Maxíma verosimilitud

Método introducido por primera vez por
Bernoulli.

Posteriormente es revisado y analizado por el
gran matemático Euler.

Finalmente R. A. Fisher, estadista , en 1920
dio la interpretación que conocemos hoy en
día.

Método de estimación que consiste en
encontrar aquellos valores de los parámetros
del modelo
(β1, β2,… βk, σ ²) que maximizan la función de
verosimilitud; Es decir la probabilidad conjunta
de las observaciones de la variable endógena.
Densidad de la probabilidad de la muestra
observada, expresada en función de los
posibles valores de la población de α, β y σ².

 Método de estimación puntual.
 Se formula bajo el supuesto de que (ui) tiene
una distribución normal.
 Consistentemente asintótico, significa que
mientras que el tamaño de muestra aumenta, las
estimaciones convergen a los valores correctos
 Los Estimadores de los coeficientes de regresión
de los modelos de MV y MCO las β son idénticas,
para regresiones simples y múltiples.
 Se utiliza cuando se considera fija la muestra.

Máxima Verosimilitud Muestras Grandes
Estimación
Puntual

Mínimos Cuadrados Muestras Pequeñas
Ordinarios Muestras Grandes

es una ecuación que explica el comportamiento de
una variable, por lo tanto la variable se puede
reproducir o pronostica.
Cuando se utilizan datos históricos en un modelo
para hacer una proyección se le llama
“Estimación Puntual”

Y
la ecuación es Y=X
Y=variable dependiente
X= variable independiente

45°
X

 Desde un rango de posibilidad

intervalo
observaciones

 Los métodos de Mínimos Cuadrados
Ordinarios y Máxima Verosimilitud son
aplicables para muestras grandes y divergen
en muestras pequeñas
N ∞
 Ambos métodos contienen supuestos con los
que el modelo funciona.

 La Máxima Verosimilitud funciona con la
estadística Bayesiana y que utiliza
propiedades de conjuntos.

 Se basa en la estadística Bayesiana ya que
utiliza propiedades de conjuntos y de
probabilidad.
 La probabilidad se define como un
cociente entre el numero de eventos
posibles.

 Para explicar:

 Se tienen 2 maquinas distintas para producir un
producto.
 En donde la maquina A produce el 60% de la
producción total y la maquina B produce el
restante 40%
 Se determina la productividad de la maquina
según sus especificaciones
Producción
Maq. A PE[0,1] La probabilidad esta o pertenece
al intervalo cerrado de 0,1
producción 0

Maq.B

T0 T1

Entonces tenemos:
P( D A) producto bueno P( D B) producto bueno
Maq. A Maq.B
P DA producto malo P DB producto malo

P A 0.60
Maq. A

Maq.B n eventos
PB 0.40
P
n event. posibles

P( D A) 0.98

P A 0.60
P( D A) 0.02
Maq. A

P( D B) 0.96
Maq.B
PB 0.40

P( D B) 0.04

A B conjunto muestral
se denota A B

X X Ay X B
Intersección

A B se denota A B

X X Aó X B

A B = P(A)P(B)
Probabilidad condicionada de ( B A)

A B P ( A) P ( B A)
P( A D) P ( A) P ( D A)
(0.60)(0.98) 0.588
P( A D) P ( A) P ( D A)
(0.60)(0.02) 0.012
P( B D) P( B) P( D B)
(0.40)(0.98) 0.384
P( B D) ) P( B) P( D B)
(0.40)(0.04) 0.016

0.384
0.012
0.588
0.016
0 1

P ( A D) P ( A D)
P( A D)
P ( A D) P ( B D) P( A) P( D A) P( B) P( D B)

 Aplicación de Bayes
0.012 0.012
0.4285
0.012 0.016 0.028

 Arroja
una probabilidad de que el articulo
malo salga de la maquina A

 Este tipo de estimación puntual consiste en
seleccionar el valor del parámetro para el
cual la probabilidad de que ocurra el
resultado experimental sea máxima; es decir
dados los resultados experimentales del
resultado ¿que valor del parámetro tiene la
máxima probabilidad de ser el verdadero?
 Verosimilitud: que tanto se apega a la
realidad
 Máxima verosimilitud: el mayor apego a la
realidad

 Función de máxima verosimilitud: probabilidad
de obtener la muestra observada dado un valor
del parámetro poblacional.
 Método objetivo para encontrar buenos
estimadores puntuales
X=X X =µ
muestra población muestra población

 el estimador de Máxima verosimilitud de un
parámetro de θ nos dará el valor θ que
hace máxima la probabilidad de obtener un
resultado concreto de una muestra
(x1,x2,…,xn)

para esto necesitamos la función de
verosimilitud

 Elestimador de MV para σ ² es Ʃ ei 2 / N. Es
sesgado.

 Elestimador de MCO para σ² es Ʃ ei 2 / (N –
2) Es insesgado.

 Al comparar ambos estimadores de σ ²,
incrementando el tamaño de la muestra,
tienden a ser iguales; Asintóticamente el
estimador de MV también es insesgado.

En muchos casos, el estimador obtenido por
máxima verosimilitud posee un conjunto de
propiedades asintóticas como son:
 M1. Consistencia: Plim ƟML = Ɵ
 M2. Normalidad asintótica: ƟML N[Ɵ, {I(Ɵ)} ]
siendo I(Ɵ)=-E[∂² ln L/ ∂Ɵ ∂ Ɵ’]
 M3. Eficiencia Asintótica: ƟML es
asintóticamente eficiente y alcanza la cota
de Cramer-Rao para estimadores
consistentes, dada en M2
 M4 Invarianza: El estimador de máxima
verosimilitud de y= c(Ɵ) es c (ƟML)

Sea X una variable aleatoria con función de
probabilidad f(X l Ɵ), donde Ɵ es un
parámetro desconocido.
Sean X1… Xn los valores observados en una
muestra aleatoria de tamaño n. La función de
verosimilitud de la muestra es:
L(Ɵ) =π=f(Xi lƟ) (Ɵ)

Debemos considerar que la función de
densidad conjunta de la muestra aleatoria
además que la función de verosimilitud es una
función del parámetro desconocido Ɵ

Sea X1....Xn una muestra aleatoria de una
distribución normal. La función de
verosimilitud es:
1 − 𝑋1 −𝑢 2
𝐿 𝜃 = 𝑒 2𝜎 2
2𝜋𝜎 2
𝑛 𝑛
1 2 𝑇 −1𝑋 𝑖 −𝑢 2
= 𝑒 2𝜎 2
2𝜋𝜎 2

explica la densidad de una variable con
distribución normal, con media y varianza
dadas

Así:
𝑛
𝑛
𝐿 𝜃 = − 𝐿𝑜𝑔 2𝜋𝜎 2 − 1 𝑋1 − 𝑢 2
2
𝑇−1

Para encontrar los valores críticos de u y σ²
debemos tomar las derivadas parciales de
l(Ɵ)con respecto a u y σ², igualarlas a cero y
resolver las dos ecuaciones resultantes. Si se
omiten los detalles, los estimadores máximos
verosímiles resultantes son:

𝑛

𝑢= 𝑋1 2

𝑇−1

𝑛 2
2 𝑇−1 𝑋1 − 𝑋
𝜎 =
𝑛

 De Ɵ es el valor de Ɵ que maximiza la
función de verosimilitud L(Ɵ)
 En ocasiones es mas simple maximizar la
función log-verosimilitud por ejemplo

l(Ɵ) = log (L(Ɵ)) =∑=log f(Xi l Ɵ)

 Elmétodo de máxima verosimilitud puede
emplearse en situaciones donde existen
varios parámetros desconocidos, Ɵ1, Ɵ2……
ƟK, que es necesario estimar. En tales casos,
la función de verosimilitud es una función de
los parámetros desconocidos y Ɵ1, Ɵ2…… ƟK y
los estimadores de máxima verosimilitud Ɵ1,
Ɵ2……ƟK se obtienen al igualar a cero las k
derivadas parciales, dadas por:

𝜕𝐿 𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃 𝑘
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑘
𝜕𝜃 𝑖

DE IGUAL FORMA SE DEMOSTRARA QUE LA VARIANZA PARA LA
MV NO ES IGUAL QUE PARA LOS MCO, PERO DE IGUAL FORMA
TIENDE A SER INSESGADO A MEDIDA QUE CRECE EL NUMERO
DE DATOS, ASÍ COMO SU CONSISTENCIA PARA EL MISMO

*como saben la demostración se realizo en el pizarrón, pero se las adjunto en un archivo en Word

El estimador de máxima verosimilitud se usa
dentro de un gran número de modelos estadísticos:
 Modelos lineales Como modelos lineales
generalizados

 Análisis factorial, tanto exploratorio como
confirmatorio

 Análisis de ecuaciones estructurales

 muchas otras situaciones en el contexto de
los tests estadísticos

Desgraciadamente, el tamaño necesario de la
muestra para alcanzar las características de este
método puede ser bastante grande, por ejemplo,
cincuenta hasta cientos de muestras de tiempos
exactos de falla, dependiendo de la aplicación.
Con pocas muestras, los métodos pueden ser
polarizados o tendenciosos. Polarizaciones que
pueden causar discrepancias importantes en el
análisis.
Pese a que este método produzca estimaciones
más eficientes por todas sus propiedades
asintóticas, puede fallar en cuanto a la
recuperación de los factores más débiles.

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