Placas1

TEORÍA CLÁSICA DE PLACAS

1. INTRODUCCIÓN

1.1. GENERALIDADES.

Se define como Placa al sólido paralepipédico en el que una de sus dimensiones
(espesor) es mucho menor que las otras dos (las vigas tiene dos dimensiones
pequeñas, ancho y canto, respecto a una tercera, longitud). La superficie plana
equidistante de las dos caras con mayores dimensiones se denomina plano medio
de la placa.

Por otra parte se define como estado de placa al sistema de cargas en el que sólo
actúan fuerzas exteriores normales al plano medio de la placa y momentos
contenidos en planos perpendiculares al mismo (o lo que es lo mismo momentos
cuyos ejes están contenidos en el plano medio).

Esta tipología es tan frecuente en la práctica de la construcción que su estudio está
plenamente justificado. Se pueden encontrar ejemplos de aplicación en los
forjados de edificación, algunos tipos de cimentación, puentes losa, depósitos
rectangulares, pavimentos, etc.. Es decir en estructuras tan simples, comunes y
frecuentes con las que cualquier ingeniero sea cual sea su especialidad va a
encontrarse muchas veces en el desarrollo de su vida profesional y por tanto debe
poder conocer su respuesta estructural sin necesidad de ser un gran especialista en
el cálculo de estructuras.

Análisis de Estructuras 2

La tipología Placa es en principio una estructura tridimensional y como tal debería
estudiarse. Sin embargo su comportamiento podría representarse con un modelo
bidimensional si se pudiera considerar que la variación de las variables
significativas a lo largo del espesor es una función conocida de los valores que las
mismas toman en el plano medio de la placa. En estas condiciones sería suficiente
analizar el plano medio para encontrar una solución tensodeformacional
compatible y equilibrada.

En esta dirección son numerosos los trabajos realizados por grandes matemáticos y
fisicos, tales como Euler, Lagrange, Navier, Poisson, etc. . Sin embargo, y debido
al trabajo contenido en su libro Clases de Fisica Matemática (1876), Kirchhoff
(1824-1887) es considerado como el padre de la denominada teoría clásica de
placas. Posteriormente Love recogió y amplió aquellos trabajos hasta el punto que
hoy dia, la teoría clásica de placas se conoce también como de Kirchhoff-Love.

A finales del siglo 19 los constructores de barcos cambiaron sus métodos
constructivos reemplazando la madera por el acero. Este cambio de material
estructural provocó fructíferos desarrollos en las teorías de análisis de elementos
superficiales, placas y láminas. Los científicos rusos de la epóca (Krylov,
Boobnov) hicieron importantes contribucciones en este campo, reemplazando los
antiguos métodos de cálculo por teorías matemáticas sólidas. De entre todos ellos
cabe destacar a Timoshenko que tuvo el mérito de provocar en Occidente una gran
credibilidad, hasta el punto que los científicos occidentales fueron recogiendo e
incorporando gradualmente la investigación rusa en el campo de la Elasticidad.

En los últimos años el desarrollo de los ordenadores ha tenido una considerable
influencia en el análisis estático y dinámico de placas. Los métodos de Diferencias
Finitas (1941) y de los Elementos Finitos (1956) proporcionan la técnica necesaria
para, discretizando el continuo, tratar con la ayuda del ordenador, con problemas
complejos de placas encontrando soluciones numéricas e introducir las más
avanzadas teorías de comportamiento estructural .

Teoría Clásica de Placas 3

1.2. CONSIDERACIONES INTUITIVAS.

Se supone una placa rectangular sustentada, apoyada o empotrada, en dos bordes
opuestos pero con los otros dos bordes libres, sometida a una carga q variable pero
sólo con la coordenada relativa a los bordes libres.

Si se descompone la placa transversalmente, paralelamente a los bordes libres, en
n vigas paralelas, cada una de ellas soporta la carga que le afecta y en un
funcionamiento independiente las próximas no le prestan más ayuda que en
impedir su contracción lateral, ya que la deformación longitudinal es, para todas
las vigas ficticias, idéntica y compatible.

Por formar parte de una placa estas vigas ficticias tienen limitada su contracción
lateral lo que reduce su deformación longitudinal en una proporción que como se
verá más adelante es de 1-ν2. Es decir la placa en este caso tiene una respuesta
estructural similar a la de una viga equivalente pero con una rigidez mayor.
EI
RIGIDEZ VIGA = EI RIGIDEZ PLACA =
1 -ν 2
Si no se satisfacen las condiciones de borde y de carga anteriores, es decir, los
bordes libres tienen algún movimiento impedido y/o la carga es variable en la
dirección transversal el comportamiento descrito para la placa varía.
Las vigas longitudinales ficticias además de tener limitada su contracción lateral,
ahora no tienen la misma deformación longitudinal.


En este supuesto la aproximación sólo con vigas longitudinales, no es válida y el
comportamiento resistente de la placa se simula mejor con dos series de vigas
ortogonales entre sí.

En la hipótesis de que la carga actúe totalmente sobre ambas vigas o franjas, la
compatibilidad de deformaciones, exige que en los puntos comunes actúen unas
fuerzas dirigidas en sentido contrario que igualen los movimientos. Esto es
equivalente a suponer que la carga está soportada en parte por cada una de la serie
de vigas en ambas direcciones. Por lo tanto las tensiones y deformaciones serán
menores en cada una de ellas.

Pero además entre las series de vigas existe una solidaridad de otro tipo ya que el
giro de flexión provoca, tanto entre las vigas paralelas como con las ortogonales, la
presencia de un momento torsor.

Entre vigas ortogonales es necesario compatibilizar el giro de flexión de una serie
con uno de torsión en la ortogonal. Entre vigas paralelas es necesario controlar el
deslizamiento que se produciría en las caras comunes por una flexión diferente. En
el primer caso aparece un momento torsor de compatibilidad. En el segundo unas
tensiones tangenciales en la cara de contacto que evitan el deslizamiento y cuya
resultante da lugar a un momento torsor.

En estas consideraciones intuitivas se basan algunos métodos aproximados de
cálculo de placas que se ven a continuación.


1.3. METODOS APROXIMADOS.

En el análisis estructural es interesante en ocasiones disponer de métodos de
cálculo rápidos y fiables que, aún sin constituir una solución exacta de un
determinado problema físico, si permitan determinar soluciones aproximadas
muchas veces suficientes para los objetivos de un proyecto o anteproyecto
estructural.

En este sentido algún tipo de placas rectangulares constituyen un ejemplo típico en
el que aplicando exclusivamente razonamientos y modelos estructurales intuitivos
y sencillos pueden obtenerse soluciones razonables.

1.3.1 Método de Grashof para cálculo de placas rectangulares.

Sea una placa rectangular que se descompone en franjas de ancho unidad normales
entre sí y paralelas a los bordes x e y de la misma. Cada franja absorberá parte de
la carga y es evidente que en la zona o punto de intersección debe existir
compatibilidad de desplazamientos.

ly P2

lx

P1

Asumiendo un comportamiento como viga y compatibilizando flechas:

4
5 p1 l 4
x 5 p2 l y
(w )l x = (w )l y = =
2 2 384 D x 384 D y

E t3
D x = D y = EI (1 - ν 2 ) =
12 (1 - ν 2 )
que conjuntamente con p = p1 + p2 nos permite determinar la carga que soporta
cada una de las vigas.


l4
y l4
p1 = p p2 = x p
l4 + l4
x y l4 + l4
x y

o de forma genérica p1 = κ p p2 = ρ p

Para distintas condiciones de borde los coeficientes κ y ρ toman las expresiones
siguientes:

5 l4
y 5 l4
y
κ= κ=
2 l4
x + 5 l4
y l4 + 5 l4
x y
ρ =1−κ ρ =1−κ

ly ly

lx lx

2 l4
y l4
y
κ= κ=
l4
x + 2 l4
y l4 + l4
x y
ρ =1−κ ρ =1−κ

ly ly

1.3.2. Método de Marcus para el cálculo de placas rectangulares.
lx lx


Este método representa una considerable mejora del anterior de Grashof y
basicamente introduce un coeficiente reductor en los esfuerzos anteriormente
obtenidos para tener en cuenta la influencia del momento torsor.

Si denominamos mx max y my max a los momentos máximos obtenidos por el método
de Grashof, Marcus propone usar los siguientes coeficientes reductores:

M x = (1 - ϕ x ) m x max M y = (1 - ϕ y ) m y max
Según las comparaciones efectuadas por Marcus con los valores exactos de los
momentos, los coeficientes jx y jy , pueden determinarse para cualquier condición
de enlace en los cuatro bordes, mediante las expresiones:

p l2 p l2
y
m0x = x m0 y=
8 8
donde:
2 2
5 m x max lx  5 m y max l y 
ϕx =   ϕy =  
l y  l 
6 m0 x   6 m0 y  x 


EJEMPLO 1

Dada la placa cuadrada de hormigón de 10 m. de lado y 25 cm de canto simplemente
apoyada en sus cuatro bordes, sometida a una carga uniforme 1 T/m2

SE PIDE Determinar la flecha y momentos en el centro de la placa.

SOLUCION:

E=250.000 kg/cm2
ν=0,2
10 m t= 25 cm.

10 m

D= Et3/12(1-ν2) = 2,5 x 106 T/m2 x 0,253 m3 / 12 (1-0,22) = 3.391 Tm.

l4
y l4
κ= = 0,5 ρ = x = 0,5
l4 + l4
x y l4 + l4
x y

p1 = 0,5 p p2 = 0,5 p
5 0,5.104
w5,5 = = 0,019 m.
384 3391
La solución exacta tal y como se verá en los próximos capítulos es:

w(5,5)= 0,00406 p l4/D = 0,012 m error = 50,8 %
Los momentos en cada dirección x e y, en el centro de cada viga valen:

Mx = My = pl2 / 8 = 0,5. 102 /8 = 6,25 m T

La solución exacta de la placa tal y como se verá en los próximos capítulos es:

Mx = My = 0,0479 p l2 = 4,8 mT/m error = 30,5 %

Los errores son apreciables pero no excesivos y por tanto el método permite de forma
intuitiva y sencilla, acotar la respuesta tenso deformacional de la placa.


EJEMPLO 2

Resolver la placa del ejemplo 1.1 por el método de Marcus.

SOLUCION

La solución de esfuerzos obtenida por el método de Grashof proporciona unos momentos
máximos:

mx max = 6,25 mT/m = my max

En este caso el momento isostático de referencia vale:

m0 x = m0 y = p l2/8 = 12,5 mT
por tanto:
ϕx = 5/6 . mx max/m0 x . ( l x / l y )2 = 5/6 x 6,25/12,5 x 1 = 0,41

ϕy = 5/6 . my max/m0y . ( l y / l x )2 = 5/6 x 6,25/12,5 x 1 = 0,41

mx = my = ( 1 - 0,41 ) x 6,25 = 3,7 mT/ m.

lo que representa un error respecto a la solución exacta de un 22,9 % inferior al 30,5%
obtenido en el método de Grashof pero que está del lado de la inseguridad, inferior al exacto.


2. TEORÍA CLÁSICA DE PLACAS

2.1. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA ELASTICIDAD.

Un sólido tridimensional bajo la acción de unas cargas exteriores se deforma y
queda sometido a un estado tensodeformacional equilibrado y compatible con los
enlaces. En este apartado se hace una breve revisión de aquellos conceptos de la
Elasticidad necesarios para formular la teoría de Placas a partir de un
comportamiento tridimensional.

2.1.1. Estado tensional en Elasticidad Tridimensional.

En la elasticidad tridimensional se describe el estado tensional (σx ,σy ,σz ,τxy , τxz
, τyz ) sobre un elemento paralepipédico diferencial (dx dy dz) con caras paralelas a
los planos coordenados.

Las tensiones normales se representan afectadas de un subíndice que hace referen-
cia a la normal al plano sobre el que actúa. Las tensiones tangenciales tienen dos
subíndices. El primero indica la normal al plano en el que actúa y el segundo la
dirección de la tensión en el mismo.


Puesto que las tensiones en un punto son función de su posición en el sólido, su
intensidad cambia al mover el plano de referencia un dx, dy o dz . Para representar
esta variación se toman, para la tensión incrementada, los dos primeros términos
del desarrollo en serie de Taylor .

Como criterio de signos en los planos más avanzados (x+dx,y+dy,z+dz) se
considera la tensión positiva cuando lleva la dirección de los ejes coordenados. En
los planos opuestos el criterio cambia, de forma que, se considera positiva cuando
lleva la dirección contraria a los ejes coordenados.

Como caso particular, la elasticidad bidimensional sigue los mismos criterios y
sólo con fines aclaratorios se presenta en la figura el estado tensional, con sus
direcciones y signos, asociado a un dominio rectangular diferencial bidimensional
(dx,dy) que responde también a la nomenclatura y signos definidos anteriormente.

2.1.2. Deformaciones en la Elasticidad Tridimensional.

Los desplazamientos de un punto cualquiera del sólido son función de su posición
y vienen dados en general por:

u = f 1 (x, y, z) v = f 2 (x, y, z) w = f 3 (x, y, z)
dónde u, v y w representan los desplazamientos de un punto P (x,y,z) en las
direcciones de los ejes coordenados X, Y y Z respectivamente.

La relación entre desplazamientos y deformaciones se establece en un elemento
diferencial paralepipédico dx dy dz. Por simplicidad se presenta en la figura la
proyección de la deformación del elemento diferencial tridimensional sobre el
plano XY lo que puede generalizarse con facilidad para los demás planos.


Las deformaciones normales εx y εy vienen dadas por:

∂u ∂v
u+ dx - u v+ dy - v
∂x ∂u ∂y ∂v
ε x= = ε y= =
dx ∂x dy ∂y

∂w
y por extensión: εz=
∂z

La deformación tangencial o deslizamiento en el plano XY, γxy viene dada por:
∂v ∂u
dx dy
∂y ∂v ∂u
γ xy = γ ′ + γ ′′ = ∂x + = +
dx dy ∂x ∂y
donde se considera que las deformaciones son pequeñas y por tanto el ángulo
considerado coincide con su tangente. Por extensión para los demás planos:

∂u ∂w ∂v ∂w
γ xz = + γ yz = +
∂z ∂x ∂z ∂y

2.1.3. Relaciones Tensión-Deformación.

Si suponemos que el material tiene un comportamiento lineal, las relaciones entre
las tensiones y las deformaciones normales vienen dadas por las ecuaciones
clásicas siguientes:


1 1
ε x= [ σ x -ν ( σ y + σ z ) ] ε y = [ σ y -ν ( σ z + σ x ) ]
E E
1
ε z = [ σ z -ν ( σ x +σ y ) ]
E

y para las componentes tangenciales:
τ xy τ xz τ yz
γ xy = γ xz = γ yz =
G G G
donde E y G son respectivamente los módulos de elasticidad y de rigidez
transversal, que están relacionados entre sí por:
E
G=
2 ( 1 +ν )
Planteando las ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad de deformaciones y de
desplazamientos en los bordes es teóricamente posible encontrar una solución
compatible y equilibrada. En general esta mecánica presenta, aún asumiendo
pequeñas deformaciones, grandes dificultades matemáticas que impiden obtener la
solución del problema planteado integrando el sistema de ecuaciones diferenciales
resultante.

2.2. TEORIA CLASICA DE PLACAS.

2.2.1 Hipótesis Básicas.

La respuesta tenso deformacional de una placa puede obtenerse por degeneración
de la teoría de la elasticidad tridimensional suponiendo que la variación, de las
distintas magnitudes que intervienen en el proceso a lo largo del espesor, es una
función conocida de los valores que toman en el plano medio de la misma.

Para generar la teoría de Placas clásica bajo estas condiciones es necesario
establecer las siguientes hipótesis:

- El material de la Placa se supone elástico, homogéneo e isótropo.

- Se supone válida la teoría de las pequeñas deformaciones. Una flecha del
10% del espesor puede ser considerada como un límite máximo para
satisfacer la hipótesis de flechas pequeñas.


- Todos los puntos situados sobre una recta normal al plano medio de la
placa sin deformar, permanecen después de la deformación sobre una
recta (Hipótesis de Navier) normal al plano medio deformado. Hipótesis
de Normalidad.

- Los puntos del plano medio sólo se mueven en la dirección
perpendicular al mismo. Es decir sólo se considera la deformación
provocada por la flexión.

- Todos los puntos situados sobre una normal al plano medio tienen la
misma flecha. Es decir w (x, y, z) = w (x, y).

- La tensión normal al plano medio de la placa se considera despreciable.

Estas hipótesis permiten expresar los desplazamientos, deformaciones, tensiones y
esfuerzos en el plano medio sólo en función de la flecha w(x, y) que caracteriza
cada punto de la placa transformando así un problema inicialmente tridimensional
en bidimensional. Posteriormente estableciendo las ecuaciones de equilibrio, se
determina la ecuación diferencial en derivadas parciales que debe satisfacer esta
función w(x, y).

2.2.2. Campo de desplazamientos.

Bajo las hipótesis anteriores, el campo de desplazamientos puede expresarse en
función de un solo parámetro del plano medio, la flecha w(x, y), en la forma
siguiente:


∂w(xy) ∂w(xy)
u (xyz)= -z v (xyz)= -z w (xyz) = w(xy)
∂x ∂y

Se supone que los giros son pequeños y que por tanto el giro se produce según la
perpendicular. El signo menos aparece al considerar el eje z en sentido
descendente y los giros positivos en el sentido de las agujas del reloj.

2.2.3. Campo de deformaciones.

Por lo tanto el campo de deformaciones de acuerdo con las expresiones
anteriormente presentadas viene dado bajo las hipótesis anteriores por:
 ∂u(xyz) 
 ∂x 
   2 w(xy) 
   -z∂ 
 ∂v(xyz)   ∂ x2 
 ε x  ∂y   
     
 ε y    ∂ 2 w(xy) 
  ∂w(xy)   -z

   ∂ y2 
 ε z ∂z 
     
 =  =  0 
 γ xy   ∂u(xyz) ∂v(xyz)   
   +   
 γ xz   ∂y ∂x   ∂ 2 w(xy) 
    - 2z ∂x∂y 
 γ yz   ∂w(xy) ∂u(xyz)  
   
+   0 
 ∂x ∂z   
   
 ∂w(xy) ∂v(xyz)   
0
 + 
 ∂y ∂z 
Este campo de deformaciones también sólo depende de la flecha w(x, y) que
caracteriza al plano medio de la placa y como puede observarse los deslizamientos


en los planos perpendiculares al plano medio son nulos (lo que equivale a que las
hipótesis de partida no consideran la deformación debida al esfuerzo cortante y por
ello sólo son válidas para el análisis de placas delgadas) y el resto de componentes
varían linealmente a lo largo del espesor.

2.2.4. Campo de tensiones.

El campo de tensiones de acuerdo con las relaciones tensión deformación
deducidas anteriormente, viene ahora dado por:

E z  ∂ 2 w( x, y ) ∂ 2 w( x, y ) 
σx =
E
(ε x + ν ε y ) =− 
2 
+ν 

1 −ν 2 1 −ν  ∂ x 2
∂y 2


E z  ∂ 2 w( x, y ) ∂ 2 w( x, y ) 
σy =
E
(ν ε x + ε y ) = − ν
2 
+ 

1 −ν 2
1 −ν  ∂x 2
∂y 2


E z ∂ 2 w( x, y )
τ xy = G γ xy =− σ z = τ xz = τ yz = 0
1+ν ∂ x ∂ y

Nuevamente las tensiones normales y tangenciales no nulas varían linealmente a lo
largo del espesor. Las tensiones tangenciales en los planos normales al plano
medio son nulas. Esto significa que no se considera en el proceso el efecto del
esfuerzo cortante, fuerza vertical actuando en los planos (XZ) Qx e (YZ) Qy, lo
cual no implica que este sea nulo.


El estado tensional descrito provoca unos esfuerzos internos que actúan sobre la
sección recta de la Placa y que son equivalentes a las resultantes de tensiones sobre
el plano medio de la misma. Se obtienen así unos Momentos Flectores a partir de
las tensiones normales y unos Momentos Torsores a partir de las tensiones
tangenciales. No aparecen siguiendo este esquema los esfuerzos Cortantes, dado
que las tensiones tangenciales son nulas, pero existen y no tienen porque ser nulos.

2.2.5. Esfuerzos sobre el Plano medio.

Los esfuerzos internos de flexión y torsión se obtienen integrando las tensiones a
lo largo del espesor de la Placa y son función de la flecha w(x, y) de los puntos del
Plano medio de la misma.
t
2
∂2 w
E t3 ∂2 w
t
∫
M x = σ x z dz = - (
12(1 - ν 2 ) ∂ x 2
+ν
∂ y2
)
−
2
t
2
E t3 ∂2 w ∂2 w
M y= ∫t σ y z dz = -
12(1 - ν 2 )
(ν +
∂ x2 ∂ y 2
)
−
2
t
2
E t3 ∂2 w E t3
t
∫
M xy = τ xy z dz = -
12(1 +ν ) ∂x ∂y
D=
12 ( 1 - ν 2 )
−
2

Este coeficiente D es clásico en placas, la caracteriza desde el punto de vista resis-
tente y tiene un significado físico similar a la rigidez EI en vigas.

Para expresar los esfuerzos cortantes Qx y Qy en función de la flecha del plano
medio w(x, y) es necesario establecer las ecuaciones de equilibrio ya que la formu-
lación en desplazamientos planteada no permite explicitarlos al no considerar su
influencia durante el proceso de deformación .

Como estos esfuerzos se han obtenido como la resultante de tensiones a lo largo
del espesor vienen dados por unidad de longitud horizontal X e Y. Es decir los mo-
mentos tienen dimensiones de F . L/ L (T. m. / cada m.).


2.3. ECUACION DIFERENCIAL DE LA PLACA.

El equilibrio del elemento diferencial de placa de la figura, (dx, dy, t), se plantea
considerando que exteriormente actúa una carga normal al plano medio q= q(x, y)
por unidad de superficie. El equilibrio tiene que satisfacerse en fuerzas y
momentos y por lo tanto debe incorporarse la longitud que afecta a cada uno de los
esfuerzos anteriormente presentados.

∑ Fz =0 ∑M x=0 ∑M y =0

2.3.1. Equilibrio de Momentos respecto a x=0

∑M x =0

∂My ∂ M xy
( My+ dy ) dx - M y dx + ( M xy + dx ) dy - M xy dy - Q y dx dy = 0
∂y ∂x

∂My ∂ M xy
+ - Qy= 0
∂y ∂x


2.3.2. Equilibrio de Momentos respecto a y=0

∑M y=0

∂Mx ∂ M yx
(Mx+ dx) dy - M x dy + ( M yx + dy) dx - M yx dx - Q x dy dx = 0
∂x ∂y

∂ M x ∂ M yx
+ - Qx = 0
∂x ∂y

2.3.3. Equilibrio de fuerzas verticales.

∑F z=0

∂ Qx ∂ Qy
dx dy + dy dx + q dx dy = 0
∂x ∂y
Sustituyendo las expresiones de Qx y Qy en esta última ecuación se obtiene:

∂2 M x ∂ 2 M xy ∂ 2 M y
+2 + = - q (x, y)
∂ x2 ∂x ∂y ∂ y2
y sustituyendo los momentos por sus expresiones en función de la flecha del plano
medio w(x,y) se obtiene la ecuación diferencial que rige el comportamiento de la
Placa:
q(x, y)
∆ ∆ w(x, y) =
D
Por tanto resuelta la ecuación diferencial y obtenida la expresión de w(x, y) es
sencillo conocer el campo de desplazamientos, deformaciones, tensiones y
esfuerzos en cualquier punto de la placa. Los esfuerzos cortantes vienen dados por:
∂ M xy ∂My ∂ ∂2 w ∂2 w ∂
Qy= + =- D ( + )= - D (∆w)
∂x ∂y ∂ y ∂ x2 ∂ y 2 ∂y
∂ M x ∂ M yx ∂ ∂2 w ∂2 w ∂
Qx = + =- D ( + )= - D (∆w)
∂x ∂y ∂ x ∂ x2 ∂ y2 ∂x


2.4. CONDICIONES DE CONTORNO.

Al resolver la ecuación diferencial de la placa es necesario imponer unas
determinadas condiciones en los bordes. Esto es obvio tanto desde el punto de
vista físico como matemático ya que la respuesta de una Placa, o la solución de la
ecuación diferencial que la representa, es distinta según su contorno este apoyado,
empotrado o libre.

2.4.1. Contorno Empotrado.

Sí el borde x=a esta empotrado la flecha y el giro en dicho borde son nulos. Se
tienen por tanto las siguientes condiciones que debe satisfacer la función w(x, y):

 ∂ w( x, y ) 
[w( x, y )] x=a = 0  ∂x  =0
  x=a

2.4.2. Contorno Apoyado.

Si el borde x=a esta simplemente apoyado, la flecha w(x,y) es nula a lo largo del
borde. Como en el borde la placa puede girar libremente el momento Mx es nulo.
Matemáticamente un borde simplemente apoyado introduce las siguientes
condiciones para la flecha w :


 ∂ 2 w( x, y) ∂ 2 w( x, y)
[w(x, y)]x=a = 0 [M x ]x=a =0 ⇒  +ν  =0
 ∂x ∂y
2 2
  x=a


Si el borde x=a esta apoyado de forma continua, la curvatura según el eje Y a lo
largo de la línea x=a es nula:

 ∂ 2 w( x, y )   ∂ 2 w( x, y ) 
  =0 ⇒   =0

 ∂ y 2  x =a
 
 ∂ x 2  x =a


2.4.3. Borde Libre.

Si el borde x=a esta libre a lo largo de él los Momentos Flectores, Torsores y
esfuerzo Cortante son nulos.

[M x ]x =a = 0 [M xy ]x=a = 0 [Q x ]x =a = 0

En principio un borde libre incorpora tres condiciones que debe satisfacer la
ecuación diferencial que representa el comportamiento de la placa estudiada. No
obstante Kirchoff probó que estas tres condiciones son excesivas y son suficiente
dos para determinar correctamente la flecha w(x, y). Kirchoff puso de manifiesto
que las condiciones relativas al momento torsor y al esfuerzo cortante pueden
sustituirse por una condición única.


Los esfuerzos que actúan sobre la placa no varían si el momento torsor Mxy dy que
actúa sobre un elemento diferencial de longitud dy del borde x=a, se sustituye por
dos fuerzas verticales de valor Mxy y brazo dy. Es decir la distribución de
momentos torsores Mxy en el borde libre x=a es estáticamente equivalente a una
distribución de esfuerzos cortantes Q'x de intensidad:

 ∂ M xy 
Q′ = 
x 
 ∂ y  x=a

Por lo tanto la condición conjunta relativa al momento torsor Mxy y esfuerzo
cortante Qx en un borde x=a libre puede escribirse como:

 ∂ M xy 
[V x ]x =a = [Q x + Q x ]x =a = Q x +
′  =0
 ∂ y  x =a
condición que expresada en función de la flecha w(x ,y) toma la forma:

 ∂3w ∂3w 
 3 + (2 − ν )  =0
∂ x
 ∂ x ∂ y 2  x =a


Si el borde libre está definido por y=b las condiciones anteriores son las siguientes:


 ∂ M xy 
Q′ = 
y 
 ∂ x  y =b

[V y ]y =b = [Q ′y + Q y ]y =b = Q y + ∂ Mxxy 

∂
 =0
  y =b

 ∂3w ∂3w 
 3 + (2 − ν )  =0

 ∂y ∂ y ∂ x 2  y =b


Este razonamiento conduce a que en cualquier borde libre o no, debe satisfacerse
esta condición conjunta de torsión y cortante de forma que ambos esfuerzos son
estáticamente equivalentes a una fuerza vertical Vx o Vy dadas por:

∂3w ∂3w   ∂3w ∂3w 
Vx = D  + (2 − ν )  Vy = D  + (2 − ν ) 
∂ x ∂ x ∂ y2  ∂ y ∂ x2 ∂ y
3 3
   

Si el borde estudiado tiene el movimiento vertical impedido estas expresiones
cambiadas de signo, una vez determinada la flecha w(x, y) en función de los
condicionantes del tipo de apoyo considerado, permiten obtener las reacciones en
la sustentación.

En las esquinas como puede verse en la figura existen dos fuerzas concentradas del
mismo sentido Vx y Vy de valores Mxy (debido al signo diferente de Myx) de forma
que sí la placa esta apoyada en los bordes aparece una reacción:

R = 2 M xy = - 2 (1 - ν ) D ∂
2w

∂x∂y


Es decir la placa frente a una carga vertical se levanta en las esquinas y es
necesario en la práctica realizar el anclaje correspondiente para soportar este
efecto. Si la placa tiene unas condiciones de apoyo tales que el momento torsor es
nulo en el borde este efecto no aparece.

2.4.4. Sustentación Elástica.

2.4.4.1. Apoyo Elástico.

Sí el borde x=a esta apoyado elásticamente, constante elástica del apoyo variable a
lo largo del borde considerado k = k (y), la función w(x, y) debe satisfacer las
siguientes condiciones:

[V x ]x =a = k ( y ) [w( x, y )]x =a [M x ] x=a =0
lo que conduce

D  ∂ 3w ∂ 3w 
[w(x, y )]x=a =  + (2 − ν )  =0
k ( y)  ∂ x3 ∂ x ∂ y 2  x =a
 

2.4.4.2. Empotramiento Elástico.

Sí el borde x=a esta empotrado elásticamente, constante elástica del
empotramiento variable a lo largo del borde considerado k = k (y), la función
w(x,y) debe satisfacer las siguientes condiciones:

 ∂ w(x, y )  ∂3w ∂ 3w 
[M x ]x=a = k ( y )  ∂ w  + (2 − ν )
D
  =  3  =0
 ∂ x  x=a k ( y)
  ∂x ∂ x ∂ y2  x=a
 ∂ x  x=a 


2.4.4.3. Viga de Borde.

Un caso interesante aparece cuando en el borde x=a de la placa existe una viga de
borde de rigidez EI. En este caso la condición de borde se obtiene estableciendo
compatibilidad entre la viga y el borde de la placa considerado.

 ∂ 4 w ( x, y )  ∂3w ∂3w 
[q ( x)] x=a = [V x ( x, y)] x=a  EI  =D + (2 − ν ) 

 ∂ x 4  x =a
 
 ∂ x3 ∂ x ∂ y 2  x =a


2.4.4.4. Placa sobre lecho elástico.

Si todos los puntos de la placa están bajo condiciones de apoyo elástico la carga se
modifica con una reacción vertical R(x,y) = -k(x,y) w(x, y) con lo que la ecuación
diferencial de la placa se modifica en la forma:

k(x, y) q(x, y)
∆ ∆ w(x, y) + w(x, y) =
D D

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