Caso 11. Probabilidad Condicional

Objetivo

Determinar la probabilidad condicional

Descripción

De un conjunto de varios ejercicios extraídos de de la literatura de probabilidad de entre libros y sitios WEB se de termina la probabilidad condicional a partir de datos iniciales.

Lo datos iniciales pueden ser la frecuencias, las probabildiad de evento A y evento B así como la probabilidad de intersección entre ambos eventos o conjunto, con ello se determina la probabilidad condicional utilizando la fórmula que se cita más adelante.

Fundamento teórico

La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral [@mendenhall2010].

Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario, además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.[@benitez_morales_probabilidad_nodate]

Axiomas de la probabilidad

Un axioma de probabilidad es el componente principal de un sistema de condiciones que deben cumplirse y junto con las pautas de inferencia especifican un sistema deductivo, para que una función determinada sobre un conjunto de eventos determine sus probabilidades.

Existe un conjunto de axiomas que fueron formulados por el matemático ruso Kolmogórov. Por lo que se les denomina axiomas de Kolmogórov.[@cevallos_enfoque_2018]

Axioma 1

La probabilidad de un evento E no es negativa y debe ser menor o igua a 1 \[ 0 < p(E) < 1 \]

Significa que al determinar una probabilidad sobre cualquier evento siempre es cero o superior y menor o gual a uno.

Ejemplo: Pensar en la probabilidad de que llueva el dia de hoy: es probable que no llueva, probabilidad igual a cero; es probable que llueva en 0.50 o del 50%; y de que sea seguro que llueva 1 o 100%.

La probabilidad de un evento seguro es igual a 1 y se denota \[P(Evento Seguro) = 1\]

Ejemplo: En la mano cerrada se tienen dos monedas de a peso Mexicano, si es abre el puño y se extrae una moneda, ¿que tan probable es que sea de a un peso?. La probabilidad es de 1 o del 100% porque es indudable que al sacar la moneda sea de a un peso y únicamente sea a 1 un peso.

Axioma 2

Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B.

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

Ejemplo. si se lanz una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila o sello?. en ambos casos 1/2 o 0.5 o el 50% de que al caer la moneda, la cara arriba sea sello o águila. \[ P(sello) = 1/2 \] \[ P(aguila) = 1/2 \]

\[\therefore\] \[ P(sello\cup aguila) = P(sello) + P(aguila) = 1/2+1/2 = 1 \]

En general se puede decir que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutuamente excluyentes es igual a 1. \[ \sum _{i=1}^{n}P(E) = P(E_{1})+P(E_{2})+P(E_{3})+....P(E_{n}) = 1) \]

Axioma 3

Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces:

\[ P(A) = X \] \[ \therefore \] \[ P(A)'= 1 - P(A) = 1 - X \]

o también se puede expresar matemáticamente como: \[ P(A)\complement = 1 - P(A) = 1 - X \]

Ejemplo: Si de un total de personas existen un \(60\%\) del género femenino, ¿cuál es el complemento de ese subconjunto? y ¿su probabilidad?. \[ P(mujeres) = 0.60 \]

\[ P(mujeres)' = 1 - 0.60 = 0.40 \]

o el \(40\%\) es el complemento del subconjunto mujeres.

Suponiendo que \(P(A)\) y \(P(B)\) representan las probabilidades para los dos eventos \(A\) y \(B\), entonces \(P(A \cup B)\) significa la probabilidad de que ocurran A o B. Entonces la \(P(A \cup B) \neq 0\)

Si no hay elementos en común entre un conjunto A y B entonces se dice que la probabilidad de la intesección entre ambos es cero \(P(A\cap B) = 0\)

En dado caso de que si existan elementos en común entre un subconjunto \(A\) y \(B\) \(\therefore\) \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \]

El cálculo de las probabilidades se determina en el entendido de que si se conoce el número de casos de un subconjunto y el número total de casos del universo, la probabilidad es determinando la frecuencia relativa.

\[ P(conjunto) = casos / n \]

siendo \(casos\) la frecuencia y \(n\) el total de elementos de un universo.

Ejemplo: En el caso del ejemplo de las 100 personas y existen 40 hombres, ¿Cuál es la probabilidad de elegir a una persona y que ésta se del género masculino?: \[ n = 100 \]

\[ casos = 40 \]

\[ \therefore \]

\[ P(hombres) = \frac{casos}{n} = \frac{40}{n} = 0.40 \]

La probabilidad de elegir a una persona del género masculino dentro de un conjunto de 100 personas es del \(40\%\)

Probabilidad Condicional

De acuerdo a [@benitez_morales_probabilidad_nodate] se conoce como probabilidad condicional a la probabilidad de que se dé un suceso \(A\), conociendo, que también se da un suceso \(B\)

En el libro de [@mendenhall_introduccion_2010] se menciona que la probabilidad de un evento \(A\), dado que el evento \(B\) ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de \(A\), dado que \(B\) ha ocurrido, denotada por \[ P(A | B) \]

La fórmula de la probabilidad condicional está dada por la división de la probabilidad de la intersección de dos conjuntos o eventos entre la probabilidad del segundo evento o del segundo conjunto; se muestra de la siguiente manera:

\[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

ó bien por el contrario \[ P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} \]

Siempre y cuando en ambos casos la \(P(B)\ne0\) y \(P(A) \ne0\)

Ejemplo: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un hipertenso sea fumador? o ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea hipertensa dado que es fumador?, se entiende que dado que sea fumador.[@anderson_estadistica_2008]

\[ A = \{hipertensos\} \]

\[ B=\{fumadores\} \]

Se busca encontrar: \[ P(A | B) = \text{hipertenso dado que sea fumador\}\therefore P(A | B) = ? \]

\[ B = \{fumadores\}\therefore P(B) = 0.50 \]

\[ P(A \cap B) = \{hipertenso.y.fumador\} = 0.10 \]

\[ \therefore \]

\[ P(A | B) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.10}{0.50} = 0.20 \therefore \]

La probabilidad de que se elija a una persona que sea hipertensa dado que es fumador es de \(0.20\) o del \(20\%\)

Desarrollo

Se presentan ejercicios probabilidad condicional

Las librerías

Se carga la librería knitr previa instalación con install.packages(“knitr”) que permite entre otras cosas, dar formato a las tablas de datos.

library(knitr)

Ejercicio 1. Probabilidad A|B y probabilidad B|A

Extraído de [@matemovil_probabilidad_nodate]

\[P(A) = 0.60 \] \[P(B) = 0.40\]

\[P(A∩B) = 0.18\]

Calcular:

• P(A|B)

\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.18}{0.40}=0.45\]

prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La misma

Entonces: \(P(A | B)\)

Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")

## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es:  45 %"

• P(B|A) \[P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.18}{0.60}=0.3\]

Entonces: \(P(B | A)\)

Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")

## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es:  30 %"

Ejercicio 2 Hombres y mujeres trabajan y desempleados

Ejercicio tomado del libro de [@walpole_probabilidad_2007]

Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:

Hombre	Empleado	Desempleado	Total
Hombre	460	40	500
Mujer	140	260	400
Total	600	300	900

hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)
n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)

• Construir un conjunto de datos con los totales usando funcion apply() que genera los márgenes totales por renglón y por columna.
• La funciones cbind() agrega una nueva columna al conjunto de datos
• La función rbind() agrega un nuevo renglón al conjunto de datos

datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))
kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")

Personas que trabajan y no trabajan

Empleado	Desempleado
460	40
140	260

datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))
rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")
kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")

Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan

	Empleado	Desempleado	Total
Hombre	460	40	500
Mujer	140	260	400
Total	600	300	900

Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:

• se elige a un hombre y el elegido tiene empleo o trabajo.

Entonces se elige a un hombre que trabaja (numerador de la fórmula de probabilidad condicional):

\[P(hombres.y.trabajan) = P(hombres \cap trabajan)=n(hombres.trabajan) / n.personas \therefore\]

\[P(hombres \cap trabajan) = 460/900 = 0.51\]

La probabilidad de que que trabaje es: \[P(trabajan) = n.trabajan / n.personas = 600/900 = 0.66\]

y finalmente conforme la fórmula ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?: \[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

\[P(hombres | trabajan) = \frac{P(hombres \cap trabajan)}{P(trabajan)} = 0.51 / 0.66 = 0.76\]

• El siguiente bloque de código realiza las operaciones

p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")

## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es:  76.67 %"

Ejercicio 3. Probabilidad de vuelo

La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es \(P(S) = 0.83\), la probabilidad de que llegue a tiempo es \(P(L) = 0.82\) y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es \(P(S ∩ L) = 0.78\)

1. La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es:

\[P(L | S) = \frac{P(L \cap S)}{P(S)} = \frac {0.78}{0.83} = 0.94 \]

• Se inicializan variables

prob.S <- 0.83
prob.L <- 0.82
prob.S.inter.L <- 0.78

• Se determina la probabilidad condicional

prob.L.dado.S <- prob.S.inter.L / prob.S
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.L.dado.S * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es:  93.98 %"

2. La probabilidad de que un avión haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo es:

\[P(S | L) = \frac{P(S \cap L)}{P(L)} = \frac {0.78}{0.82} = 0.95 \]

• Determinamos la probabilidad condicional

prob.S.dado.L <- prob.S.inter.L / prob.L
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.S.dado.L * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es:  95.12 %"

Ejercicio 4. Primer y segundo examen

Una maestra de matemáticas hizo en su clase dos exámenes.

• El 30% de la clase paso ambos exámenes,

• El 45% de la clase paso el primer examen.

• ¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de : [@hotmath_hotmath_nodate]

\[P(Ex1 \cap Ex2) = 0.30\] \[P(Ex1) = 0.45\] \[therefore\] \[P(Ex2|Ex1) = \frac{P(Ex1 \cap Ex2)}{P(Ex1)} = \frac {0.30}{0.45} = 0.66\]

P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")

## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"

paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")

## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."

Ejercicio 5. Personas hombres y mujeres escolaridad

La siguiente es una clasificación, según el género y el nivel de escolaridad, de una muestra aleatoria de 200 adultos. ejercicio extraído de [@walpole2012].

Escolaridad	Hombre	Mujer
Primaria	38	45
Secundaria	28	40
Universidad	27	22

Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que…

• la persona sea hombre, dado que su escolaridad es de secundaria?; \[ P(Hombre | Secundaria ) = \frac{P(Hombre \cap Secundaria)}{P(Secundaria)} = \frac{0.14}{0.34}=0.41 \]

• la persona tenga un grado universitario,dado que es mujer?; \[P(Universidad | Mujer) = \frac{P(Universidad) \cap P(Mujer) }{P(Mujer)}= \frac{0.11}{0.535}=0.20\]

Interpretación

¿Qué es la probabilidad condicional? ¿Cómo se utiliza en eventos relacionados? ¿Cual es la fórmula? ¿Algunas ideas de los ejercicios y el significado de su probabilidad de cada ejercicio? Es la probabilidad de que ocurra un suceso A, sabiendo que también ocurre un suceso B. La fórmula es: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] O también puede ser: \[ P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} \] Busca indagar en las diferencias entre dos situaciones que ocurren conjuntamente. Por ejemplo, un ejercicio podría ser que un 50% de la población adquiere gripe en invierno y solo un 10% de esa población no sufre el síntoma de cuerpo cortado. Aquí se buscaría la probabilidad condicional de que una persona sufra de cuerpo cortado por tener gripe.

Resolver estos ejercicios:

Alumnos de un centro escolar

En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

Prob.ingles <- 0.9
Prob.fran <- 0.1
Prob.hombresing <- 0.3
Prob.hombresfran <- 0.4
Prob.mujeresing <- 1-(Prob.hombresing)
Prob.mujeresfran <- 1-(Prob.hombresfran)
Prob.mujer <- (Prob.mujeresing*Prob.ingles)+(Prob.mujeresfran*Prob.fran)
paste("La probabilidad de que sea chica es de: ", Prob.mujer)

## [1] "La probabilidad de que sea chica es de:  0.69"

Deportes

En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

• Juegue sólo al fútbol.

ProbFutOB <- 0.6
ProbF <- 0.6
ProbFutYB <- 0.10
ProbF <- (1-ProbF)-ProbFutYB

ComplementoF <- 1-0.6
paste("La probabilidad de que juegue solo Futbol es de: ",ComplementoF-ProbFutYB)

## [1] "La probabilidad de que juegue solo Futbol es de:  0.3"

• Juegue sólo al baloncesto.

ProbB <- ProbFutOB-(ProbF+ProbFutYB)
paste("La probabilidad de que juegue solamente baloncesto es de: ",ProbB)

## [1] "La probabilidad de que juegue solamente baloncesto es de:  0.2"

• Practique uno solo de los deportes.

paste("La probabilidad de que juegue a uno solo de los deportes es de: ",ProbB + ProbF)

## [1] "La probabilidad de que juegue a uno solo de los deportes es de:  0.5"

• No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.

paste("La probabilidad de que no juegue ninguno es de:  ",1-ProbFutOB)

## [1] "La probabilidad de que no juegue ninguno es de:   0.4"

[@ejercici]

Referencias bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.

Benítez Morales, Alejandro. n.d. “Probabilidad y Estadística, Apuntes Digitales.” http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html.

Cevallos, Lorenzo, Jorge Zambrano, Maikel Leyva, Yudelnabis, and Florentin Smarandache. 2018. Enfoque Didáctico de La Teoría de Conjuntos y Probabilidades. Guayaquil, Guayas, Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil.

“Ejercicios y Problemas Resueltos de Probabilidad Condicionada.” n.d. https://www.matematicasonline.es/BachilleratoCCNN/Primero/ejercicios/Ejercicios%20y%20problemas%20de%20probabilidad%20condicionada.pdf.

HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability.

matemovil. n.d. “Probabilidad Condicional, Ejercicios Resueltos.” https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.