Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos números a y b es el número más pequeño que es múltiplo tanto de a como de b.
El mínimo común múltiplo de dos números a y b se denota como \[\text{mcm}(a, b)\] y esta notación se extiende al mínimo común múltiplo de más de dos números, como: \[\text{mcm}(a, b, c, \ldots)\]
¿Cómo calcular el mínimo común múltiplo?
El método para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números se basa en la descomposición factorial de esos números y en el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Descomposición factorial de un número
La descomposición factorial de un número es el proceso mediante el cual dicho número se puede expresar como el producto de potencias de sus factores primos.
¿Cómo descomponer un número en el producto de sus factores primos?
La forma práctica para descomponer un número en el producto de potencias de sus factores primos consiste en trazar una línea vertical. En la parte superior izquierda, coloca el dividendo (comenzando por el número que se desea descomponer), y del lado derecho coloca el divisor (factor primo más pequeño que divide de manera exacta a dicho número). Realiza la división y coloca el cociente resultante debajo del dividendo. Repite el proceso de división hasta que el cociente sea 1.
El producto de las potencias de los factores primos encontrados es la descomposición factorial del número.
Ejemplo1. Realiza la descomposición en factores primos de los números 12 y 8.
Solución: La siguiente imagen muestra el proceso de descomposición en factores primos de 12 y 8.
Por lo tanto, la descomposición factorial de 12 y 8 es: \[\begin{aligned}12&=2\cdot 2\cdot 3\\&=2^2\cdot 3\\8&=2\cdot 2\cdot 2\\&=2^3\end{aligned}\]
Mínimo común múltiplo de dos números
Pasos para hallar el mínimo común múltiplo de dos números:
- Paso 1. Descomponer cada número en el producto de potencias de sus factores primos.
- Paso 2. Elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
- Paso 3. Multiplicar las potencias elegidas.
Ejemplo 2. Determina el mínimo común múltiplo de 12 y 8.
Solución: De acuerdo con el primer paso, debemos descomponer al 12 y al 8 en el producto de potencias de sus factores primos. En el ejemplo 1 obtuvimos la descomposición factorial siguiente: \[\begin{aligned}12&=2^2\cdot 3\\8&=2^3\end{aligned}\]
Para el segundo paso, elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, que en este caso son: \(2^3\) y \(3\).
Para el tercer paso, simplemente multiplicamos las potencias elegidas. Es decir: \[\begin{aligned}\text{mcm}(12, 8)&=2^3\cdot 3\\&=8\cdot 3\\&=24\end{aligned}\]
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 13 y 8 es 24.
Mínimo común múltiplo ejercicios resueltos
Ejercicio resuelto 1. Determina el mínimo común múltiplo de 72 y 50.
Solución: Primero, se realiza la descomposición factorial de 72 y 50, es decir, se descompone cada número en el producto de potencias de sus factores primos. El proceso de descomposición en factores primos de 72 y 50 se muestra en la siguiente imagen.
Por lo tanto, la descomposición factorial de 72 y 50 es: \[\begin{aligned}72&=2^3\cdot 3^2\\50&=2\cdot 5^2\end{aligned}\]
Ahora, se deben elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. En este caso son \(2^3\), \(3^2\) y \(5^2\).
Finalmente, para hallar el mínimo común múltiplo, se multiplican las potencias elegidas, es decir:
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 72 y 50 es 1800.
Ejercicio resuelto 2. Calcula el mínimo común múltiplo de 180 y 324.
Solución: Para calcular el mínimo común múltiplo de 180 y 324, comenzamos por descomponer en factores primos estos números. El proceso de descomposición en factores primos de dichos números se muestra en la siguiente imagen.
Por lo tanto, la descomposición factorial de 180 y 324 es: \[\begin{aligned}180&=2^2\cdot 3^2\cdot 5\\324&=2^2\cdot 3^4\end{aligned}\]
El mínimo común múltiplo se obtiene al multiplicar los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. En este caso, estas potencias son: \(2^2\), \(3^4\) y \(5\). De tal manera que:
Por lo tanto, 1620 es el mínimo común múltiplo de 180 y 324.
Ejercicio resuelto 3. Halla el mínimo común múltiplo de 1800 y 2835.
Solución: Para hallar el mínimo común múltiplo de 1800 y 2835, primero realizamos la descomposición en factores primos de cada número. El proceso de descomposición en factores primos se muestra en la siguiente imagen.
Por lo tanto, la descomposición factorial de 1800 y 2835 es: \[\begin{aligned}1800&=2^3\cdot 3^2\cdot 5^2\\2835&=3^4\cdot 5\cdot 7\end{aligned}\]
Para el segundo paso, elegimos los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. En este caso, son: \(2^3\), \(3^4\), \(5^2\) y \(7\).
Para hallar el mínimo común múltiplo de 1800 y 2835, simplemente multiplicamos las potencias elegidas, es decir:
De esta manera, 113400 es el mínimo común múltiplo de 1800 y 2835.
Ejercicio resuelto 4. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 9 y 15?
Solución: Para encontrar el mínimo común múltiplo de 9 y 15, comenzamos por descomponer en factores primos dichos números. El proceso de descomposición en factores primos de 9 y 15 se muestra en la siguiente imagen.
De esta manera, obtenemos que la descomposición factorial de 9 y 15 es: \[\begin{aligned}9&=3^2\\15&=3\cdot 5\end{aligned}\]
Ahora debemos elegir los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Estas potencias son: \(3^2\) y \(5\).
El mínimo común múltiplo se obtiene al multiplicar las potencias elegidas, es decir:
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 9 y 15 es 45.
Mínimo común múltiplo de dos o más números
El procedimiento para determinar el mínimo común múltiplo de dos o más números es el mismo que se realiza para hallar el mínimo común múltiplo de dos números.
Ejemplo 3. Obtén el mínimo común múltiplo de 8, 9 y 10.
Solución. La siguiente imagen muestra el proceso de descomposición en factores primos de 8, 9 y 10.
De tal manera que la descomposición factorial de 8, 9 y 10 es: \[\begin{aligned}8&=2^3\\9&=3^2\\10&=2\cdot 5\end{aligned}\]
Ahora debemos elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Estos factores son: \(2^3\), \(3^2\) y \(5\).
De tal manera que el mínimo común múltiplo de 8, 9 y 10 será el producto de las potencias elegidas, es decir:
Por lo tanto, 360 es el mínimo común múltiplo de 8, 9 y 10.
Aplicaciones del mínimo común múltiplo
Una de las aplicaciones clave del mínimo común múltiplo (mcm) radica en su utilidad para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores.
Mínimo común denominador
Tomar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones permite convertir fracciones con distinto denominador a fracciones equivalentes con igual denominador, lo que facilita el proceso de suma y resta de fracciones.
Ejemplo 4. Realiza la siguiente suma de fracciones con distinto denominador. \[\frac{1}{6}+\frac{4}{33}\]
Solución: Para llevar a cabo la suma de estas fracciones con distintos denominadores, primero buscaremos el mínimo común múltiplo de los denominadores 6 y 33.
La siguiente imagen muestra el proceso de descomposición en factores primos de 6 y 33.
De esta manera, la descomposición factorial de 6 y 33 es: \[\begin{aligned}6&=2\cdot 3\\33&=3\cdot 11\end{aligned}\]
El mínimo común múltiplo se obtiene al multiplicar los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. En este caso, estas potencias son simplemente 2, 3 y 11: \[\begin{aligned}\text{mcm}(6, 33)&=2\cdot 3\cdot 11\\&=66\end{aligned}\]
Ahora que hemos encontrado que 66 es el mínimo común múltiplo de 6 y 33, entonces ambas fracciones tendrán denominador 66. Ahora solo hay que hallar para cada fracción su fracción equivalente.
Para la fracción \(1/6\) tendremos: \[\begin{aligned}\frac{1}{6}&=\frac{1}{6}\cdot\frac{11}{6}\\&=\frac{11}{66}\end{aligned}\]
Para la fracción \(4/33\) obtenemos: \[\begin{aligned}\frac{4}{33}&=\frac{4}{33}\cdot\frac{2}{2}\\&=\frac{8}{66}\end{aligned}\]
Ahora que tenemos fracciones con el mismo denominador, simplemente sumamos: \[\begin{aligned}\frac{1}{6}+\frac{4}{33}&=\frac{11}{66}+\frac{8}{66}\\&=\frac{19}{66}\end{aligned}\]
Por lo tanto, \(19/66\) es la suma de las fracciones originales.
Otra forma de calcular el mínimo común múltiplo
Una forma distinta de calcular el mínimo común múltiplo es a través del máximo común divisor, es decir, si se conoce el máximo común divisor de dos números \(a\) y \(b\), entonces el mínimo común múltiplo de estos mismos números es igual al producto de ambos dividido entre su máximo común divisor. Matemáticamente: \[\text{mcm}(a, b)=\frac{a\cdot b}{\text{MCD}(a, b)}\] donde \(\text{MCD}(a, b)\) representa el máximo común divisor de \(a\) y \(b\).
Mínimo común múltiplo ejercicios para resolver
Ejercicio 1. Encuentra el mínimo común múltiplo (mcm) de 8 y 12.
Ejercicio 2. Calcula el mínimo común múltiplo (mcm) de 5, 15 y 25.
Ejercicio 3. Determina el mínimo común múltiplo (mcm) de 9 y 6.
Ejercicio 4. Encuentra el mínimo común múltiplo (mcm) de 18 y 24.
Ejercicio 5. Calcula el mínimo común múltiplo (mcm) de 7, 14 y 21.
Mínimo común múltiplo preguntas frecuentes
¿Qué es el mínimo común múltiplo (mcm)? El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números.
¿Cómo calcular el mínimo común múltiplo de dos números? Para calcular el mínimo común múltiplo de dos números, se deben identificar los factores primos de cada número y tomar el producto de esos factores elevados a la mayor potencia presente en la factorización de cada número.
¿Cuál es la relación entre el mínimo común múltiplo y los números primos? El mínimo común múltiplo de dos números primos es simplemente el producto de esos dos números, ya que los números primos no tienen factores comunes.
¿Cuál es la diferencia entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor? Mientras que el MCM busca el menor múltiplo común, el máximo común divisor (MCD) busca el mayor divisor común.
¿Para qué se utiliza el mínimo común múltiplo en la vida cotidiana? El mínimo común múltiplo se utiliza en situaciones donde es necesario sincronizar eventos que ocurren a intervalos regulares, como en música, programación de computadoras, o en la planificación de eventos recurrentes.
¿El mínimo común múltiplo de dos o más números es siempre mayor o igual que dichos números? Sí, el mínimo común múltiplo es siempre mayor o igual que los números originales, esto debido a que el mcm es un múltiplo de los números originales.
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