INTRODUCCIÓN PARABOLA by liz ortega

UNIDAD EDUCATIVA CONSEJO PROVINCIAL DE PICHINCHA

TEMA:

PARÁBOLA CURSO: 2do BGU “A” MAESTRA: LIC. LIZ ORTEGA FECHA DE ENTREGA: O5 DE MAYO DE 2021

GRUPO 1

INTEGRANTES:

Emilia Barrera

Danna Navarrete

Keyla Sosa

Jennifer Vega

María Paz Yépez

1. Una parábola P de vértice V (2; 1) y eje focal paralelo al eje Y pasa por el punto Q (0; 2). Halle la longitud del lado recto (en centímetros). OPCIONES RESPUESTA A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm SOLUCIÓN: 1) La ecuación de la parábola es P: (x – 2)2 = 4p (y – 1) 2) Como Q (0; 2) ϵ P 3) (0 – 2)2 = 4p (2 – 1) 4) (– 2)2 = 4p (1) 5) 4 = 4p 6)

4 4

=p→p=1

7) Luego: 4p 8) 4p → 4 (1) 9) 4p = 4 cm 10) LR = 4p 11) LR = 4 cm RESPUESTA: La longitud del lado recto en centímetros es 4 cm.

2. En la figura se muestra un reflector parabólico de revolución, la fuente de luz se coloca en el foco. Si el reflector tiene un diámetro de 24 cm en el borde y una profundidad de 14 cm, ¿a qué distancia del vértice está la fuente de iluminación? OPCIONES RESPUESTA A) 16 cm 7

B) 18 cm 7

C) 15 cm 7

D) 16 cm 5

E) 18 cm 5

SOLUCIÓN: Ecuación de la parábola: x2 = 4py A (12; 14) Reemplazar los valores de x e y en la fórmula. 122 = 4p (14) 144 = 4p (14) 4p = 144 14 p = 144 4 (14) p = 18 7

RESPUESTA: El vértice está a una distancia de 18 cm. 7

3. En la figura se tiene dos túneles mellizos parabólicos, de altura 6 m y el ancho de la base es 8 m cada uno. En los puntos A y B, que se encuentran a una altura de 4,5 m con respecto al suelo, se han colocado dos reflectores. Si CD = 6 m, halle la distancia entre dichos reflectores. OPCIONES RESPUESTA A) 10 m

B) 12 m

C) 8 m

D) 11m

Solución: La ecuación de la parábola es: P: x2 = 4py x2 = 4p (y – 6)

C (4; 0) ∈ P

42 = 4p (0- 6) 16 = 4p (-6) 4p (-6) = 16 4p = −

4p =

16 6

−𝟖 𝟑

La ecuación de la parábola P: x2 = 9

Punto A (s; 2) ∈ P s2 =

−8 3

( 2 – 6)

−8 3

(y – 6)

E) 9,5 m

s2 = 4 s = √4 s=2 2 m + 6 m + 2 m = 10 m RESPUESTA: La distancia entre dichos reflectores es de 10 m.

4. En la figura, O es vértice y F foco de la parábola P. Si el área de la región rectangular ABCD es 144 m2, halle la ecuación de la parábola. OPCIONES RESPUESTA A) y2 = 12x B) y2 = 16x

C) y2 = 24x

D) y2 = 36x

E) y2 = 20x

SOLUCIÓN: A=bxh 144 m2 = 4p. p 144 m2 = 4p2 p2 = 144 4 p2 = 36 p = √36 p=6 x2 = 4py x2 = 4(6) y x2 = 24y RESPUESTA: La ecuación de la parábola es y2 = 24x.

5. La parábola P es simétrica respecto al eje Y, tiene vértice ene l origen de coordenadas, y pasa por el punto Q (2; 6). Halle la ecuación de P. OPCIONES RESPUESTA A) 5x2 = 4y

B) 7x2 = 4y C) 3x2 = 2y

D) 6x2 = 5y

SOLUCIÓN: P: 𝑥 2 = 1𝑝𝑦 Q (2; 6) ϵ P Reemplazar valores: 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 (2)2 = 4𝑝(6) 4 = 4𝑝(6) 4𝑝(6) = 4 4𝑝 =

4 6

4𝑝 =

2 3

Reemplazar 4p: 𝑥2 =

2 𝑦 3

Respuesta: 𝟑𝒙𝟐 = 𝟐𝒚

RESPUESTA: La ecuación de P es 3x2 = 2y.

E) 8x2 = 7y

6. En la figura, F es foco de parábola P: y2 = 8x. Halle OPCIONES RESPUESTA A) B)

3 2 5 4

C) 2 D) 3 E) 4

SOLUCIÓN: 

ADF y

FEB: notables de 60°

AF = 2DF = 2b ᴧ FB = 2FE = 2a 

L directriz de P =› 3b = 4 ᴧ a = 4 8

=› 2b = 3 ᴧ 2a = 8 FB AF

𝐅𝐁

RESPUESTA: 𝐀𝐅 = 3

𝐅𝐁

𝐀𝐅

7. Se construye un faro parabólico de 35 cm de profundidad en el centro como muestra la figura. Si AB = 66 cm, halle la longitud del lado recto. OPCIONES RESPUESTA

A) 28,16 cm B) 31,12 cm C) 32,28 cm D) 35,33 cm E) 37,66 cm SOLUCIÓN: 

P: x2 = 4py

66 cm = 33 𝑐𝑚 2 h = 35 cm B (33; 35) ϵ P → LR = 4py x2 = 4py 332 = 4p (35) 4p (35) = 332 332 4p = 35

4p =

1089 335

4p = 31,12 4p = LR LR = 31,12

RESPUESTA: La longitud del lado recto es 31,12 cm.

G R UPO 2

INTEGRANTES:

Jeymi Chiran

Karla Gallo

Daniela Granda

Keyla Mora

Melany Toctaguano

8. El vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo es el extremo del lado recto de la parábola P: y2=12x, el segundo vértice del triángulo es el vértice de la parábola. Halle el tercer vértice del triángulo, si esta ubicado en el eje X.

OPCIONES RESPUESTA A) (10;0) B) (12;0) C) (16;0) D) (18;0) E) (15;0)

SOLUCIÓN: Punto (x, 6) 1) P2= 12x

ORA: R.M

36=12x

FA: 12

12x=36

OA= 12+3= 15

x=12 x= 3 (FOCO)

3) Luego:

A (15;0)

RESPUESTA: El tercer vértice del triángulo, si está ubicado en el eje X es (15;0)

9. En la figura, los postes sostienen un cable que tiene forma de un arco parabólico. Si P es el punto del cable más próximo al piso, AQ= 9m, PH= 8m, AH= 6m y HB= 12m, halle la longitud del poste BT.

OPCIONES RESPUESTA A) 14m B) 12m C) 16m D) 13m E) 15m

SOLUCIÓN:

1) P (0;0) es vértice: 2) Q (-6;1) e P: P: x2= 4py x2= 4py (0)2 = 4p0 (-6)2 = 4p1 0=0 36= 4p P=0 p=9

3) T (12; a) e P

Altura de BT:

h= 8+a

122= 36.a

h= 8+4

144= 36.a

h= 12m

144 36

a=4

RESPUESTA: La longitud del poste BT es de 12 metros. 10. En la figura, se tiene una ballesta cuyo arco tiene forma parabólica con vértices en V, AF eje de la parábola y CD lado recto. Si F es el foco, AC= 10 √𝟏𝟑 cm y CV= 10 √𝟓 CM, halle la distancia de A a V.

OPCIONES RESPUESTA A) 40 cm B) 45 cm C) 30 cm D) 42 cm E) 48 cm SOLUCIÓN: Del triángulo rectángulo CFV 10 √𝟏𝟑 p2 + (2p)2 = (10 √𝟏𝟑 )2 p2 + (2p)2 = 500 p2 + 4p2 = 500 5p2 = 5009 p2 =

𝟓𝟎𝟎 𝟓

p = √𝟏𝟎𝟎 p= 10 cm

En el triángulo rectángulo 𝟐

AFC= √(𝟏𝟎√𝟏𝟑 )𝟐 − (𝟏𝟎√𝟓 ) + 𝟏𝟎𝟐 AFC= √𝟏𝟎𝟐 . 𝟏𝟑 − 𝟏𝟎𝟐 . 𝟓 + 𝟏𝟎𝟐 AFC= √𝟏𝟎𝟐 . 𝟗 AFC= 30 cm

Distancia de A a V 10 cm + 30 cm = 40 cm

RESPUESTA: La distancia de A a V es de 40 centímetros. 11. La entada de una iglesia tiene forma parabólica con una puerta de forma rectangular ABCD, como se muestra en la figura. Si la altura de la entrada parabólica tiene 4 metros de alto y 6 metros de acho en la base, halle la altura de la puerta si tiene un ancho de 2 metros.

OPCIONES RESPUESTA A) 12m B) 11m C) 31/9m D) 32/9m E) 35/9m

SOLUCIÓN: P: (x – h)2 = 4p (y – 4)

M(3;0) ∈ P

P: (3 – 0)2 = 4p (0 – 4) →9 = 4p (-4) 4p (-4) = 9 p = 9/4(-4) p = -9/16 P: x2 = -9/4 (y – 4)

C(1;h)

P: 12 = -9/4 (h – 4) P: -9/4 (h – 4) = 1 P: -9/4h + 9 = 1 P: -9/4h = 1 – 9 P: -9h = -8 x 4 P: -9h = -32 P: h = 32/9

RESPUESTA: La altura de la puerta es de 32/9m.

12. La trayectoria de un cometa está descrita por la parábola P: x 2-4x4y+24=0, teniendo como referencia el cetro de la Tierra. Halle la distancia en metros del vértice de la parábola al centro de la Tierra UA (1UA= 149597870700m).

OPCIONES RESPUESTA A) √29 UA B) √28 UA C) √26 UA D) √30 UA E) √23 UA

SOLUCIÓN:

X1 Y1

Y2 X2

V(2;5) y

O(0;0)

d=√((x2-x1)²+(y2-y1)² d=√((0-2)²+(0-5)² d=√(-2)²+(-5)² d=√4+25 d=√29

RESPUESTA: La distancia desde el vértice de la parábola hasta el centro de la Tierra es de √29 UA.

13. La recta l: x-y-4= 0 interseca a la parábola P: y2=2x en los puntos A y B. Halle el área de la región triangular AVB en metros cuadrados, donde V es el vértice de P

OPCIONES RESPUESTA A) 10m2 B) 11 m2 C) 12 m2 D) 14 m2 E) 17 m2

SOLUCIÓN: X-y-4=0 y2 = 2x 1

x= y + 4 Y=x-4

Y2 = 2x (x-4)2 = 2x x2 – 8x +16 = 2x x2 – 8x -2x + 16=0 X2 -10x + 16 = 0 (x-8) (x-2) = 0 (x-8) = 0 (x-2) = 0

X1 = 8 x2= 2

Reemplazamos para obtener “y”

X1 = 8 Y= x-4 ---- y = 8-4 --- y = 4 -

Primer punto de intersección (x1; y1 ) = (8;4)

X2 = 2 Y= x - 4 --- y =2 - 4 = -2 -

Segundo punto de intersección (x1; y2) = (2;-2)

En base a la ecuación de la parábola Nuestra parábola y2 = 2x, implica que el vértice es (0,0) y así tenemos los tres puntos del triángulo: A = (2; 2) B = (8; 4) C = (0; 0) Para calcular el área, hay varias formas en esta caso vamos a usar matrices 

0 1 SAOB = 2 2 8

0 1 −2 1 = 12m2 4 1

RESPUESTA: El área de la región triangular AVB es de 12 m2

14. En la figura, OV es diámetro de la circunferencia C: x2 + y2= 4y. Si O y V son puntos de tangencia, foco y vértice de la parábola P, respectivamente, halle la ecuación de la parábola P.

OPCIONES RESPUESTA A) X2 = -16(y -4 ) B) X2 = -8(y -4 ) C) X2 = -4(y - 16 ) D) X2 = -24(y -4 ) E) X2 = -8(y - 2 )

SOLUCIÓN: C = x2 + y2 = 4y P=x

Circulo

De acuerdo al dibujo el eje focal es el eje Y (x – h)2 = -4p (y – k) Según el grafico, el dasímetro del círculo corresponde el vértice de la parábola. Por lo tanto necesitamos averiguar el diámetro del círculo. La ecuación está dada por:

X2 + y2 = r2 Si sabemos el radio, procedemos a conocer el diámetro. X2 + y2 =4y X2 + y2 -4y = 0 y2 -4y +? ( y +?)2 = y2 + 2(y) (?) +(?)2 Sabemos que el segundo término debe ser 4y entonces la única posibilidad para ? es que tenga el valor de -2 porque 2y(-2) = -4y y de este modo obtenemos el término que necesitamos para tener el trinomio perfecto. Y2 – 4y +4 Regresamos a la ecuación principal x2 + y2 -4y = 0 Incluimos el valor de ? x2 + y2 -4y +? = ? x2 + y2 -4y +4 = 4 x2 + (y2 -4y +4 ) = 4 x2 + (y-2)2 = 4 Recordamos la ecuación del círculo X2 + y2 = r2 Comparamos con nuestra ecuación x2 + (y-2)2 = 4 4 = r2 Entonces el radio es =2. Y entonces el diámetro es 2x = 2(2) = 4. Si la ecuación fuera así: (X+2)2 + (y-2)2 = 4 Significa que el vértice del cirulo está en (2;-2), pero en la “x” no hay otro valor, por lo tanto: Los vértices del circulo son (0 ; 2) El vértice de la parábola está en (0 ; 4)

Diámetro del círculo

Recordamos la ecuación de la parábola (x – h)2 = -4p (y-12) x2 = -4p (y-4) p=4 x2 = -4(4) (y-4) x2 =-16 (y-4)

h --- o 12 ---- 4

RESPUESTA: La ecuación de la parábola es X2 = -16(y -4)

GRUPO 3

INTEGRANTES:

Arízaga Samira

Freire Danna

León Wendy

Rea Arelis

15. En la figura, O, F y L son vértices, foco y recta directriz de la parábola P respectivamente. Si AB = BF y BC = 4√𝟓 cm, halle la ecuación de la parábola P

OPCIONES RESPUESTA A) x² = 12√2y B) x² = 8√2y C) x² = 10y D) x² = 16y E) x² = 16√2y

SOLUCIÓN: 1

ABF 

AEC (ALA)

GRÁFICA:

AE = AB = a

BEC: a = 4

2p = 4√𝟐  p = 2√𝟐 4

P: 𝒙𝟐 = 8√𝟐y

RESPUESTA: La ecuación de la parábola P es 𝒙𝟐 = 8√𝟐y, por lo cual el literal correcto es la B.

16. Sean las parábolas P₁: y = ax², P2: y = a (x - 4)2, con a > 0. Si el punto de intersección de estas parábolas coincide con un extremo de sus lados rectos, halle el valor de a.

OPCIONES RESPUESTA

𝐀)

1 4

𝐁)

1 6

𝐂)

1 8

𝐃)

1 2

𝐄) 1

GRÁFICA

DATOS: P₁: y = ax² P2: y = a (x - 4)2 a>0

SOLUCIÓN:

A (s; b)

Punto de intersección de las parábolas

A (s; b)

A (2; b)

as2 = a (s - 4)2

Como A es un extremo del lado recto, entonces

as2 = a (s2 – 2 (s) (4) + (4)2)

2b = 2

as2 = a (s2 – 8s + 16) as2 = as2 – 8as + 16a as2 - as2 = – 8as + 16a 8as 16a = a a 8s = 16 16 𝐬= 8 s=2 RESPUESTA: 𝟏 El valor de a es por lo que la respuesta es el literal A. 𝟒

𝐛= b=1 A (2; 1)

2 2 b es igual a 1 cuando el punto de corte es en un eje recto.

Reemplazamos A (2; 1) en la ecuación de la parábola P1 y = ax² 1 = a (2)2 1 = a (4) 1 = 4a 4a = 1 𝟏 𝐚= 𝟒

17. En la figura, el eje focal de la parábola P es el eje Y, el foco es el origen de coordenadas, la ecuación de la circunferencia es x² + y² = 144 y AB = BC = CD. Halle la ecuación de P.

OPCIONES RESPUESTA A) x² = 6 (y - 2) B) x² = 8 (y - 2) C) x² =16 (y + 3) D) x² = 13 (y - 3) E) x² = 13 (y + 3)

GRÁFICA

SOLUCIÓN:

C : x² + y² = 144 C : x² + y² = 12² Lado recto: BC = 4p = 8 8 4 p=2 V (0; -2) 𝐩=

P : x2 = 8 (y - 2)

RESPUESTA: La ecuación de la parábola es P : x2 = 8 (y - 2) por lo que la respuesta es el literal B.

AD = 24

18. El foco de una parábola P es el punto F(2;2) y su directriz es la recta L : y – 8 = 0. Halle la ecuación de la parábola.

OPCIONES RESPUESTA A) B) C) D) E)

(𝐱 − 𝟐)𝟐 = −𝟑(𝐲 − 𝟐) (𝐱 − 𝟓)𝟐 = −𝟏𝟐𝐲 𝐱 𝟐 = −𝟔(𝐲 − 𝟓) (𝐱 − 𝟐)𝟐 = −𝟑(𝐲 − 𝟓) (𝐱 − 𝟐)𝟐 = −𝟏𝟐(𝐲 − 𝟓)

GRÁFICA:

DATOS: 𝑭(𝟐; 𝟐) 𝑽(𝟐; 𝟓) 𝒑=𝟑

PROCEDIMIENTO: (𝒙 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑 (𝒚 − 𝒉) (𝒙 − 𝟐)𝟐 = 𝟒(−𝟑) (𝒚 − 𝟓) (𝒙 − 𝟐)𝟐 = −𝟏𝟐 (𝒚 − 𝟓)

Ecuación canónica de la parábola

PASAR DE CANÓNICA A GENERAL (𝒙 − 𝟐)𝟐 = −𝟏𝟐(𝒚 − 𝟓) 𝒙𝟐 − 𝟐 . 𝒙 . 𝟐 + 𝟐𝟐 = −𝟏𝟐𝒚 + 𝟔𝟎 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = −𝟏𝟐𝒚 + 𝟔𝟎 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 + 𝟒 − 𝟔𝟎 = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟓𝟔 = 𝟎 Ecuación general de la parábola RESPUESTA: La respuesta es la letra E, ya que la ecuación de la parábola es de forma general. de forma canónica y

19. En la figura, se muestra una parte de un puente que tiene un cable de forma parabólica cuyas torres de 60 m de altura están separadas 180 m, dos péndolas consecutivas están separadas 10 m y la péndola más pequeña mide 10 m. Halle la ecuación del cable de forma parabólica con vértice en V. (Considerar V origen de coordenadas)

OPCIONES RESPUESTA A) x2 = 81y B) x2 = 40y C) x2 = 162y D) x2 = 152y E) x2 = 82y

DATOS: Vértice: origen (0,0) Torres, h: 60 m Distancia: 180 m Péndola pequeña: 10 m con respecto al suelo. GRÁFICO:

SOLUCIÓN: Vértice: V (0,0) Fórmula: x2 = 4py Datos: x = 90

y = 50

Reemplazar: (90) 2 = 4p (50) 𝟖𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟎

= 4p

162 = 4p 4p = 162 RESPUESTA: La ecuación del cable de forma parabólica con vértice en V es (x 2 = 162y), por ende, la respuesta es el literal C

20. Una parábola tiene su vértice en el punto V (4;3) y los extremos de su lado recto son los puntos L (-2;6) y R (10;6). Halle la ecuación de la parábola.

OPCIONES RESPUESTA A) (x-3)² = 12(y - 4) B) (x-4)² = 12(y - 3) C) (x-4)² = 6(y - 3)

GRÁFICO:

D) (x-3)² = 6(y - 6) E) (x-2)² = 10(y - 3) SOLUCIÓN: LR lado recto  LR = 12 p=3 RESPUESTA: • 𝐕 (𝟒; 𝟑)

La ecuación de la parábola (x - 4)2 = 12(y - 3), lo cual es el literal correcto es B

𝐩=𝟑

p: (x - 4)2 = 12(y - 3)

21. En la figura, O y F son vértices y foco de la parábola P respectivamente. Si L: y = - 4 es directriz, halle el área de la región triangular AOB (en metros cuadrados) A) 12 m2 B) 20 m2 C) 32 m2 D) 42 m2 E) 36 m2

SOLUCIÓN: Del dato: p = 4  A∆AOB =

𝟒𝐩.𝐩 𝟐

A∆AOB = 32 m²

GRÁFICO:

RESPUESTA: El área de la región triangular AOB es de 32 m2, por ende, el literal correcto es C.

GRUPO 4

INTEGRANTES Jennifer Quespaz Melany Sanango Viviana Santo Melany Vargas

22. La parábola P: y = x2 es tangente a la recta L que pasa por el punto Q (1;0). Halle la ecuación de la parábola de la recta L. OPCIONES RESPUESTA A) 8x - 2y – 15 = 0 B) 4x – y – 4 = 0 C) 8x – y – 16 = 0 D) 8x - 2y – 13 = 0 E) 8x - 3y – 16 = 0

SOLUCIÓN:

Q (1;0) P:

y=x2 L : y - y1 = m ( x - x1)

y1=2x y1=2 (1) y1

f (2) = 22 f (2) = 4 m=4

RESPUESTA: La ecuación de la parábola de la recta L es 4x - y - 4 = 0

L : y - 0 = 4 ( x - 1) L : y = 4x - 4 L : 4x - y - 4 = 0

23. La parábola P: x2 + 2x + 4y – 11 = 0 tiene por vértice el punto V y lado recto LR. Halle la distancia en metros entre vértice de P y el baricentro del triángulo LOR (O: origen de las coordenadas).

OPCIONES RESPUESTA A) B) C) D) E)

√13 𝑚 3 2√26 3

𝑚

√26 𝑚 6 √26 𝑚 3 √26 𝑚 4

SOLUCIÓN:

x2 + Dx + Ey + F = 0

Ecuación general de la parábola

x2 + 2x + 4y - 11 = 0 x2 + 2x

= - 4y + 11

Completar el trinomio cuadrado perfecto 2 2

(2) = 1 x2 + 2x + 1 = - 4y + 11 + 1 x2 + 2x + 1 = - 4y + 12 ( x2 + 1 )2 = - 4 ( y - 3 ) ( x - h )2 = 4a ( y - k )

Forma

Datos para sustituir h = -1 k=3 a = -1

Vértice

V = ( h, k)

Vértice

V = ( -1, 3)

Foco

F = ( h, k + a)

Foco

F = ( -1, 2)

Lado recto

LR = |4𝑎|

Lado recto

LR = 4

Calculamos el valor del baricentro del triángulo Fórmula G ( x, y) 𝑥= 𝑥= 𝑥=

𝑥1 +𝑥2 +𝑥3

𝑦=

3 (−3)+(1)+(0) 3 −2

𝑦=

𝑦1 +𝑦2 +𝑦3 3 (2)+(2)+(0) 3 4

𝑦=3

−2 4

𝐺 ( 3 ; 3)

Baricentro

Para calcular la distancia del vértice y el baricentro usamos la fórmula de distancia entre 2 puntos. El vértice y el baricentro son los 2 puntos. NOTA:

𝑉 (−1; 3) x1 , y1

Cualquier valor puede ser x1, y1 y x2, y2

−2 4

𝐺 ( 3 ; 3) x2 , y2

𝑑 (𝐴𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

𝑑 (𝐴𝐵) = √(

2 2 −2 4 − (−1)) + ( − 3) 3 3

𝑑(𝐴𝐵) =

√26 𝑚 3

RESPUESTA: La distancia en metros entre vértice de P y el baricentro del triángulo LOR es

√𝟐𝟔 𝐦 𝟑

24. En la figura, la copa esta generada por la rotación de la parábola P con vértice en el eje X , alrededor de su eje focal paralelo al eje Y. Si la ecuación de la parábola es P: y= 3x2/2 +6x + C. Halle la altura del líquido contenido en la copa.

OPCIONES RESPUESTA A) 2 B) 6 C) 4 D) 8 E) 3

SOLUCIÓN: Completando cuadrados Y= ax2 + bx + c 2/3 y= x2 + 4x + 2C/3 2/3 (y-C+6) X2 + 4x + 4 (x + 2)2 Vértice V= ( Xv, Yv) ( -2 ; 0 )

Entonces C= 6

La altura del líquido es cuando en la parábola interseca al eje Y y= 3x2/2 +6x + 6

h= 6

RESPUESTA: La altura del líquido contenido en la copa es 6.

25. En una parábola, la distancia del vértice al foco es 2 cm. Si un punto B ubicado en la parábola dista 6cm del foco, halle la distancia del punto B a su vértice.

OPCIONES RESPUESTA A) 4√3 cm B) 8√2 cm C) 6 cm D) 5√3 cm E) 4cm SOLUCIÓN: -

Trazamos BA con A en la recta directriz. Luego BF-BA=6 cm Ubicado P en el eje focal. Por teorema de Pitágoras de PB= 4√2 cm En el triángulo rectángulo BPV. Por teorema de Pitágoras tenemos BV= 4√3 cm TEOREMA DE PITÁGORAS V= √(4√2 cm )2 − 42 V= √48 − 16 cm V= √32 cm V= 4√2 cm

TEOREMA DE PITÁGORAS V= √42 + (4√2 cm )2 V= √16 + 32 cm V= 48 cm V=

4√3 cm

RESPUESTA: La distancia del punto B a su vértice es 𝟒√𝟑 𝐜𝐦.

26. En la figura, F es foco de la parábola P : y2 = 16x y A(b; -4). Halle la ecuación de la circunferencia de centro C

OPCIONES RESPUESTA A) (x - 4)2 + (y - 7)2 = 16 B) (x - 7)2 + (y - 4)2 = 25 C) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 25 D) (x - 6)2 + (y - 8)2 = 36 E) (x - 4)2 + (y - 6)2 = 25

SOLUCIÓN: • A(b; -4) E P

=> b = 1 •m

= 0+ 4 = 4 AF

4-1 3

=> 0 = 53º • C(7; 4) ^ r = 5

e : (x - 7)2 + (y - 4)2 = 25

RESPUESTA: La ecuación de la circunferencia de centro C es (x - 7)2 + (y - 4)2 = 25.

27. La figura sombreada representa una zona urbana, donde la parábola P representa el recorrido de un río. Si CD = 4AO, OB = 9AO, O y CD son vértices y lado recto de la parábola P respectivamente, y el área de la región sombreada es 18000 m2, halle la ecuación de la recta que una al reservorio de agua con la casa ubicada en el punto B.

OPCIONES RESPUESTA A) x + 5y – 300 = 0 B) x + 2y – 150 = 0 C) x + 3y – 270 = 0 D) x + 4y – 270 = 0 E) x + 6y – 400 = 0

SOLUCIÓN:

A= D x d 2

1) Dato: 2p x 4p

4p x 8p

= 18000

p= 30

2) m= 60- 0 30- 270

1 4

3) L BC : x + 4y -270 = 0

RESPUESTA: La ecuación de la recta que una al reservorio de agua con la casa ubicada en el punto B es x + 4y -270 = 0

GRUPO5

INTEGRANTES: Chacaguasay Tifany Cueva Alessia Moyano Karla Sopa Nicol

28. La figura muestra un drone que se encuentra en un hoyo de 12 m de profundidad, e inicia si ascenso describiendo una trayectoria parabólica P: y = at – t2 + b, donde y está en metros y t en minutos; al minuto de vuelo subió 7 metros y a los 6 minutos de iniciado su ascenso se posa sobre la superficie en el punto B. si C es el vértice de la parábola P, halle el tiempo cuando el drone alcance su altura máxima desde que inicio si ascenso en el punto O.

OPCIONES RESPUESTA A) 3 min B) 5 min C) 7 min D) 6 min E) 4 min SOLUCIÓN: DATOS: t = 1min

y = 7m

y = a (t) – t2 +b 7 = a (1) – 1 + b 7=a–1+b 7+1=a+b 8=a+b 8=a+b

;

t = 6min

2) b

y = 12m

Entonces cuando: y = a (t) – t2 +b 2 12 = a (6) – 6 + t = 1: a + b = 8 12 = 6a – 36 + b 12 + 36 = 6a + b y cuando: 48 = 6a + b t = 6: 6a + b = 48

3) Entonces: 2:

a+b=8 6a + b = 48 b=8–a 6a + b = 48 6a + 8 – a = 48 6a – a = 48 + 8 5a = 40 a = 40 / 5 a=8

b=8–a a=8 y b=0 b=8–8 b=0

3: 4) y – k = - (t – h)2 y – 16 = - (t - 4)2 - (t – 4)2 = - y + 16 (t - 4)2 = - y + 16 (t - 4)2 = - (y - 16) C = (4;16) CH = 16 t = 4 min

RESPUESTA: El drone alcanza su altura máxima en 4 minutos desde que inició su ascenso en el punto O.

29. En la figura, el punto A de la parábola P: (x-13)2=4y, dista 50 cm de su directriz. Halle las coordenadas de A.

OPCIONES RESPUESTA A. B. C. D. E.

(-1; 49) (-3; 64) (1; 49) (-5; 81) (27; 49)

SOLUCIÓN: (𝑠 − 13)2 = 4(49)

PARÁMETRO:

4p = 4 p=

REEMPLAZAMOS A(s, 49) EN LA ECUACION DE LA PARABOLA OBTENEMOS:

4 4

𝒑=𝟏

Luego la recta directriz es LD: y=-1

(𝑥 − 13)2 = 4(49) 𝑥 2 − 13x − 13x = 196

𝑥 2 − 26x + 169 = 196 𝒙𝟐 − 𝟐𝟔𝒙 − 𝟐𝟕 = 𝟎

Como A dista 50 cm de LD, entonces A= (s, 49)

ECUACION GENERAL

PARAMETRO: p=1

a= 1,

b=26,

c=27

DIRECTRIZ: y= -1 𝑥=

VERTICE: (13,0)

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

COORDENADAS DEL PUNTO A: (-1; 49) −(−26) ± √(−26)2 − 4(1)(−27) 𝑥=

2(1)

𝑥=

26 ± √676 − (−108) 2

RESPUESTA: B. (-1; 49)

𝑥=

26 ± √784 2

26 + 28 2

𝑥=

26 − 28 2

𝒙 = 𝟐𝟕

30. En la figura, O y F son vértice y foco de la parábola P respectivamente. Si el área de la región rectangular ALRB es 64 cm2, halle la ecuación de la circunferencia C.

OPCIONES RESPUESTA A. B. C. D. E.

x2 + (y-1)2 = 65 x2 + (y+2)2 = 69 (x-2)2 + y2 = 68 x2 + (y-2)2 = 68 (x-2)2 + (y+2)2 = 64

SOLUCION: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 OF= p

LR= 4p

AALRB= 64 = p x 4p = p

Entonces: FR = 8 y O1F = 2

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 = (√68)2 𝑥 2 − 0𝑥 + 0 + 𝑦 2 − 2𝑦 − 2𝑦 + 4 = 68 𝑥2

+ 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 − 68 = 0 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 − 𝟔𝟒 = 𝟎 ECUACION GENERAL

𝒙 = −𝟏

ECUACION GENERAL

𝑥2

+ 𝑦 2 − 4𝑦

= 64

𝑥 2 + 1(𝑦 2 − 4𝑦 + 4) = 64 + 4 𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 = 68 𝒙𝟐 (𝒚 − 𝟐)𝟐 + =𝟏 𝟔𝟖 𝟔𝟖

ECUACION CANONICA

RADIO:

CENTRO:

RESPUESTA: 2

D. x + (y-2) = 68

−𝐷 𝐶( 2

1 𝑟 = √𝐷 2 + 𝐸2 − 4𝑓 2

−𝐸 ) 2

−0 −(−4) ) 𝐶( 2 2 𝑪(𝟎, 𝟐)

𝑟=

1 2 √0 + (−4)2 − 4(−64) 2

1 𝑟 = √0 − 16 − (−256) 2 𝒓=

𝟏 √𝟐𝟕𝟐 ≡ √𝟔𝟖 𝟐

31. Un túnel tiene la forma de arco parabólico, de 5 metros de altura y 4 metros de ancho, la empresa de transportes TOURHS S.A se dedica al transporte cuyo recorrido pasa por el túnel, quiere comprar una flota de camiones de 3 metros de ancho. Halle la máxima altura que deben tener los camiones.

OPCIONES RESPUESTA A) 25/16m B) 35/16m C) 34)15m D) 45/16m E) 37/16m

SOLUCIÓN: 1) X*2 = 4py (x – 0) *2 = 4 p (y -5) (2 - 0)*2 = 4p (0 - 5) (4 – 0) = 4p (-5) 4 = -20 p -4/20 = p p = -1/5 p = -0,2

2) X*2 = -O,8 (y – 5) X*2 = 4PY X*2 = 4 (-1/5) X*2 = -4/5 Y X*2 = -0,8y

3) X*2 = -0,8y (3/2)*2 = -0,8 (-h) 1,5*2 = -0,8h 2,25/ -0,8 = h h = -2,81

4) h = 5 – 2,81 h = 2,19 h = 35/16m

RESPUESTA: La altura máxima que deben tener la nueva flota de camiones que adquirirá la empresa es de 35/16m o 2,19m.

32. La parábola P: y= m(x-2)2-n, pasa por el origen de coordenadas y por el punto A (1; -9). Halle la suma de coordenadas del vértice de P.

OPCIONES RESPUESTA A) 6 B) 8 C) 10 D) -10 E) -14

Datos: Origen (0;0)

A (1; -9)

Procedimiento: 1) y= m(x-2)2-n 0= m (0-2)2-n 0=m (-2)2-n 0=m (4)-n 0=4m-n n=4m

2) y= m(x-2)2-n -9= m (1-2)2-4m -9= m (-1)2-4m -9= m (1)-4m -9= m-4m -9= -3m -9/-3 = m 3=m m=3

3) y= m(x-2)2-n 0= 3 (0-2)2-n 0= 3 (-2)2-n 0=3 (4)-n n=12

Vértice x: y+12=3(x-2)2 y+12=3(-2)2 y+12=3(4) y=12-12

x= -b/2a x= -(-12) /2(12) x= 12/24 x=2 VÉRTICE DE X = 2

Vértice y: y+12=3(x-2)2 y+12=3(2-2)2 y+12=3(0)2 y+12=3 (0) y+12= 0 y=-12

VÉRTICE DE Y = -12

SUMA DE LAS COORDENADAS DEL VÉRTICE P: 2+(-12) 2-12 -10

RESPUESTA: La suma de las coordenadas del vértice P es -10

33. La trayectoria de una cometa está descrita por la parábola P: x2 – 4x – 4y + 24 = 0, teniendo con referencia el centro de la tierra. Halle la longitud en metros del lado recto de la trayectoria descrita por la cometa.

OPCIONES RESPUESTA A) B) C) D) E)

1m 2m 3m 4m 6m

SOLUCIÓN:

X2 – 4x – 4y + 24 = 0 X2 – 4x = 4y + 24 X2 – 4x + 4 = 4y – 24 + 4 (x - 2)2 = 4y + 20 (x - 2)2 = 4 (y + 5) p=1m LR = 4p LR = 4m

RESPUESTA: La longitud del lado recto de la trayectoria descrita por el cometa es de 4 metros.

GRUPO 6

INTEGRANTES:

Alison Alarcón

Johana Cabay

Mabel Ganchala

Nicol Iza

34. En la figura, O y F son vértice y foco de la parábola P respectivamente. Si AO = AF y la distancia del punto A al eje focal es 𝟐√𝟐 cm, halle la ecuación de la parábola P OPCIONES RESPUESTA A) 𝑦 2 = 6𝑥 b=

B) 𝑦 2 = 8𝑥

C = 3a

2√2

C) 𝑦 2 = 4𝑥

a=?

D) 𝑦 = 2𝑥 E) 𝑦 2 = 5𝑥 DATOS     

GRÁFICO DETALLADO

Parámetro (p) = 2 Lado b o distancia del punto A al eje focal = 2√2 Vértice = (0, 0) Lado c = 3a Ecuación parábola = ? FÓRMULAS - PREVIAS



𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙 Ecuación de la parábola con vértice en el origen. 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 Teorema de Pitágoras: Triángulo rectángulo

SOLUCIÓN a) Aplicar

teorema

Pitágoras: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2

de c) Obtener el parámetro. 𝑝 = 2𝑎

RESPUESTA

p = 2(1) 2 (3a)2 = a2 + (2√2) 𝒑=𝟐 La ecuación de la 𝟗𝒂𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟖 b) De acuerdo a la ecuación d) Hallar la ecuación de la parábola que muestra la parábola de acuerdo a datos anterior, resolver “a”. figura es 𝒚𝟐 = 𝟖𝒙 obtenidos 9𝑎2 − 𝑎2 = 𝑎2 + 8 − 𝑎2 8𝑎2 = 8 8 𝑎2 = 8 𝑎2 = 1 √𝑎2 = √1 𝒂 = 𝟏

𝑝 = 2 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 𝑦 2 = 4(2)𝑥 𝒚𝟐 = 𝟖𝒙

35. En la figura, V, A y B son los centros de las circunferencias tangentes dos a dos y son congruentes cuyos radios miden 2 cm. Si V coincide con el vértice de una parábola P que pasa por los puntos A y B, halle la distancia del vértice al foco de dicha parábola. OPCIONES RESPUESTA A. B.

√𝟑 𝟔 √3 4

cm cm

C. 2 cm D. √2 E.

   

√2 𝑐𝑚 3

DATOS Radios de las circunferencias = 2cm Vértice = (0;0) A = (−2; −2√3) Distancia vértice-foco = ? FÓRMULAS PREVIAS

GRÁFICO DETALLADO

𝑥 2 = 4𝑝𝑦 Ecuación canónica de una parábola

Distancia entre el foco y vértice.

vertical con centro en el origen. F= (0; p) Ecuación para hallar el foco. 𝑑 = √(𝑋1 − 𝑋2 )2 + (𝑦1 − 𝑌2 )2 Ecuación general de distancia

A = (−2; −2√3)

FOCO

SOLUCIÓN a) Hallar el parámetro en base al c) Hallar la distancia entre el punto del vértice A. foco y el vértice. − √3 𝐴 = (−2; −2√3) 𝐹 = (0 ; 6 𝑉 = ( 0 ; 0) 2 𝑥 = 4𝑝𝑦 (−2)2 = 4𝑝(−2√3 )

= 4𝑝 −2√3 −2√3 4𝑝 = 𝑝= 𝑃= 𝑝=

3 −2√3

𝑑 = √(𝑋1 − 𝑋2 )2 + (𝑦1 − 𝑌2 )2

3⋅4 −2√3

𝒑=

12 −√𝟑 𝟔

La distancia entre el foco

d = √(0 − 0)2 + (0 − ( d = √0 + (0 +

3 4

−2√3

RESPUESTA

d = √0 + (

√3 ) 6

d = √0 +

−√3 )) 6

1 12

y el vértice de dicha

parábola es 𝒅 =

√𝟑 𝟔

b) Hallar el foco.

1 d=√ 12

−√3 𝑝= 6 F= (0; 𝑝) − √𝟑 𝑭 = (𝟎 ; 𝟔

𝒅=

√𝟑 𝒄𝒎 𝟔

36. La parábola P: x2 + 2x + 4y – 7 = 0 tiene por foco el punto F y lado recto LR. Halle la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el foco de P y que pase por los puntos L y R.

OPCIONES RESPUESTA A. B. C. D. E.

Ecuación circunferencia

(x – 1)2 + (y + 1)2 = 4 (x – 1)2 + (y – 1)2 = 4 (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4 (x + 1)2 + (y – 2)2 = 4 (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4

DATOS Parábola = x2 + 2x + 4y – 7 = 0 Foco = F Vértice = V Ecuación circunferencia =.?

FÓRMULAS PREVIAS



(x – h)2 = 4p (y – k) Ecuación canónica vertical de la parábola con centro fuera del origen. 𝐛 (𝟐)𝟐Fórmula para formar el trinomio al cuadrado perfecto.



LR = |4p| Fórmula para hallar el lado recto de la parábola.



F (h; k + p) Fórmula para hallar el foco de una parábola vertical con centro fuera del origen. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Ecuación canónica de la circunferencia con centro fuera del origen.



SOLUCIÓN a) Pasar la ecuación general de la parábola a canónica.

b) Con la ecuación canónica de la parábola hallada, buscar:

(𝑥 − ℎ)2 = 4 𝑝(𝑦 − ℎ)

VÉRTICE

c) Hallar el centro de la circunferencia o el foco (parábola)

𝐹 = (ℎ ; 𝑘 + 𝑝) F = (− 1 ; 2 + (−1)) F = (− 1 ; 2 − 1) 𝑭 = (−𝟏; 𝟏) 𝐹𝑜𝑐𝑜 = 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑪 = (−𝟏; 𝟏)

𝟐

𝐱 + 𝟐𝐱 + 𝟒𝐲 − 𝟕 = 𝟎 x 2 + 2x = − 4y + 7 Formar un trinomio al cuadrado perfecto en la izquierda de la ecuación y agregar el nuevo número en ambos lados de la igualdad.

(𝑥 + 1)2 = − 4(𝑦 − 2) V = (h; k) 𝐕 = (−𝟏; 𝟐) ,

d) Hallar el radio

PARÁMETRO

x + 2x + 𝟏 = − 4y + 7 + 𝟏 x 2 + 2x + 𝟏 = − 4y + 8 Formar el cuadrado de un binomio a la izquierda de la igualdad y en la derecha sacar factor común para hallar la ecuación canónica.

𝟒𝒑 = − 𝟒 −4 𝑝= 4 𝒑= −𝟏

𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 (𝐷) = 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 (𝐿𝑅)

LADO RECTO

e) Hallar la ecuación de la circunferencia. 𝐶(−1; 1) r=2

𝐷 2 4 r= 2 𝒓= 𝟐 𝑟=

𝐿𝑅 = |4𝑝| LR = |4(−1)| LR = | − 4| 𝐋𝐑 = 𝟒

x 2 + 2x + 𝟏 = − 4y + 8 (𝒙 + 𝟏)𝟐 = − 𝟒(𝒚 − 𝟐)

( 𝑥 − 𝑎 ) 2 + (𝑦 − 𝑏 ) 2 = 𝑟 2 (x − (− 1))2 + (y − 1)2 = 22 (𝒙 + 𝟏 ) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝟏 ) 𝟐 = 𝟒

NOTA: los valores de “h” y “k” del vértice se escriben siempre con signos contrarios a los de la ecuación canónica.

RESPUESTA

La ecuación de la circunferencia es (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟒

37. Las torres que sostiene un cable de forma parabólica del puente colgante tienen 20m de altura y están separadas 80m. si el cable es tangente en el punto T al tablero, las péndolas están igualmente espaciadas y AT = QB = 10m, halle la longitud de la péndola PQ. OPCIONES RESPUESTA A. 22,5 m B. 11,75 m

20m

C. 11,25 m

11,5m

D. 22,25 m 40m

E. 22,75 m 80m

DATOS     

GRÁFICO DETALLADO EJE FOCAL

Altura de la torre = 20m Distancia torres = 80m Punto M = (40;20) Punto P = (30; y) Longitud de la péndola PQ = ? FÓRMULAS – PREVIAS

x2 = 4 py Ecuación canónica vertical de la parábola con vértice en el origen. NOTA: se utiliza la ecuación cuando el eje focal se encuentra sobre el eje “Y”

Reemplazar valores del punto M en la ecuación canónica.

𝐌 (𝟒𝟎; 𝟐𝟎)

II.

Reescribir la ecuación canónica reemplazando por el valor de 4p.

𝒙𝟐 = 𝟒 𝒑𝒚 𝒙𝟐 = 𝟖𝟎𝐲

𝒙𝟐 = 𝟒 𝒑𝒚

𝟐

𝒙 = 𝟒 𝒑𝒚 402 = 4p(20) 1600 = 4 p(20) 1600 = 4p 20 80 = 4 p 𝟒 𝐩 = 𝟖𝟎

RESPUESTA

La longitud de la péndola PQ de la torre es igual a

III. Hallar “Y” reemplazando los valores 11,25 metros. del punto P en la ecuación anterior.

𝑷 (𝟑𝟎; 𝒚)

𝒙𝟐 = 𝟖𝟎𝒚

𝒙𝟐 = 𝟖𝟎𝒚 𝑥 2 = 80y 302 = 80y 900 = 80y 900 = y 80 𝐲 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟓𝐦

38. Un puente está construido sobre una estructura con formas parabólicas congruentes como muestra la figura, para ello fue necesario precisar las ecuaciones de las tres parábolas. Si el punto P (5; 0) es de tangencia y la ecuación de la parábola izquierda es 𝒙𝟐 = −𝟒𝒚, halle la ecuación de la parábola de la derecha.

OPCIONES DE RESPUESTA A) 𝑥 2 = −8𝑦 B) 𝑥 2 = −12𝑦 C) (𝑥 − 5)2 = −4𝑦 D) (𝑥 − 10)2 = −4(𝑦 − 10) E) (𝑥 − 10)2 = −4𝑦

DATOS  

 

GRÁFICO DETALLADO

P (5, 0) Ecuación de la Parábola izquierda: 2 𝑥 = −4𝑦 Ecuación de la Parábola derecha = ? Parábolas congruentes FÓRMULAS - PREVIAS



𝒙𝟐 = −𝟒𝒚 Ecuación canónica de una parábola vertical que abre hacia abajo con centro en el origen.



(𝒙 − 𝒉)𝟐 = −𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌) Ecuación canónica de una parábola vertical que abre hacia abajo con centro fuera del origen.

P. derecha

SOLUCIÓN RESPUESTA a) Hallar la ecuación de la parábola de la derecha de acuerdo a su vértice. La ecuación de la parábola de la derecha 𝑣(10,0) → 𝑣(ℎ, 𝑘 ) (𝑥 − ℎ)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑘 )

es (𝒙 − 𝟏𝟎)𝟐 = −𝟒𝒑𝒚

(𝑥 − 10)2 = −4𝑝(𝑦) (𝒙 − 𝟏𝟎)𝟐 = −𝟒𝒑𝒚

39. La resta L: x – 2y + 3 = 0 es secante a la parábola P: y2 = 4x. Halle la medida del segmento comprendido entre los puntos de intersección de L y P en metros.

OPCIONES RESPUESTA

A. 2 √5 m B.

√5 m

C. 4 √5 m D. 5 √5 m E. 3 √5 m

DATOS     

L: x – 2y + 3 = 0 P: y2 = 4x Distancia AB = ? Puntos de intersección A = (1,2) B = (9,6) FÓRMULA 𝑨𝑩 = √(𝑿𝟐 − 𝑿𝟏 )𝟐 + (𝒀𝟐 − 𝒀𝟏 )𝟐 Ecuación para encontrar la Distancia entre dos puntos.

Distancia entre A y B

SOLUCIÓN I. Reemplazar valores del punto A y B en II. Descomponer la raíz. la fórmula.

III. Resultado de descomposición de raíz.

𝐴𝐵 = √80

𝐴𝐵 = √(𝑋2 − 𝑋1

𝐴 (1 ; 2)

+ (𝑌2 − 𝑌1 𝐵 (9 ; 6)

AB = √(9 − 1)2 + (6 − 2)2 AB =

√(8)2

(4)2

AB = √64 + 16 𝑨𝑩 = √𝟖𝟎

40 20 10

2 2 2

𝑨𝑩 = 𝟒 √𝟓

RESPUESTA

la la

AB = √16 . √5

La medida del segmento comprendido entre los puntos de intersección de L y P es 𝟒 √𝟓 𝒎 .