του Άρη Μαυρομμάτη*
Συχνά ακούμε να γίνεται λόγος για Τέχνη και Μαθηματικά, για Τέχνη και Επιστήμη εν γένει και μάλιστα με ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Το ενδιαφέρον γίνεται εντονότερο στον χώρο της εκπαίδευσης, τόσο της πρωτοβάθμιας όσο και της δευτεροβάθμιας. Δεν είναι υπερβολή να πούμε ότι οι περισσότερες διαθεματικές εργασίες που εκπονούνται από ομάδες μαθητών στο πλαίσιο των projects έχουν ως θεματικό τους περιεχόμενο τόσο τη σχέση της Τέχνης με τα Μαθηματικά όσο και γενικότερα την αναζήτηση της σχέσης ανάμεσα στην Τέχνη και την Επιστήμη γενικότερα.
Προκύπτει εύλογα, λοιπόν, το ερώτημα: γιατί τόσο ενδιαφέρον γι’ αυτή τη σχέση; Μία απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα επιχειρήσουμε να προσεγγίσουμε στο παρόν άρθρο. Ας αρχίσουμε, όμως, πρώτα διερευνώντας τη σχέση της Ζωγραφικής, ως μίας από τις δημοφιλέστερες των εικαστικών Τεχνών, με τα Μαθηματικά.
Αναζητώντας κοινά στοιχεία στις εικαστικές εκφράσεις που απεικονίζονται στις επιφάνειες των αγγειογραφιών στα κεραμικά αντικείμενα της γεωμετρικής περιόδου (εικόνες 1, 2 και 3), στα αναγεννησιακά σχέδια του Leonardo Da Vinci, τα οποία έγιναν κατόπιν προτροπής του μαθηματικού Luka Pacioli, (εικόνα 4) και τέλος στους ζωγραφικούς πίνακες των συγχρόνων εικαστικών W. Kandinsky και P. Klee (εικόνες 5 και 6), αυτό που μπορούμε αμέσως να ανακαλύψουμε είναι γνωστά γεωμετρικά αντικείμενα, όπως ευθείες, καμπύλες γραμμές και γεωμετρικά σχήματα.
Ήδη από τη γεωμετρική περίοδο μπορούμε να διακρίνουμε διακοσμητικές μορφές σχημάτων, οι οποίες χαράχτηκαν με το χέρι ελεύθερα πάνω στην επιφάνεια των αγγείων και δε διέπονται από αυστηρή μαθηματική οργάνωση. Αντίθετα άλλες οι οποίες χαράχτηκαν με κανόνα και διαβήτη περιέχουν το στοιχείο της ακρίβειας της κατασκευής (εικόνα 7).
Σε διαφορετικές, λοιπόν, εποχές τόσο χρονικά όσο ιστορικά και κοινωνικά παρατηρούμε ότι στη διακοσμητική θεματολογία της αγγειογραφίας, αλλά και στη ζωγραφική γενικότερα, κάτι παραμένει αναλλοίωτο και αυτό είναι η Γεωμετρία στις μορφές.
Ωστόσο, η χρήση του γεωμετρικού σχήματος ως συμβόλου στην εκφραστική απεικόνιση ενός εικαστικού θέματος αποσκοπεί στην περιγραφή μιας ιδέας και όχι στο ίδιο το γεωμετρικό στοιχείο. Για παράδειγμα, ένα τετράγωνο μεταβάλλει το εκφραστικό του μήνυμα ανάλογα με την τοποθέτησή του σε μια δεδομένη επιφάνεια. Έτσι, αν ένα τετράγωνο βρίσκεται λοξά τοποθετημένο σε μια επιφάνεια, οι κάθετες και οριζόντιες γραμμές του φαίνονται πλάγιες γραμμές, οπότε και επικρατούν οι ιδιότητες της πλάγιας γραμμής, δηλαδή η αστάθεια και η κίνηση. Το σχήμα τότε μπορεί να αποδώσει μια συναισθηματική ερμηνεία του τύπου: διέγερση, συγκίνηση, αισιοδοξία ή απαισιοδοξία κ.λπ. . Ένα εικαστικό έργο που ενσωματώνει χαρακτηριστικά αυτούς τους συμβολισμούς του τετραγώνου είναι το έργο του Vasarely «Ilusion Optica» (Εικόνα 8).
Όμως, δε συμβαίνει το ίδιο, όταν αναφερόμαστε στο τετράγωνο ως νοητικά ιδεατό αντικείμενο απαλλαγμένο από οποιοδήποτε συμβολικό περιεχόμενο. Σε αυτή την περίπτωση το τετράγωνο ορίζεται αυτό καθ’ αυτό από γεωμετρικά αντικείμενα που είναι τα ευθύγραμμα τμήματα και τα οποία ορίζουν τις πλευρές του, καθώς επίσης και τις γωνίες του. Το κυριότερο, όμως, είναι οι σχέσεις μεταξύ αυτών των ευθύγραμμων τμημάτων και οι σχέσεις μεταξύ των γωνιών του. Οι σχέσεις αυτές ορίζουν με ακρίβεια το τετράγωνο στο επίπεδο και δεν το μεταβάλλουν ανεξαρτήτως της θέσης του σε αυτό. Υπό αυτήν την έννοια, η Γεωμετρία αναφέρεται στις σχέσεις των στοιχείων του γεωμετρικού χώρου.
Το σχήμα, λοιπόν, εμφανίζεται αφ’ ενός ως σύμβολο-φορέας μίας ιδέας που η μεταβολή της θέσης του στον χώρο μεταβάλλει ενδεχομένως και την ιδέα, αφ’ ετέρου ως καθαρά ιδεατό αντικείμενο του γεωμετρικού χώρου που ορίζεται με σαφή, ακριβή και μοναδικό τρόπο στο πλαίσιο ενός αξιωματικά θεμελιωμένου συστήματος και παραμένει αναλλοίωτο στον επίπεδο χώρο οποιαδήποτε και αν είναι η θέση του σε αυτόν.
Μία άλλη έννοια των μαθηματικών η οποία κρατά αμείωτο το ενδιαφέρον για τη σχέση της με την τέχνη της Ζωγραφικής είναι εκείνη του χρυσού λόγου ή της χρυσής τομής. Ένα οποιοδήποτε σημείο Γ που βρίσκεται στο εσωτερικό ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, χωρίζει αυτό το ευθύγραμμο τμήμα σε λόγο ΓΑ/ΓΒ, των ευθύγραμμων τμημάτων ΓΑ και ΓΒ. Οι τιμές αυτού του λόγου είναι άπειρες, αφού άπειρες είναι και οι θέσεις του σημείου Γ μεταξύ των άκρων Α και Β του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Ωστόσο, υπάρχει ένας ιδιαίτερος λόγος και κατ’ επέκτασιν μία συγκεκριμένη θέση του σημείου Γ που υπακούει σε μία μοναδική σχέση αναλογίας που λέει ότι: ο λόγος όλου του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ προς το μεγαλύτερο τμήμα ΓΑ είναι ίσος προς τον λόγο του μεγαλύτερο τμήματος ΓΑ προς το μικρό τμήμα ΓΒ, δηλαδή ΑΒ/ΓΑ = ΓΑ/ΓΒ = 1,618033989… Την τιμή αυτή του λόγου ονομάζουμε Χρυσό Λόγο και το σημείο Γ ονομάζουμε Χρυσή Τομή του τμήματος ΑΒ.
Ο λόγος αυτός, παρότι έχει μία καθαρά Γεωμετρική σύλληψη και ερμηνεία, εμφανίζεται να διέπει τη γεωμετρική δομή οντοτήτων στη Φύση, όπως του ηλίανθου, του κοχλία, του κουκουναριού κ.ά. Τα παραδείγματα των φυσικών οντοτήτων που μόλις αναφέραμε επιβάλλουν στην οπτική μας αντίληψη μία ιδιαίτερη αισθητική εικόνα που χαρακτηρίζεται ως «ωραία». Η εντύπωση αυτή στη συνέχεια γίνεται συνείδηση, που έχει τελικά ως αποτέλεσμα να επιδιώκουμε να θεωρούμε ιδιαίτερα ωραίο αυτό που έχει δομηθεί σύμφωνα με τον χρυσό λόγο.
Ο χρυσός λόγος, λοιπόν, γίνεται μέτρο της αισθητικής τελειότητας και υιοθετείται όχι μόνο από την τέχνη της ζωγραφικής αλλά και της γλυπτικής και της αρχιτεκτονικής. Μεγάλες εικαστικές περίοδοι στη μακραίωνη εικαστική πορεία του δυτικού πολιτισμού, όπως για παράδειγμα στην κλασική αρχαία Ελλάδα, την Αναγέννηση, ακόμα σε πολλές περιπτώσεις μέχρι και τις μέρες μας, συνέδεσαν την έννοια του αισθητικά ωραίου με τον χρυσό λόγο. Χαρακτηριστικά έργα που ενσωματώνουν τη χρυσή τομή ως μέτρο του ωραίου στη δημιουργία τους είναι ο «Δορυφόρος», έργο του γλύπτη Πολύκλειτου (εικόνα 9), ο πίνακας του Vermeer (εικόνα 10) και ο πίνακας του Mondrian (εικόνα 11) .
Ο Πλάτωνας στο έργο του «Τίμαιος» παραθέτει τα τέσσερα κανονικά πολύεδρα: το τετράεδρο, το οκτάεδρο, τον κύβο και το εικοσάεδρο λέγοντας ότι αυτά τα γεωμετρικά σχήματα είναι τα αντίστοιχα των τεσσάρων φυσικών στοιχείων: της φωτιάς, του αέρα, της γης και του νερού που επέλεξε ο Δημιουργός του προκειμένου να συγκροτήσει το Σύμπαν. Αναφερόμενος, ωστόσο, στο πέμπτο κανονικό πολύεδρο, το δωδεκάεδρο, του αποδίδει κάτι πολύ ξεχωριστό: τη διακόσμηση του σύμπαντος. Γιατί άραγε απέδωσε στο κανονικό δωδεκάεδρο τον ρόλο του «διακοσμητή»; Η απάντηση θα μπορούσε να είναι η ακόλουθη: ο ρόλος του «διακοσμητή» αποδόθηκε στο κανονικό δωδεκάεδρο, διότι στη γεωμετρία των εδρών του, που είναι κανονικά πεντάγωνα, βρίσκεται η χρυσή τομή. Βλέπουμε πόσο αυτή η βαθιά συνείδηση της ταύτισης του χρυσού λόγου με το αισθητικά ωραίο, ξεπερνά τα όρια της τέχνης και γίνεται το μέτρο του ωραίου του ίδιου του Σύμπαντος.
Ο Πλάτωνας στο έργο του «Πολιτεία» μέσα από τον μύθο του «Σπηλαίου», κάνει αναφορά στον ρόλο της σκιάς και το πώς αυτή κρύβει την αλήθεια των πραγμάτων. Αντιθέτως, το φως του ήλιου, παρότι κάνει τα μάτια του δεσμώτη που δραπέτευσε να πονάνε, είναι ο δρόμος προς την Αλήθεια. Ο αντιθετικός αυτός ρόλος του φωτός και της σκιάς των αντικειμένων αποτέλεσε εκφραστικό μέσο, ώστε μεγάλοι ζωγράφοι, όπως ο Caravaggio και ο Rembrandt, να δημιουργήσουν μεγάλα έργα. Χαρακτηριστικά έργα που ενσωματώνουν τον αντιθετικό ρόλο φωτός και σκιάς είναι η «Νυκτερινή περίπολος» του Rembrandt (Εικόνα 12) και ο Άπιστος Θωμάς του Caravaggio (Εικόνα 13).
Ωστόσο, ο Ερατοσθένης χρησιμοποιώντας τη σκιά κατάφερε να υπολογίσει την ακτίνα της γης, ο Θαλής το ύψος της πυραμίδας και ο Γαλιλαίος το αληθινό σχήμα της σελήνης, αποδίδοντας όλοι κατ’ αυτόν τον τρόπο, έναν άλλον ρόλο στη σκιά, πολύ διαφορετικό από εκείνον του Πλάτωνα. Η σκιά, λοιπόν, ως αποτέλεσμα ενός φυσικού φαινομένου που έχει να κάνει με τη διακοπή της ευθύγραμμης διάδοσης του φωτός, όταν η φωτεινή δέσμη πέσει πάνω σε ένα αδιαφανές σώμα, αξιοποιήθηκε τόσο από τους καλλιτέχνες όσο και από τους επιστήμονες και τους φιλοσόφους. Μόνο που σε αυτή την περίπτωση οι εικαστικοί χρησιμοποίησαν τη σκιά ως μέσο για να εκφράσουν συναισθήματα για την κοινωνία της εποχής τους και τον κόσμο, ενώ οι επιστήμονες για να κατανοήσουν τη λειτουργία του ίδιου του φυσικού κόσμου.
Αν η σκιά για άλλους κρύβει την αλήθεια ενώ για άλλους την αποκαλύπτει, δεν αμφισβητείται από κανέναν ότι η συμμετρία εκφράζει την ισορροπία, την αρμονία, το ωραίο. Να λοιπόν μία άλλη έκφραση του ωραίου. Υπάρχει, όμως, συμμετρία στη φύση ή μήπως όχι; Οι δύο πλευρές ενός προσώπου είναι πολύ διαφορετικές. Αν κάθε πλευρά επαναληφθεί, ώστε να δημιουργηθεί μία ακριβώς συμμετρική εκδοχή της, τα δύο πρόσωπα που θα προκύψουν θα φαίνονται σαν δύο διαφορετικοί άνθρωποι. Το σώμα μας μπορεί να φαίνεται συμμετρικό αλλά δεν το χρησιμοποιούμε με συμμετρικό τρόπο. Επομένως, η σχέση μας με τη συμμετρία είναι διφορούμενη. Μία συμμετρική ως προς έναν άξονα σύνθεση είναι πολύ ευχάριστη, αν περιέχει σαν το πρόσωπό μας μερικές ελάσσονες διαφορές. Όμως, η τέλεια συμμετρία, όπου το μισό ενός ζωγραφικού πίνακα αντανακλά ακριβώς το άλλο μισό, μπορεί να φαίνεται ανιαρή και αλλόκοτη.
Ο ζωγραφικός πίνακας «Narcissus» του Caravaggio (Εικόνα 14) επιχειρεί να αναδείξει αυτή τη σχέση της ταυτοσημότητας του αντικειμένου και του ειδώλου που δημιουργεί η στιλπνή επιφάνεια της λίμνης. Μία αδιόρατη σχέση μας υποβάλλει σε αυτή τη σχέση της ταύτισης.
Όμως η σχέση αυτή έχει έναν καθαρά αισθητικό χαρακτήρα. Η ανθρώπινη φύση επιθυμεί να κάνει ένα βήμα παραπάνω. Θέλει να βρει τρόπο να πεισθεί για το αισθητικό αποτέλεσμα που της δημιουργεί η οπτική αντίληψη. Αναζητά έναν αυστηρό τρόπο να ορίσει αυτό που αντιλαμβάνεται αόριστα ως συμμετρικό. Αυτό το βρίσκει ως σχέση στον ιδεατό χώρο των μαθηματικών αντικειμένων και πρωτίστως στη Γεωμετρία.
Ιδού, λοιπόν, για μία ακόμη φορά. Μία ακριβής μαθηματική σχέση γίνεται ο φορέας πάνω στον οποίο θα εναποτεθούν ιδέες και θα εκφραστούν εικαστικά.
Στον χώρο τώρα της Φυσικής, η πλευρά εκείνη των νόμων διατήρησης που τους κάνει να φαίνονται στους φυσικούς και τους φιλοσόφους οι ωραιότερες και πιο ουσιώδεις προτάσεις είναι η σύνδεσή τους με τις αρχές συμμετρίας στη φύση. Με διαφορετική διατύπωση, η ενέργεια, η ορμή και η στροφορμή διατηρούνται εξαιτίας του ότι ο χώρος και ο χρόνος είναι ισότροποι και ομογενείς.
Έχουμε συνηθίσει να σκεφτόμαστε τη συμμετρία σε σχέση με τον χώρο. Η συμμετρία του κύκλου, του τετραγώνου και του προσώπου σχετίζονται με περιστροφές και αντιστροφές στον χώρο. Η συμμετρία στον χρόνο είναι προφανής επέκταση της συμμετρίας στον χώρο. Το γεγονός ότι οι νόμοι της φύσης φαίνονται αμετάβλητοι ως προς τον χρόνο είναι μία βασική συμμετρία της φύσης. Στη συμμετρία που ενδιαφέρει το φυσικό, το αμετάβλητο στοιχείο είναι η μορφή των φυσικών νόμων. Για να καταλάβουμε καλύτερα τη σχέση της συμμετρίας με τη φυσική, αρκεί να θυμόμαστε την αλυσίδα: Συμμετρία-Αναλλοίωτο-Διατήρηση.
Καταλήγοντας, πρέπει να δεχθούμε ότι το ταξίδι του ανθρώπου μέσα στον χρόνο, υπαγορεύθηκε και συνεχίζει να υπαγορεύεται από δύο μεγάλες ανάγκες: την ανάγκη για έκφραση και την ανάγκη για κατανόηση του φυσικού κόσμου όπου ζει, καθώς και της δυνατότητας να πραγματοποιεί προβλέψεις μέσα σ’ αυτόν τον κόσμο. Η πρώτη έχει τις ρίζες της στην ατομικότητα και εκπληρώνεται μέσα από την Τέχνη, ενώ η δεύτερη έχει τις ρίζες της στη συλλογικότητα και εκπληρώνεται μέσα από τον ιδεατό χώρο των Μαθηματικών και την επιστημονική έρευνα. Παρότι αυτές οι δύο ανάγκες σε κάθε περίπτωση είναι διαφορετικές, εντούτοις λειτουργούν συμπληρωματικά υπογραμμίζοντας, παράλληλα, τη δυϊκότητα της ανθρώπινης φύσης.
* Ο Άρης Μαυρομμάτης είναι επιστημονικός σύμβουλος στο Μουσείο Ηρακλειδών, διδάσκων στο πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας (τμήμα Εικαστικών και Εφαρμοσμένων Τεχνών) και σύμβουλος παιδαγωγικού έργου σε Νηπιαγωγεία.
