摘 要：基于赫兹接触理论建立齿轮啮合力学模型，依据渐开线形成原理推导出滚动距离和滚动角变化规律，以牛顿冷却定律和傅里叶定律为理论基础，结合采煤机摇臂工作特性，对齿轮系统对流换热和摩擦热流量进行计算，在对流换热系数确定中综合考虑齿轮与润滑油，润滑油与箱体内壁，箱体外壁与外界空气的热传递特性，以Blok理论为基础，本体温度为初始温度，分析了齿轮表面闪温和接触温度随滚动距离及滚动角变化规律。采用Romax Design建立了采煤机摇臂齿轮传动系统模型，对惰轮轴齿轮副进行固热耦合分析，基于Romax微观几何修形理论对渐开线齿廓进行修形，分析了齿廓修形对温度场影响。结果表明：齿廓修形消除了赫兹接触应力瞬增现象，最大接触应力减少72 MPa，修形后高温区由齿顶和齿根向齿廓中部移动，改善了轮齿温度分布，最高温度降低31.4 ℃。为研究采煤机摇臂齿轮传动系统修形及优化提供了理论基础。
关键词：齿轮；接触温度；闪温；热变形；齿廓修形；Romax
齿轮齿面温度变化引起的热变形会使齿廓偏离理论值，从而产生啮合误差，当齿面温度过高时易产生胶合致使齿轮失效。关于齿轮固热耦合特性及齿廓优化方面的研究主要包括：赵宁[1]分析研究了非对称渐开线斜齿轮接触压力受温度影响变化规律；何国旗[2]考虑压力角影响，建立了齿轮啮合过程中两轮齿滑移速度，摩擦因数以及摩擦热流量数学模型；杨攀[3]基于热网络法建立了直升机主减换向锥齿轮传动系统温度场数学模型，并以稳态温度场为基础计算求得瞬态温度场分布规律；杨周[4]基于可靠性稳健设计理论建立圆柱齿轮修形参数理论模型，并计算研究了修形参数对传动系统可靠性影响规律；王丹[5]基于齿轮齿廓修形理论，求得考虑齿轮热变形影响的航空发动机齿轮渐开线齿廓修形方程，并采用ANSYS接触分析对其进行修正；Barbieri[6]考虑了齿轮时变啮合刚度，采用遗传算法对直齿圆柱齿轮进行齿廓优化；Pedrero[7]基于赫兹接触模型，研究了齿轮啮合刚度对齿面载荷以及应力分布的影响；刘文吉[8]为改善啮合冲击对少齿差行星齿轮啮合影响状况，基于长修形原理对齿廓进行修形；薛建华[9]考虑加工误差、啮合磨损和热变形等因素研究了齿廓修形对齿轮温度场影响。
以MG500/1180型采煤机摇臂齿轮为对象，研究中间惰轮轴齿轮副齿面温度场分布规律，并依据热变形确定齿廓修形量，分析齿廓修形对齿面温度及赫兹接触应力影响。摇臂齿轮传动系统由三级直齿轮传动和一级行星减速机构组成，其中三级齿轮传动包括：三齿啮合传动(包含1个惰轮)、两齿啮合传动、四齿啮合传动(包含2个惰轮)，行星机构啮合形式为1个太阳轮和3个行星轮啮合。
1.1 齿轮啮合滚动距离、滚动角计算
齿轮啮合渐开线形成过程如图1所示，由图1可知A为渐开线在基圆上起点，K为渐开线上任意点，其矢径为rK；rb为基圆半径；rs为滚动距离；β为滚动角；θK为渐开线在K点展成角；αK为渐开线在K点压力角。由图1可得各参数间关系，如式(1)所示。
图1 渐开线形成
Fig.1 Involute formation process
根据文献[10]可知rK计算如式(2)，式中rKz,rKc分别为主、从动轮啮合点到轮心距离；ra为齿顶圆半径；α为分度圆压力角。
已知时间τ，角速度ω0，有θK=ω0τ，代入式(1)，(2)可求得：式(3)压力角αK随时间变化规律；式(4)滚动距离rs随时间变化规律；式(5)滚动角β随时间变化规律，其中z,c分别代表主、从动轮。
1.2 齿轮热平衡计算
齿轮啮合过程中齿面相互摩擦产生热量，轮齿啮入时齿面温度升高，随后通过润滑油和空气进行热传递，啮合传动一段时间后逐渐呈现热平衡状态，此时齿轮温度即为齿轮本体温度，本体温度为恒定温度场，不随时间发生变化。
1.2.1 对流换热计算
根据牛顿冷却定律：当物体表面与周围存在温度差时，单位时间内从单位面积散失的热量与温度差成正比，有牛顿冷却方程:
(6)
式中，q为热流密度；ε为对流换热系数；TS为固体表面温度；TB为润滑油表面温度。
采煤机摇臂齿轮置于齿轮箱中，忽略齿轮上各点之间热传递，齿轮箱中的热传递包括：齿轮和润滑油对流换热、润滑油和箱体内壁对流换热、箱体外壁与外界空气热交换。
(1)齿轮与润滑油对流换热
齿轮与润滑油之间对流换热包括轮齿齿面、轮齿端面和轮齿顶面3个部分，轮齿端面与润滑油接触可近似看作圆盘的对流换热，依据雷诺数可分为层流、过渡层以及湍流3个状态，有轮齿端面对流换热系数传统计算公式见式(7)、轮齿齿面对流换热系数[11]见式(8)、轮齿齿顶面和润滑油之间可视为润滑油流过细长形平板的对流换热，有轮齿顶面对流换热系数见式。
(9)
式中，vf为润滑油运动黏度；λf为润滑油导热率；Pr为润滑油普朗特数；Nu为润滑油努塞尔数；Re为雷诺数；m为常数；rc为圆盘表面半径;rJ为节圆半径。
(2)润滑油与箱体内壁对流换热
润滑油与箱体内壁对流换热系数[12]如下
式中,l为接触长度。
式(7)～(10)均为对流换热系数传统计算公式，根据文献[13]，齿轮与润滑油、润滑油与箱体内壁的对流换热属于双流体流动，应考虑空气流动的影响，故对部分参数修正如下:
式中，空气与润滑油比例φ=rc /ra；h为修正系数；v0为空气运动黏度；λ0为空气导热率；P0为空气普朗特数；ra为齿顶圆半径。
(3)箱体外壁与空气热交换
忽略箱体内外壁温差，根据傅里叶定律：单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积。三维空间下傅里叶定律有式(12):
箱体外壁与外界空气热交换可分为水平方向和竖直方向两个部分，水平方向ζ=0.2，竖直方向ζ=0.28，热交换系数如下所示:
式中，γ为空气热膨胀系数；η为空气动力黏度；Cp为空气定压比热容。
1.2.2 摩擦热流量计算
齿轮啮合点位于点K时摩擦热流量[14]为
式中，n为转速；f为摩擦因数；FnK为接触点处于K点时接触压力；u为滑移速度；v为线速度；J热功当量；λ为齿轮导热率；ρ为齿轮密度；c为比热容；χ为热流分配系数；b0为赫兹接触半径。
式中，L为接触线长；μ为泊松比；E为弹性模量；外载荷
为载荷系数，Tz为主动轮转矩，r为主动轮分度圆半径。
1.2.3 热平衡边界条件
根据能量守恒原理建立齿轮热平衡方程如下
边界条件为
非啮合齿面
；啮合齿面
；轮齿端面
1.3 齿轮表面闪温计算
闪温是齿轮啮合过程中接触点产生的瞬时高温，存在于齿轮表面，极易在瞬间对齿轮表面产生损伤，以Blok[15]理论为基础，假设各对齿轮正确啮合、齿轮箱内部环境温度恒定，有摇臂齿轮传动系统接触点闪温模型如式(18)所示，与式(4)，(5)联立可求得闪温随滚动距离及滚动角变化规律，式中滑移速度u表达如式(19)所示。
1.4 齿轮啮合接触温度计算
齿轮啮合区接触温度是齿轮本体温度与闪温之和，表达如下
将式(20)与式(4)，(5)联立可求得齿轮表面接触温度随滚动距离和滚动角变化规律。
2.1 模型建立
为准确模拟齿轮工作状态，采用Romax Design建立采煤机摇臂齿轮传动系统三维模型，考虑到Romax不能建立实体齿轮箱，故在Pro/E中建立摇臂箱体三维实体模型，建模过程中对螺栓孔、加强筋、小尺寸倒角和圆角等不影响计算精度的部件进行简化。将Pro/E中建立的模型以.step格式导入Hyper Mesh进行网格划分及材料定义，应用Nastran求解器生成四面体网格，网格尺寸大小设置10 mm，根据文献[16]，将箱体材料定义为ZG25Mn2-Ⅱ，密度ρ=7.823×103 kg/m3，弹性模量E=1.75×105 MPa，泊松比μ=0.3。网格划分完成后导出为.dat格式，再导入Romax进行刚性连接，后缩聚至壳体与传动系统各部件完全装配如图2所示。
图2 摇臂三维模型
Fig.2 Rocker three-dimensional model
2.2 实验载荷施加
采煤机工作条件十分复杂[17]，为模拟其真实运行工况，在张家口“国家能源煤矿采掘机械装备研发(实验)中心”对MG500/1180型采煤机进行截割实验。实验中采用截齿三向力传感器对截齿截割力进行测试，传感器安装现场如图3所示，在测试截齿座4个圆凹槽内分别安置应变片及应变花，每个应变片及应变花各引出3根引线，共计15根，沿引线槽经导线孔与A/D转换器相连，图4为应变片安装示意。截齿三向力传感器测试数据通过无线发射模块进行传输，图5为无线发射装置安装，图6为实验载荷测试流程。实验条件：煤岩硬度f=3，煤层厚度为s=3 m，截深h=0.6 m，采煤机行走速度v=2.5 m/min，滚筒直径d=1.8 m，滚筒转速32 r/min，采样频率为50 Hz。
图3 三向力传感器安装
Fig.3 Installed three-axis force sensor
图4 应变片安装示意
Fig.4 Installed strain gauge schematic diagram
图5 无线发射装置安装
Fig.5 Installed wireless launcher
图6 实验载荷测试流程
Fig.6 Experiment payload test frame
Fx,Fy,Fz,M分别为滚筒在行走方向的阻力、竖直方向的阻力、轴向的阻力、截割扭矩，有截割三向力和转矩[18-20]如式(21)，式中Xi,Yi,Zi分别为第i个参与截齿的侧向阻力、牵引阻力、截割的截割阻力；Nc为参与截割截齿数；φi为第i个截齿与滚筒竖直方向的夹角，将所截取截齿载荷数据代入式(21)中得到滚筒截割扭矩如图7所示，截齿三向力如图8所示。
2.3 结果分析
采煤机摇臂齿轮传动系统中间惰轮轴齿轮传递较大转矩，易发生故障导致采煤工作无法顺利进行，造成经济损失，故以从电机方向起第1根惰轮轴上齿轮副为例分析齿轮啮合接触应力、接触温度和闪温变
图7 截割扭矩
Fig.7 Cutting torque
图8 截齿三向力
Fig.8 Pick three-axis force
化规律。齿轮材料参数见表1，尺寸参数见表2，啮合参数见表3，其中zz为主动轮;zc为从动轮。
图9～11分别为zz右齿面赫兹接触应力、接触温度和闪温随滚动角、滚动距离变化规律。由图9可知，在滚动距离从13.4 mm至22.1 mm，滚动角从11.7°至19.2°阶段，赫兹接触应力由600 MPa呈线性增加至900 MPa，滚动距离为22.1 mm时处于单齿接触最低点，此时由双对齿啮合变为单对齿啮合，载荷由单对轮齿承担，接触应力直线上升至1 125 MPa，接触应力瞬间增大易导致齿面产生一定程度的损伤；滚动距离22.1～25.2 mm，滚动角19.2°～22°区域为单齿啮合区，滚动距离为25.2 mm时处于单齿接触最高点，此时由单对齿啮合过渡到双对齿啮合，此时接触应力达最大为1 172 MPa，随后直线下降至931 MPa；在滚动距离25.2～33.9 mm，滚动角22°～29.5° 阶段接触应力呈线性缓慢降至787 MPa。图10,11中温度变化规律一致，只在数值上相差一个本体温度，可以看出温度沿齿宽方向分布均匀，当滚动距离由13.4 mm增至16 mm，滚动角由11.7°增至14°时两轮齿逐渐进入啮合，两轮齿相滑动速度较大且存在啮合冲击，此时接触温度达最高为134.8 ℃，闪温为74.8 ℃；随后啮合区域逐渐进入齿廓中部，相对滑动速度减小且啮合逐渐趋于平稳，故齿面温度逐渐下降，当滚动距离为24 mm，滚动角为21°时齿面接触温度达最低为60.0 ℃，此时闪温为0 ℃；随着滚动距离由24 mm变化至33.9 mm，滚动角由21°变化至29.5°，两轮齿逐渐脱离啮合，相对滑动速度增大，此阶段接触温度逐渐增至110 ℃，闪温逐渐增至50 ℃。
表1 齿轮材料参数
Table 1 Gear material parameters
弹性模量/MPa屈服强度/MPa抗拉强度/MPa比热容/(J·(kg·℃)-1)密度/(kg·m-3)泊松比热导率/(W·(m·℃)-1)2.07×10531495049078000.349
表2 齿轮尺寸参数
Table 2 Gear dimension parameters
参数齿数节圆直径/mm分度圆直径/mm齿根圆直径/mm齿顶圆直径/mm基圆直径/mm齿宽/mmzz35140140130148131.55770zc60240240230248225.52670
表3 齿轮啮合参数
Table 3 Gear meshing parameters
参 数zzzc重合度1.7357接触几何尺寸接触长度/mm20.496啮合线长度/mm64.984端面基节/mm11.809有效齿廓起点/mm13.40431.084单齿接触最低点/mm22.09139.771滚动距离节点/mm23.94141.042单齿接触最高点/mm25.21342.893有效齿廓终点/mm33.90051.580有效齿廓起点/(°)11.67515.794单齿接触最低点/(°)19.24220.208滚动角节点/(°)20.95420.854单齿接触最高点/(°)21.96121.794有效齿廓终点/(°)29.52826.208
图9 赫兹接触应力
Fig.9 Hertz contact stress
图10 接触温度
Fig.10 Contact temperature
图11 闪温
Fig.11 Flash temperature
3.1 轮齿热变形分析
齿轮受热体积膨胀，会对齿轮啮合状态产生影响。假设齿轮内各点温度一致，且温度改变引起的变形沿齿厚方向分布均匀，则齿轮处于热平衡状态时齿根圆热变形[21]为
式中,Td为轴孔温度；rd为轴孔半径；Tb为齿根圆温度；rb为齿根圆半径。
齿轮温度升高会导致齿廓形状偏离理论值，啮合点热变形如图12所示。
图12 啮合点热变形
Fig.12 Mesh point thermal deformation
热变形前齿廓上K点参数方程如下
由图12可知：齿轮受热后啮合线上K点变形到K′，N点变形到N′，变形后齿轮中心到啮合点距离rK变长，展角θK变小，K点沿z方向移动Δd距离，热变形后齿廓K点参数方程变为
基于热膨胀原理可求得展角改变量为式(25)、啮合点到轮心距离改变量为式(26)、轴向改变量为式
式中,ΔT为温度改变量；λ为导热系数；rf为分度圆半径；rb为齿根圆半径；B为齿宽;δ为热膨胀系数。
热变形前后齿廓形状对比如图13所示。
图13 齿廓热变形前后对比
Fig.13 Tooth profile comparison before and after thermal deformation
由以上计算可知齿廓热变形量，依据热变形量，利用Romax中的Micro-Geometric模块对齿廓进行修形，使得热膨胀后恰好可以达到理论齿廓形状，以减小热变形对齿轮啮合影响。渐开线齿廓修形曲线如图14所示，可以看出，修形起始点为滚动角11.675°～17.097°即滚动距离13.404～19.629 mm、滚动角24.107°～29.528°即滚动距离27.676～33.900 mm。11.675°～17.097°区间修形量16.42～0 μm呈线性变化，24.107°～29.528°区间修形量0～16.42 μm呈线性变化。
图14 渐开线齿廓修形曲线
Fig.14 Involute profile modification curve
3.2 齿廓修形对温度场影响
齿廓修形导致啮合点位置发生改变，进而影响齿轮赫兹接触应力、闪温和接触温度。图15～17分别为修形后赫兹接触应力、接触温度和闪温随滚动角、滚动距离变化规律。
图15 修形后赫兹接触应力
Fig.15 Hertz contact stress after modification
图16 修形后接触温度
Fig.16 Contact temperature after modification
图17 修形后闪温
Fig.17 Flash temperature after modification
由图15可知，修形后赫兹接触应力分布规律与修形前大致相同，但消除了应力瞬增现象，且最大接触应力有所减小，修形后最大接触应力为1 100 MPa，较修形前减小78 MPa；根据图16,17，当滚动距离在17～20 mm，滚动角在15°～17.5°区域内时温度达到最大值，此时接触温度为103.4 ℃，闪温为43.4 ℃，从滚动距离为20 mm处开始逐渐减小至接触温度为60 ℃，此时闪温为0 ℃，当滚动距离由28.7 mm向30.2 mm变化时，滚动角由25.4 ℃变为26.5 ℃，此时接触温度上升至95 ℃，对应闪温为35 ℃，由以上分析可以看出，修形后高温区域由齿顶和齿根向齿廓中部移动，齿廓中部相对滑动速度较小且啮合平稳，不易发生胶合，最高接触温度由134.8 ℃降至103.4 ℃，最高闪温由74.8 ℃降至43.4 ℃，总体温度均有所减小，且较修形前分布均匀。
(1)依据渐开线形成原理，求得滚动距离和滚动角随时间变化规律，根据采煤机摇臂工作特性，综合考虑齿轮与润滑油，润滑油与箱体内壁，箱体外壁与外界空气热传递特性以确定对流换热系数。在热平衡前提下，以本体温度为初始温度，计算求得齿轮表面闪温和接触温度随滚动距离及滚动角变化规律，其中滚动距离13.4～16 mm,24～33.9 mm，滚动角11.7°～14°,21°～29.5°区域为高温区，最高接触温度为134.8 ℃，闪温为74.8 ℃。
(2)建立考虑轴向变形的轮齿热变形模型，根据热变形情况确定齿廓修形量，基于Romax微观几何修形理论对渐开线齿廓进行修形，齿廓修形消除了赫兹接触应力瞬增现象，最大接触应力由1 172 MPa降至1 100 MPa，修形后高温区域由齿顶和齿根向齿廓中部移动，使轮齿温度分布得到一定程度的改善，最高接触温度降至103.4 ℃，闪温降至43.4 ℃，较修形前减少31.4 ℃。
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Gear solid-heat coupled analysis and tooth profile modification of ranging arm of shearer
Abstract：A gear meshing mechanical model was established on the basis of Hertz contact theory.The change law of roll distance and angle was derived according to the involute forming principle.Making Newton cooling theory and Fourier law as its theoretical foundation,the convective heat transfer and friction heat flow of gear system were calculated combined with the shearer ranging arm working characteristics.It is the first time that the convective heat transfer coefficient was confirmed by comprehensively considering the heat transfer characteristics of gear and lubricating oil,lubricating oil and box inner wall,box external wall and external air.Making Blok theory as a foundation,the bulk temperature was chosen as an initial temperature.The change law of gear surface flash temperature and contact temperature with the roll distance or angle was analyzed.The shearer ranging arm gear transmission system model was established by using Romax Design.Idle shaft gear pair solid-heat coupled characteristics was analyzed.Involute tooth profile modification and its influence on temperature field was analyzed on the basis of Romax micro-geometric modification theory.The results show that the Hertz contact stress transient increased phenomenon is eliminated and the maximum contact stress reduces 72 MPa by the tooth profile modification.The tooth temperature distribution is improved by the high temperature zone moving from tooth root and addendum to tooth profile central after the modification and the maximum temperature decreases 31.4 ℃.The results provide a theoretical foundation for analyzing the shearer ranging arm gear transmission system tooth profile modification and optimization.
Key words：gear;contact temperature;flash temperature;thermal deformation;tooth profile modification;Romax
doi：10.13225/j.cnki.jccs.2016.1259
收稿日期：2016-09-09
修回日期：2016-12-05 责任编辑:许书阁
中图分类号：TD421.6
文献标志码：A
文章编号：0253-9993(2017)06-1598-09
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