Determinante de una matriz

Revisado por Rafael C. Asth

Profesor de Matemática y Física

El determinante de una matriz es un valor escalar calculado a partir de los elementos de una matriz cuadrada. A nivel de cálculo, resulta de restar el producto de los elementos de las diagonales principales al de las diagonales secundarias.

Conocer el determinante de una matriz tiene varios usos. Uno de ellos es resolver un sistema de ecuaciones lineal. También nos sirve para calcular la inversa de una matriz, el rango de una matriz o áreas de un plano, entre otras operaciones.

Para que una matriz tenga determinante, es necesario que sea cuadrada, es decir, que tenga el mismo número de filas y columnas. De lo contrario, la matriz no tendrá un determinante.

El determinante de una matriz tiene como símbolo o . Para explicar cómo se calcula el determinante, utilizaremos el primer símbolo. Hay varios métodos de cálculo dependiendo del orden, dimensión o tamaño de la matriz cuadrada, los cuales explicamos en la siguiente sección.

Cómo calcular el determinante de una matriz

Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 (1x1)

Las matrices cuadradas de primer orden son las más sencillas para calcular el determinante. Como la matriz solo tiene un elemento, el determinante corresponde al mismo elemento.

Por lo tanto, si tenemos la siguiente matriz:

El determinante de dicha matriz será:

Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 (2x2)

Supongamos que tenemos la siguiente matriz de segunda orden:

Para calcular el determinante, has de multiplicar el elemento de la primera fila y columna (a₁₁) con el elemento de la segunda fila y columna (a₂₂). Esta es la diagonal principal, marcada en rojo.

A continuación, resta lo que resulta de multiplicar el elemento de la primera fila y segunda columna (a₁₂) con el elemento de la segunda fila y primera columna (a₂₁). Esto corresponde a la diagonal secundaria, marcada en azul.

Es decir:

Veamos la misma operación con un ejemplo, cambiando los términos por números:

Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 (3x3)

Para calcular el determinante de una matriz de tercer orden, recomendamos utilizar la Regla de Sarrus. Sigue la misma idea de multiplicar elementos en diagonal, sumando el resultado de las diagonales principales y restando el de las diagonales secundarias.

Antes de aplicar la regla, es útil expandir la matriz como apoyo visual. Para ello, añadimos la primera y segunda columna al final de la matriz:

Después, has de multiplicar los elementos en diagonal. Las diagonales principales comienzan con a₁₁, a₁₂ y a₁₃, respectivamente, multiplicando los términos consecutivos hasta llegar a la fila inferior. Por ejemplo, multiplica el elemento a₁₂ con a₂₃ y a₃₁.

Las diagonales secundarias van en dirección contraria, comenzando con a₁₃, a₁₁ y a₁₂. En este caso, el elemento a₁₂ multiplicaría con a₂₁ y a₃₃.

Es decir:

Veamos con un ejemplo cómo aplicar la Regla de Sarrus:

Aunque hay otras formas de calcular el determinante de una matriz de tercer orden, esta forma de aplicar la Regla de Sarrus resulta útil y fácil de recordar.

Determinante de una matriz cuadrada de orden 4 (4x4)

Para cualquier matriz cuadrada que sea de orden 4, aconsejamos servirte de la Regla de Laplace. Con esta regla, puedes calcular el determinante de la matriz desglosándola en matrices de orden 3.

Siendo n el orden, f la fila y c la columna, la regla establece la siguiente fórmula:

Lo que nos dice esta regla es que, para calcular el determinante de la matriz, se sigue un proceso de cálculo de determinante por adjuntos. Ilustremos eso con un ejemplo.

Tenemos la siguiente matriz:

Desarrollemos la Regla de Laplace para la primera fila. Comenzamos con el elemento que corresponde a la primera columna, 1. Para obtener su matriz adjunta, has de eliminar la fila y columna de las cuales este elemento forma parte.

Nos queda una matriz de orden 3. Haz lo mismo para los otros elementos de la misma fila: 3, 0 y 6. El siguiente paso es aplicar la fórmula de la Regla de Laplace para estos elementos, junto con sus matrices adjuntas.

Es decir:

Resolvemos los determinantes de las matrices de orden 3 usando la Regla de Sarrus, y obtenemos:

También puedes hacer el mismo desarrollo con cualquier otra fila e incluso por columna.

Propiedades del determinante de una matriz

• El determinante de una matriz es el mismo que el de la matriz traspuesta.
• El determinante siempre será 0 en los siguientes casos:
  • los elementos de una columna o fila son todos 0;
  • hay una fila o columna repetida; o
  • los elementos de una fila o columna son una combinación lineal de las otras.
• Si el determinante de una matriz es 0, eso significa que la matriz es singular, es decir, no tiene inversa.
• Multiplicar los determinantes de dos matrices da el mismo resultado que calcular el determinante que resulta de multiplicar esas mismas dos matrices.
• Una matriz no cuadrada no tiene determinante.
• Si se intercambian dos columnas o filas, el signo del determinante cambiará.
• Al multiplicar una fila o columna de la matriz por un número, el determinante se multiplica por ese número. Por ejemplo, supongamos que el determinante de una matriz de segundo orden es 8. Si multiplicamos los elementos de la primera fila por 2, el determinante también se multiplicará por 2, resultando en 16.
• Si a una columna le sumamos un múltiplo de otra, el determinante no varía.

Vea también Ecuación, Álgebra y Matemáticas.

Cómo citar: (06/12/2023). "Determinante de una matriz". En: Significados.com. Disponible en: https://www.significados.com/determinante-de-una-matriz/ Consultado: