FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA PROFESIONAL DE TURISMO Y NEGOCIOS
ANUALIDADES ANTICIPADAS 1. DEFINICIÓN.Una anualidad es anticipada si los pagos se hacen al comenzar cada periodo. Cabe señalar cualquier anualidad se resuelve aplicando apropiadamente la fórmula general, ya que si se tiene un valor único equivalente a todas las rentas, al término del plazo esta traslada a cualquier otra fecha con la fórmula de interés compuesto. El diagrama de flujo de cada estas anualidades es el siguiente: R
R
R
R
0
1
2
3
4
Donde R representa cada pago y los números en el eje horizontal son los periodos de tiempo transcurridos. 2. MONTO DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA.Dado una tasa efectiva i, las rentas anticipadas R a que constituyen una anualidad simple anticipada, pueden transformarse por equivalencia financiera en su respectivo valor futuro equivalente S. DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DEL MONTO DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA
Al tomar como fecha focal el final del horizonte temporal de la anualidad, puede deducirse la fórmula del valor futuro de una anualidad simple anticipada, del siguiente modo: S=? Ra(1 + i)
n
Ra(1 + i)
n–1
Ra(1 + i)
n–2
Ra(1 + i)
n–3
Ra(1 + i)
2
Ra(1 + i) Ra
Ra
0
1
Ra
Ra
Ra
Ra
2 3 n-2 n-1 n Rentas Anticipadas uniformes capitalizadas hasta el momento n.
Cada flujo de caja Ra está sometido a interés compuesto por n números diferentes de periodos: el primero durante n periodos, el segundo durante n – 1 periodos, el penúltimo durante dos periodos y el último durante un periodo (hasta el final del horizonte temporal). El valor futuro S de la anualidad, es igual a la suma de los montos parciales de cada Ra llevado al final del horizonte temporal: 2
S = Ra(1 + i) + Ra(1 + i) + … + Ra(1 + i)
S es igual a la suma de una progresión geométrica creciente
n–1
S=
+ Ra(1 + i)
n
a1 (r n − 1) , donde: a1 = Ra(1 + i); r r −1
= (1 + i) y cuya solución es:
S= Lic. Robert Suclupe S.
a1 (r n − 1) Ra (1 + i)[(1 + i) n − 1] = r −1 1+ i −1 Página 1
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Al reagrupar y eliminar términos se obtiene: n ( 1 + i ) − 1 S = Ra (1 + i )x i
Ejemplo: ¿Qué monto se acumulará al término del cuarto mes, si hoy y durante 3 meses consecutivos se depositan S/. 100 en una cuenta de ahorros que devenga una TNA de 0,24 con capitalización mensual? Solución: Con los datos Ra = S/. 100; TEM = 0,02; n = 4; aplicamos la fórmula para calcular S:
(1 + i )n − 1 S = Ra (1 + i )x i
(1 + 0.02)4 − 1 = 420.4 S = 100 (1 + 0.02 )x 0.02 MONTO DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA CUANDO EL PERIODO DE TASA ES DIFERENTE DEL PERIODO DE RENTA
Ejemplo: Calcule el monto que se acumulará en un periodo de 2 años; en este plazo se efectuarán depósitos uniformes anticipados de S/. 2000 cada 45 días. Los depósitos devengan una TNA de 0.16 capitalizable trimestralmente. Solución: Con los datos Ra = S/. 2000; TE45 días = 0,01980390272; n = 16; aplicamos la fórmula para calcular S: TE45 días + 1 = (1 + 0.16/4)
45/90
(1 + 0.0198039027 2 )16 − 1 = S / .37959 S = 2000 (1 + 0 .0198039027 2 )x 0 .0198039027 2
TE45 días = 0.01980390272
3. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA Dado una tasa efectiva i, las rentas Ra que constituyen una anualidad simple anticipada, pueden transformarse por equivalencia financiera en su respectivo valor presente P. DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DEL VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA
Al tomar como fecha focal el inicio del horizonte temporal de la anualidad, puede deducirse la fórmula del valor presente de una anualidad simple anticipada, del siguiente modo:
Ra Ra(1 + i)
-1
Ra(1 + i)
–2
Ra(1 + i)
–3
Ra(1 + i)
–(n–2)
Ra(1 + i)
-(n–1)
Ra
Ra
Ra
Ra
0
1
2
3
Ra n-2
Ra n-1
n
P=? Rentas Anticipadas uniformes descontadas hacia el momento 0.
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El primer flujo Ra no necesita descontarse al encontrarse ya en el presente o momento 0; el segundo se descuenta durante 1 periodo, el tercero durante 2 periodos, el penúltimo durante n–2 periodos y el último durante n–1 periodos. El valor presente de la anualidad es igual a la suma de los valores presentes de cada Ra descontados hacia el inicio del horizonte temporal: -1
-2
P = Ra + Ra(1 + i) + Ra(1 + i) + … + Ra(1 + i) -1
-2
P = Ra[1 + (1 + i) + (1 + i) + … + (1 + i)
-(n – 2)
-(n – 2)
+ Ra(1 + i)
+ (1 + i)
-(n – 1)
]
-(n – 1)
…… (A)
La serie términos que se encuentran dentro del corchete, en la ecuación (A) constituyen la suma de una progresión geométrica decreciente
a1 (1 − r n ) -1 , donde a1 = 1, r = (1 + i) , y cuya solución es: 1− r
(1 + i) n 1 (1 + i) n − 1 − a1 (1 − r n ) (1 + i) n (1 + i) n (1 + i)(1 + i) n − 1 (1 + i) n = = = 1+ i 1 i 1− r (1 + i) n − 1+ i 1+ i 1+ i Al reemplazar la suma de los términos de la progresión geométrica en (A) se tiene: n ( 1 + i ) − 1 P = Ra (1 + i )x i (1 + i ) n
Ejemplo: Se alquila un local comercial por cuatro meses con pagos anticipados de S/. 500 cada uno. ¿Cuál es el valor actual del contrato de arriendo con una TEM de 0,03? Solución: Con los datos Ra = S/. 500; TEM = 0,03; n = 4; aplicamos la fórmula para calcular P: P=? Ra=500
Ra=500
Ra=500
Ra=500
0
1
2
3
4 meses
(1 + 0.03)4 − 1 P = 500 (1 + 0.03)x 0.03(1 + 0.03) 4 P = 500 x 3.828611355 = S/. 1914.31 4. RENTAS UNIFORMES ANTICIPADAS Si se conocen: la tasa de interés i, el número de rentas uniformes n, y además el importe de un stock de efectivo que puede ubicarse al inicio del horizonte temporal P, o al final de dicho horizonte S, de una anualidad simple anticipada; puede calcularse por equivalencia financiera, el importe de sus respectivas rentas anticipadas equivalentes. Para el cálculo de los importes de las rentas uniformes anticipadas, el periodo de la tasa de interés debe subordinarse al periodo de renta; si no fuese así, debe convertirse el periodo de la tasa proporcionada como dato, al periodo de renta. Para estos efectos se proporcionaliza la tasa nominal o se halla la tasa equivalente en el caso que la tasa sea efectiva; en ambos casos la tasa de interés proporcionada como dato se convierte al periodo de renta.
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Renta Uniforme Anticipada
Si se conoce S
Si se conoce P
i −1 Ra = S (1 + i ) n (1 + i) − 1
n −1 i (1 + i ) Ra = P (1 + i ) n (1 + i) − 1
Ejemplo: Calcule el importe de la imposición mensual que al cabo de 4 meses permitirá acumular S/. 5000 con una TEM de 0,03. Solución: Con los datos S = S/. 5000; TEM = 0,03; n = 4; aplicamos la fórmula para calcular R a, cuando se tiene el monto: 0.03 −1 Ra = 5000(1 + 0.03) 4 (1 + 0.03) − 1
Ra = S/. 1160.33 Ejemplo: Calcule el importe del depósito uniforme anticipado anual necesario para acumular un valor futuro de S/. 6000 al final del plazo de 5 años. Estos depósitos que se efectuarán en un banco percibirán una TEA de 0,1. Solución: Con los datos S = S/. 6000; TEA = 0,1; n = 5; aplicamos la fórmula para calcular R a, cuando se tiene el monto: 0.1 −1 Ra = 6000(1 + 0.1) 5 (1 + 0.1) − 1
Ra = S/. 893.44 Ejemplo: Una empresa decidió adquirir dentro de cuatro meses un grupo electrógeno cuyo precio se estima en esa fecha en S/. 5000. ¿Qué importe uniforme de inicio de mes, debe ahorrar en ese periodo de tiempo, en un banco que paga una TNA de 0.24 con capitalización mensual, a fin de disponer ese monto al vencimiento de dicho plazo? Solución: Con los datos S = S/. 5000; TEM = 0.02; n = 4; aplicamos la fórmula para calcular Ra, cuando se tiene el monto: 0.02 −1 Ra = 5000(1 + 0.02) 5 (1 + 0.02) − 1
Ra = S/. 1 189.33 RENTA UNIFORME ANTICIPADA A PARTIR DE S CUANDO EL PERIODO DE TASA ES DIFERENTE DEL PERIODO DE RENTA
Ejemplo: Para formar un fondo de S/. 50 000 al final de un plazo de 360 días se efectúan depósitos anticipados cada 20 días. Calcule el importe de la renta uniforme anticipada, si el fondo devenga ena TEA de 0.15.
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Solución: Con los datos S = S/. 50 000; TE20 días = 0.007794775; n = 18. Encontramos la tasa equivalente para 20 dias:
TE20 días + 1 = (1 + TEA) TE20 días = 1.15
20/360
20/360
– 1= 0.007794775
Aplicamos la fórmula para calcular Ra, cuando se tiene el monto: 0.007794775 −1 Ra = 50000(1 + 0.007794775) 18 (1 + 0.007794775) − 1
Ra = S/. 2 578.16 RENTA UNIFORME ANTICIPADA A PARTIR DE P
Ejemplo: ¿Cuál es la imposición mensual uniforme por pagar por un préstamo bancario a corto plazo de S/. 10 000, reembolsable con 4 cuotas anticipadas, este préstamo devenga una TEM de 0.03? Calcule además el préstamo neto. Ejemplo: ¿Cuál es el importe de la cuota uniforme por pagar por un préstamo bancario de S/. 8 000, que debe amortizarse durante un año con pagos mensuales anticipadas? El préstamo genera una TNA de 0.18 capitalizable mensualmente. 5. CÁLCULO DE N EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA El número de cuotas uniformes anticipadas puede calcularse a partir de un valor presente P o de un valor futuro S. CÁLCULO DE “n” A PARTIR DE P La ecuación escalar a utilizar para calcular el valor de “n” estará dada por:
Pi log 1 − Ra (1 + i ) n=− log(1 + i ) Ejemplo: Una deuda de S/. 20 000 devenga una TEM de 0,01 y se amortiza con cuotas uniformes mensuales anticipadas de S/. 2 111.64. ¿Con cuántas cuotas se cancela dicha deuda? CÁLCULO DE “n” A PARTIR DE S La ecuación escalar a utilizar para calcular el valor de “n” estará dada por:
Si log + 1 Ra (1 + i ) n= log(1 + i ) Ejemplo: Se desea acumular un fondo de S/. 30 000 con cuotas uniformes trimestrales anticipadas de S/. 2 192.93. Si el fondo devenga una TET de 0.02. ¿En cuántos trimestres se acumulará dicho fondo?
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