Probabilidade condicional e o Teorema de Bayes

Uma introdução histórica

O Teorema de Bayes teve origem no século XVIII, quando o reverendo Thomas Bayes, um ministro presbiteriano e matemático, o concebeu em meio a debates sobre a existência de Deus e milagres divinos.

No entanto, o teorema ganhou destaque apenas após sua morte, quando foi publicado no início do século XIX por Pierre-Simon Laplace, que clarificou sua aplicação.

Princípios e fórmula matemática 

O teorema quantifica a probabilidade condicional de um evento ocorrer dado o conhecimento prévio de condições relacionadas. Ele nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento A dado que outro evento B ocorreu, levando em consideração o quão provável é que o segundo evento ocorra.

Essa atualização é feita multiplicando a probabilidade a priori de A pela probabilidade de observar B dado A, e então dividindo pelo total de probabilidades de observar B.

Isso é expressado matematicamente como:

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

• P(A|B) é a probabilidade do evento A ocorrer dado que o evento B ocorreu.

• P(B|A) é a probabilidade do evento B ocorrer dado que o evento A ocorreu.

• P(A) e P(B) são as probabilidades dos eventos A e B ocorrerem independentemente.

Exemplo de aplicação 

Vamos seguir na fórmula 1, onde:

• Evento A: o Verstappen venceu a corrida.

• Evento B: Posição de largada e condições climáticas.

Agora, calculamos a probabilidade condicional P(A∣B), ou seja, a probabilidade do Verstappen vencer a corrida dado os eventos B.

Neste exemplo:

• P(B∣A) é a probabilidade de observar os eventos B dado que o piloto venceu a corrida.

• P(A) é a probabilidade inicial de o piloto vencer a corrida (antes de levarmos em conta o evento B).

• P(B) é a probabilidade de observar os dados do evento B.

A importância do Teorema de Bayes se traduz na capacidade de atualizar probabilidades com novas evidências, ajustando crenças à medida que mais informações se tornam disponíveis.

Esse processo iterativo é particularmente útil na tomada de decisões sob incerteza e em campos de ciência de dados.

Referências

Episódio 123: Estatística Bayesiana, podcast Intervalo de Confiança. Disponível em: https://open.spotify.com/episode/0721ViZAOb8U2XqCHxFTIP?si=8693be153b824b28

SANTOS, Victor. O que é o teorema de Bayes, regra essencial da informática criada para 'provar milagres'. BBC News. Disponível em: https://www.bbc.com/portuguese/geral-59668359