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Definición
Es un sistema de conductores capaces de transmitir potencia eléctrica desde una fuente a una carga.
De acuerdo a esta definición tanto la línea de alta tensión proveniente desde El Chocón, como una línea telefónica, un cable coaxial o las pistas de un circuito impreso son líneas de transmisión.
No es su único uso ya que también se las puede utilizar como circuitos sintonizados, transformadores (para adaptar impedancias), etc.
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¿Por qué ver líneas en un curso de instrumentos electrónicos?
Pues bien, ¿para que se utiliza un instrumento electrónico?
Los instrumentos electrónicos se utilizan básicamente para realizar mediciones sobre un circuito sin afectar el funcionamiento del mismo.
Esto depende fundamentalmente de las características de los instrumentos seleccionados para realizar la medición (una mala selección puede sacar de funcionamiento al circuito bajo ensayo, provocar la destrucción del mismo y del instrumento), pero los instrumentos se vinculan al circuito y entre sí mediante conductores que transmiten energía eléctrica (o sea las líneas de transmisión). Al finalizar este tema entenderemos porque una mala selección de estos “conductores” puede lograr los mismos efectos que una mala selección de los instrumentos a utilizar.
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Tipos de líneas de transmisión
Las líneas de transmisión pueden dividirse en distintos tipos según su geometría o según su equilibrio eléctrico.
Según su equilibrio eléctrico:
Balanceadas: son aquellas donde entre cada conductor y tierra aparece la misma diferencia de potencial (en módulo)
Desbalanceadas: no se cumple lo mencionado en el párrafo anterior ya que generalmente uno de los conductores está vinculado a tierra.
Según su geometría:
unifilares, bifilares, coaxiales, cables radiantes, etc.
En la práctica esto provoca que por su geometría cierto tipo de líneas se utilicen mayormente como líneas desbalanceadas (por ejemplo los cables coaxiales) u otras como balanceadas (bifilares).
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Descripción del funcionamiento
¿Cómo analizar el funcionamiento de una línea de transmisión?
Utilizando la teoría electromagnética
Por ejemplo en una línea bifilar se pueden plantear las ecuaciones que describan la distribución del campo electromagnético en la misma
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Descripción del funcionamiento
De la figura anterior se puede deducir la existencia de un vector de Poynting que va a lo largo de la línea de transmisión dado por la siguiente ecuación:
Este vector es el que sostiene las ondas de tensión y corriente que se desplazan en la línea.
Este método si bien no posee las limitaciones del método que se verá a continuación, implica el desarrollo de largos formuleos que están fuera del alcance de este curso debido al escaso tiempo para desarrollarlo.
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Descripción del funcionamiento
Utilizando la teoría de circuitos
Esta visión más simplificada de las líneas de transmisión sólo es válida mientras que la distancia que separa los distintos conductores (d) que conforman la misma sea mucho menor que la longitud de onda (?) de las señales que viajan por la misma.
Al aplicar la teoría de circuitos a las líneas se descubrió que la solución que más se aproximaba a la realidad física era suponer a la línea compuesta por circuitos elementales tipo ‘T’ de constantes distribuidas por unidad de longitud.
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Descripción del funcionamiento
De acuerdo a esto se definen los siguientes parámetros y el circuito que los asocia:
Inductancia serie por metro (l)
Resistencia serie por metro (r)
Capacidad paralelo por metro (c)
Conductancia paralelo por metro (g)
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Descripción del funcionamiento
Planteando la primer Ley de Kirchoff se obtiene
Despreciando diferenciales de segundo orden y dividiendo por dx queda la primer ecuación telegráfica
Ecuación 1
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Descripción del funcionamiento
Planteando la segunda Ley de Kirchoff se obtiene
Despreciando diferenciales de segundo orden y dividiendo por dx queda la segunda ecuación telegráfica
Ecuación 2
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Descripción del funcionamiento
Suponiendo que aplicamos una tensión senoidal a un extremo de la línea
y remplazando esta expresión en la ecuación 1 se obtiene
si definimos
la expresión anterior resulta en
Ecuación 3
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Descripción del funcionamiento
Si se aplica una tensión senoidal es lógico suponer que la corriente que circula por la línea también será senoidal
por lo tanto la ecuación 3 quedaría
Ecuación 4
Análogamente si se repite el procedimiento para la corriente en la ecuación 2 y definiendo
se obtiene
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Descripción del funcionamiento
Derivando nuevamente esta ecuación y despejando se llega a
Ecuación 5
reemplazando en la ecuación 4 y operando queda
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Descripción del funcionamiento
si se repite el proceso pero derivando la ecuación 4 y reemplazando en la ecuación 5 se llegará a
Esta es una ecuación diferencial de segundo grado cuya solución es
Ecuación 6
aplicando esta solución a I(x) en la ecuación 4 se obtiene
Ecuación 7
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Descripción del funcionamiento
Si se realizan las siguientes definiciones
?: constante de propagación de la línea …….
?: atenuación de la línea …….
?: constante de fase de la línea …….
Z0: impedancia característica ……
y se aplican las mismas a las ecuaciones 6 y 7 se obtiene
Ecuación 8
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Descripción del funcionamiento
Ecuación 9
Estas son las ecuaciones que rigen el comportamiento de una línea de transmisión.
A continuación veremos que significan estas ecuaciones para lo cual se supondrá un circuito simple formado por un generador, una impedancia de carga (ZL) y una línea de transmisión de impedancia característica Z0 vinculando ambos.
Ecuación 10
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Descripción del funcionamiento
El primer termino del segundo miembro muestra una onda que viaja del generador hacia la carga (onda incidente) y el segundo término una que viaja de la carga hacia el generador (onda reflejada).
Para poder obtener las condiciones de contorno que nos permitan obtener los valores de las constantes V1 y V2 plantearemos distintos casos de un circuito simple compuesto por un generador ideal, una impedancia de carga (ZL) y una línea de transmisión de impedancia característica Z0 que los vincula.
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Descripción del funcionamiento
Si la longitud de la línea tiende a infinito, se puede apreciar en las ecuaciones 9 y 10 que los segundos términos del segundo miembro también tienden a infinito. Esto es incompatible con la realidad física, por lo tanto V2 debe ser nulo quedando
Ecuación 11
Supongamos el caso ideal en que ?=0 (línea sin pérdidas), y elegimos dos pares de valores (x1, t1) y (x2,t1) tales que:
1er caso ZL=Z0
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Descripción del funcionamiento
Si definimos x2-x1 como la longitud de onda (?) se obtiene
Si elegimos ahora dos pares de valores (x1, t1) y (x2,t2), siempre sobre una línea ideal sin pérdidas tales que:
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Descripción del funcionamiento
O sea que la velocidad de propagación es igual al producto de la frecuencia por la longitud de onda. La velocidad de propagación entre otros parámetros depende del dieléctrico de la línea, por lo tanto dos señales de igual frecuencia tendrán distinta ? dependiendo del medio de propagación
Partiendo de la ecuación 10 para tensión y de la 9 para la corriente se pueden plantear las siguientes ecuaciones de onda
2do caso ZL?Z0
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Descripción del funcionamiento
Sobre la carga se debe seguir cumpliendo la ley de Ohm así que
Definiendo el coeficiente de reflexión ? como la relación entre la tensión incidente y reflejada queda:
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Descripción del funcionamiento
Al módulo del coeficiente de reflexión se lo designa con la letra griega “?” y en función de este se designa perdida de inserción a la siguiente expresión:
Perdida de inserción = 20 log( ? )
En la ecuación 10 se podían apreciar dos ondas viajeras a lo largo de la línea (una incidente y una reflejada), si representamos las mismas mediante fasores tendríamos el siguiente esquema
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Descripción del funcionamiento
Donde se puede apreciar que a lo largo de la línea se verá una señal periódica con sus correspondientes mínimos y máximos. A la relación entre el valor máximo y mínimo se la denomina relación de onda estacionaria ROE (o VSWR en inglés).
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Implicancias de tener una línea de transmisión en un circuito
Hasta aquí se han visto las ecuaciones de las ondas de tensión y corriente a lo largo de una línea y se han definido los parámetros de la misma (Z0, ?, ?, v) y otros parámetros que además dependen de la señal que viaja por ella y de la carga existente al final de ella (?, ? y ROE o WSWR).
¿Pero que significa introducir una línea en nuestros circuitos?
Supongamos tener una línea de longitud “L”, al final de la línea en la carga E=EL e I=IL, partiendo de las ecuaciones 8 y 9
Ecuación 12
Ecuación 13
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Implicancias de tener una línea de transmisión en un circuito
Sumando miembro a miembro las ecuaciones 12 y 13
Reemplazando V1 y V2 en las ecuaciones 8 y 9
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Implicancias de tener una línea de transmisión en un circuito
El término L-x representa el punto de la línea que está a una distancia d de ZL , por consiguiente aplicando esto y ley de Ohm sobre ZL queda
desarrollando e?d = cosh(?d)+senh(?d) se obtiene
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Implicancias de tener una línea de transmisión en un circuito
Análogamente
Dividiendo miembro a miembro estas dos ecuaciones se obtiene la impedancia que presenta la línea a una distancia determinada de ZL
Ecuación 14
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Implicancias de tener una línea de transmisión en un circuito
Dividiendo numerador y denominador por ILCosh( ? d ) se obtiene
Multiplicando numerador y denominador por Z0
Ecuación 15
De la ecuación anterior se puede concluir que la impedancia que se ve a la entrada de una línea de longitud “L” terminada en una impedancia ZL es
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Implicancias de tener una línea de transmisión en un circuito
Donde se puede apreciar que la impedancia de entrada no sólo depende de la impedancia al final de la línea sino también de los parámetros de la línea (Z0, ?, ?) y de la relación entre el largo de la misma y la frecuencia de la señal que viaja por ella (ya que ?=2? / ?)
¿Que sucede en el caso ideal de una línea sin pérdidas (? = 0)?
En este caso ? = j?, por lo tanto recordando que Tanh(j?x) = j tan(?x) y reemplazando en la expresión anterior se obtiene
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Implicancias de tener una línea de transmisión en un circuito
Ecuación 16
Se analizará a continuación que ocurre para diversas combinaciones entre L (longitud de la línea) y ? (longitud de onda de la señal) así como también para distintas impedancias de carga
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Implicancias de tener una línea de transmisión en un circuito
1er Caso) Líneas de longitud ?/2 o múltiplos enteros de ?/2
2do Caso) Líneas de longitud ?/4 o múltiplos impares de ?/4
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Implicancias de tener una línea de transmisión en un circuito
Si Ze y ZL son resistivas puras se cumple que
Este es el motivo por el cual a la línea de cuarto de onda se la suele llamar “transformador de cuarto de onda” ya que permite adaptar 2 resistencias que cumplan la condición anterior.
3er Caso) ZL= ?
En este caso resulta IL=0 por lo tanto de la ecuación 14 se obtiene
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Implicancias de tener una línea de transmisión en un circuito
Si Z0 es resistiva, como ocurre en la práctica, dependiendo de la relación entre la longitud de onda y el largo de la línea, la impedancia de entrada será capacitiva o inductiva pura. También se presentará como un circuito resonante serie (múltiplos enteros impares de ?/4) o resonantes paralelos (múltiplos enteros de ?/2)
4to Caso) ZL= 0
Es un caso similar al anterior pero en este caso resulta
obteniéndose los mismos resultados pero invertidas las condiciones de resonancia serie y paralelo.
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Cables Coaxiales
Hasta aquí las ecuaciones generales de una línea de transmisión. Los parámetros descriptos (?, ?, ?) dependen de los parámetros constructivos de la línea. Veamos de donde surgen en un cable coaxial.
El patrón del campo electromagnético en un coaxial se basa en el modo transversal electromagnético (TEM). Este es un modo de propagación donde en todas partes (dentro del cable) el campo eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y perpendicular al sentido longitudinal del cable.
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Cables Coaxiales
A medida que sube la frecuencia de la señal en le cable aparecen otros modos de propagación no deseados por lo tanto es importante conocer la máxima frecuencia de trabajo la cual se puede calcular como:
Donde:
c = velocidad de la luz en el vacío
?r = permitividad relativa del dieléctrico
d = diámetro del conductor interior
D = diámetro del conductor exterior
La impedancia característica de la línea se obtiene como (aproximación válida para frecuencias superiores a 5 Mhz)
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Cables Coaxiales
Y la atenuación (dB/100m) para frecuencias superiores a 10 Mhz se puede aproximar a
Donde los diámetros se expresan en mm, la frecuencia en Mhz y:
?1 = conductividad del conductor interior (MS/m)
?2 = conductividad del conductor exterior (MS/m)
tan ? = Factor de disipación del dieléctrico
La atenuación además varía con la temperatura siguiendo aproximadamente la siguiente fórmula