Ecuación general de la circunferencia
La ecuación general de la circunferencia, también conocida como la ecuación de
la circunferencia en su forma general, está definida como:
\[x^2+y^2+Ax+By+C=0\] A continuación, veremos cómo se obtiene esta ecuación,
que representa cada término en la ecuación y cómo aplicarla de manera correcta
en la resolución de ejercicios.
Deducción de la ecuación de la circunferencia en su forma general
La ecuación de la circunferencia en su forma general se obtiene al expandir
los binomios al cuadrado de la ecuación de la circunferencia con centro fuera
del origen (ecuación ordinaria de la circunferencia). Esta ecuación se define
como: \[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\] Donde \((h, k)\) representa las coordenadas del
centro de la circunferencia y \(r\) corresponde a la longitud del radio. Al
expandir los binomios al cuadrado de esta ecuación, obtenemos lo siguiente:
\[\begin{aligned}(x-h)^2&=(x-h)(x-h)\\&=x^2-xh-hx+h^2\\&=x^2-hx-hx+h^2\\&=x^2-2hx+h^2\\(y-k)^2&=(y-k)(y-k)\\&=y^2-yk-ky+k^2\\&=y^2-ky-ky+k^2\\&=y^2-2ky+k^2\end{aligned}\]
De tal manera que, la ecuación de la circunferencia con centro fuera del
origen se puede escribir como:
\[\begin{aligned}(x-h)^2+(y-k)^2&=r^2\\(x^2-2hx+h^2)+(y^2-2ky+k^2)&=r^2\end{aligned}\]
Ordenando los términos e igualando a cero esta ecuación se obtiene lo
siguiente:
\[\begin{aligned}(x^2-2hx+h^2)+(y^2-2ky+k^2)&=r^2\\x^2-2hx+h^2+y^2-2ky+k^2&=r^2\\x^2+y^2-2hx-2ky+h^2+k^2-r^2&=0\end{aligned}\]
Para simplificar un poco esta última ecuación, realizamos los siguientes
cambios de variable:
\[\begin{aligned}A&=-2h\\B&=-2k\\C&=h^2+k^2-r^2\end{aligned}\]
De esta manera, obtenemos la ecuación de la circunferencia en su forma
general, la cual se define como: \[x^2+y^2+Ax+By+C=0\]
Centro y radio de una circunferencia a partir de la ecuación de la
circunferencia en su forma general
Para obtener el centro y radio de una circunferencia a partir de la ecuación
de la circunferencia en su forma general, simplemente debemos realizar un
despeje a los cambios de variable que hicimos anteriormente.
Recuerda que, en la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen,
el centro está determinado por la coordenada \((h, k)\) y el radio por \(r\).
Por lo tanto, para hallar el centro \((h, k)\) debemos despejar \(h\) y \(k\)
de los dos primeros cambios de variable que realizamos.
Los cambios de variable que realizamos anteriormente fueron los siguientes:
\[\begin{aligned}A&=-2h\\B&=-2k\\C&=h^2+k^2-r^2\end{aligned}\]
Despejando \(h\) del primer cambio de variable, obtenemos:
\[\begin{aligned}A&=-2h\\2h&=-A\\h&=\frac{-A}{2}\\h&=-\frac{A}{2}\end{aligned}\]
Despejando \(k\) del segundo cambio de variable, obtenemos:
\[\begin{aligned}B&=-2k\\2k&=-B\\k&=\frac{-B}{2}\\k&=-\frac{B}{2}\end{aligned}\]
Por lo tanto, el centro de la circunferencia a partir de la ecuación de la
circunferencia en su forma general es: \[(h, k)=(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})\]
Ahora, para hallar el radio \(r\), simplemente debemos despejar \(r\) del
tercer cambio de variable, es decir:
\[\begin{aligned}C&=h^2+k^2-r^2\\r^2&=h^2-k^2-C\\\sqrt{r^2}&=\sqrt{h^2-k^2-C}\\r&=\sqrt{h^2-k^2-C}\end{aligned}\]
Como sabemos que \(h=-\frac{A}{2}\) y \(k=-\frac{B}{2}\), podemos sustituir
estos en la última expresión de \(r\), es decir:
\[\begin{aligned}r&=\sqrt{h^2-k^2-C}\\&=\sqrt{\left(-\frac{A}{2}\right)^2-\left(-\frac{B}{2}\right)^2-C}\\&=\sqrt{\frac{A^2}{4}-\frac{B}{4}-C}\\&=\sqrt{\frac{A^2-B^2}{4}-C}\\&=\sqrt{\frac{A^2-B^2-4C}{4}}\end{aligned}\]
Por lo tanto, el radio de la circunferencia a partir de la ecuación de la
circunferencia en su forma general es: \[r=\sqrt{\frac{A^2-B^2-4C}{4}}\]
Ecuación de la circunferencia en su forma general ejercicios resueltos
Ejercicio 1: Hallar la ecuación de la circunferencia en su forma general a
partir de la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
(ecuación ordinaria) definida como: \[(x+3)^2+(y-4)^2=36\] Solución: Para
encontrar la ecuación de la circunferencia en su forma general, simplemente
debemos expandir los binomios al cuadrado de la ecuación de la circunferencia
con centro fuera del origen, simplificar términos y luego igualar a cero esta
ecuación. Al expandir los binomios al cuadrado, obtenemos:
\[\begin{aligned}(x+3)^2&=(x+3)(x+3)\\&=x^2+x3+3x+9\\&=x^2+3x+3x+9\\&=x^2+6x+9\\(y-4)^2&=(y-4)(y-4)\\&=y^2-y4-4y+16\\&=y^2-4y-4y+16\\&=y^2-8y+16\end{aligned}\]
De tal manera que la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
se puede escribir como:
\[\begin{aligned}(x+3)^2+(y-4)^2&=36\\(x^2+6x+9)+(y^2-8y+16)&=36\end{aligned}\]
Ordenando términos e igualando a cero esta ecuación, obtenemos:
\[\begin{aligned}x^2+y^2+6x-8y+9+16&=36\\x^2+y^2+6x-8y+25-36&=0\\x^2+y^2+6x-8y-11&=0\end{aligned}\]
Esta última igualdad corresponde a la ecuación de la circunferencia en su
forma general.
Ejercicio 2: Transformar la siguiente ecuación de la circunferencia a la
forma general. \[(x-9)^2+(y-1)^2=25\] Solución: La ecuación dada representa
una circunferencia con centro fuera del origen, y el objetivo es expresarla
en su forma general. Para lograrlo, seguimos los siguientes pasos:
Paso 1. Desarrollar los binomios al cuadrado de la ecuación. Para el término
\((x-9)^2\), aplicamos el binomio al cuadrado:
\[\begin{aligned}(x-9)^2&=(x-9)(x-9)\\&=x^2-9x-9x+81\\&=x^2-18x+81\end{aligned}\]
Para el término \((y-1)^2\), aplicamos el binomio al cuadrado de manera
similar:
\[\begin{aligned}(y-1)^2&=(y-1)(y-1)\\&=y^2-y-y+1\\&=y^2-2y+1\end{aligned}\]
Paso 2. Sustituir los binomios al cuadrado desarrollados en la ecuación
original, es decir:
\[\begin{aligned}(x-9)^2+(y-1)^2&=25\\(x^2-18x+81)+(y^2-2y+1)&=25\end{aligned}\]
Paso 3. Simplificar términos en la ecuación. Sumamos los términos semejantes
en ambos lados de la ecuación:
\[\begin{aligned}(x^2-18x+81)+(y^2-2y+1)&=25\\x^2-18x+81+y^2-2y+1&=25\\x^2+y^2-18x-2y+82&=25\end{aligned}\]
Paso 4. Restar +25 en ambos miembros de la igualdad para igualar a cero la
ecuación:
\[\begin{aligned}x^2+y^2-18x-2y+82-25&=25-25\\x^2+y^2-18x-2y+57&=0\end{aligned}\]
Así, hemos expresado la ecuación de la circunferencia \((x-9)^2+(y-1)^2=25\)
en su forma general como: \(x^2+y^2-18x-2y+57=0\). Esta es la ecuación de la
circunferencia en la forma general que estábamos buscando.
Ejercicio 3. Hallar el centro y radio de la circunferencia definida por la
siguiente ecuación: \[x^2+y^2-2x+4y-4=0\] Solución: Observa que la ecuación
dada corresponde a la ecuación de una circunferencia en su forma general.
Recuerda que la ecuación de la circunferencia en su forma general está
definida como: \[x^2+y^2+Ax+By+C=0\] Comparando esta ecuación con la ecuación
del enunciado, se obtienen las siguientes relaciones:
\[\begin{aligned}A&=-2\\B&=4\\C&=-4\end{aligned}\] Ahora bien,
recuerda que el centro de una circunferencia a partir de la ecuación de la
circunferencia en su forma general está dado por: \[(h, k)=\left(-\frac{A}{2},
-\frac{B}{2}\right)\] Sustituyendo el valor de \(A\) y \(B\) se obtiene lo
siguiente: \[\begin{aligned}(h, k)&=\left(-\frac{-2}{2},
-\frac{4}{2}\right)\\&=\left(1, -2\right)\end{aligned}\] Por lo tanto, el
centro de la circunferencia está en la coordenada \[(h, k)=\left(1,
-2\right)\] Ahora, recuerda que el radio de una circunferencia a partir de la
ecuación en su forma general se calcula de la siguiente manera:
\[r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}\] Sustituyendo el valor de \(A\), \(B\) y
\(C\) obtenemos lo siguiente:
\[\begin{aligned}r&=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}\\&=\sqrt{\frac{(-2)^2+(4)^2-4(-4)}{4}}\\&=\sqrt{\frac{4+16+16}{4}}\\&=\sqrt{\frac{36}{4}}\\&=\sqrt{9}\\&=3\end{aligned}\]
Por lo tanto, el radio de la circunferencia es \(r=3\)
Ejercicio 4. Hallar el centro y radio de la circunferencia definida por la
siguiente ecuación: \[x^2+y^2+6x-2y+3=0\] Solución: Observa que la ecuación
dada es de la forma: \[x^2+y^2+Ax+By+C=0\] La cual representa la ecuación de
una circunferencia en su forma general. Si comparamos esta ecuación con la
ecuación del enunciado, obtenemos las siguientes relaciones:
\[\begin{aligned}A&=6\\B&=-2\\C&=3\end{aligned}\] Recuerda que el
centro de una circunferencia a partir de la ecuación de la circunferencia en
su forma general está dado por: \[(h, k)=\left(-\frac{A}{2},
-\frac{B}{2}\right)\] Sustituyendo el valor de \(A\) y \(B\) obtenemos:
\[\begin{aligned}(h, k)&=\left(-\frac{6}{2},
-\frac{-2}{2}\right)\\&=\left(-3, 1\right)\end{aligned}\] Por lo tanto, el
centro de la circunferencia está en la coordenada \[(h, k)=\left(-3,
1\right)\] Además, recuerda que el radio de una circunferencia a partir de la
ecuación de la circunferencia en su forma general está dado por:
\[r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}\] Sustituyendo el valor de \(A\), \(B\) y
\(C\) obtenemos:
\[\begin{aligned}r&=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}\\&=\sqrt{\frac{(6)^2+(-2)^2-4(3)}{4}}\\&=\sqrt{\frac{36+4-12}{4}}\\&=\sqrt{\frac{28}{4}}\\&=\sqrt{7}\end{aligned}\]
Por lo tanto, el radio de la circunferencia es \(r=\sqrt{7}\)
Ejercicio 5. Obtener la ecuación de la circunferencia en su forma general,
cuyo centro está en \((3, 5)\) y tiene un radio \(r=7\).
Solución: Para encontrar la ecuación de la circunferencia en su forma
general, primero debemos hallar la ecuación de la circunferencia con centro
fuera del origen (ecuación ordinaria de la circunferencia), pues recuerda
que la ecuación de la circunferencia en su forma general se obtiene al
desarrollar los binomios al cuadrado que aparecen en la ecuación de la
circunferencia con centro fuera del origen. La ecuación de la circunferencia
con centro fuera del origen está dada por: \[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\] Donde
\((h,k)\) corresponde al centro y \(r\) al radio de la circunferencia. De
acuerdo con el enunciado del ejercicio, sabemos que: \[\begin{aligned}(h,
k)&=(3, 5)\\r&=7\end{aligned}\] Por lo tanto, sustituyendo estos
valores en la ecuación anterior, obtenemos la ecuación de la circunferencia
con centro fuera del origen: \[(x-3)^2+(y-5)^2=7^2\] Ahora solo debemos
desarrollar los binomios al cuadrado e igualar a cero esta ecuación para
obtener la ecuación de la circunferencia en su forma general. Al realizar
esto, obtenemos:
\[\begin{aligned}(x-3)^2&=(x-3)(x-3)\\&=x^2-x3-3x+9\\&=x^2-3x-3x+9\\&=x^2-6x+9\\(y-5)^2&=(y-5)(y-5)\\&=y^2-y5-5y+25\\&=y^2-5y-5y+25\\&=y^2-10y+25\end{aligned}\]
De tal manera que la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
se puede escribir como:
\[\begin{aligned}(x-3)^2+(y-5)^2&=7^2\\(x^2-6x+9)+(y^2-10y+25)&=7^2\\x^2+y^2-6x-10y+9+25&=49\\x^2+y^2-6x-10y+34-49&=0\\x^2+y^2-6x-10y-15&=0\\\end{aligned}\]
Esta última igualdad corresponde a la ecuación de la circunferencia en su
forma general de una circunferencia con centro en \((3, 5)\) y radio \(r=7\).
Ejercicio 6. Determina la ecuación de la circunferencia en su forma general,
de una circunferencia con centro en \((4, 5)\) y radio \(r=3\).
Solución: Para hallar la ecuación de la circunferencia en su forma general,
primero debemos hallar la ecuación de la circunferencia con centro fuera del
origen. Recuerda que para una circunferencia con centro en \((h, k)\) y
radio \(r\), la ecuación está definida como: \[(x+h)^2+(y-k)^2=r^2\]
Sustituyendo los valores del centro y radio obtenemos:
\[(x-4)^2+(y-5)^2=3^2\] Ahora que ya conocemos la ecuación de la
circunferencia con centro fuera del origen, simplemente debemos desarrollar
los binomios al cuadrado e igualar a cero la ecuación. Desarrollando los
binomios al cuadrado obtenemos:
\[\begin{aligned}(x-4)^2&=(x-4)(x-4)\\&=x^2-x4-4x+16\\&=x^2-4x-4x+16\\&=x^2-8x+16\\(y-5)^2&=(y-5)(y-5)\\&=y^2-y5-5y+25\\&=y^2-5y-5y+25\\&=y^2-10y+25\end{aligned}\]
De tal manera que la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
se puede escribir como:
\[(x^2-8x+16)+(y^2-10y+25)=9\]
Ordenando términos e igualando a cero esta ecuación, obtenemos:
\[\begin{aligned}x^2+y^2-8x-10y+16+25&=9\\x^2+y^2-8x-10y+41-9&=0\\x^2+y^2-8x-10y+32&=0\end{aligned}\]
Esta última igualdad corresponde a la ecuación de la circunferencia en su
forma general.
Ejercicio 7: Hallar la ecuación general de una circunferencia con extremos de
uno de sus diámetros en las coordenadas: \[\begin{aligned}P(4, -3)\\Q(-2,
7)\end{aligned}\] Solución: Para obtener la ecuación general de la
circunferencia, primero necesitamos determinar la ecuación de la
circunferencia con centro fuera del origen (ecuación ordinaria), que tiene la
forma estándar: \[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\] Para ello, requerimos conocer el
centro (\(h, k\)) y el radio (\(r\)) de la circunferencia. Sin embargo, en
este problema solo conocemos las coordenadas de los extremos de un diámetro.
Recordemos que, en una circunferencia, el diámetro es el doble del radio, por
lo que podemos encontrar el radio calculando la mitad de la distancia entre
los puntos \(P\) y \(Q\). La distancia entre dos puntos se define como la
longitud del segmento de recta que une los puntos. La fórmula para hallar la
distancia entre dos puntos está dada por:
\[d(P, Q)=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^2+\left(y_{2}-y_{1}\right)^2}\]
Sustituyendo las coordenadas de \(P\) y \(Q\) obtenemos:
\[\begin{aligned}d(P,
Q)&=\sqrt{(-2-4)^2+(7-(-3))^2}\\&=\sqrt{(-6)^2+(10)^2}\\&=\sqrt{36+100}\\&=\sqrt{136}\\&=2\sqrt{34}\end{aligned}\]
Por lo tanto, el radio de la circunferencia es
\[\begin{aligned}r&=\frac{1}{2}\cdot
2\sqrt{34}\\&=\sqrt{34}\end{aligned}\] Dado que el segmento \(PQ\) es un
diámetro, el centro de la circunferencia es el punto medio de este segmento.
La fórmula para encontrar el punto medio entre dos puntos \(P\) y \(Q\) es:
\[C=\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\] Sustituyendo las
coordenadas de \(P\) y \(Q\) se obtiene:
\[\begin{aligned}C&=\left(\frac{4+(-2)}{2},
\frac{(-3)+7}{2}\right)\\&=\left(\frac{2}{2},
\frac{4}{2}\right)\\&=(1, 2)\end{aligned}\] Ahora que conocemos las
coordenadas del centro (\(h, k\)) y la longitud del radio (\(r\)), podemos
sustituir estos valores en la ecuación de la circunferencia con centro fuera
del origen:
\[\begin{aligned}(x-h)^2+(y-k)^2&=r^2\\(x-1)^2+(y-2)^2&=(\sqrt{34})^2\\(x-1)^2+(y-2)^2&=34\end{aligned}\]
Para obtener la ecuación general de la circunferencia, simplemente
desarrollamos los binomios al cuadrado y simplificamos términos, es decir:
\[\begin{aligned}(x-1)^2&=(x-1)(x-1)\\&=x^2-x-x+1\\&=x^2-2x+1\\(y-2)^2&=(y-2)(y-2)\\&=y^2-2y-2y+4\\&=y^2-4y+4\end{aligned}\]
Sumamos estas dos expresiones y restamos \(34\) en ambos miembros de la
igualdad para igualar a cero la ecuación:
\[\begin{aligned}(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)&=34\\(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)-34&=34-34\\(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)-34&=0\\x^2-2x+1+y^2-4y+4-34&=0\\x^2+y^2-2x-4y+5-34&=0\end{aligned}\]
Simplificamos términos: \[x^2+y^2-2x-4y-29 = 0\] La ecuación general de la
circunferencia cuyos extremos de uno de sus diámetros están en las coordenadas
\(P(4, -3)\) y \(Q(-2, 7)\) es: \[x^2 + y^2 - 2x - 4y - 29 = 0\] Esta es la
ecuación buscada.