Metodos numericos

Análisis Numérico
Facultad de Ciencias
Kay Tucci
kay@ula.ve

SUMA
Facultad de Ciencias
Universidad de Los Andes (ULA)
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Merida, 5101 - VENEZUELA

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Analisis Numerico – p. 1/196

Programa del Curso

Fuente y propagación de errores
Solución de ecuaciones no lineales de una variable
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Teoría de interpolación
Integración numérica

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Bibliografía y Materiales

Bibliografía
Kincaid D. & Cheney W. An Introduction to Numerical Analisys
Atkinton Kendall E. An Introduction to Numerical Analisys
Burden R. y Faires D. Analisis Numerico
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Trevisan M. C. Notas de Analisis Numerico
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Materiales

http://www.matematica.ula.ve/publicaciones/index.html
http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/kay

Recomendaciones Generales

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Algunos conceptos

Problema numérico: Descripción precisa de la relación funcional
entre un conjunto finito de datos de entrada y un conjunto finito de
datos de salida.

Algoritmo: secuencia ordenada y finita de pasos, excenta de
ambigüedades, que seguidas en su orden lógico nos conduce a la
solución de un problema específico

Método numérico: Procedimiento para transformar un problema
matemático en numérico y resolver este último

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Pasos Generales

El análisis numérico se utiliza generalmente cuando no se puede
resolver el problema matemático, es decir hallar una relación funcional
entre el conjunto de entrada y el de salida. Los pasos a seguir son:

1. Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución.

2. Aproximación: Crear una solución para un número ﬁnito de valores
existencia y unicidad
estabilidad y convergencia

3. Resolución: Elección de un algoritmo numérico
Elección del algoritmo: Costo y estabilidad
Codiﬁcación del algoritmo
Ejecución del programa

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Fuente y propagación de errores

Sistemas numéricos
Aritmética del computador
Fuentes de errores
Errores de redondeo y discretización
Propagación de errores
Estabilidad e inestabilidad numérica

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Sistemas numéricos

Los sistemas numéricos más antiguos son:

Babilónico: base 60

Romano: (I, V, X, L, C, D y M)

Hindú y árabe: decimal

El extendido uso del sistema decimal oculta la existencia de otros
sistemas numéricos:

Binario: base 2

Octal: base 8

Hexadecimal: base 16

...

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Sistemas numéricos de posición

Los sistemas númericos actuales, decimal, binario, octal, hexadecimal,
entre otros; representan a los números reales mediante un sistema de
posición con base b.
n
±x = ±(an bn + an−1 bn−1 + an−2 bn−2 + . . . ) = ± ai bi ;
i=−∞

donde, a es el valor absoluto del número real a representar,
0 ≤ ai ≤ b − 1 en el dígito que ocupa la posición i en a contadas a
partir del punto decimal, positivos a la izquierda y negativos a la
derecha; y n en la posición más a la izquierda ocupada por un dígito
an = 0
Ambigüedades:
a.ccccc · · · = a + 1 ; c=b−1

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Sistema numéricos de posición

Conversión de base 10 a base b: convertir el número 12.312510 a
base 2

1. Dividir, sucesivamente, la parte entera del número (1210 ), entre la
nueva base (2), hasta obtener un cociente más pequeño que esta
última (2), asignando sucesivamente los restos de la división
entera a a0 = 0, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 1.
1210 = 11002

2. Multiplicamos la parte fraccionaria del número decimal (0.312510 )
por la nueva base b (2), restando y asignando sucesivamente la
parte entera del producto a a−1 = 0, a−2 = 1, a−3 = 0, a−4 = 1
0.312510 = 0.01012
12.312510 = 1100.01012

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El computador

CPU PC
CU
Acum

Memoria Principal

Registros

Instrucciones
Registros
ALU
RAM ROM
Cache

Bus Control
Bus Datos

Cache
Controlador Controlador Controlador Controlador Controlador
I/O I/O I/O de Discos I/O

Interfaz Entrada/Salida Memoria Secundaria

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Sistema de numeración binario

Utiliza solamente dos dígitos o símbolos: “0” y “1”, y su base es 2.
Deﬁniciones:

bit: del ingles Binary digIT, representa un dígito binario. Ademas, el bit
es la unidad mínima de información empleada en la teoría de la
información.

byte u octeto: Generalmente se reﬁere a 8 bits. Formalmente es una
secuencia de bits contiguos, cuyo tamaño depende del código de
información o de carácteres en que esté usando.

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Nombre Abrev. Factor Valor
kilo K 210 1024
mega M 220 1048576
giga G 230 1073741824
tera T 240 1099511627776
peta P 250 1125899906842624
exa E 260 1152921504606846976
zetta Z 270 1180591620717411303424
yotta Y 280 1208925819614629174706176
bronto B 290 1237940039285380274899124224
geop Ge 2100 1267650600228229401496703205376

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Existen variantes del sistema de numeración binario

Binario puro: Solamente se pueden representar números no negativos

Signo Magnitud: El bit más signiﬁcativo representa el signo (0 = +) y
(1 = −) y los restantes n − 1 bits representan el valor absoluto del
número.

Complemento a la Base Disminuida:En los números negativos cada dígito
se escribe como [d]b = (b − 1) − (di )b

Complemento a la Base: [N ]b de un número (N )b se deﬁne como:

[N ]b = bn − (N )b ,

donde, n es el número de dígitos de (N )b

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En 1985 la IEEE establece el Binary Floating Point Arithmetic Standard
754-1985, donde se establecen los formatos para representar
números punto ﬂotantes de precisión simple (32 bits) y doble (64 bits)
Los números se distribuyen de forma exponencial en la recta real

(−1)S 2E−127 (1 + 0.F ) | (−1)S 2E−1023 (1 + 0.F )

donde, S representa el bit de signo, E el exponente y F la parte
fracción binaria del número.
presición signo exponente mantisa
simple 1 8 bits 10−39 ↔ 1038 23 bits 7 cifras dec.
doble 1 11 bits 10−308 ↔ 10308 52 bits 16 cifras dec.

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Desbordamiento

Los resultados que en valor absoluto son menores que el valor mínimo
que soporta el formato de representación son considerados
underﬂows, mientras los que son mayores que el valor máximo
permitido se consideran overﬂows.

x ← 1 ; i ← 0 x ← 1
Repita i ← 0
| ant ← x Mientras (1 + x > 1 )
| i ← i + 1 | x ← x / 2
| x ← 2*x | i ← i + 1
| Escribir(i, ant, x) | Escribir(i, x)
hasta(ant > x)

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Fuentes de errores

En los datos de entrada

En los códigos

Temperamento del computador:
“El programa no quiere correr”

Cuantización del sistema de numeración

de redondeo o truncamiento:
2 1 − 3 = 0.6666666 − 0.6666667 = −0.0000001
3
2

Aproximación en los algoritmos:
∞ N
xn ∼ xn
ex = =
n=0
n! n=0
n!

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Errores relativo y absoluto

Sea x∗ el valor aproximado de una cantidad x

Error absoluto: |x∗ − x|
x∗ −x
Error relativo: x ,x = 0

m es una cota del error absoluto si: m > 0 y |x∗ − x| ≤ m
x∗ −x
m es una cota del error relativo si: m > 0 y x ≤ m, x = 0

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Cifras signiﬁcativas

Decimos que a es la representación normalizada de un número real
no nulo x si
x = ±0.a1 a2 a3 · · · × 10e ,
donde, a1 es un dígito del 1 al 9; ai , i = 2, 3, . . . , son dígitos del 0 al 9 y
e ∈ Z es el exponente.

a∗ aproxima a a con t decimales correctos si t es el mayor entero
no negativo para el cual: |a∗ − a| ≤ 0.5 × 10−t

a∗ aproxima a a con t cifras signiﬁcativas si t es el mayor entero
no negativo para el cual: |a∗ − a| < 0.5 × 10e−t

donde, a∗ el valor aproximado de una cantidad a

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Sean x∗ , y ∗ los valores aproximados de x, y; y ǫx , ǫy ≪ 1 sus
respectivos errores relativos.

Suma / Resta :
(x∗ ± y ∗ ) − (x ± y) x y
ǫx±y = = ǫx ± ǫy
x±y x±y x±y

´
Multiplicacion :

(x∗ y ∗ ) − (xy)
ǫxy = = ǫx + ǫy + ǫx ǫy ∼ ǫx + ǫy
=
xy

´
Division :
(x∗ /y ∗ ) − (x/y) ǫx − ǫy ∼
ǫx/y = = = ǫx − ǫy
x/y 1 + ǫy

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Para evitar la propagación rádida de los errores hay que tener en
cuenta que en la aritmética del computador la propiedad asosiativa no
se cumple.

Resta de números muy parecidos
√
−b + b2 − 4ac −2c
x1 = = √
2a b + b2 − 4ac

Sumatorias largas de números

105 99 100
1 1 1
x= 5
¯ xi = xi+100j
10 i=1
100 j=0
100 i=1

Ordenar los terminos de menor a mayor

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Error total e iteraciones óptimas

Generalmente en los algoritmos iterativos los errores de aproximación
dependen del número de iteraciones N y pueden modelarse como,
α
ǫaprox ≃ β
,
N
y los errores de redondeo dependen del precisión de la máquina ǫmaq
y van como
√
ǫred ≃ N ǫmaq
Entonces, el error total ǫt viene dado por,
α √
ǫt = ǫaprox + ǫred ≃ β + N ǫmaq
N
El número de iteraciones óptima se alcanza cuando ǫt sea mínimo

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Cálculo del error

Cómo se propagan el errores de los datos x cuando se calcula f (x)

∂f ( x) xi
ǫf ∼
= |ǫxi |
i
xi f (x)

Empíricamente, comparamos los valores calculados con N y 2N
iteraciones. Cuando se alcanza el valor asimtótico y el error de
redondeo no es significativo se tiene que,
α
fN (x) − f2N (x) ≃ β
,
N
En un gráfico log10 (fN − f2N ) vs log10 (N ) esto es una recta.
En la gráfica anterior, el punto No en el que cambia la pendiente indica
aproximadamente el número óptimo de iteraciones, y el log10 (No )
aproxima al número de cifras significativas del resultado numérico.
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Símbolos O y o

Decimos que f es de orden O grande con respecto a g cuando
x → a si existe una constante K > 0 tal que,

f (x)
≤ K,
g(x)

para x = a en un entorno de a.
Pondremos f = O(g) cuando x → a.

Decimos que f es de orden o pequeña con respecto a g cuando
x → a si,
f (x)
lim = 0.
x→a g(x)

Pondremos f = o(g) cuando x → a.

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Símbolos O y o

Ejemplo:

f = O(1) cuando x → a signiﬁca que f (x) se mantiane acotada
cuando x → a

f = o(1) cuando x → a signiﬁca que f (x) tiende a cero cuando
x→a

Propiedades:

Si f = o(1) cuando x → a entonces f = O(1) cuando x → a

Si f = O(xn ) cuando x → 0 para algún n ∈ Z+ entonces
f = O(xn−1 ) cuando x → 0

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Estabilidad y Condición

Los algorítmos numéricos debe dar resultados precisos y exactos.

Estabilidad: Un algoritmo es estable si cambios pequeños en los
datos iniciales producen cambios pequeños en los resultados

Condición: Algunos algoritmos son estables solamente para un
conjunto de condiciones iniciales. Estos algoritmos son
condicionalmente estables

Crecimiento del error: Si ǫ0 denota el error inicial y ǫn el error
despues de n iteraciones, decimos que el error crece:
linealmente si ǫn ≈ knǫ0
exponencialmente si ǫn ≈ k n ǫ0 Hay que evitarlo
Por lo general es inevitable el crecimiento lineal del error.

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Ecuaciones no Lineales

Introducción
Método de bisección
Método de la secante
Método de Newton
Métodos iterativos de un punto
Raices múltiples
Cálculo de raíces de polinomios

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En las Matemáticas aplicada frecuentemente se debe hallar
soluciones de la ecuación

f(x) = 0 ,

donde, x ∈ Rn y f : Rn → Rm es una función no lineal. En
particular, en este curso nos centraremos en la busqueda de las
raices o ceros de funciones unidimensionales, m = 1, y
monovaluadas n = 1; es decir,

f (x) = 0 ,

donde, x ∈ R y f : R → R

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Ecuaciones algebraicas:
x2 − x + 2 = 0
x6 = x − 1

Ecuaciones tracendentes:
x
sin(x) − 2 =0
tan(x) = ex

Sólo existen soluciones exactas en casos muy particulares y
generalmente, se tendrán que utilizar métodos numéricos, en
particular, metodos iterativos.

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Metodo Iterativo

Es aquel método numérico en el que partiendo de un valor x0
arbitrario, se calcula una sucesión x0 , x1 , x2 , . . . de forma
recurrente, mediante una relacion de la forma

xn+1 = g(xn ) , n = 0, 1, 2, . . . ;

donde, xi ∈ R y g : R → R
Los métodos iterativos también se utilizan en otros problemas
numéricos y, en general, son muy poco vulnerables al
crecimiento del error por redondeo
Iteración: Los pasos que se dan, en un algoritmo, para calcular
un iterado, xn+1 , a partir del iterado anterior, xn .

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Orden de convergencia

Sea {xn }∞ una sucesión que converge a α y ǫn = xn − α.
n=0

Si existe una constante C ∈ (0, 1) tal que

|ǫn+1 |
lim =C,
n→∞ |ǫn |

entonce, la sucesión converge a α linealmente con una
tasa o velocidad de convergencia C

Si lo anterior ocurre para C = 0, entonces se dice que la
sucesión converge superlinealmente.

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Orden de convergencia

Sea {xn }∞ una sucesión que converge a α y ǫn = xn − α.
n=0

Si existe un p ≥ 1 y una constante C tal que

|ǫn+1 |
lim =C,
n→∞ |ǫn |p

entonce, {xn }∞ converge a α con orden p.
n=0
En particular, la convergencia con orden p = 2 se le llama
cuadrática y la con orden p = 3 cúbica

En general los métodos que generen sucesiones con alto orden
de convergencia se aproximan más rápidamente a la solución
que aquellos que generen sucesiones con bajo orden.

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Convergencia
Como f (a)f (b) ≤ 0 sabemos que existe un α ∈ [a, b] tal que f (α) = 0. Partiendo del
algoritmo y mediante inducción se puede ver que
1 1
bn+1 − an+1 = (bn − an ) y que bn − an = (b1 − a1 )
2 2n−1
Como α ∈ [an , cn ] o α ∈ [cn , bn ] tenemos que
1
|cn − α| ≤ an − cn = cn − bn = (an − bn )
2
Combinando las dos equaciones anteriores tenemos que
1
|cn − α| ≤ (b1 − a1 ) , n≥1
2n−1
Lo que implica que
lim cn = α
n←∞
1
es decir, convergencia lineal, p = 1 con una velocidad de convergencia C = 2

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Comentarios del método de bisección:

Hay que dar dos valores iniciales, uno a cada lado de la raiz que
se está buscando. Esto es un problema, especialmente si no se
tiene ninguna idea del comportamiento de la función o si esta
presenta raices muy similares o múltiples.

Errores de redondeo o de cuantiﬁcación pueden causar problemas
cuando el intervalo de búsqueda se vuelve pequeño

Al evaluar la función cerca de la raiz, f (x) ≈ 0, para el cálculo del
cambio de signo, los errores por operar con números muy
pequeños pueden hacerse presentes

´ ´


Convergencia
Diferencias divididas:

´
Deﬁnicion: Sean a = b = c,

f (b) − f (a)
diferencia dividida de primer orden: f [a, b] =
b−a

f [b, c] − f [a, b]
diferencia dividida de segundo orden: f [a, b, c] =
c−a
Propiedades:

f [a, b] = f [b, a]
f [a1 , a2 , a3 ] = f [ai , aj , ak ] con i = j = k y i, j, k ∈ {1, 2, 3}
si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe ξ ∈ (a, b) tal que
f [a, b] = f ′ (ξ) (Teorema del valor medio)
si f ′ es derivable en (min(a, b, c), max(a, b, c)), existe η tal que
f [a, b, c] = f ′′ (η)

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Convergencia Del método tenemos que:
b−a
c = b − f (b) ,
f (b) − f (a)

donde el error se calcula como
b−a 1 f ′′ (η)
c−α= b−α− = (a − α)(b − α) ′ , η, ξ ∈ (a, b)
f (b) − f (a) 2 f (ξ)

Teorema: Sea f dos veces continuamente diferenciable en [a, b] con α la única raiz en
[a, b]. Suponiendo que f (a)f (b) < 0, f ′ (α) = 0 y f ′′ no cambia de signo en [a, b]. Si
˛ ˛ ˛ ′′ ˛
˛ω − α˛ ˛ f (x) ˛
C=˛ ˛ 2 ˛ maxx∈[a,b] ˛ f ′ (x) ˛ < 1 , con ω = a o ω = b ,
˛ ˛ ˛

según sea caso del estremo del intervalo [a, b] que no se modiﬁque, entonces el método
converge linealmente.

an+1 − α ≤ C(an − α) , si ω = b o bn+1 − α ≤ C(bn − α) , si ω = a

´ ´


Comentarios del método de la posición falsa:

Hay que dar dos valores iniciales, uno a cada lado de la raiz que
se está buscando. Esto es un problema, especialmente si no se
tiene ninguna idea del comportamiento de la función o si esta
presenta raices muy similares o múltiples.

Si la función es convexa o cóncava en [a, b] uno de los extremos
de intervalo no se moverá por lo que el método solamente
aproxima a la raiz por uno de los lados.

Al evaluar la función cerca de la raiz, f (x) ≈ 0, para el cálculo del
cambio de signo, los errores por operar con números muy
pequeños pueden hacerse presentes

´ ´


Convergencia Del método tenemos que:
b−a
c = b − f (b) ,
f (b) − f (a)

donde, usando diferencias divididas, el error se calcula como
b−a 1 f ′′ (η)
c−α= b−α− = (a − α)(b − α) ′ , η, ξ ∈ (a, b)
f (b) − f (a) 2 f (ξ)

sustituyendo c = xn+1 , b = xn , a = xn−1 tenemos que

f ′′ (ηn )
ǫn+1 = ǫn ǫn−1 ′
2f (ξn )

Teorema: Supongamos que f : R → R es una función C 2 en una vecindad de α para la
cual f (α) = 0 y f ′ (α) = 0. Entonces si x0 y x1 se seleccionan suﬁcientemente cerca
de α las iteraciones del método de la secante convergen a α. Además,
„ ′′ « √
ǫn+1 f (α) p−1 1+ 5
lim = , p= ≈ 1.62
n→∞ (ǫn )p 2f ′ (α) 2

´ ´


Demostración de la convergencia:Sea
„ ′′ «
f (x)
M = max ∀ x ∈ I = [α − ǫ, α + ǫ] , ǫ > 0
2f ′ (x)

y supongamos que x0 y x1 son escogidos de forma tal que

δ = max{M |ǫ0 |, M |ǫ1 |} < 1

Como |ǫ2 | ≤ M |ǫ1 ||ǫ0 | tenemos que

δ
M |ǫ2 | ≤ M 2 |ǫ1 ||ǫ0 | ≤ δ 2 < δ < 1 =⇒ |ǫ2 | < <ǫ
M
Suponiendo que xi ∈ I , i = 1, 2, . . . , n, lo que signiﬁca que M |ǫi | < δ, entonces

|ǫn+1 | ≤ M |ǫn ||ǫn−1 |

δ
M |ǫn+1 | ≤ M 2 |ǫn ||ǫn−1 | ≤ δ 2 < δ < 1 =⇒ |ǫn+1 | < <ǫ
M
lo que indica que xn ∈ I ∀ n

´ ´


Demostración de la convergencia:

M |ǫ0 | ≤ δ
M |ǫ1 | ≤ δ
M |ǫ2 | ≤ M |ǫ0 |M |ǫ1 | ≤ δ×δ = δ2
M |ǫ3 | ≤ M |ǫ1 |M |ǫ2 | ≤ δ × δ2 = δ3
M |ǫ4 | ≤ M |ǫ2 |M |ǫ3 | ≤ δ2 × δ3 = δ5
M |ǫ5 | ≤ M |ǫ3 |M |ǫ4 | ≤ δ3 × δ5 = δ8
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
. . . . . . .
M |ǫn+1 | ≤ M |ǫn−1 |M |ǫn | ≤ δ qn−1 × δ qn = δ qn−1 +qn

Se tiene que {qn } es la sucesión de Fibonacci cuya solución positiva es
√ !n+1
1 1+ 5
qn = √
5 2

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Demostración de la convergencia: Así que
δ qn
|ǫn | ≤ con δ < 1 , obtenemos que lim |ǫn | = 0
M n→∞

Como
√ !n+1 √
1 1+ 5 1+ 5
qn = √ , p=
5 2 2
entonces
(δ qn )p = δ qn+1
y calculando la convergencia tenemos que
1 qn+1 1 qn+1
ǫn+1 δ δ
lim M
= lim ` 1 ´p = lim M
= M p−1
n→∞ (ǫn )p n→∞ δ qn n→∞ 1
δ qn+1
M Mp

´ ´


Comentarios del método de la secante:

Hay que dar dos valores iniciales, a pesar de que no tienen que
encerrar a la raiz que se está buscando, los puntos tienen que
estar suficientemente cerca de la raiz para garantizar que el
método converja.

Si la derivada de la función, cerca de la raiz, tiene un valor muy
alto el cálculo de b − a puede causar problemas por perdida de
cifras significativas.

De igual modo, si la derivada de la función, cerca de la raiz, tiene
un valor muy bajo el cálculo de f (b) − f (a) puede causar
problemas por perdida de cifras significativas

´ ´

Método de Newton-Raphson

Entrada: x, t, n y
Salida: x, ’error’
y=f(x)
leer(x, t, n)
i ← 0 g (x)=f’(x i)(x − x ) + f(x )
i i i
repita
| i ← i + 1
| xa ← x
| x ← xa - f(xa)/fp(xa)
hasta (i≥n)∨(|x-xa|≤t)
si (|x-xa|≤t)
| escribir(x)
sino x3
x0 f(x ) x1=x − f(x )
0
| escribir(’error’) x2=x 1− 1 0
f ’(x )
f ’(x )
1 0

´ ´


Convergencia
Del método de Newton-Raphson tenemos que

f (xn )
xn+1 = xn − , n≥0
f ′ (xn )

Expandiendo a f (x) alrededor de xn :

′ (x − xn )2 ′′
f (x) = f (xn ) + (x − xn )f (xn ) + f (ξn ) , ξn ∈ [xn , x] o [x, xn ]
2
Para x = α, f (α) = 0 y dividiendo lo anterior entre f ′ (xn ) tenemos

f (xn ) ′′
2 f (ξn )
′ (x )
+ (α − xn ) +(α − xn ) =0
f n | {z } 2f ′ (xn )
| {z } ǫn
−ǫn+1

Que es lo mismo que
f ′′ (ξn )
ǫn+1 = ǫ2
n
2f ′ (xn )

´ ´


Convergencia
Teorema: Sea f ∈ C 2 [a, b]. Si α ∈ [a, b] es tal que f (α) = 0 y f ′ (α) = 0, entonces
existe un ǫ > 0 tal que el método de Newton-Raphson genere una sucesión {xn }∞ n=1
que converge cuadráticamente a α para cualquier valor inicial x0 ∈ I = [α − ǫ, α + ǫ]
Demostración: Deﬁnamos a
˛ ′′ ˛
1 ˛ f (ξn ) ˛
M = max ˛ ′ ˛ f (x ) ˛
˛ , y escojamos a x0 ∈ I tal que M |ǫ0 | < 1
2 x∈I n

Sustituyendo en la ecuación de la sucesión {ǫn } tenemos

|ǫ1 | ≤ (M |ǫ0 |)2 < |ǫ0 | ≤ ǫ , lo que implica que x1 ∈ I

Ahora si suponemos que xn ∈ I y que M |ǫn | < 1 tenemos

|ǫn+1 | ≤ (M |ǫn |)2 < |ǫn | ≤ ǫ , lo que implica que xn+1 ∈ I

´ ´


Demostración de la convergencia: De lo anterior concluimos que

xn ∈ I , M |ǫn | < 1 ∀ n y M |ǫn+1 | ≤ (M |ǫn |)2 ≤ (M |ǫ0 |)2n

obteniendo que |ǫn | = 0 cuando n → ∞ ya que M |ǫ0 | < 1, lo que equivale a

lim xn = α
n→∞

Además,
ǫn+1 1 f ′′ (α)
lim =
n→∞ ǫ2 2 f ′ (α)
n
Es decir, el método tiene un orden de convergencia

1 f ′′ (α)
p = 2 con C =
2 f ′ (α)

´ ´


Trampas

Cambio de concavidad Raiz no real
f ′′ (x) = 0
y y

y=f(x) y=f(x)

x4
x2
x0
x1
x3
x5

x0 x1
x2 x3
x4 x5

´ ´

Método iterativo de un punto

Partiendo de la ecuación general

f (x) = 0 ,

cuyas raices se quieren encontrar. Supongamos que α es una de sus
raices y que existe otro valor x0 que no satisface la ecuación.

f (α) = 0 , f (x0 ) = 0

Realizando algunas operaciones algebraicas transformaos la ecuación

f (x) = 0 en g(x) = x ,

donde, g(x) es una nueva función que cumple con

g(α) = α , g(x0 ) = x0

´ ´


Al evaluar un valor cualquiera x0 en g(x) obtenemos un nuevo valor

x1 = g(x0 ) ,

donde, si el nuevo valor

x = x , encontramos la raiz x0 = α
1 0
x1 = x0 , es lo que generalmente pasa

Si repetimos el proceso obtenemos

x1 = g(x0 ) , x2 = g(x1 ) , . . . , xn = g(xn−1 )

´ ´


La sucesión {xn } converge a la raiz α si

lim (xn − α) = 0 , es decir, lim xn = α
n→∞ n→∞

Si la expresión anteriror es cierta, debe valer también para xn+1

lim (xn+1 − α) = 0 , y como xn tiende a α , lim (xn+1 − xn ) = 0
n→∞ n→∞

Es decir, cuando el número de iteraciones se vuelve muy grande la
diferencia entre dos aproximaciones sucesivas xn y xn+1 de la raiz α
debe aproximarse a cero.
Esta condición es necesaria para que los procesos iterativos converjan
a la raiz.

´ ´


Entrada: x, t, n
y g(x) se obtiene al transformar
y=g(x) f(x)=0 en g(x)=x
leer(x, t, n)
i ← 0
repita
| i ← i + 1
y=f(x)
| xa ← x
| x ← g(xa)
hasta (i≥n)∨(|x-xa|≤t)
si (|x-xa|≤t)
| escribir(x)
x2=g(x1 ) x1=g(x0 )
sino
| escribir(’error’) x0 x3 =g(x2 )

´ ´


y y
y=g(x)

y=g(x)

x5 x4 x3 x2 x1 x0 x1 x3 x5 x4 x2 x0

Convergencia Monotónica Convergencia Oscilante
y y y=g(x)
y=g(x)

x1 x2
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x3 x0 x4

Divergencia Monotónica Divergencia Oscilante

´ ´


Criterio de convergencia
Del teorema del valor medio sabemos que

g(xn ) − g(xn−1 ) = g ′ (ξn )(xn − xn−1 ) ,

donde, ξn ∈ región entre xn y xn−1 y g ′ (x) es la derivada de g(x).
Como g(xn ) = xn+1 y g(xn−1 ) = xn podemos decir

|xn+1 − xn | = |g ′ (ξn )||(xn − xn−1 )|

Si suponemos que |g ′ (ξn )| ≤ M , es decir está acotada en el entorno
de la raiz tenemos que

|xn+1 − xn | ≤ M |xn − xn−1 | ≤ M 2 |xn−1 − xn−2 |

´ ´


Continuando con la sustitucion hasta el termino M |x1 − xo | tenemos

|xn+1 − xn | ≤ M n |x1 − xo |

Como sabemos que para que la serie converja xn+1 − xn debe tender
a cero, entonces
lim M n |x1 − xo | = 0 ,
n→∞

y como |x1 − xo | = 0 a menos que x0 = α tenemos que

|g ′ (x)| ≤ M < 1 ∀ x en un entorno de α que contenga a x0

Es condición suﬁciente, más no necesaria, para la convergencia

´ ´


Teorema: Sea α una raiz de x = g(x), con la función g(x) p ≥ 2 veces
continuamente diferenciable en un entorno de α. Además,
supongamos que
g (j) (α) = 0 ∀ j<p
Si se elige a x0 suﬁcientemente cerca de α el método iterativo de un
punto converge a α con un orden de al menos p y se cumple

ǫn+1 g (p) (α)
lim p =
n→∞ ǫn p!

´ ´


Demostración: Expandiendo a g(xn ) con una serie de Taylor
alrededor de α tenemos

′ (xn − α)p−1 (p−1) (xn − α)p (p)
xn+1 = g(α)+(xn −α)g (α)+· · ·+ g (α)+ g (ξn ) ,
(p − 1)! (p)!

con ξn entre xn y α. Como g (j) (α) = 0∀j < p y g(α) = α, obtenemos

(xn − α)p (p)
xn+1 − α = g (ξn )
(p)!

Como el método converge por ser g ′ (α) = 0 < 1, xn → α y por lo tanto

xn+1 − α ǫn+1 g (p) (α)
lim = lim p =
n→∞ (xn − α)p n→∞ ǫn p!

´ ´


Raices múltiples: Cuando un método iterativo se aproxima a una raiz
de f (x) el orden de convergencia del método se pierde cuando la raiz
es múltiple.
Deﬁnición: Decimos que α es un cero de multiplicidad m de f (x) si

f (x) = (x − α)m q(x) ∀x = α , donde, lim q(x) = 0
x→α

Esencialmente q(x) representa la parte de f (x) que no contribuye al
cero de la función.
Teorema: La función f ∈ C m [a, b] tiene un cero de multiplicidad m en
α ∈ (a, b) ssi

f (j) (α) = 0 ∀ j < m y f m (α) = 0

´ ´


Raices múltiples: Para resolver este problema se deﬁne una función

f (x) (x − α)m
φ(x) = ′
f (x) m(x − α)m−1 q(x) + (x − α)m q ′ (x)

q(x)
φ(x) = (x − α)
mq(x) + (x − α)q ′ (x)
que tiene un único cero en α, ya que q(α) = 0
Luego, aplicamos algún método iterativo usando φ(x) como sustituta
de f (x). Por ejemplo para el método de Newton-Raphson tendríamos
que
φ(x) f (x)f ′ (x)
g(x) = x − ′ =x− 2
φ (x) (f ′ (x)) − f (x)f ′′ (x)
Note que se requiere evaluar también a f ′′ (x)

´ ´

2
∆ de Aitken

El método ∆2 de Aitken sirve para acelerar la convergencia lineal de
una sucesión {xn }∞ a su límite α. Para valores suﬁcientemente
n=0
grandes de n tenemos que

xn+1 − α xn+2 − α (xn+1 − xn )2
≈ → α ≈ xn −
xn − α xn+1 − α xn+2 − 2xn+1 + xn

Teorema: Sea una sucesión que converge a α. La sucesión {yn },
deﬁnida por
(xn+1 − xn )2
yn+1 = xn −
xn+2 − 2xn+1 + xn
converge a α más rapidamente que la sucesión {xn }, esto es
yn − α
lim =0
n→∞ xn − α

´ ´

2
∆ de Aitken

Demostración:
Sustituyendo en la deﬁnición los términos xn = ǫn + α tenemos:

ǫn ǫn+2 − ǫ2
n+1
yn = α +
ǫn+2 − 2ǫn+1 + ǫn

Por su parte,
xn+1 − α = η (xn − α) +δn (xn − α)
ǫn+1 ǫn ǫn

con
xn+1 − α
lim =η , |η| < 1 y lim δn = 0 ;
n→∞ xn − α n→∞

´ ´

2
∆ de Aitken

Demostración:
entonces

ǫn+1 = (η + δn )ǫn y ǫn+2 = (η + δn+1 )(η + δn )ǫn

Sustituyendo esto último en la deﬁnición

(η + δn+1 )(η + δn ) − (η + δn )2
yn − α = ǫn
(η + δn+1 )(η + δn ) − 2(η + δn ) + 1

por lo que

yn − α (η + δn+1 )(η + δn ) − (η + δn )2
lim = =0
n→∞ xn − α (η + δn+1 )(η + δn ) − 2(η + δn ) + 1

´ ´

Método de Steffensen

Resolviendo el problema f (x) + x = x y dado x0 , se calculan

(x1 − x0 )2
x1 = f (x0 ) + x0 , x2 = f (x1 ) + x1 , y1 = x0 −
x2 − 2x1 + x0
para calcular x3 no utilizamos el valor de x2 como lo hariamos con el
método de punto ﬁjo, sino usamos ∆2 -Aitken ya que suponemos que
y1 es una mejor aproximación de la raiz que x2 ,

x3 = y1 , x4 = f (x3 ) + x3 , x5 = f (x4 ) + x4

(x4 − x3 )2
y2 = x3 −
x5 − 2x4 + x3
y así sucesivamente

´ ´


En la n-esima iteración tendremos que

x3n = yn , x3n+1 = f (x3n ) + x3n , x3n+2 = f (x3n+1 ) + x3n+1 ,

(x3n+1 − x3n )2
yn+1 = x3n −
x3n+2 − 2x3n+1 + x3n
Sustituyendo para usar la sucesión {yn }∞
n=1

(f (yn ) + yn − yn )2
yn+1 = yn −
f (f (yn ) + yn ) + f (yn ) + yn − (f (yn ) + yn ) + yn

Simpliﬁcando y aplicando en método de punto ﬁjo a yn tenemos

(f (yn ))2
g(xn ) = yn −
f (f (yn ) + yn ) − f (yn )

´ ´


Comentarios:

A medida que |g ′ (x)| sea más cercana a cero la sucesión {xn }
coverge a α más rapidamente.
f (xn )
Newton-Raphson g(xn ) = xn − f ′ (xn )

Secante (Método iterativo de dos puntos)
xn − xn−1
g(xn , xn−1 ) = xn − f (xn )
f (xn ) − f (xn−1 )

Steffensen: Si se resuelve el problema x = f (x) + x entonces

(f (xn ))2
g(xn ) = xn −
f (f (xn ) + xn ) − f (xn )

´ ´

Raices de polinomios

Sea P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , an = 0
Teorema fundamental del álgebra: Si P (x) es un polinomio de grado
m ≥ 1 con coeﬁcientes reales o complejos, entonces existe al menos
un valor α ∈ R o C tal que P (α) = 0
Corolario: Existen un conjunto de constantes únicas
{α1 , α2 , · · · αk } ∈ R o C y un conjunto {β1 , β2 , · · · βk } ∈ N+ tales que
k
P (x) = an (x − α1 )β1 (x − α2 )β2 · · · (x − αk )βk y m= βi
i=1

Corolario: Sean P (x) y Q(x) polinomios de grado m. Si existe un
conjunto de n > m valores distintos {x1 , x2 , · · · xn }, tales que

P (xi ) = Q(xi ) ∀ xi entonces P (x) = Q(x) ∀ x

´ ´

Evaluación de polinomios

División sintética o regla de Rufﬁni: al evaluar

P (x) = 3x3 − 4x2 − 7x + 1 ,

ralizaremos 2 multiplicaciones para calcular x3 y x2 más 3
multiplicaciones entre los coeﬁcientes y las potencias de x, además
realizamos 3 sumas o restas de los términos del polinomio. En
general, para un polinomio de grado m se realizarían (2m − 1)
multiplicaciones y m sumas o restas.
Si escribimos el polinomio de la siguiente forma

P (x) = ((3x − 4) x − 7) x + 1 ,

Reducimos el número de multiplicaciones a 3, manteniendo el número
de sumas y restas en 3.
´ ´


División sintética: En general, si un polinomio de grado m se
representa en la forma
m
P (x) = ai xi ,
i=0

se realizarían (2m − 1) multiplicaciones y m sumas o restas para
evaluarlo. En cambio si se representa como

P (x) = (· · · ((am x + am−1 ) x + am−2 )) · · · ) x + a0 ,

realizaremos solamente m multiplicaciones y m sumas o restas;
¿Cuál es la principal ventaja de reducir el número de operaciones?

´ ´


División sintética Para evaluar el polinomio

P (x) = 3x3 − 4x2 − 7x + 1 , en x=2
¯

b3 = a3
x= 2 3 −4 −7 1 x 2 x 3=6 b2 = a2 + a3 x
¯
6 + −4 + 6 = 2 = a2 + b3 x
¯
3 2
2 x 2=4 b1 = a1 + (a2 + a3 x)¯
¯x
−7 + 4 = −3 = a1 + b2 x
¯
x= 2 3 −4 −7 1 2 x −3 = −6 b0 = a0 + · · ·
6 4 −6
1 + −6 = −5 = P(x) = a0 + b1 x
¯
3 2 −3 −5 = P(x)
= P (¯)
x

´ ´


División sintética Para un polinomio de grado m, cuyos coeﬁcientes
son am , am−1 , . . . , a1 , a0 tenemos

bm = am , bi = ai + bi+1 x , i = (m − 1), (m − 2), . . . , 1, 0 ,
¯

donde, el último término que se calcula, b0 = P (¯)
x
El nombre división sintética viene del hecho de que los números
bm , bm−1 , . . . , b1 representan los coeﬁcientes de otro polinomio
N umerador
m−1
i P (x) b0
Q(x) = bi+1 x = −
i=0
(x − x)
¯ x−x ¯
Denominador Resto
Cociente

´ ´


División sintética
Algoritmo de un subprograma
que recibe un arreglo a[0..m]
Entrada: a, m, x con los coeﬁcientes del polino-
Salida: b mio P (x), su grado m y el valor
divSintetica(a, m, x, b) donde se quiere evaluar x y re-
| b[m] ← a[m] torna el arreglo b[0..m] con el
| para i← m-1 hasta 0 resultado de la evaluacion en su
| | b[i] ← a[i] + b[i+1] ∗ x primer campo b[0], y los coe-
ﬁcientes de polinomio Q(x) en
el resto de sus campos, b[1],
b[2], . . . , b[m]

´ ´

Método de Horner

De lo anterior tenemos que

P (x) b0
= Q(x) +
x−x ¯ x−x ¯
Multiplicando por (x − x) obtenemos
¯

P (x) = Q(x)(x − x) + b0
¯

La derivada de lo anterior es

P ′ (x) = Q′ (x)(x − x) + Q(x)
¯

y evaluando la derivada en x = x obtenemos
¯

P ′ (¯) = Q(¯)
x x

´ ´

Método de Horner

Se utiliza para calcular raices de polinomios con el método de
Newton-Raphson. Mediante la división sintética se calcula
P ′ (x) = Q(x) y se evalua en un valor dado a P (x) y Q(x)
Entrada: a, m, x
A medida que se hace la división
Salida: b, px, qx
sintética para evaluar a P (x) en
horner(a, m, x, b, px, qx)
x, se obtienen los coeﬁcientes
| b[m-1] ← a[m]
de Q(x) que son usados dentro
| qx ← a[m]
la misma iteración para evaluar
| para i ← m-1 hasta 1
Q(x) en x.
| | b[i-1] ← a[i] + b[i] ∗ x
Al ﬁnalizar obtenemos
| | qx ← b[i] + qx ∗ x
| px ← a[0] + b[0] ∗ x px = P (x) , qx = Q(x) = P ′ (x)

´ ´

Método de Horner

Si el método obtiene una aproximación a una raiz P (α1 ) ≈ 0, entonces

P (x) = (x − α1 )Q1 (x) + P (α1 ) ≈ (x − α1 )Q1 (x)

Este proceso se llama deﬂación. Si aplicamos la deﬂación a Q1 (x)
tendremos una aproximación a una nueva raiz

Q1 (α2 ) ≈ P (α2 ) ≈ 0,

y si lo repetimos k = m − 2 veces se podría tener

P (x) ≈ (x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αk )Qk (x) ,

donde, Qk (x) es un polinomio de grado 2, cuyas raices se pueden
calcular usando una expresión analítica.

´ ´

Método de Horner

Comentarios del método:

Una raiz aproximada αi , más que una aproximación a una raiz de
P (x), es efectivamente una aproximación a una raiz de Qi−1 (x)
que a su vez se obtiene iterativamente mediante la deﬂación
aproximada de P (x). Esto trae como consecuencia que a medida
que i aumenta los errores se acumulan y las aproximaciones αi a
los valores reales de las raices,en general, serán cada vez peores.

Por lo general los polinomios tiene raices complejas. Para
calcularlas utilizando este método (Newton-Raphson) hay que
operar usando números complejos.

Las raices múltiples se van encontrando una a una.

´ ´

Método de Müller

Teorema: Si z = β + γi es una raiz compleja de multiplicidad ν del
polinomio P (x) entonces z = β − γi también es una raiz de
multiplicidad ν de P (x) y el polinomio D(x) = (x2 − 2βx + β 2 + γ 2 )ν es
un factor de P (x), es decir,

P (x)
= Q(x)
D(x)

Con este resultado podemos pensar en generalizar la división sintética
para que los términos sean polinomios cuadráticos. El método de
Müller se basa sobre esta idea, pero a diferencia del método de
Horner también permite calcular las raices complejas del polinomio.
En cambio de aproximar a la función con una recta, como en el
método de la secante, se aproxima usando un polinomio cuadrático

´ ´

Método de Müller

Sean x0 , x1 y x2 los tres puntos iniciales del método y

D(x) = a(x − x2 )2 + b(x − x2 ) + c

que pasa por (x0 , P (x0 )), (x1 , P (x1 )) y (x2 , P (x2 )), tenemos que

√
b2 − 4ac
−b ±
D(x − x2 ) = 0 ⇒ x − x2 =
2a
Para evitar problemas de errores por la resta de números parecidos y
seleccionando el valor de x3 = x tal que sea la raiz más cercana a x2

2c −1, si b < 0
x3 = x2 − √ , sig(b) =
b + sig(b) b 2 − 4ac  1, si b ≥ 0

´ ´

Método de Müller

Como
P (x0 ) = a(x0 − x2 ) + b(x0 − x2 ) + c
P (x1 ) = a(x1 − x2 ) + b(x1 − x2 ) + c
P (x2 ) = a(x2 − x2 ) + b(x2 − x2 ) + c = c
resolviendo el sistema de tres equaciones obtenemos
(x0 −x2 )(P (x1 )−P (x2 ))−(x1 −x2 )(P (x0 )−P (x2 ))
a = (x0 −x2 )(x1 −x2 )(x0 −x1 )

P (x0 )−P (x2 ) (x0 − x2 )(P (x1 ) − P (x2 )) − (x1 − x2 )(P (x0 ) − P (x2 ))
b = (x0 −x2 )
−
(x1 − x2 )(x0 − x1 )
| {z }
a(x0 −x2 )
c = P (x2 )

En general podemos tener
2c
xn+1 = xn − √
b + sig(b) b2 − 4ac

´ ´

Algebra Lineal

Introducción
Métodos Directos Métodos Iterativos
Regla de Crammer Reﬁnamiento iterativo
Eliminación Gaussiana Jacobi
Factorización LU Gauss-Seidel
Factorización de Cholesky Errores y Convergencia
Matrices tridiagonales Aceleración S.O.R.
Normas y errores

´ ´

Algebra Lineal Numérica

Los problemas más importantes que son atacados con el álgebra
lineal númerica son:
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Cálculo de valores propios
Ajuste de rectas
El problema básico se puede resumir en
Ax = b ,
donde, A es una matriz n × n, y x y b son dos vectorer columna n × 1,
siendo A y b conocidos

´ ´

Regla de Cramer

det(Ai )
xi = ,
det(A)
donde, Ai es la matriz A con la i-esima columna remplazada por b
Número de operaciones

para el cálculo de cada determinante se requieren (n − 1)n!
multiplicaciones y (n! − 1) sumas

evaluar (n + 1) determinantes

realizar n divisiones

En total son (n2 + n)n! − 1 operaciones

´ ´

Eliminación de Gauss

transformar mediante operaciones lineales entre ﬁlas a

Ax = b en Lx = c o en Ux = d ,

donde,

L U
2 3 2 3
l11 0 0 ··· 0 u11 u12 ··· u1n−1 u1n
6 7 6 7
6 l l22 0 ··· 0 7 6 0 u22 ··· u2n−1 u2n 7
6 21 7 6 7
6 7 6 7
6 . . .. .. . 7 6 . .. .. . . 7
6 . . . . . 7 6 . . . . . 7
6 . . . 7 6 . . . 7
6 7 6 7
6 ln−11
4 ln−12 ··· ln−1n−1 0 7
5
6
4 0 ··· 0 un−1n−1 un−1n 7
5
ln1 ln2 ··· lnn−1 lnn 0 ··· 0 0 unn

Triangular Inferior Triangular Superior

´ ´


Sustitución hacia atrás

Triangular Inferior Triangular Superior
x1 = c1 /l11 xn = dn /unn
i−1 n
xi = (ci − j=1 lij xj )/(lii ) xi = (di − j=i+1 uij xj )/(uii )
i = 2, 3, . . . , n i = n − 1, n − 2, . . . 1

Para obtener, por ejemplo, la matriz U y el vector d a partir de A y b se
procede de la siguiente forma sobre la matriz ampliada Ã = A|b
(1) (0) (0) (0) (0)
aij = aij − a1j ai1 /a11 , i = 2, 3, . . . , n , j = 1, 2, . . . , n + 1 ;

(1)
donde, aij es el elemento que está en la ﬁla i, columna j de Ã luego
(0)
de aplicarle una transformación y aij es el elemento original.

´ ´


Note que ai1 = 0 ∀ i > 1.
En este paso a a11 se le conoce como el pivote.
Para acomodar la segunda columna de Ã usamos a a22 como pivote
(2) (1) (1) (1) (1)
aij = aij − a2j ai2 /a22 , i = 3, 4, . . . , n , j = 2, 3, . . . , n + 1 ;

Repitiendo este proceso para tenemos que
(k) (k−1) (k−1) (k−1) (k−1)
aij = aij − akj aik /akk ,

con

k = 1, 2 . . . , n − 1 , i = k + 1, k + 2, . . . , n , j = k, k + 1, . . . , n + 1 ;
(k−1)
donde, akk es el pivote de la k-esima transformación

´ ´


Asi que
 (0) (0) (0) (0)
  (0)

a11 a12 a13 ··· a1n a1n+1
 (1) (1) (1)
  (1)


 0 a22 a23 ··· a2n 


 a2n+1 

 (2) (2)   (2) 
U =
 0 0 a33 ··· a3n  d=
  a3n+1 

 .
. .
. .. .. .
.
  .
.


 . . . . . 


 . 

(n−1) (n−1)
0 0 ··· 0 ann ann+1

Note que para que la eliminación de Gauss funcione todos los n − 1
(k−1)
pivotes akk tienen que ser distintos de cero. Pero en la práctica esto
no es todo, porque pivotes pequeños pueden provocar que el error de
redondeo aumente

´ ´


Crecimiento del error por pivotes pequeñosa
    
0.0004 1.402 x 1.406 0.4003
  1  =   , = 1001
0.4003 −1.502 x2 2.501 0.0004

Aplicando la eliminación de Gauss tenemos que
    
0.0004 1.402 x 1.406
  1  =  
0 −1405 x2 −1404

de donde se obtiene que
−1404 1.406 − 1.402 × 0.9993
x2 = = 0.9993 y x1 = = 12.5
−1405 0.0004

a
´
usando aritmetica de punto ﬂotante de cuatro cifras decimales
´ ´


4

3 Soluci´n exacta
o

2

x2 1 x

0

−1 Soluci´n aproximada
o

−2
0 5 10 15 20
x1
´ ´


Crecimiento del error por pivotes pequeñosa
Si ahora usamos la eliminación de Gauss con una matriz L tenemos
    
0.0004 1.402 x 1.406 1.402
  1  =   , = −0.9334
0.4003 −1.502 x2 2.501 −1.502

Aplicando la eliminación de Gauss tenemos que
    
0.374 0 x 3.74
  1  =   de donde se obtiene que
0.4003 −1.502 x2 2.501

3.74 2.501 − 0.4003 × 10
x1 = = 10 y x1 = =1
0.374 −1.502
a
´
usando aritmetica de punto ﬂotante de cuatro cifras decimales
´ ´


Estrategias de pivoteo

Pivoteo Parcial: Se escoje r tal que
(k−1) (k−1)
ark = max ( aik )
k≤i≤n

luego se intercambian la fila k con la fila r
Menos efectivo, menos costoso, más usado

Pivoteo Total: Se escoje r y s tales que
(k−1)
a(k−1) = max ( aij
rs )
k≤i,j≤n

Se intercambian la fila k con la r y la columna k con la s
Más efectivo, más costoso, menos usado

´ ´


Comentarios
El número de operaciones es aproximadamente 2 n2
3
Si se quieren resolver varios sistemas con la misma matriz A la
matriz ampliada será Ã = A|b1 |b2 | · · ·
Para el cálculo de la inversa de la matriz A aplicamos el método de
la eliminación de Gauss a la matriz ampliada Ã = A|I, donde I es la
matriz identidad
El determinante de A se puede calcular a partir de la diagonal de la
matriz triangular
n
(k−1)
det(A) = (−1)s akk ,
k=1

donde s es el número de intercambios de ﬁlas realizados por las
estrategia de pivoteo parcial

´ ´

Factorización LU

Si la matriz A se usa varias veces es conveniente factorizarla usando
una matriz triangular inferior L y una triangular superior U
A = LU ; Ax = b ⇒ Ly = b , Ux = y

Donde, conocidas L y U se requieren n2 operaciones para resolver el
sistema Ax = b
2 3
1 0 0 0 ··· 0
6 7
6 l21 1 0 0 ··· 0 7
6 7
8
> a(k−1)
6 7
6 l
6 31 l32 1 0 ··· 0 7
7 < ik
(k−1) , si i ≥ k
L= 6
. .. .. .
7 , lik = akk
6
6 .
. . . .
.
7
7 :0
>
, si i < k
6 7
6 7
6 ln−11
4 ln−12 ··· ln−1n−2 1 0 7
5
ln1 ln2 ln3 ··· lnn−1 1

´ ´

Factorización LU

 (0) (0) (0) (0)

a11 a12 a13 ··· a1n (k)
aij = aij
(k−1)
− lik akj
(k−1)
 (1) (1) (1) 

 0 a22 a23 ··· a2n 

(2) (2)
U=

 0 0 a33 ··· a3n 
 , k = 1, 2, . . . , n − 1

 .
. .
. .. .. .
.


 . . . . . 
0 0 ··· 0
(n−1)
ann i, j = k + 1, k + 2 . . . n

Teorema: La factorización LU de una matriz A no singular en única.
n (k−1)
Corolario: det(A) = det(LU) = det(L) det(U) = k=1 akk

Si se utilizan estrategias de pivoteo parcial o total, la factorización LU
será de la matriz permutada PA donde la matriz P, llamada matriz de
permutación, es el resultado de realizar las permutaciones hechas en
A en la matriz identidad I

´ ´

Método de Cholesky

Si la matriz A es simétrica y deﬁnida positiva no es necesario aplicar
estrategias de pivoteo

Teorema de Cholesky: Sea A una matriz simétrica deﬁnida positiva.
Entonces existe una única matriz triangular inferior L con lii = 0 tal que

A = LLT

A es simétrica si:
A = AT , aij = aji ∀ i, j

A−1 , si existe es simétrica
Las submatrices principales de A son simétricas

´ ´

Método de Cholesky

A es definida positiva si:

xT Ax > 0 ∀ x=0
aii > 0 ∀ i Las submatrices principales son
AT es definida positiva definidas positivas
A−1 siempre existe det(A) > 0
A−1 es definida positiva Los menores principales son positivos
Una matriz simétrica es definida positiva si y solo si todos sus
menores principales son positivos (Teorema de Sylvester)

Para la demostración del teorema de Cholesky ver las notas del curso
"Análisis Numérico", de la Prof. María C. Trevisan.

http://www.matematicas.ula.ve/publicaciones/guias/cursonum.pdf

´ ´

Método de Cholesky

El método requiere n3 /3 operaciones, la mitad de las 2n3 /3
operaciones requeridas para la factorización LU
Se deben calcular n raices cuadradas
Los elementos lii de L pueden ser diferente de 1
Si se quiere eliminar el cálculo de las n raices cuadradas se puede
modiﬁcar la factorización a
A = LDLT , donde,
i−1
2
lii = 1 , li1 = ai1 y lij = aij − ljk dkk /dii
k=1

y D es una matriz diagonal con
i−1
2
d11 = a11 y dii = aii − lij djj
j=1

´ ´

Matrices Tridiagonales

 
a11 a12 0 0 ··· 0
 
 a21 a22 a23 0 ··· 0 
 
 .. .
. 
 0 a32 a33 a34 . . 
A= . 

 . .. .. .. .. 
 . . . . . 0 

 
 0 0 an−1n−2 an−1n−1 an−1n 
0 ··· 0 0 ann−1 ann
Si la matriz A es no singular entonce podemos factorizarla

A = LU ,
donde,

´ ´

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