo)

Figura 21

Aquí vemos que la amplitud de la señal de salida (0.995V) es
prácticamente igual a la de entrada y casi no está desfasada respecto a ésta:
sólo unos 6°≈arctg(1KHz/10 KHz).


Por el contrario, una señal de entrada de 100 KHz y 1V de amplitud
y la señal de salida correspondiente aparecerían en un osciloscopio como se
muestra en la Figura 22, donde se aprecia un factor de atenuación de 10
aproximadamente (unos 20 dB) y el desfasaje previsto de –90º.

1

0.8

0.6

0.4

0.2
Amplitud

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo (dos periodos completos)

Figura 22

Finalmente una señal de entrada de frecuencia igual a fc (10 KHz) y
1V de amplitud y su señal de salida se verían en el osciloscopio como se
muestra en la Figura 23. En ella podemos ver que la atenuación es de 3 dB,
ya que la amplitud de la señal de salida es 1V/√2=0.707V (el 70% de la
amplitud de entrada) y el desfasaje es justamente de -45º.

1

0.8

0.6

0.4

0.2
Amplitud

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 23

30

El paso de las señales Vo(jω) y Vi(jω) desde el dominio de la
frecuencia donde tienen la forma compleja M∠θ (siendo M su amplitud y θ
su fase respecto a una referencia dada) hasta el dominio del tiempo para
obtener vo(t) y vi(t) ha sido necesario para obtener las Figuras 21, 22 y 23.
Ello consiste simplemente en suponer la excitación senoidal y con fase
cero: vi(t)=A×sen (2πft), por lo que vo(t) es otra onda senoidal con su
amplitud B=A/[1+(f/fc)2]1/2 y cierto retraso de fase dado por: arctg(f/fc),
ambas evaluadas a partir de la ecuación (23).
Este comportamiento de la ganancia Vo(jω)/Vi(jω) en función de la
frecuencia (cuyo aspecto en el tiempo hemos visto en las figuras 21 a 23)
queda plasmado en el Diagrama de Bode de la Figura 24. En esta gráfica, el
módulo de la ganancia se representa mediante las dos rectas asintóticas de
las expresiones (24) y (25) que se cruzan justo en fc. La fase de la ganancia
quedaría razonablemente representada por tres rectas asintóticas, dos de
ellas horizontales a 0º (bajas frecuencias) y a -90º (altas frecuencias) y una
tercera con pendiente de -45º por cada década en frecuencia y que pasase
por -45º de desfasaje en fc. Nótese además la pendiente de -20 dB/década
(atenuación) en la asíntota del módulo para frecuencias altas.

Figura 24


La utilidad del circuito R-C paso-bajo que acabamos de ver es muy
grande en Electrónica. Como ejemplo, la Figura 25 muestra el circuito que
aparece al definir la frecuencia de transición (fT) de un transistor bipolar y
la frecuencia de corte de su ganancia en corriente fβ. El lector debería ver
de forma sencilla que la ganancia en corriente Ic(jω)/Ib(jω) es similar a la
del divisor R-C paso-bajo. Para ello debería hacer de forma automática el
proceso que conduce a la Figura 26, que no es más que el empleo de un
circuito equivalente Thévenin, más adecuado para este caso.

Figura 25

De la Figura 26 podemos decir que ic es una réplica (gm veces) de la
tensión vbe sobre el condensador y ésta es la salida de un R-C paso-bajo.
Por tanto, el módulo de la ganancia en corriente ic/ib debe ser algo como lo
representado en la Figura 27.

Figura 26

32

En la Figura 27 se observa que por debajo de fβ=10MHz la ganancia
de corriente Ic(jω)/Ib(jω) es constante e igual a: gm×R=100 en este caso. Sin
embargo, a partir de 10MHz esa ganancia empieza a disminuir a razón de
un factor 10 (20dB) por cada factor 10 (década) que varíe la frecuencia, de
modo que a f=1GHz (109 Hz) tal ganancia ha caído hasta 1 (0dB). Según
esta gráfica, la frecuencia de transición de este transistor sería fT=1GHz y la
frecuencia de corte para su ganancia en corriente sería: fβ=10MHz. Sin
entrar en muchos detalles para no alargar este ejemplo, ese transistor podría
ser utilizado como amplificador, con una configuración circuital adecuada,
hasta algunos cientos de MHz. Remitimos al lector interesado en estos
temas de transistores a obras como [6] donde se tratan con detalle.

Figura 27

El ejemplo anterior sobre la fT de un transistor es sólo uno de los
muchos casos en Electrónica en los que la función de transferencia del
divisor R-C paso-bajo encuentra aplicación directa. Hay muchos más casos,
como puede ser el de la respuesta en frecuencia de un lazo enganchado en
fase (PLL) utilizado para demodular FM, la respuesta en frecuencia de un
amplificador cuando viene limitada por un condensador que aprovecha el
efecto Miller, etc. en los que una buena comprensión por parte del lector de
esta función de transferencia R-C paso-bajo de primer orden, será de gran
utilidad.


I.8.2- R-C paso-alto

Este divisor de impedancias, que se muestra en la Figura 28, está
compuesto por una resistencia y un condensador conectados en serie de
cara al generador excitador vi(t). La señal de salida se toma en paralelo con
la resistencia y sirven las mismas consideraciones hechas para el divisor
resistivo de la Figura 4 en cuanto a que no haya corriente en la salida al
muestrear la tensión de salida vo(t).

Figura 28

En el dominio de la variable jω (regimen permanente sensoidal) la
ecuación (22) que nos da la señal de salida Vo(jω) en función de la señal de
entrada Vi(jω) y de las impedancias del circuito se convierte en:

f
j × Vi ( jω )
R × Vi ( jω ) Vi ( jω ) × jωRC fC (26)
Vo ( jω ) = = =
1 1 + jωRC f
+R 1+ j
jωC fC
Para interpretar la ecuación (26) en función de la frecuencia
volvemos a considerar la frecuencia de corte fc=ωc/2π=1/2πRC, que nos va
a permitir hablar de altas frecuencias (f>>fc) y bajas frecuencias (f<<fc)
para la expresión (26). Para bajas frecuencias la ecuación (26) pasa a ser:

f
j × Vi ( jω )
fC f f
Vo ( jω ) = ≅ j × Vi ( jω ) = 1∠90 × × Vi ( jω ) (27)
1 + j (a lg o << 1) fC fC

34

Por tanto las bajas frecuencias sufren atenuación, tanto mayor cuanto
más baja es la frecuencia respecto a la de corte fc. Además aparecen con un
desfasaje de +90° respecto a la entrada, en régimen permanente senoidal. Si
empleamos los mismos valores de R y C que para el filtro R-C paso bajo
que ya vimos, tendremos la misma frecuencia de corte fc=1/2πRC=10KHz.
En este caso, una señal senoidal de 1 KHz estará en la zona de bajas
frecuencias y, si su amplitud a la entrada es de 1V, la excitación vi(t) y la
respuesta vo(t) vistas simultáneamente en un osciloscopio, estarán como se
muestra en la Figura 29.

Figura 29

Por el contrario, en altas frecuencias (f/fc>>1), la ecuación (26) da:

f f
j j
fC fC
Vo ( jω ) = × Vi ( jω ) ≅ × Vi ( jω ) ≅ 1∠0 × Vi ( jω ) (28)
f f
1+ j j
fC fC

resultado que indica que las altas frecuencias aparecen en la salida casi sin
atenuación ni desfasaje (sólo un ligero adelanto de fase que decrece a
medida que la frecuencia aumenta). Por tanto, una señal senoidal de entrada
de 100KHz y 1V de amplitud y su correspondiente señal de salida se verían
en la pantalla de un osciloscopio como se muestra en la Figura 30. Como
puede verse, casi no hay atenuación en la señal de salida (amplitud 0.995V)
y tan solo un pequeño adelanto de fase de casi 6° respecto a la de entrada.


1

0.8

0.6
Amplitud (voltios) 0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 30

Para el caso de una señal de entrada de 1V de amplitud y 10KHz de
frecuencia (f=fc) dicha señal y su señal de salida correspondiente se verían
en el osciloscopio como se muestra en la Figura 31. En ella podemos ver
que la atenuación es de 3dB, ya que la amplitud de la señal de salida es
1V/√2 (el 70% de la amplitud de entrada) y el desfasaje es de: +45º.

Figura 31

36

La frecuencia de corte fc=1/2πRC sirve por tanto como valor frontera
entre frecuencias que pasan bien hacia la salida y otras que no pasan tan
bien (bajas frecuencias). Pero además de este significado circuital, fc posee
otro interesante: es la frecuencia a la que la reactancia del condensador
XC=1/2πfC se hace igual a la resistencia R. Así tenemos que:

1 1
XC ( f ) = =R⇒ f = = fC (29)
2 ×π × f × C 2 ×π × R × C

A esta frecuencia por tanto, las tensiones alternas entre los extremos
del condensador (ver Figura 31) y de la resistencia (ver Figura 23) son de
igual amplitud pero con desfasajes opuestos de +45° y -45°, con lo que su
suma punto a punto es igual a la señal de entrada vi(t), como el lector puede
comprobar a partir de las Figuras 23 y 31. Esto nos permite ver una
interesante aplicación de este circuito R-C paso-alto en Electrónica, que es
el diseño de condensadores de acoplo (en alterna) entre etapas. Estos
condensadores tienen la misión de acoplar lo mejor posible las señales
variables (ac) que genera una etapa (etapa anterior) a fin de que entren en la
etapa siguiente, bloqueando al mismo tiempo la posible corriente continua
(dc) que circularía entre esas etapas si se conectasen directamente sin el
condensador. El no bloquear esta señal dc suele acarrear la pérdida del
punto de polarización de algunos dispositivos en ambas etapas, que dejan
de funcionar normalmente. Por ello, este condensador de desacoplo en dc y
de acoplo en ac resulta esencial en esos casos. Esta situación se representa
en la Figura 32.

Figura 32

En altas frecuencias se espera que la reactancia del condensador sea
muy pequeña (XC 0) por lo que, comparado con RANT y RSIG tiende a ser


un cortocircuito que acopla bien RANT con RSIG. Así se obtiene la máxima
señal sobre RSIG, que es:

RSIG
Vo ( jω ) = × Vi ( jω ) (30)
RSIG + RANT
Sin embargo, a medida que la frecuencia de las señales consideradas
va disminuyendo, la reactancia XC(f) aumenta, igualando primero (a cierta
frecuencia fc) y superando después (a menores frecuencias) el valor de la
suma RANT+RSIG (su combinación en serie). Pues bien, a la frecuencia en la
que esa reactancia es igual a la suma (RANT+RSIG) la tensión alterna en el
condensador y la tensión alterna en las dos resistencias puestas en serie o
juntas, son iguales en amplitud y tienen desfasajes opuestos de +45º y –45º.
Como hemos visto, esa amplitud de tensión alterna es igual a la de entrada
dividida por √2, o lo que es lo mismo: 3dB menos que la amplitud de
entrada (20log√2=3). A esta frecuencia por tanto, la señal acoplada sobre
RSIG en la Figura 32 es 3dB menos que la máxima que es posible acoplar
según la ecuación (30). Esto nos define por tanto la frecuencia de corte a
potencia mitad, o a –3dB, del acoplamiento mediante condensador de la
Figura 32. Tal frecuencia de corte es simplemente:

1
fC = (31)
2 × π × ( R ANT + RSIG ) × C

La utilidad de la ecuación (31) en Electrónica es enorme. Sirva como
ejemplo el diseño del condensador de acoplo entre un micrófono magnético
cuya impedancia de salida es una resistencia de 600Ω (RANT) y la etapa
preamplificadora que recoge su señal y cuya impedancia de entrada es una
resistencia RSIG=10KΩ. Si queremos que ese acoplo sea de alta fidelidad,
habrá que poner un condensador de valor suficiente para que señales de tan
solo 20Hz queden bien acopladas y esto puede conseguirse haciendo que la
frecuencia de corte ƒc de la ecuación (31) sea de 20Hz. Así, la frecuencia
de 20Hz se acoplará con 3dB de atenuación y cualquier otra frecuencia de
audio más alta lo hará con menor atenuación. Para que sean así las cosas la
ecuación (31) nos dice que el condensador ha de ser: C=0.75µF, por lo que
usando el valor normalizado de 1µF cumpliríamos mejor la especificación
de alta fidelidad. Por el contrario, el empleo de un condensador menor, de
0,1 µF por ejemplo, no dejaría entrar bien al amplificador las frecuencias
bajas (tonos graves) de las señales de voz o música, y ello daría lugar a que
el sonido resultase “chillón” o carente de tonos graves.

38

I.8.3- R-C paso-banda del puente de Wien

El divisor de tensión que vamos a ver ahora se utiliza para el diseño
de osciladores senoidales con AO, que utilizan una red de realimentación
en puente, muy adecuada para excitar la entrada diferencial del AO. En
concreto, el divisor al que nos referimos aparece en la Figura 33 y es una
de las ramas de la red en puente comentada, conocida como puente de
Wien.

Figura 33

Como puede observarse consta de una impedancia Z1(jω) compuesta
por una combinación R-C serie y otra impedancia Z2(jω) formada por una
combinación R-C paralelo. La función de transferencia de este divisor es la
siguiente:

R
Vo ( jω ) Z 2 ( jω ) 1 + jωRC 1
= = = (32)
Vi ( jω ) Z1 ( jω ) + Z 2 ( jω ) R  1   f f 
+R +  3+ j − o 
1 + jωRC   jωC 
 f 
 o f 

donde la frecuencia ƒo=1/2πRC tiene la propiedad de ser la única
frecuencia a la que el divisor no desfasa. En otras palabras: una señal de
entrada con esta frecuencia y su señal de salida correspondiente estarán, en
régimen permanente senoidal, totalmente en fase. Ello sucede porque a esta
frecuencia, se anula la parte imaginaria del denominador de la función de
transferencia (32), con lo que la función de transferencia vale 1/3∠0. Por
tanto, si ƒ=ƒ0, la señal de salida será la tercera parte de la de entrada en
amplitud (atenuación 9,5dB: 20log (1/3)=-9.5) y estará totalmente en fase


con la señal de entrada, aspecto éste que resulta de enorme utilidad para el
diseño de osciladores como se verá más tarde. La Figura 34 muestra cómo
se verían en un osciloscopio las señales de entrada y de salida cuando la
primera es de 1V de amplitud y de frecuencia igual a ƒ0.

1

0.8

0.6

0.4

0.2
Amplitud

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo (dos periodos completos)

Figura 34

Una vez analizada esta frecuencia central o especial ƒ0, ya podemos
prever qué ocurrirá en la zona de bajas frecuencias (ƒ<<ƒ0) y en la zona de
altas frecuencias (ƒ>>ƒ0). Para ello resulta muy interesante el empleo de
redes asintóticas para cuando la frecuencia tiende a ser muy baja (f→0,
ω→0) o muy alta (f→∞, ω→∞).
Si f→∞, la reactancia de los condensadores tienda a cero. Debido a
ello en Z1 quedará como dominante la resistencia (la impedancia serie cuyo
módulo sea el mayor) y en Z2 quedará como dominante el condensador (la
admitancia paralelo cuyo módulo sea el mayor). Por lo tanto, para f→∞,
nuestro divisor con cuatro elementos de la Figura 33 queda reducido al
divisor R-C paso-bajo de la Figura 20 y su función de transferencia debe
ser la misma. En efecto, si f→∞, el término ƒ/ƒ0 del denominador de la
ecuación (32) dominará, con lo que dicha ecuación se reduce a:

 
 
 Vo ( jω )   1  1

 V ( jω )  =  ≅
 i  f →∞ 3+  f fo    f  (33)
j −  
 j 

  fo f 
 f →∞
f 
 o

40

que es igual a la ecuación (25) del filtro R-C paso-bajo en su zona de altas
frecuencias. En el caso opuesto, si f→0, la reactancia de los condensadores
será enorme y por tanto, el módulo de su impedancia también. Debido a
ello, en Z1 quedará como dominante el condensador y en Z2 dominará la
resistencia, quedando como red asintótica el filtro R-C paso alto de la
Figura 28. La función de transferencia (32) deberá reducirse en este caso a
la que vimos en la ecuación (27) como efectivamente ocurre al hacer tender
f→0 en la ecuación (32). Tenemos por tanto:

 
 
 Vo ( jω )   1  f

 V ( jω )  =  ≅ j f
 i  f →0   f f  (34)
3+ j − o  

o

  fo f 
  f →0

El diagrama de Bode de la función de transferencia dada por la
ecuación (32) se presenta en la Figura 35. Nótese el paso por cero de la
gráfica de la fase cuando la del módulo es máxima y véanse también las
asíntotas de +20 dB/década y –20dB/década en la gráfica del módulo para
bajas y altas frecuencias. Se ha elegido una fo=10KHz.

Figura 35


Este empleo de redes asintóticas cuando se sabe el comportamiento
de unas pocas redes básicas como los R-C paso-bajo y paso-alto que hemos
revisado, es una buena práctica en Electrónica que puede ayudarnos en
muchas situaciones. Así ha sido en el caso para comprobar si una expresión
dada encaja con lo que se espera de un circuito determinado, como hemos
hecho con la ecuación (32). Sin embargo, su utilidad puede ser mucho
mayor todavía a la hora de aceptar o descartar algunas realimentaciones en
circuitos con Amplificadores Operacionales como veremos en su momento.
Finalmente diremos al lector que si no ha tenido dificultad para
entender todo lo que se ha presentado en este primer capítulo, su grado de
aprovechamiento de los capítulos restantes será muy alto por no decir total.
Si por el contrario, ha encontrado problemas para entender la ley de Ohm
generalizada con impedancias por carecer de conocimientos sobre números
complejos, ello no significa que no pueda sacar provecho de lo restante.
Sus conocimientos sobre el manejo de circuitos resistivos con números
reales le permitirán entender las ideas principales sobre realimentaciones
positivas y negativas que se exponen. Como podrá intuir si éste es su caso,
obtendrá una visión limitada de lo que se exponga, que podrá generalizar
después a medida que adquiera el conocimiento básico sobre manejo de
números complejos que resulta necesario para entender aquellas situaciones
en las que aparezcan impedancias en lugar de resistencias. Aunque desde
ahora le animamos a que adquiera ese conocimiento básico, también le
podemos decir que aun esa visión limitada a números reales que hemos
comentado, le permitirá entender y diseñar muchos de los circuitos con
amplificadores operacionales que se emplean en Electrónica.

***


Capítulo II.
Amplificadores Operacionales


Capítulo II: Amplificadores Operacionales
II.1- Conceptos básicos de amplificación

El concepto de amplificación de señales eléctricas, sean tensiones o
corrientes, es uno de los más importantes en Electrónica. La idea intuitiva
que sugiere la palabra “amplificación” se recoge en la Figura 1, donde se
ha representado el equivalente circuital (cuadripolo) de un amplificador
electrónico que probablemente llevará en su interior diversos elementos
activos (baterías, transistores bipolares o de efecto campo, etc.) y pasivos
(resistencias, condensadores, quizá transformadores, etc.) conectados de
forma adecuada para lograr la “amplificación” de la señal de entrada. Esa
amplificación consigue que la señal de entrada, de bajo nivel: unos pocos
milivoltios en este caso, haga aparecer a la salida sobre la carga RL una
réplica lo más fiel posible de ella misma, pero con un nivel de varios
voltios. La resistencia de carga RL representa simplemente el circuito
equivalente de entrada de la etapa o sistema posterior (por ejemplo un
altavoz) que va a utilizar la señal una vez amplificada.

Figura 1

De forma análoga, la entrada del amplificador de la Figura 1 está
utilizando la señal del generador de excitación vg cuyo circuito equivalente
serie o de Thèvenin ha sido dibujado (vg, Rg) por lo que convendrá emplear
también el equivalente serie de circuito de entrada del amplificador.
Supondremos que ese equivalente serie de entrada es simplemente una
resistencia Ri como se ha dibujado en la Figura 2. En la Figura 2 aparece
además el equivalente serie de la salida del amplificador, que por muy bien
que lo diseñemos, tendrá una resistencia de salida Ro no nula, aunque podrá
ser muy baja, que es lo que interesa para que no se forme un gran atenuador
con Ro y RL. La formación de este atenuador y la de otro a la entrada
formado por Rg y Ri es inevitable, pero será nuestro objetivo hacer que sus
efectos sean pequeños con un buen diseño de modo que: Ri>>Rg y Ro<<RL.

46

Figura 2

En cuanto al generador de tensión del circuito de salida amplificador,
vemos que se trata de un generador controlado por una tensión, la que haya
sobre Ri en este caso. No es por tanto un generador independiente como Vg,
sino que es un generador dependiente de vε (o controlado por vε), ya que la
tensión que debe dar en este caso es 103 veces vε (Av=103) para que la
tensión de entrada se “amplifique” unas 1000 veces. A partir de la Figura 2
es inmediato obtener la ganancia total de tensión AT=vo/vg. Esta es:

vo v Av RL Ri
AT = = o × v ε = × Av ×
v g Av vε vg R L + Ro Ri + R g (1)

La ecuación (1) es el producto de tres factores o ganancias que son:
la ganancia del atenuador de entrada, la ganancia del generador controlado
y la ganancia del atenuador de salida.
Las ganancias de los atenuadores (pérdidas realmente) serán menores
que la unidad pero serán próximas a 1 si con un buen diseño hacemos que
Ri sea mucho mayor que Rg y que Ro sea mucho menor que RL como ya
anticipamos. Supongamos que hemos conseguido hacer Ri=100KΩ y
Ro=0,1Ω y que el generador de señal es un micrófono magnético cuya Rg es
de 1 KΩ. Supongamos también que RL son 8 Ω y corresponden a la
impedancia nominal de un altavoz. Si aplicamos la ecuación (1)
obtendremos: AT=0,99×103×0,988=978, por lo que la ganancia global
AT=V/VG no es 1000, sino un poco menor debido a las atenuaciones
mencionadas. Si deseáramos que fuera 1000, habría que hacer que la
ganancia del generador controlado fuese Av=1022. De lo anterior se deduce
que un método que permita controlar Ri, Ro y Av nos dará un control de
diseño prácticamente total para obtener la ganancia que deseemos y con la


precisión que queramos. Esto es posible sabiendo aplicar Realimentación
Negativa a los Amplificadores Operacionales y para llegar a ello, debemos
ver antes algunos conceptos interesantes sobre amplificación.
Debido a cómo son internamente la mayoría de dispositivos activos
que podemos emplear para construir amplificadores electrónicos, desde las
válvulas de vacío hasta los más modernos transistores, ocurre que uno de
los terminales del dispositivo es utilizado tanto para formar la entrada de
señal al dispositivo, como para formar la salida de señal del mismo. Ello se
traduce en cuadripolos amplificadores que en realidad sólo tienen tres
terminales que son realmente distintos en lugar de los cuatro que vemos en
la Figura 2. Por ello, el terminal común para la entrada y para la salida se
dibuja como aparece en la Figura 3-a, y cuando se asocian varias etapas en
un mismo sistema con esa filosofía, los terminales comunes de los distintos
dispositivos empleados forman el a veces denominado “raíl de masa”, que
no es más que la interconexión metálica de esos terminales comunes.

Figura 3

Como a dicho “raíl de masa” van muchas conexiones debido a que
actúa como referencia de tensiones, en circuitos más complejos donde
dicho raíl moleste al cruzarse con muchas líneas con las que no debe hacer

48

contacto, se adopta la representación de la figura 3-b, donde cada conexión
al raíl de masa se representa como una “toma de tierra” o conexión a una
superficie equipotencial cuyo potencial es nulo. El uso de este concepto de
un terminal común de referencia de tensiones parece suficiente a primera
vista, pero no resulta demasiado cómodo de cara a ciertas aplicaciones.
Este tipo de amplificación, que denominaríamos desbalanceada, asimétrica
o referida a un terminal común (single ended input output) resulta superada
en muchas aplicaciones por la denominada amplificación diferencial que
veremos a continuación.
Imaginemos el caso de dos hilos conductores de bastante longitud
que discurren cerca de líneas de distribución eléctrica y que se están
empleando para transmitir una señal eléctrica desde un extremo, al que se
aplica un generador vg, hasta el otro donde una etapa receptora recoge la
señal. Debido a la longitud del par de hilos, la señal de vg se atenúa y al
llegar al receptor puede ser de unos pocos milivoltios (vid). Esta señal
aparece como una tensión diferencia (o diferencial) entre los hilos en el
extremo receptor. Debido también a la importante longitud en la que esos
hilos están cerca de las líneas de distribución eléctrica, es muy posible que
se acople a ambos hilos la misma señal vic de 50Hz, de varios voltios de
amplitud respecto a la “masa” de un amplificador como el de la Figura 3.
Esta señal aparece como una tensión común a los dos hilos respecto de
masa (es decir: entre cualquiera de los hilos y masa).
La Figura 4 representa los circuitos equivalentes de los generadores
que el receptor “verá” en el par de hilos A y B. En aras de una mayor
simplicidad se han empleado las resistencias Rd y Rc (en modo diferencial y
común respectivamente, asumiendo Rd<<Rc ), pero bien podían haber sido
impedancias en un caso general.

Figura 4


Como la señal que deseamos amplificar es la señal diferencial que
hay entre los hilos A y B y no queremos desequilibrar a la fuente de señal
(supongamos que tal fuente no admite que uno de sus hilos se conecte a
masa y el otro no) tendremos que utilizar dos amplificadores como los de la
Figura 3, uno para cada señal entre cada hilo y masa y aplicar sus salidas a
un restador. En otras palabras: no podemos conectar a masa uno de los
hilos y usar el otro como terminal activo excitando a un solo amplificador
(de hecho esto puede dar bastantes problemas de ruido). Debido a ello cada
amplificador de los dos propuestos ha de manejar una señal en modo
común vic de varios voltios y 50 Hz, que es la señal ac captada de las líneas
de distribución eléctrica, junto con unos pocos milivoltios (Vid) de señal
útil que necesitamos amplificar hasta el nivel de voltios por ejemplo. Esto
sugiere amplificadores con ganancia 1000, cuya señal en modo común a la
salida será de ¡varios miles de voltios! (mil veces la de 50 Hz) para que la
señal diferencial entre sus salidas sea del orden de voltios.
El restador cancelará la respuesta al modo común y quedará sólo la
señal diferencial de los voltios previstos, pero electrónicamente hablando,
deberíamos tener amplificadores capaces de manejar kilovoltios a su salida
y un restador capaz de aceptarlos en sus entradas. Esta “solución”, además
de complicada y cara, no es la más elegante en esta situación. Mucho mejor
resulta el empleo de “amplificadores diferenciales” cuya señal de salida
sólo es proporcional a la diferencia de tensiones entre sus dos terminales de
entrada, que además son “flotantes”, es decir: ninguno de ellos es un “raíl
de masa”. La señal de salida de estos amplificadores puede ser también
diferencial, con dos terminales específicos para ello o puede estar referida a
masa, dado que esa salida ya no contiene términos en modo común de gran
amplitud frente a la señal diferencial. La Figura 5 representa uno de estos
amplificadores con entrada y salida diferenciales o balanceadas como es el
caso del LM733. Sin embargo, la mayoría de ellos poseen salida referida a
masa o asimétrica y serán el objeto central del próximo apartado.

Figura 5

50

II.2- Amplificadores Operacionales (AO)

Un Amplificador Operacional de tensiones (AO en lo sucesivo) no es
más que un amplificador con entrada diferencial de tensión (vid), salida de
tensión (vo) referida a masa y una ganancia Ad=vo/vid muy grande (valor
típico 106 V/V o 1V/µV: 1 voltio de salida por cada microvoltio de tensión
que exista entre sus entradas). Nótese la ganancia “mixta” en el sentido de
que la salida no es diferencial como la entrada, salvo en AO especiales
como el LM733 ya mencionado. Como puede verse en la Figura 6, la salida
“necesita” el terminal común para formar el “dipolo” de salida (los dos
terminales entre los que definir la tensión vo), pero no así la entrada, que
posee sus dos terminales propios: entrada inversora (-) y no inversora (+)
entre los cuales existe o aparece vid. Por tanto, la tensión de entrada de un
AO suele ser de pocos microvoltios si a su salida hay algunos voltios y casi
siempre vid aparecerá o se creará a partir de vo y de un generador de entrada
(vi o ii) mediante una circuitería adecuada como veremos.

Figura 6

Un AO ideal sólo respondería a la excitación diferencial vid sin
importar la tensión que hubiese entre las patillas (+) y (-) y la “masa” o
terminal común (excitación en modo común). Si hiciéramos lo que se
muestra en la Figura 7: unir las entradas (+) y (-) con un hilo conductor que
las cortocircuitase a efectos de señal de entrada diferencial (vid=0) la señal
vo sería nula, sin importar la tensión en modo común que pudiéramos
aplicar mediante el generador vic. Esa tensión en modo común será en
general alterna (ac) aunque también puede ser un nivel de continua (dc). Lo
que importa es que sea común a las entradas (+) y (-).


Figura 7

Sin embargo, siempre aparece una pequeña respuesta en vo a la señal
vic, que en gran medida se debe a la forma de convertir, dentro del AO, una
señal balanceada o diferencial como vid, en una señal no-balanceada como
vo que está referida a masa. Es lo que se llama respuesta al modo común o
ganancia para modo común Ac=vo/vic y suele ser mucho menor que la
ganancia para excitación diferencial Ad. Así es posible que un AO posea
Ad=106 y Ac=-10, lo que significa que 1µV de señal diferencial (ac o dc)
aplicada a sus entradas (vid=1µV) generará una señal de 1V de amplitud a
la salida (Vo=1V) (ac o dc). Sin embargo, 1µV de señal en modo común (ac
o dc) aplicada a sus entradas (vic=1µV) sólo generará 10µV de amplitud en
vo y el signo negativo en este caso indica que aparecerá invertida a la
salida: cambiada de signo si es dc o con 180º de desfasaje si es ac (que
también es como decir ac cambiada de signo). En principio Ac debería ser
cero, pero por asimetrías tecnológicas en los componentes que forman el
AO, puede ser tanto positiva como negativa y depende del tipo de AO y de
las soluciones circuitales adoptadas en su interior. Por ello sólo importa el
módulo de Ac que es el significado que daremos desde ahora a esta
ganancia en modo común.
El Factor de Rechazo al Modo Común (CMRR) del AO se define
como:
Ad
CMRR =
Ac (2)

que con los datos anteriores valdría: CMRR=106/10=105=100dB.

52

Como es incómodo dibujar figuras como las 6 y 7 con las dos fuentes
de alimentación dc (+Vcc y –Vcc), simplificaremos las cosas suponiendo
que esas fuentes siempre están conectadas entre los terminales +Vcc y
masa y –Vcc y masa respectivamente, y no las dibujaremos. Esa forma de
alimentación simétrica del AO y otras formas asimétricas que también son
posibles según los modelos de AO, no nos preocuparán por ahora a fin de
centrarnos en las señales que introducimos y extraemos del AO. Más
adelante se harán algunas advertencias a fin de tener buenas fuentes de
tensión de alimentación que permitan el paso fácil de señales alternas a su
través. Ello resultará esencial en algunos diseños para altas frecuencias o
para bajo ruido. Como ejemplo de la anterior simplificación, la figura 7
queda como aparece en la Figura 8 y se supone que el AO está
perfectamente alimentado.

Figura 8

Mientras no se diga lo contrario supondremos que la ganancia Ad
siempre tiene el mismo signo respecto a las patillas (+) y (-): una tensión vid
que haga positiva a la patilla (+) respecto a la (-) hará positiva la tensión de
salida respecto a masa y viceversa. Cuando esto deja de ser cierto debido a
la respuesta en frecuencia del AO, hay que tener especial cuidado a la hora
de realimentar señales, pero por ahora no lo consideraremos.
Por todo lo anterior, el modelo simplificado que usaremos para un
AO de tensión bajo un punto de vista circuital es el de la Figura 9, en el que
hemos empleado circuitos equivalentes serie (Thèvenin) tanto a la entrada
como a la salida y hemos despreciado la pequeña respuesta al modo común
frente a la mucho mayor respuesta a señales en modo diferencial. En cuanto
a los valores de los tres componentes del circuito de la Figura 9, diremos
que Ad puede estar comprendida entre 104 y 107 V/V que como vemos, son
ganancias en tensión muy altas.


Figura 9

El valor de Ro depende mucho del tipo de AO que tengamos y así
podríamos pensar que Ro estaría comprendida en el rango 100Ω-1KΩ para
AO de pequeña señal y podría ser de pocos ohmios en AO de potencia
como los usados en etapas de salida de audio, o de control de pequeños
motores. En cuanto al valor de Ri depende mucho de la tecnología (bipolar,
FET o MOS) empleada en el par diferencial de entrada del AO. Así,
valores en el rango de 106-108 ohmios serían típicos de tecnología bipolar.
Por encima de 109 Ω serían típicos de tecnología FET y por encima de 1012
ohmios se obtendrían con tecnología MOS. En estos casos (FET, MOS)
suele ser más importante considerar la capacidad de entrada Cin que suele
haber en paralelo con Rin. No es raro tener Cin=2 pF debido a las puertas de
los FET’s de entrada y a los terminales metálicos de entrada del AO junto
con las pistas del circuito impreso. Si en este caso Rin=1011 Ω, es fácil ver
que a f=1Hz la reactancia de Cin ya domina a Rin y con más razón lo hará a
frecuencias más altas.
La sensación de desasosiego que puede invadir al lector al ver rangos
de variación de Rin y Ro en lugar de valores más o menos precisos es
comprensible ahora, pero desaparecerá pronto, cuando vea que un AO se va
a emplear generalmente con realimentaciones que cambian profundamente
tanto los valores como los significados de los Rin y Ro resultantes.
Volviendo a los parámetros de un AO, hay que considerar que su entrada
diferencial se consigue mediante el empleo de un par diferencial como
primera etapa amplificadora de su circuitería interna. A esta siguen otras
etapas amplificadoras que aportan ganancia y finalmente está la etapa de

54

salida que permite manejar tensiones y corrientes a la salida de cierta
importancia (algunos voltios y decenas de mA en AO de propósito general
y decenas de voltios y algunos amperios en AO especiales).
Aunque éste es el tipo de AO que más emplearemos, hay que decir
que existen otros tipos de Amplificadores integrados como son los AO de
Transconductancia (OTA), los AO con entradas en Corriente (llamados
amplificadores Norton) y los AO preparados para ser realimentados en
corriente. Remitimos al lector interesado en ellos a referencias como [6],
[7], [8] y [14] porque no entraremos en su estudio dado nuestro objetivo de
que el lector asimile, en los ampliamente utilizados AO de Tensión, los
conceptos de Realimentación Negativa y Positiva. Una vez logrado esto, el
propio lector podrá adaptarlos a esos otros Amplificadores Operacionales.
Tan sólo daremos aquí, debido a su gran parecido con los AO, el circuito
equivalente simplificado de los OTA que es el que aparece en la Figura 10.

Figura 10

A la vista del circuito de la Figura 10, podríamos decir que es similar
al de la Figura 9, o que se ha obtenido de aquél transformando el circuito
equivalente serie de salida en un equivalente paralelo o Norton, con lo que
el generador de salida es ahora uno de corriente controlado por tensión a
través de la transconductancia gm (de ahí: Operational Transconductance
Amplifier). Pues bien, aunque ello podría ser cierto desde el punto de vista
circuital, hay una importante diferencia estructural entre un AO y un OTA.
De forma resumida podríamos decir que el OTA es un AO al que le falta la
etapa de salida, de forma que su resistencia de salida estaría por encima de

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