7 Radizieren

wz uri Radizieren 

7 Radizieren 

7.1 Einführung 

Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt. 

n 

2 

n 

a x x a 

für a0 2 

9 3 3 9 

* 

n: Wurzelexponent, n N 

und 

n 1 

a: Radikand, a0 

x: 

Wurzel(wer) t 

Potenzieren: Basis und Exponent sind gegeben, 

der Potenzwert wird gesucht! 

2 

3 x 

Radizieren: Potenzwert und Exponent sind 

gegeben, die Basis wird gesucht! 

2 2 

x 9 9 x 

Das Radizieren (Wurzelziehen) ist also die erste Umkehroperation des Potenzierens. 

Beim Radizieren verwendet man allerdings andere Bezeichnungen. 

Der Wurzelexponent 2 wird meistens nicht geschrieben. 

Mehrdeutigkeit von Wurzeln 

Ist 3 2 = 9, so ist auch (–3) 2 = 9. Es gibt also zwei Zahlen, die quadriert 9 ergeben. Um eine 

eindeutige Zuordnungen zu erreichen, bezeichnen wir aber nur die positive Grundzahl als 

Quadratwurzel. Das Ergebnis der Quadratwurzel ist als positive Zahl definiert. 

Quadrieren → eindeutige Zuordnung (Funktion) 

Radizieren → keine eindeutige Zuordnung (Relation) 

2 

 

 

2 

9 39 2 

2 

25 525 2 

3 9 3 

 

 

 

 

 

Wurzelziehen und quadrieren heben sich auf. 

 

Die Umkehrung gilt jedoch nicht immer! 

 

3 3 

a R 

2 

2 

2 

39 a a für 0, 

a a für a 

Definition 

2 

2 

+3 

–3 

 

16 4nicht 4 

16 undefiniert Es gibt keine reelle Zahl, die quadriert 16 

ergibt! 

+9 

1


7.2 Der allgemeine Wurzelbegriff 

Jede Wurzel kann in eine Potenz mit rationalem Exponenten umgewandelt werden. 

Umgekehrt kann jede Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel geschrieben werden. 

Beweis : 

m 

n n 

m 

a a 

aus Formel oben: x a 

potenzieren mit n: x 

n-te Wurzel ziehen: x 

m 

n 

m 

n 

mn 

n 

n n 

a a a 

 

m 

somit: x a a 

Beispiele 

n 

a 

m 

m 

n n 

m 

für a , 

n 

* 

0 n, mN 

und 

Beweisgrundlage aus der Definition: 

Die n-te Wurzel aus einer positiven 

Zahl a ist diejenige positive Zahl, deren 

n-te Potenz gleich a ist. 

2 

2 2 2 

9 3 3 9 3 3 

a x x a x a 

n n 

n 

Geben Sie die Werte folgender Wurzeln an und machen Sie die Probe! 

1. 25 ? 

2. 4 16 ? 

4 3. 1 

? 

16 

4. 

5. 

6. 

7. 

4 10'000 ? 

7 0 ? 

2 2 

a ? 

8 24 

a 

? 

a 

m 

n 

x x a x a 

1 

n m n m 

2


7.3 Addition und Subtraktion von Wurzeln 

Bei der Addition und der Subtraktion von Wurzeln dürfen nur Wurzeln mit gleichen Exponenten 

und Radikanden zu einem Glied zusammengefasst werden können. 

Beispiele 

b 

n n n n 

a x b x c x a c x 

(gemeinsamer Faktor ausklammern) 

Vereinfachen Sie, falls möglich. 

3 3 3 

1. 3 8 2 8 8 ? 

2. 

4 4 4 

5 a 6 b a 3 b ? 

7.4 Radizieren von Produkten 

Ein Produkt wird radiziert, indem man jeden Faktor einzeln radiziert. 

n n n ab a b 

n n 

a x a x 

n 

1 1 1 

n n n 

Beweis: 

n n n 

Beweis: a x 

Achtung, Wurzel aus Produkt nicht mit Wurzel aus Summe verwechseln! 

Im Gegensatz zu a b a b ist a b a b 

Zahlenbeispiel: 36 64 36 64 6 8 48 

36 64 100 10 

36 64 6 8 14 

somit: 36 64 36 64 

Merke : Wurzeln aus Summen ziehen nur die ! 

ab ab a b a b 

n n n 

3


Beispiele 

Berechnen Sie ohne Taschenrechner. 

1. 936 ? 

2. 3 50 ? 

3. 3 7 21 ? 

(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126a) 

4. 3 

5 ? 

(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126c) 

5. 3 3 1 ? 

(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126f) 

6. 3 2 2 3 2 2 ? 

(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126i) 

4


7.5 Radizieren von Brüchen 

Ein Bruch wird radiziert, indem man Zähler und Nenner radiziert. 

n 

Beispiele 

n a a 

a 0 

und b 0 

Beweis: 

n b b 

Berechnen Sie ohne Taschenrechner. 

1. 

36 ? 

9 

2. 3 64a 

? 

343b 

3. 

4. 

5. 

5x 10x 

: ? 

60 30 

1 1 

a an n n 

a a 

n 1 n 

b b n b 

3 32 

? 

(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126k) 

6 

2 12 2 

2 ? 

3 27 3 

(Quelle: Frommenwiler, Aufgabe 126c) 

b 

5


7.6 Radizieren von Potenzen und Potenzieren von Wurzeln 

Eine Potenz wird radiziert, indem man zunächst die Basis radiziert und anschliessend das 

Ergebnis potenziert. 

Liest man die Regel «von rechts nach links», so gilt: 

Eine Wurzel wird potenziert, indem man zunächst den Radikanden potenziert und anschliessend 

aus dem Ergebnis die Wurzel zieht. 

m 1 

m 

* 

n m 

n n n 

a n, m N und n 1 Beweis: a a a a 

m 

a a 0, 

n n 

 

Beim Radizieren einer Potenz kann man den Wurzelexponenten gegen den Potenzexponenten 

kürzen. 

Beispiele 

n 

a a 

bn bm m 

bm 

bn bm b Beweis: a a a a 

n 

n n 

Schreiben Sie als Potenzen mit rationalen Exponenten und vereinfachen Sie, falls möglich. 

1. 

2. 

3. 

4. 

4 8 

a ? 

6 9 

b ? 

1 

? 

a 

4 

3 2 

8 

? 

m 

m 

m 

m 

6


5. a a ? 

6. 

0.2 5 4 

a a ? 

7. 4 4 

8. 

3 

5 4 

a b a b a ? 

 

a : aaa ? 

 

4 7 

10 25 5 10 

7


7.7 Radizieren von Wurzeln 

Eine Wurzel wird radiziert, indem man die Wurzelexponenten multipliziert und mit dem 

neuen Exponenten die Wurzel zieht. 

n m nm n m Beweis: 

n 

 

1 

m 

 

 

1 

1 

n 

m 

1 

mn 

1 

n m nm 

 

a a 

Wurzelexponenten dürfen vertauscht werden. 

Beispiele 

m 

a a 

n m n 

Vereinfachen Sie so weit als möglich. 

1. 16 ? 

2. 

3. 

4. 

3 2 

64 ? 

4 3 

16 ? 

x x 

a 

? 

Beweis: siehe oben 

a a a a a a 

 

8


5. 

6. 

x x y y ? 

4 3 2 6 10 9 6 4 12 

3 

 

6 6 6 

a b a b 

6 2 4 

3 

a a b b a b 

7.8 Wurzeln im Überblick 

Definition Wurzel 

n 

a x a 

n x 

Allgemeiner Wurzelbegriff 

m 

n n 

m 

a a 

Rechenregeln: 

ab a b 

n n n 

n 

n 

a a 

 

n b b 

? 

* 

für a 0, 

n N und 

n1 für a , 

n 

* 

0 n, mN 

und 

n 

m 

n m n m n m 

b b 

a a a a 

m 

a a a 

n m n mn 

1 

9


7.9 Definitionsmenge D bei Wurzeln bestimmen 

Die Menge der erlaubten Einsetzungen für die Variablen eines Terms nennt man Definitionsmenge 

oder Definitionsbereich D des Terms. Bei Wurzelaufgaben mit einer Variablen 

unter der Wurzel existiert ein Definitionsbereich. Man darf hier also nicht jede beliebige 

Zahl einsetzen. In der Praxis geht man so vor, dass man sich den Ausdruck unter der Wurzel 

ansieht und dann die Zahlen berechnet, für welche der Ausdruck unter der Wurzel 0 oder 

grösser ist. Diese Zahlen sind dann zulässig, die restlichen nicht. 

Beispiele für die Bestimmung der Definitionsmenge D. 

n 

Allgemeiner Ansatz: Radikand a einer Wurzel 0 d. h. 

a a 0 

Wurzelausdruck Grundmenge G Radikand ≥ 0 Definitionsmenge D 

x 9 

G R 

x 0 

D x R x 0 

x 8 13 

 

5 x 4 

 

2a 3 1 

 

G R x 8 0 

G R 5 x 0 

G R 2a 3 0 

D x R x 8 

D xR x 5 

D a R a 3 2 

Darstellung durch Intervalle 

Zahlenbereiche von reellen Zahlen werden häufig auch als Intervalle angegeben. Mit einem 

«Intervall» meint man einen Abschnitt auf der Zahlenachse. Bei einem Intervall handelt es 

sich also um eine Teilmenge aus R. Es gibt endliche und unendliche Intervalle. Auch für Intervalle 

gibt es in der Mathematik spezielle Schreibweisen: 

Beispiele: 

 

x R x 0 [ 0 ; [ 

 

x R x 8 [ 8 ; [ 

 

x R x 5 ] 

; 5 ] 

 

a a 3 2 ; 

3 

R [ [ 

2 

Man schreibt also die kleinere Grenze links, die grössere rechts, getrennt durch ein Semikolon 

«;». Ist die Klammer auswärts gerichtet, so gehört die jeweilige Grenze nicht mehr zum 

angegebenen Bereich, ist die Klammer nach innen gerichtet, so gehört die jeweilige Grenze 

zum angegebenen Bereich. Bei (unendlich) ist die Klammer stets auswärts gerichtet. 

Zusätzliche Informationen 

http://www.mathe-lexikon.at/mengenlehre/intervalle.html 

10


7.10 Übungen, Frommenwiler 

Lösen Sie die folgenden Aufgaben: 

Nummer Seite Bemerkungen 

124 (a, b, f und i) 44 Radikand 0 

125 (a bis f) 44 

126 (e, h und k) 45 

128 (a, b, d, e, i, j und k) 45 

130 (b und e) 46 

131 (c und e) 46 

134 (a, c und f) 47 

135 (b, c, f und g) 47 

136 (a, b, c, d und f) 47 

137 (a, b, e und h) 48 

141 (alle) 51 Kontrolle Zahlen einsetzen 

143 (a, d, g und i) 51 

147 (a, f und g) 53 

148 (a, c, g, k und m) 54 

149 (d, f, g, h und j) 54 

150 (e, f, h, i und j) 54 

151 (a) 54 

152 (b, c, g und h) 55 

153 (c, e und f) 55 

154 (d, h und i) 55 

155 (g, i und j) 55 

156 a 56 

157 h 56 

158 (d, f und j) 56 

161 (e und f) 57 

162 (j und k) 57 

164 (b, f und h) 58 

165 (g, h und i) 58 

167 (a, b und c) 58 

168 (a, b, c und e) 59 

11


7.11 Übungen (Aufnahmeprüfungen von Fachhochschulen bzw. BM-Prüfungen) 

1. Das Ergebnis ist in Form einer Wurzel anzugeben. 

 

1 

3 

4 3 

1 

u s s 

E ? 

5 5 

1 

6 

 

12 

u 

3 

s u 

2 

2. Berechnen Sie ohne Rechner. Geben Sie die Lösung als gekürzten Bruch an. 

8 8 

17 1 1 

17 17 

? 

9 

1 25 

3. Berechnen Sie ohne Rechner. 

B 

12 27 

2 2 

76.5 67.5 

? 

12


ab 4. Berechnen Sie den Ausdruck: 

a b 

Stellen Sie die Ausrechnung ausführlich dar; geben Sie das Resultat, ohne 3 auszurechnen, 

in möglichst einfacher Form an. (Das Resultat kann 3 enthalten.) 

2 

a 

1 

2 3 

und 

2 

b 

1 

2 

3 

13


5. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck so weit wie möglich. 

b 

 

a 

ab 1 

a a 

: 2 2 

b 1 b 1 b b 

1 

? 

b 1 

14


6. Der folgende Ausdruck kann so umgeformt werden, dass keine Wurzel mehr auftritt. 

Führen Sie diese Umformung durch. 

 

a b 

 

4ab 

a b ? 

b a 

7. Der Ausdruck 

2 

4 2 

2 2 

497 993 

1989 1987 

2 2 

1987 1986 

ist auszurechnen. 

15


8. Vereinfachen Sie so weit wie möglich. 

2 

b 

6 

ab 

4 

b 

a 9 

3 3 4 a b 

6 

3 

27a 

2 

4 

5a 3 3 b 

 

3 

? 

16


9. Bestimmen Sie das Produkt. Schreiben Sie im Resultat anstelle von gebrochenen Expo- 

nenten Wurzelzeichen. 

2 1 

3 1 

 

3 6 

3 

 

x x x xx ? 

x 

10. Bringen Sie den folgenden Ausdruck in die Form a b . 

2 2 

1 

2 

p p p p 

25 25 

2424 

? 

50 

17



2 

2 

2 

2 

2 

2 

a a 

2a b b 2a ? 

b b 

 

18



4 2 2 4 4 2 2 4 

a a b a 2a b b 

? 

a b a 

4 4 4 


 

2a 1 

4 

 

3 

13 

4 

3 2 a b a a 

4 4 

3 3 3 3 

 

5 

ab a 

8 ? 7 

3 

 

 

3b 

 

19


7.12 Radizieren mit dem TI 

Beispiel 1 7 ? 

Beispiel 2 

Ergebnis: 7 oder 2.6458 je nach Einstellung Exakt/Näherung 

Hinweis: Der TI-89 hat nur eine Wurzeltaste für die Quadratwurzel 

(Tastenkombination ). Der TI-89 Titanium hat zusätzlich noch 

die Funktion Wurzel mit der auch die n-te Wurzel berechnet werden 

kann. Die Funktion Wurzel() ist über erreichbar. 

2 

b ? 

Ergebnis: b der Rechner berücksichtigt, dass b sowohl positiv, 

Beispiel 3 45 : 5 ? 

als auch negativ sein kann! 

Ergebnis: Der Rechner fasst zusammen zu 45:5 9 3 . 

20


Beispiel 4 

2 

36x 12x 1 ? 

Ergebnis: 6x 1 

Beispiel 5 2 

2 1 2 1 ? 

Beispiel 6 

der Rechner erkennt das Binom 2 

6x 1 

. 

Ergebnis: 2 2 2 der Rechner zeigt den Lösungsweg nicht an. 

3 3 

a ? 

Ergebnis: a 

Hinweis: n-te Wurzel funktioniert nur mit dem Titanium! 

Für den normalen TI-89 erfolgt die Eingabe gemäss der Regel: 

n 

1 

n 

3 

x x also z. B. 7 auf dem TI-89 7^(1 3) 

21

7 Radizieren

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