Interferencia de Ondas
¿Has pensado en lo que pasa cuando dos ondas se encuentran? ¿Es malo?
No! Ellas se superponen. Incluso, puede ocurrir el caso de que se “sumen” (interferencia constructiva):
O sufrir una “resta” (interferencia destructiva)
Ecuación de interferencia de ondas
Entonces, por ejemplo, vamos a considerar dos ondas:
\(y_{1}=A_{1} \operatorname{sen}\left(k_{1} x \pm \omega_{1} t+\phi_{1}\right)\)
\(y_{2}=A_{2} \operatorname{sen}\left(k_{2} x \pm \omega_{2} t+\phi_{2}\right)\)
Por lo tanto, la onda resultante viene dada por:
\(y=y_{1}+y_{2}\)
Luego:
\(y=A_{1} \operatorname{sen}\left(k_{1} x \pm \omega_{1} t+\phi_{1}\right)+A_{2} \operatorname{sen}\left(k_{2} x \pm \omega_{2} t+\phi_{2}\right)\)
¡Solo suma!
Casos comunes
\(1)\) \(k\) y \(\omega\) son iguales \(\longrightarrow\) amplitudes y fases pueden ser diferentes
Llamaremos diferencia de fase a la diferencia entre las fases:
\(\Delta \phi=\phi_{1}-\phi_{2}\)
Ahora, vamos a analizar tres casos:
-
El caso en que no hay diferencia de fase:
\(\Delta \phi=0 \longrightarrow \phi_{1}=\phi_{2}=\phi\)
En ese caso, las ecuaciones de las ondas quedarían así:
\(y_{1}=A_{1} \operatorname{sen}(k x \pm \omega t+\phi)\)
\(y_{2}=A_{2} \operatorname{sen}(k x \pm \omega t+\phi)\)
La onda resultante quedaría así:
\(y=A_{1} \operatorname{sen}(k x \pm \omega t+\phi)+A_{2} \operatorname{sen}(k x \pm \omega t+\phi)\)
\(y=\left(A_{1}+A_{2}\right) \operatorname{sen}(k x \pm \omega t+\phi)\)
Gráficamente, se vería así:
Esa sería una interferencia constructiva.
-
El caso en donde hay una diferencia de fase igual \(180^{\circ}\):
\(\Delta \phi=\pm 180^{\circ}\)
\(\Rightarrow \phi_{1}-\phi_{2}=\pm 180^{\circ}\)
\(\Rightarrow \phi_{1}=\phi_{2} \pm 180\)
En ese caso, las ecuaciones de las ondas quedarán así:
\(y_{1}=A_{1} \operatorname{sen}\left(k x \pm \omega t+\phi_{2} \pm 180^{\circ}\right)\)
\(y_{2}=A_{2} \operatorname{sen}\left(k x \pm \omega t+\phi_{2}\right)\)
Acordandonos un poco sobre trigonometría,sabemos que:
\(\operatorname{sen}\left(x \pm 180^{\circ}\right)=-\operatorname{sen}(x)\)
Luego:
\(\operatorname{sen}\left(\underbrace{k x \pm \omega t+\phi_{2}} \pm 180^{\circ}\right)=-\operatorname{sen}\left(\underbrace{k x \pm \omega t+\phi_{2}}\right)\)
Entonces:
\(y_{1}=-A_{1} \operatorname{sen}\left(k x \pm \omega t+\phi_{2}\right)\)
\(y_{2}=A_{2} \operatorname{sen}\left(k x \pm \omega t+\phi_{2}\right)\)
Y ahora solo queda sumar:
\(y=\left(A_{2}-A_{1}\right) \operatorname{sen}\left(k x \pm \omega t+\phi_{2}\right)\)
También es muy intuitivo: cuando la diferencia de fase es \(180^{\circ}\), las ondas se restan:
Esa es una interferencia destructiva.
-
El caso en que la diferencia de fase es un valor intermedio:
En ese caso, la onda resultante no va a quedar bonita como esas,va a quedar algo más o menos así:
Pero hay un cosa importante: La amplitud máxima de la onda resultante es un valor entre la diferencia y la suma de las amplitudes de las ondas:
\(\left|A_{1}-A_{2}\right|<A<A_{1}+A_{2}\)
En ese caso, podemos calcular la amplitud usando la fórmula:
\(A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2} \cos \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)\)
\(2)\) \(k\), \(\omega\) y \(A\) son iguales:
En ese caso, la onda resultante viene dada por:
\(y=\underbrace{2 A \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)}_{\text {amplitud }} \times \operatorname{sen}\left(k x \pm \omega t+\frac{\phi_{1}+\phi_{2}}{2}\right)\)
Es decir: para cualquier \(\Delta \phi\), podemos calcular la amplitud de onda resultante:
\(A_{r e s}=2 A \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)\)
Tenga en cuenta que, para \(\Delta \phi=0\):
\(A_{r e s}=2 A\)
Para \(\Delta \phi=\pm 180^{\circ}\):
\(A_{r e s}=0\)
Intensidad de Onda Resultante
Ya vimos cómo tenemos que calcular la amplitud resultante.Pero, ¿qué pasa con la intensidad? Cómo la intensidad se relaciona con la amplitud mediante la fórmula:
\(I=2 \mu v(\pi A f)^{2}\)
¡Se nota que va a cambiar! Si aislamos la amplitud en la fórmula anterior y la reemplazamos en la fórmula de la amplitud resultante que acabamos de ver,llegaremos a la ecuación de la intensidad de la onda resultante:
\(I=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1}} \sqrt{I_{2}} \cos \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)\)
Interferencia de Ondas No armónicas
Ya sabemos que la interferencia es el fenómeno que ocurre cuando dos ondas se encuentran, pudiendo ser constructiva o destructiva.
Por el principio de superposición, sabemos que basta con sumar las ecuaciones de las dos ondas para obtener la ecuación de la onda resultante.
\(y=y_{1}+y_{2}\)
Estudiamos a fondo el caso de interferencia de ondas armónicas, que son de forma:
\(y(x, t)=f(x+v t)+g(x-v t)\)
Pero el principio de superposición también es válido para otras funciones, por más loca que sea, como por ejemplo:
\(y(x, t)=\frac{7}{(x-t)^{2}+5}\)
Un truco es saber que cuando los pulsos se cancelan, la resultante de onda es \(0\).
Existen algunos ejercicios que preguntan el tiempo o el punto en que las dos ondas de funciones extrañas se cancelan:
Normalmente, trabajaras con las ecuaciones de esas funciones.
Entonces, podemos decir:
\(y_{1}+y_{2}=0\)
Espera! No entendí!
Estamos sumando las ecuaciones de onda e igualando a \(0\), pues se pide el punto en que los pulsos se cancelan.
Vamos a los ejercicios?
Hay un error?
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