Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?

KoG •12–2008 G. Weiß, F.Gruber: Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie? 

Übersichtsartikel 

Angenommen am 15.10.2008. 

GUNTER WEIß 

FRANZ GRUBER 

Den Satz von THALES verallgemeinern 

- aber wie? 

Herrn Prof. Dr. Hellmuth Stachel zum 65. Geburtstag gewidmet. 

How to generalize Thales’ Theorem? 

ABSTRACT 

The classical theorem of Thales can be generalized – depending 

on someones interpretation – in several elemental 

or abstract ways. This paper tries to classify such generalizations 

without claim of completeness. We structured 

this work in a way that is suitable for educational purposes 

by emphasizing aspects of mathematical research. 

Beside more or less known facts, we present new insights 

and approaches to one of the most important theorems of 

geometry. 

Key words: Thales’ Theorem 3D, constrained motions, 

spatial kinematics, trihedron 

MSC 2000: 51M04 

1 Der klassische Satz von Thales 

Schlampig formuliert lautet er so: 

“Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter.” 

Formulierungen dieser Art überleben, ebenso wie “der Pythagoras”, 

die Vergessensjahre nach dem Ende der schulischen 

Ausbildung bis ins hohe Alter. Man sollte sich als 

Lehrer die Zeit nehmen, wissensunbelastete Schüler im Elternhaus 

nach dem Satz von Thales fragen zu lassen und 

die gesammelten Antworten inhaltlich statistisch auswerten! 

Anschließlich könnte man auf die Diskrepanz zwischen 

Gesagtem und Gemeintem hinweisen (vgl.Abb 1(a)) 

und so zur Schärfung des Sprachvermögens der Schüler 

beitragen. Übrigens kann man sich auch aus Spaß gleich an 

die Umkehrung des unscharf formulierten Thales-Satzes 

machen, die dann zu folgendem Statement Anlass gäbe 

(vgl.Abb. 1(b), [15]): 

“Jeder Rechte ist ein Winkel im Halbkreis! ” 

- was offensichtlich so nicht stimmt. 

Kako poopćiti Talesov teorem? 

SAŽETAK 

Klasičan Talesov teorem moguće je poopćiti – ovisno o 

interpretciji – na nekoliko elementarnih i apstraktnih načina. 

U ovom se radu pokušava, ne zahtijevajući potpunost, 

klasificirati te generalizacije. Svojom strukturom rad je prilagođen 

obrazovnim svrhama s naglasakom na matematičkom 

istraživanju. Uz više ili manje poznate činjenice, predstavljamo 

nove uvide i pristupe jednom od najznačajnijih 

teorema geometrije. 

Ključne riječi: Talesov 3D teorem, ograničeno gibanje, prostorna 

kinematika, trobrid 

(a) (b) 

Abbildung 1: Beispiel eines linken bzw. rechten Winkels im 

Halbkreis (a) und “Satz-Umkehrung” (b) 

Wie ist also der Satz zu formulieren, dass er dem (üblicher- 

weise richtig) Gemeinten, Abb.2, entspricht? 

(T1) “Sind A und B Durchmesser-Endpunkte eines Kreises 

k und ist S ein (von A und B verschiedener) Kreispunkt, 

so ist der Winkel ∠ASB ein rechter, sein Winkelmaß ∢ASB 

also π/2 oder 90°.” 

7


k 

A M 

B 

S ′ 

Abbildung 2: Der Satz von Thales mit Ergänzungen 

für einen Beweis 

Beweis etwa durch Punktspiegelung von S am Mittelpunkt 

M von k, (vgl. auch [19]): Das entstehende Viereck 

{ASBS ′ } besitzt gleich lange Diagonalen (Kreisdurchmesser) 

mit gleichem Halbierungspunkt. Es ist also ein Rechteck. 

Menschen denen “genau dann” - Formulierungen - noch 

oder schon wieder - fremd sind, werden aus dem obigen 

Beweis intuitiv bereits die Umkehrung des Satzes (T1) 

mitnehmen und keine Beweisnotwendigkeit mehr verspüren: 

S nicht auf k ⇒ Diagonalen von {ASBS ′ } ungleich 

lang, aber gemeinsame Mitte M, ⇒ kein Rechteck, sondern 

schiefes Paralellogramm. Eh klar! Und trotzdem muss 

man beim expliziten Formulieren der Umkehrung fast immer 

helfen: 

(T2) “Ist ΔASB ein rechtwinkeliges Dreieck mit Hypothenuse 

[A,B], so geht der Kreis mit Durchmesserstrecke 

[A,B] durch S.” 

Über die Limesfigur in der Grenzlage S → A oder S → B 

wird man bis zur 9.Schulstufe vielleicht noch nicht reden 

wollen und können. Ein Grund mehr, den Satz in der (gymnasialen) 

Oberstufe wieder hervor zu holen und an entsprechende 

Lehrplaninhalte (Vektorrechnung, Differentialrechnung) 

zu koppeln. 

Erarbeitet man mit Schülern den Satz von Thales, so werden 

bestimmt auch kinematische Formulierungen kommen: 

(T3) “Gleiten die Schenkel eines Rechtwinkelhakens durch 

zwei feste Punkte A und B, so durchläuft der Scheitel S 

einen (Halb-) Kreis k über dem Durchmesser [A,B]” 

Der so erklärte “Thales-Zwangslauf” ist die Umkehrung 

einer Ellipsenbewegung, wie sie bekanntlich durch einen 

klassischen Ellipsenzirkel repräsentiert wird. 

(T4) “Gleitet der Scheitel S eines Rechtwinkelhakens entlang 

eines Kreises k und ein Winkelschenkel durch einen 

8 

S 

festen Punkt A von k, so umhüllt der zweite Winkelschenkel 

den A gegenüberliegenden Punkt B (Gegenpunkt) von k.” 

Diese Formulierungen werden zum Ausgangspunkt für 

sehr unterschiedliche Verallgemeinerungen, von denen einige 

den Schulstoff weit hinter sich lassen. Dies gilt im 

gleichen Maße auch für die folgende Version des Thales - 

Satzes: 

(T5) “Fällt man auf die Geraden a eines Büschels mit 

Scheitel A aus einem Punkt B �= A die Normalen b, so erfüllen 

die Schnittpunkte S zugeordneter Geraden a und b 

einen Kreis k mit Durchmesser [A,B].” 

Bei dieser Auffassung sind die Sonderlagen S = A und 

S = B in natürlicher Weise miterfasst. Inhaltlich mit (T5) 

ident, aber in eine andere Verallgemeinerungsrichtung führend, 

ist folgende Formulierung: 

(T6) “Die Fußpunktkurve eines Geradenbüschels {a | A ∈ 

a ⊂ π; A,π fest} für einen festen Punkt B ∈ π,(B �= A), als 

Pol ist ein Kreis k, der Thaleskreis über [A,B].” 

2 Grundidee der Verallgemeinerung des 

Satzes von Thales 

Die klassische, ebene Figur besteht aus Punkten A,B, einem 

Kreis oder Halbkreis k mit den Gegenpunkten A,B 

und dem Winkelscheitel S mit den Schenkeln SA und SB, 

die zu einander normal sind. Wir werden daher (T1) in verschiedene, 

zum Teil völlig unabhängige Richtungen verallgemeinern 

können. 

Verzichtet man auf Rechtwinkeligkeit der Winkelschenkel 

unter Beibehaltung der übrigen Elemente, gelangt man zur 

bekannten Ausssage des “Peripheriewinkelsatzes”. Wir 

werden diesen Verallgemeinerungsstrang hier nicht weiter 

verfolgen. 

3 Sphärische Version des Satzes von Thales 

Es ist nahe liegend, zunächst das Wort klassisch, das i.w. 

euklidisch meint, durch “nicht-euklidisch” zu ersetzen. 

Auch diesen Verallgemeinerungsstrang werden wir hier 

nicht im Detail verfolgen, sondern nur den der elementaren 

Anschauung zugänglichen sphärischen Fall untersuchen, 

der ja die elliptische ebene Geometrie repräsentiert. 

Es ist dabei zunächst zweckmäßig, von (T5) auszugehen 

und sinngemäß die geradlinigen Winkelschenkel zu Großkreisbogen 

abzuändern.


(a) Auf- Grundriss 

X 

X 

αX 

k 

B 

B 

M 

b 

A 

a 

βX 

(b) Axonometrie 

Abbildung 3: Konstruktion der Scheitel-Ortslinie für den sphärischen Satz von Thales 

Zur sphärischen Konstruktion der Ortslinie des Scheitels S 

werden die Angabeelemente A und B aus dem Kugelmittelpunkt 

M auf die Tangentialebene π in A projiziert. Das 

Orthogonalstehen der Winkelschenkelbogen a und b durch 

A bzw. B reproduziert sich dabei in orthogonalen Ebenen 

um MA und MB, deren Spuren in π gleichfalls rechtwinkelig 

sind und demnach dort einen gewöhnlichen Thaleskreis 

k ′ erzeugen. M verbunden mit k ′ ist also ein “orthogonaler 

(Kreis-) Kegel” Γ, denn seine Kreisschnittebene π ist 

normal zu einer seiner Erzeugenden, nämlich zu MA. Die 

gesuchte Ortslinie k ist demnach (ein Ast der) Schnittkurve 

dieses orthogonalen Kegels Γ mit der Kugel und somit 

eine Kurve 4. Ordnung, ein “sphärischer Kegelschnitt” 

(Abb.3). 

Der Kegel Γ := M ∨ k ′ erfüllt die Gleichung 

x 2 + y 2 − tan(2α)yz = 0 (1) 

Wir verwenden dabei M als Ursprung, MA als z-Achse 

und MAB als yz-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems 

mit MA = 1 und α messe den halben Winkel ∢AMB. 

Hieraus folgt, dass der Aufriss k ′′ der gesuchten Thales- 

Kurve k auf einer Hyperbel h mit Mitte M liegt, deren 

Asymptoten durch die Normalen zu MA bzw. MB repräsentiert 

sind. Die halbe Hauptachsenlänge von h ist dabei 

1 2 sin(2α), sodass sich für den halben Nebenachsenbogen 

β von k die Länge 

sinβ = tanα bzw. β = arcsin(tanα) (2) 

ergibt (Abb.4(a)). Man beachte, dass stets α < β gilt und 

dass ein klassisch “elliptisches” Erscheinungsbild von k 

nur für 2α < 90°auftritt. Für α = 90° zerfällt k in zwei 

Kreisbögen in Ebenen normal zur Symmetrieebene MAB. 

Für 2α > 90° ist einer der Punkte A oder B durch seinen 

Gegenpunkt zu ersetzen (Abb.5). 

(a) sinβ = tanα (b) Sphärische Kegelschnitte 

Abbildung 4: Illustrationen zu (ST1) 

(ST1) Sphärischer Thales-Satz: Der Ort der Scheitel sphärischer 

rechter Winkel, deren Schenkelbogen durch zwei 

Kugelpunkte A und B (B nicht Gegenpunkt von A) gehen, 

ist ein sphärischer Kegelschnitt mit dem Achsbogen [A,B]. 

Hat [A,B] die sphärische Länge 2α, so ist die zweite Achse 

von der Länge 2β = 2arcsin(tanα). Würde man von der 

kinematischen Auffasssung (T4) ausgehen, so ist auch folgende 

Idee ganz natürlich und auf die Kugel verallgemeinerbar: 

(T4’) Gleitet in der euklidischen Ebene ein Rechtwinkelhaken 

(S,a,b) mit seinem Scheitel S längs eines Kreises k, 

während sein Schenkel a durch einen festen Punkt A gleitet, 

so umhüllt der Schenkel b i.A. eine Kurve 2. Ordnung 

kb (Kegelschnitt), die “Anti-Fußpunktkurve” von k bezüglich 

des Pols A. Diese Kurve degeneriert in einen Punkt B 

genau für A aus k. 

9


Abbildung 5: Sphärischer Satz von Thales 2α ≶ 90° 

Diese elementare Verallgemeinerung des Thales-Satzes 

(vgl.Abb.6) ist mit Mitteln der analytischen Geometrie 

oder der ebenen Kinematik explizit zu erfassen. 

Die sphärische Version dieses Satzes ist vom Rechen- und 

Beweisaufwand schwieriger. Auch hier das Ergebnis natürlich 

eine Anti-Fusspunktkurve. Das Hüllgebilde von b 

wird wegen (ST1) i.A. sicher nicht kreisförmig oder gar 

punktförmig ausfallen können! (Im Sonderfall, dass A Mittelpunkt 

von k ist, stimmt kb mit k überein, ist also doch 

kreisförmig.) 

4 Räumlich elementare Verallgemeinerungen 

des Satzes von Thales 

Ersetzt man bei den Grundbegriffen das Wort “eben” durch 

“räumlich” und behält alle übrigen Elemente bei, so ergibt 

die Drehung um die Durchmessergerade AB von k als 

Scheitelort von rechten Winkeln eine Kugel: 

(T1’) Sind A,B Durchmesserendpunkte einer Kugel K 2 und 

ist S ein von A und B verschiedener Kugelpunkt, so ist 

10 

(a) A liegt auf k (b) A innerhalb von k 

(c) A ausserhalb von k 

Abbildung 6: Antifusspunktkurven / Illustrationen zu Satz 

(T4’) 

∠ASB ein rechter Winkel. Umgekehrt, ist ΔAPB ein rechtwinkeliges 

Dreieck, dann gehört P der Kugel K 2 an. 

Es ist naheliegend dass die Aussage auch für die Hyperkugel 

K d−1 im d-dimenionalen euklidischen Raum (d � 2) 

gelten muss, wobei d = 2 verwendete Beweisidee unmittelbar 

brauchbar bleibt. 

Die Erweiterung des Schauplatzes auf (euklidische) Räume 

E n höherer Dimension n erlaubt auch die dimensionsmäßige 

Verallgemeinerung der am Satz von Thales beteiligten 

Elemente: Es können statt Punkten A,B Unterräume 

A k bzw.B l verwendet werden und statt der Winkelschenkel 

a und b orthogonale und gemeinsam ganz E n aufspannende 

Unterräume α k+i , β l+ j durch A k bzw.B l . Der Schnittort 

zugeordneter “Schenkel-Räume” ist dann i.A. eine orthogonale 

Hyperquadrik oder ein orthogonaler Kegel, ein Rotationszylinder 

oder eine Hyperkugel. Für n = 3 sind die 

interessanten unter den möglichen Fällen in den folgenden 

Figuren (Abb.7) dargestellt. Wir wollen Ergebnisse höherdimensionaler 

Verallgemeinerungen im Folgenden mit 

(nD-Ti) kennzeichnen. Somit sind Aussagen, die das Erzeugnis 

orthogonaler Unterraumbündel mit der Bezeichnung 

(nD-T5) zusammenzufassen.


A 

B 

β 

α 

β 

A 

B 

α 

B 

α β 

Abbildung 7: Die Fälle (3D-T5): Durch orthogonale Unterraumbüschel oder Unterraumbündel erzeugten 

Thales-Quadriken des E 3 

Bemerkung: Der orthogonale Kegel als Erzeugnis orthogonal 

gekoppelter Ebenenbüschel mit scheidenden Achsen 

kommt bereits in 3 und Abb. 3 vor. Orthogonale Hyperboloide 

und Kegel, sowie Drehzylinder treten als “gefährliche 

Flächen der Fotogrammetrie” auf: Stammen die in 

zwei Fotos eines Objektes erkennbaren mindestens 7 Bildpaare 

von Raumpunkten, die einer gefährlichen Fläche angehören, 

so ist die Rekonstruktion des (euklidisch ausgemessenen) 

Objektes nicht möglich, vgl. [8] und [16]. 

5 Der rechte Winkel als zerfallende Kurve 2. 

Ordnung 

Ein Paar normaler Geraden a,b in der euklidischen Ebene 

p kann als “ausgeartete ” gleichseitige Hyperbel aufgefasst 

werden und ist Asymptotenpaar eines Büschels homothetisch 

liegender gleichseitiger Hyperbeln. Dabei ergeben 

sich zwei Fragen: 

(1) Was hüllt jede der homothetisch gelegenen Hyperbeln 

h bei der Thales-Bewegung (T3) ein? 

(2) Welchen Zwanglauf bestimmt eine durch zwei feste 

Punkte A,B gleitende gleichseitige Hyperbel? Die beiden 

Fragestellungen werden hier nur durch zwei Figuren visualisiert 

(Abb. 9(a) und 9(b)), eine analytische Behandlung, 

die Zusammenhänge mit der Ellipsenbewegung offenbart, 

unterbleibt hier jedoch. 

6 Die Punkte A und B als singuläre Kurve 2. 

Klasse; orthoptische Linien 

Aus den Punkten des Thales-Kreises k sieht man die Strecke 

[A,B] unter festem (rechten) Winkel, k ist also eine 

spezielle isoptische Linie für diese Strecke. Fasst man nun 

A 

das Punktepaar (A,B) als singuläre Kurve 2.Klasse auf, 

die z.B. in eine konfokale Schar von Ellipsen eingebettet 

gedacht werden kann, so ist die Frage nahe liegend, welche 

isoptischen Linien bei Kegelschnitten auftreten, wenn wir 

als Sichtwinkel stets einen rechten Winkel fordern. (Solche 

α = 90°- isoptische Linien werden üblicherweise “orthopische 

Linien” genannt. Für die Begriffsbildung “isoptisch” 

und “orthoptisch” vgl. [17] und [18].) Es zeigt sich – und 

dies ist ein altbekanntes Ergebnis –, dass die orthoptischen 

Linien von Mittelpunktskegelschnitten Kreise sind; für Parabeln 

ergibt sich deren Leitgerade als orthopische Linie, 

vgl. Abb. 10. 

Natürlich kann man die Punkte A,B für sich und unabhängig 

voneinander zu Kurven verallgemeinern und auf diesen 

Kurven a und b einen Rechtwinkelhaken “reiten” lassen. 

Der Scheitel S dieses Hakens durchläuft dabei die orthoptische 

Linie des Kurvenpaares (a,b). Bleibt A ein Punkt, 

so entsteht die Fußpunktskurve von b bezüglich A als Pol. 

Abb. 8 zeigt Spezialfälle, wenn a und b kreis- oder punktförmig 

angenommen sind. 

Abbildung 8: Orthoptische Linie eines Kreispaares und 

allgem. Fusspunktkurve eines Kreises. 

B 

β 

α 

A 

11


(a) Hüllgebilde einer mit (S,a,b) homothetischen Hyperbel h beim Thales-Zwanglauf (T3) (b) Bahn(en) des Mittelpunktes und verschiedener allgemeiner 

Punkte Pi beim Zwanglauf einer durch zwei Punkte 

gleitenden gleichseitigen Hyperbel 

12 

a 

Abbildung 9: Der rechte Winkel aufgefasst als Asymptoten gleichseitiger Hyperbeln 

S 

b 

a 

S 

Abbildung 10: Orthoptische Linie einer Ellipse, einer Parabel und einer Hyperbel 

b 

a 

S 

b


7 Höherdimensionale Analoga der Rechtwinkeligkeit 

Wir suchen nach “vernünftigen” Verallgemeinerungen eines 

rechten Winkels bzw. eines Winkels vom Maß π/2 , 

(also einem Viertel des Vollkreisumfanges). Einem rechten 

Winkel höherdimensional analog ist ein n-Bein aus 

paarweise orthogonalen (Halb-)-Geraden. Dagegen könnte 

man (im Fall der Dimension 3), jedes Dreikant mit (sphärischem) 

Eckenwinkelmaß π/2 als Analogon eines ebenen 

Winkels vom Maß π/2 auffassen. Es gibt also im E 3 bis 

auf Bewegungen eine zweiparametrige Menge solcher π/2 

- Dreikante. 

Einen anderen Verallgemeinerungsweg betreten wir, wenn 

wir im Sinne von 4. {a,b} als niedrigstdimensionalen Fall 

eines quadratischen Kegels Γ auffassen. Um ihn mit der 

Orthogonalität zu verbinden, möge man sich der “Spur- 

0-Kegel” erinnern. Das sind elliptische Kegel mit einer 

Gleichung in projektiven Koordinaten derart, dass die zugehörige 

symmetrische Bilinearform auf eine (singuläre) 

symmetrische (4x4)-Matrix mit der Hauptdiagonalglieder- 

Summe 0, also der Spur 0 führt. Die kennzeichnende geometrische 

Eigenschaft dieser Kegel ist die, dass auf ihnen 

eine stetige Schar orthogonaler Dreibeine aus Kegelerzeugenden 

existiert (vgl. [12], [6]). Ein orthogonales Dreibein 

aus Erzeugenden lässt sich also längs Γ herum bewegen. 

Ein triviales Beispiel eines solchen Kegels ist der die Kanten 

einer Würfelecke enthaltende Drehkegel. Hat der Basiskreis 

eines solchen Drehkegels den Radius 1, so ist seine 

Höhe 1/ √ 2. 

Bemerkung: Für höhere Dimension d ergibt sich eine Höhe 

von 1/ √ d − 1 über der Mitte der Leitsphäre K d−2 vom Radius 

1, wie man unter Zuhilfenahme der Maßverhältnisse 

beim Hyperwürfel unschwer ableitet. Sinngemäß müssen 

wir nun auch das Punktepaar A,B als niedrigstdimensionalen 

Kreis auffassen, der nun “Leitkreis” für einen Spur- 

0-Kegel zu sein hat. Es ergibt sich folgender verallgemeinernder 

Sachverhalt: 

(3D-T1) Die durch einen Kreis k legbaren Spur-0-Kegel 

haben Spitzen, die einem abgeplatteten Drehellipsoid mit 

dem Achsenverhältnis √ 2 : 1 angehören, welches k zum 

Äquatorkreis hat. 

Denkt man sich Γ durch ein konkret gegebenes orthogonales 

Dreibein erzeugt, so ergibt sich folgende Formulierung, 

vgl. Abb. 11, sowie [2] und [10]: 

Abbildung 11: Dreiparam. Beweglichkeit eines orthogonalen 

Dreibeins längs eines festen Kreises k: 

Drehellipsoid als zweidimensionaler Scheitelort 

S plus einparam. Bewegung längs orthogonalem 

Kegel Γ = S ∨ k. 

(3D-T3) Treffen die Schenkel eines orthogonalen Dreibeins 

stets einen Kreis k, so erfüllen die Scheitel S der so 

erklärten 3-parametrigen (!) Menge von Dreibeinen eine 

Fläche, nämlich ein abgeplattetes Drehellipsoid mit dem 

Achsenverhältnis √ 2 : 1, welches k zum Äquatorkreis hat. 

Diese Aussage ist zunächst unerwartet, bestimmt der beschriebene 

Zwanglauf doch eine dreiparametrige Dreibeinmenge. 

Erstaunlicherweise lässt sich der Beweis mit Mitteln 

der Elementargeometrie führen, wobei Eigenschaften 

der Euler-Geraden und der Satz vom Normalriss eines 

Rechten Winkels zur Anwendung kommen. 

Der folgende, von [2] in Details abweichende elementargeometrische 

Beweis gliedert sich in drei Schritte: 

a) die Festlegung eines Treffpunktedreiecks des Dreibeins 

{S;a,b,c} mit k zu (in der Kreisebene) gewähltem Grundriss 

S ′ des Scheitels S und gewähltem Punkt C ∈ k des Dreibeinschenkels 

c, 

b) die Bestimmung der einparametrigen Menge von Treffpunktedreiecken 

zu festem Scheitelgrundriss S ′ , die wegen 

(3D-T1) erwartungsgemäß den selben Scheitel S haben; 

wobei also zu zeigen ist, dass bei verschiedener Wahl von 

C die zugehörigen Scheitel S die selbe Höhe über der Kreisebene 

haben, und 

c) gezeigt werden muss, dass der sicher drehsymmetrische 

Ort der Scheitel S eine Meridianellipse der in (3D-T3) behaupteten 

Gestalt hat. 

Zu a): Bezeichnen A,B,C die Treffpunkte der Schenkel 

des Ortho-3-Beins, so ergibt sich nach dem “Satz vom 

Rechtwinkelbild”, nach dem sich jede Ebenennormale im 

Normalriss orthogonal zur Ebenenspur abbildet, dass der 

Grundriss S ′ des Scheitels S stets in den Höhenschnittpunkt 

von ΔABC fällt. Vom Dreieck ΔABC kennt man also einerseits 

den Umkreis samt Mittelpunkt M und den Höhenschnittpunkt 

S ′ , somit die Euler-Gerade e und den Schwerpunkt 

G ∈ e mit MG = 2GS ′ . Zu beliebig, aber nicht auf e 

gewählter Ecke C ∈ k ist somit CS ′ = hc eine Dreieckshöhe, 

13


zu der die durch M gehende Mittelsenkrechte mc der Seite 

c := [A,B] parallel sein muss; CG =: sc ist eine Schwerlinie. 

Sie trifft mc im Seitenmittelpunkt C ∗ von c und c ist 

damit als Normale zu mc durch C ∗ festgelegt. Die Seitengerade 

c trifft k in den gesuchten Treffpunkten A und B, 

vgl. Abb. 12 (links). 

k 

A 

k 

A 

e 

C 

M 

sc 

C 

c 

mc 

c 

C 

hc 

G 

Abbildung 12: Skizzen zum Beweis a) und b) 

Zu b): Um die Höhe von S über der Ebene π von k zu bestimmen, 

verwenden wir CS ′ S als Seitenriss-Ebene. (Den 

in dieser Ebene liegenden Höhenfußpunkt c ∩ hc bezeichnen 

wir mit Fc.) In diesem Seitenriss erscheint das sicher 

rechtwinkelige Dreieck ΔCSFc unverzerrt und wir lesen 

nach dem Höhensatz für rechtwinkelige Dreiecke ab: 

S ′ S 2 = S ′ C · S ′ Fc. (3) 

Nun schneidet hc den Umkreis k von ΔABC noch in einem 

Punkt Ck, für den bekanntlich gilt: 

FcS ′ = FcCk, (4) 

sodass damit folgt: 

S ′ S 2 = 1 

2 S′ C · S ′ Ck. (5) 

Der Sehnensatz für (k,S ′ ) besagt nun aber, dass 

S ′ C · S ′ Ck = const. (6) 

für jede Wahl von C auf k ist. Demnach muss auch S ′ S 2 

einen von C unabhängigen festen Wert haben, vgl. Abb. 12 

(rechts). 

14 

C ∗ 

S ′ 

S ′ 

Fc 

Fc 

Ck 

z 

B 

B 

Ck 

S ′′′ 

Zu c): Für den Nachweis, dass der wegen b) nur zweidimensionale 

Scheitelort ein abgeplattetes Drehellipsoid 

Φ ist, verfolgen wir einen Meridian m von Φ, indem 

wir von fest gewähltem C auf k ausgehen und S ′ auf 

der Verbindungslinie CM wählen. Damit muss ΔABC ein 

gleichschenkliges Dreieck sein. Zu jeder Wahl der Basisseite 

c normal hc = e = CM gehört ein rechtwinkliggleichschenkliges 

Dreieck ΔASB, sodass SFc = 1 

2AB sein 

muss, (Fc bezeichnet wieder den Höhenfußpunkt von hc 

auf c). Andererseits liegt S auf dem Thaleskreis über [CFc], 

da auch das Dreieck ΔCSFc rechtwinklig ist, vgl. Abb.13. 

k 

S ′′′ 

b ′ 

C M S ′ Fc 

α/2 

α 

z 

B 

A 

a ′ 

c ′ = e 

Abbildung 13: Skizze zum Beweis c) 

Mit α := ∢AMFc besitzt es die Kathetenlängen 

SFc = sinα und SC = cos α 

(1+cosα), (7) 

2 

wobei wir für den Radius von k o.B.d.A. den Wert 1 verwenden. 

Für den Normalriss S ′ ∈ CM ergibt sich demnach 

in Abhängigkeit von α 

r(α) = MS ′ = 1 − cos 

2 α 

und die Höhe z von S berechnet sich zu 

z(α) = S ′ S = sin α 

2 

(1+cosα), (8) 

2 

α 

cos (1+cosα), (9) 

2 

sodass (r(α),z(α)) die Ellipsengleichung 

r 2 

1 

+ z2 

1 

2 

erfüllt. 

= 1 (10) 

Bemerkung: Obschon der Sachverhalt (3D-T3) durch die 

Aussagen zu (3D-T1) mit erledigt ist, scheint der elementargeometrische 

Beweis von Interesse zu sein, sind doch 

die benützten Werkzeuge im Schulstoff angesiedelt, also 

‘Folklore’. Er kann daher von jedem an Mathematik interessierten 

Laien leicht nachvollzogen werden. Der angegebene 

Beweis “rechtfertigt” auch die Tradierung elementargeometrischer 

Sätze als ein seltenes Beispiel für die Verwendung 

der Euler-Geraden als Beweishilfsmittel! 

�


8 Umstülpung des Würfels nach P. Schatz 

In [9] findet sich auf Seite 37 im Zusammenhang mit der 

Umstülpung des Würfels (siehe Abb. 14) die Formulierung 

“Es erfolgt übrigens die Bezeichnung des umstülpbaren 

Würfels als “rechtwinkliges Sechsflach” in Anbetracht sei- 

nes Verhältnisses zur Umkugel, dem im Zweidimensiona- 

len das Verhältnis des rechtwinkligen Dreiecks zum Kreis 

entspricht.” 

Abbildung 14: Vom Würfel abgeleitete umstülpbare Tetraederkette 

von P. Schatz (vgl. auch [20]). 

Man könnte also meinen, auch hier eine räumliche Ver- 

allgemeinerung des Satzes von Thales vorzufinden. Der 

Umstülpvorgang ändert aber den Radius der Umkugel des 

Sechsflachs. Dennoch lässt sich eine Thales-Bewegung extrahieren, 

wenn man den Bewegungsvorgang eines der Te- 

traeder der sechsgliedrigen Schatzschen Kette von Abb. 14 

für sich studiert. Dabei wird das Tetraeder auf die drei aufeinander 

folgenden Rechtwinkelhaken reduziert, die mit 

den Schenkeln a,b durch feste Punkte A,B gleiten sollen 

(Abb. 15). Wir fragen nach der Menge von Geraden, die die 

Gemeinnormale c der zueinander normalen Geraden a und 

b durchläuft. Diese Geradenmenge besteht aus Drehreguli 

(also einer Erzeugendenschar von Drehhyperboloiden) mit 

der gemeinsamen Achse AB. Andererseits ist auch ein Be- 

wegungsvorgang denkbar, der c nur parallel verschiebt und 

einen Thales-Zylinder erzeugt. Damit berühren alle mög- 

lichen Geraden c eine mit der Thales-Kugel über AB konzentrische 

Kugel und schließen mit AB konstanten Win- 

kel ein. Die Menge c ist also eine Geradenkongruenz, die 

als Schnitt eines Kugeltangentenkomplexes und des Treffgeradenkomplexes 

eines Fernkreises entsteht. (Für diese 

der Liniengeometrie entstammende Begriffswelt siehe z.B 

[7].) 

Abbildung 15: Räumlicher Rechtwinkelhaken aRcSb dessen 

Schenkel a und b durch die festen 

Punkte A und B gleiten. 

9 Weitere Analoga zum Satz von Thales 

Von den bisherigen Verallgemeinerungen ausgehend lassen 

sich weitere Verallgemeinerungslinien eröffnen. Zum 

Beispiel erlaubt der Begriff der Fußpunktskurve nahe 

liegende räumliche Verallgemeinerungen im Sinne eines 

Thales-Satzes, wenn man nur die Schenkel a,b 

des ursprünglichen Rechtwinkelhakens durch zwei totalorthogonale 

Unterräume ersetzt, die ihrerseits zwei Steuerflächen 

oder -kurven berühren oder durch Punkte A,B 

hindurchgehen. Der Fall der durch orthogonale Geradenund 

Ebenenbündel erzeugten Thales-Kugel von Abb. 7 gehört 

beispielsweise hierher. 

Es ist unmittelbar einsichtig, dass das ebene Problem orthoptischer 

Kurven, wie es in Kapitel 6 behandelt wurde, auf 

zwei Arten in den Raum zu übertragen ist: 

(3D-T3a) Gesucht ist der Ort der Scheitel eines orthogonalen 

Dreibeins, dessen Schenkel drei Steuerflächen berühren, 

wobei die Steuerflächen zusammenfallen oder auch zu 

Kurven oder Punkten ausarten können. 

(3D-T3b) Gesucht ist der Scheitel eines orthogonalen 

Dreiflachs, dessen Ebenen drei Steuerflächen berühren, 

wobei die Steuerflächen zusammenfallen oder auch zu 

Kurven oder Punkten ausarten können. 

(3D-T3a) soll durch das folgende Beispiel illustriert werden: 

Gesucht ist der Ort der Scheitel S orthogonaler Dreibeine 

(S,a,b,c), deren Schenkel drei nicht notwendig 

windschiefe Steuergeraden p,q,r treffen. Jeder nicht durch 

eine Steuergerade gehende ebene Schnitt der drei Steuergeraden 

gibt Anlass zu einem Treffpunktedreieck ΔABC. 

Damit dieses das Spurpunktedreieck eines orthogonalen 

Dreibeins sein kann, muss es notwendig spitzwinklig ausfallen. 

Der Grenzfall rechtwinkliger Spurendreiecke sei 

zugelassen. Die Schnittebenen-Normale durch den Höhenschnittpunkt 

von ΔABC trägt dann zwei zur Schnittebene 

15


symmetrisch liegende Punkte S. Dieses Punktepaar ergibt 

sich auch als Schnittpunktepaar der Thales-Kugeln über 

den Dreiecksseiten [A,B],[B,C],[C,A], vgl. Abb. 16. 

Abbildung 16: Scheitel S eines orthogonalen Dreibeins, 

dessen Schenkel drei Leitgeraden p,q,r 

treffen. 

Da die Menge der Schnittebenen dreidimensional ist, haben 

wir von einer dreiparametrigen Menge von Dreibeinen 

auszugehen. Wir überlegen, dass zu jeder Lösung S 

eine dreidimensionale Umgebung von Lösungen S existiert. 

Dazu beschreiten wir einen anderen, etwas aufwändigeren 

Lösungsweg: Wir gehen von einem zunächst beliebig 

(nicht auf den Leitgeraden) gewählten Raumpunkt S 

als Auge einer Zentralprojektion auf eine (beliebig gewählte) 

Bildebene π aus. Dann ist den Zentralrissen p c ,q c ,r c 

ein Dreieck ΔABC so einzuschreiben, dass der Hauptpunkt 

der Perspektive dessen Höhenschnittpunkt ist. Unter der 

(i.A.) einparametrigen Menge dieser Dreiecke finden sich 

zwei (im algebraischen Sinn) so, dass sich die Thales- Kugeln 

über den Seiten im Augpunkt schneiden. Die Beweglichkeit 

eines (nicht orthogonalen) Dreikants entlang dreier 

Geraden findet sich auch bei der von H. Stachel entdeckten 

Bewegungen, die die beiden Tetraeder einer Stella Octangula 

gegeneinander trotz Übergeschlossenheit des kinematischen 

Systems ausführen können, vgl. [13] und [14]. 

Mit diesem in Abb. 16 visualisierten Beispiel hat man in 

gewisser Weise auch einen “Satz von Thales im Linien- 

A 

C 

k 

I 

S 

B 

H A 

raum” behandelt. Auf die Untersuchung weiterer, liniengeometrisch 

motivierter Verallgemeinerungen des Satzes 

von Thales wird hier verzichtet. 

Zur Illustration von (3D-T3b) gehen wir vom Spezialfall 

eines einzigen Kreises k als der (dreifachen) Steuerkurve 

aus und bestimmen die orthogonalen Dreiflache, deren 

Ebenen k berühren. In gewisser Weise dual zur Aufgabe 

(3D-T3) gehen wir also von einem spitzwinkligen Tangentendreieck 

von k aus, bestimmen dessen Höhenschnittpunkt 

H und schneiden die Thales-Kugeln über den Dreiecksseiten, 

um das zum Tangentendreieck gehörige Paar 

von Scheiteln S möglicher Dreiflache zu gewinnen, vgl. 

Abb. 17. 

In Abb. 17 wurde von einem (spitzwinkligen) gleichschenkligen 

Tangentendreieck ΔABC ausgegangen, dessen 

Symmetrieachse die Seite [B,C] im Berührpunkt D mit k 

trifft. Ist I der Mittelpunkt von k und α bzw. γ der Innenwinkel 

von ΔABC in A bzw. C und bezeichnet H den Höhenschnittpunkt 

von ΔABC, so gilt 

DC =: p = cot γ 

> 1 (im Grenzfall p=1), 

2 

AI =: q = 1 

cosγ = p2 + 1 

p 2 − 1 

DH =: r = p·cotγ = 1 

2 (p2 −1),IH = 1−r= 1 

2 (3− p2 )=: y 

Hieraus folgt für die z-Kote des Scheitels S des Dreiflaches 

nach dem Höhensatz die Beziehung 

z 2 = (q+y)r = (q+y)(1 − y) = q+y+qy − y 2 , 

sodass schließlich z und y die Gleichung 

y 2 + z 2 = q+y−qy = 2 p2 − 1 

p2 = 2 (p > 1) 

− 1 

erfüllen. 

Abbildung 17: Der Scheitelort der einen Kreis k berührenden orthogonalen Dreiflache ist eine mit k konzentrische Kugel. 

16 

α 

k 

γ 

I 

H 

γ 

2 

γ 

C 

D 

B


Wir haben noch zu zeigen, dass alle Tangentendreiecke 

{A,B,C} die den selben Höhenschnittpunkt H haben, zum 

selben z-Wert von S führen. Die Menge dieser Tangentedreiecke 

sind sämtlich einer festen Ellipse e ein- und dem 

Kreis k umbeschrieben. (e und k bilden eine Angabe eines 

von J-V. Poncelet stammenden poristischen Problems 

der ebenen projektiven Geometrie, bei dem entweder keine 

oder unendlich viele Lösungen auftreten, vgl. [3] und 

Abb.18) Die Ellipse e ist dabei durch zwei solche Dreiecke 

bestimmt. Wir übergehen die diesbezüglichen Rechnungen. 

Abbildung 18: Dem Kreis k umschriebene Dreiecke 

mit gemeinsamem Höhenschnittpunkt H 

sind einer festen Ellipse e einbeschrieben. 

Somit gilt der Satz 

(3D-T3b) Berühren die Ebenen eines orthogonalen Dreiflachs 

einen Kreis k vom Radius 1, so gehört der Scheitel 

des Dreiflachs einer mit k konzentrischen Kugel vom Radius 

√ 2 an. 

Für diese Aussage haben die Autoren keinen Hinweis in 

der Literatur gefunden. Sie lässt eine (nD-T3) analoge 

Dimensionsverallgemeinerung zu, die auf eine Thales- 

Hyperkugel vom Radius √ n − 1 führt. 

Mit (3D-T3b) ist abschließend ein sehr natürlicher Verallgemeinerungsstrang 

des Satzes von Thales gefunden, der 

aus den Formulierungen des ursprünglichen Thales-Satzes 

im Sinne von Kapitel 4 folgt: 

(T7) “Fasst man das Punktepaar A,B als ausgearteten 

Klassenkegelschnitt (also als Tangentenmenge) auf, so liegen 

die Schnittpunkte S orthogonaler Tangenten auf einem 

Kreis, dem Thales-Kreis über [A,B].” 

(3D-T7) Fasst man einen Kreis k als ausgeartete Klassenquadrik 

(also als Tangentialebenenmenge) auf, so liegen 

die Schnittpunkte S orthogonaler Tangentialebenentripel 

auf einer mit k konzentrischen Kugel vom √ 2-fachen des 

Kreisradius. 

Herrn M. Hamann verdanken die Autoren den Hinweis, 

dass dieser Verallgemeinerungsstrang auch die Verbin- 

dung zu “dualen Holditch-Sätzen im Dreidimensionalen” 

im Sinne von [1] knüpft. 

10 Schlussbemerkung 

Wir haben einige Wege aufgezeigt, wie der Satz von Thales 

in allgemeinere Fragestellungen als Spezialfall eingebettet 

werden könnte. Obwohl dabei Vieles nur grob angerissen 

wurde, so wird hoffentlich dennoch zumindest die Reichhaltigkeit 

dieser möglichen Verallgemeinerungen sichtbar 

und sollte zu eigenständigem forschenden Tun anregen. 

Darüber hinaus sollten Prinzipien mathematischer Überlegung 

exemplarisch vorgestellt werden: Das Einordnen 

eines Sachverhaltes in ein allgemeines Schema einerseits 

und das Bilden von Analogien andererseits. Beide Prinzipien 

erfordern zwar eine gewisse Breite an mathematischgeometrischer 

Grundbildung, bei in der Schule nicht gehemmter 

natürlicher Neugier der Schüler wird der Erwerb 

dieser Bildung aber zu keiner Zeit als Last empfunden. 

Für diese Bildungsaufgabe mag der vorliegende 

Text in Zusammenhang mit der Einübung einer dynamischen 

Graphik-Software nutzbar sein. Jedenfalls soll Schülern 

und Studenten mit den vorliegenden Materialien, die 

durch einschlägige Literatur und Internet-Recherche noch 

zu ergänzen sind, auch verdeutlicht werden, dass Geometrie 

und Mathematik entgegen landläufiger Meinung keinesfalls 

abgeschlossene Wissensgebiete sind! 

Es sollte nicht unerwähnt bleiben, dass für den überwiegenden 

Teil der Figuren die programmierbare Graphics 

Software ‘Open Geometry GL’ (vgl. [4] und [5]) benutzt 

wurde. 

Literatur 

[1] BROMANN, A., Holditch’s Theorem, Math. Magazine 

54 No.3 (1981). 

[2] BUBECK, H., Auf der Suche nach einer „einfachen“ 

räumlichen Entsprechung zum Satz von Thales, MNU 

47/5 (1994), 264-268. 

[3] FRIEDELMEYER, J-P., Le théorème de cloture de 

Poncelet comme source d’inspiration et lieu de 

rencontre des nouvelles methods en géométrie, 

(Lumigny, 2005). 

www.univ-nancy2.fr/poincare/colloques/ 

hgmc2005/Friedel-meyer_Jean_Pierre.pdf 

[4] GLAESER, G.- STACHEL, H., Open Geometry: 

Open GL + Advanced Geometry, Springer 1999 

(ISBN 0387 985999). 

17


[5] GLAESER, G. - SCHRÖCKER, H-P., Handbook of 

Programming using Open Geometry GL, Springer 

Professional Computing 2002 (ISBN 0387 95272-1). 

[6] HAVLICEK, H. - WEISS, G., Altitudes of a Tetrahedron 

and Traceless Quadratic Forms, The American 

Mathematical Monthly, Vol. 110, No. 8 (Oct., 2003), 

pp. 679-693. 

[7] HOSCHEK, J., Liniengeometrie, HTB, B.I. Mannheim 

1971. 

[8] KRAMES J., Über die bei der Hauptaufgabe der Luftphotogrammetrie 

auftretenden ’gefährlichen’ Flächen, 

Bildmessung und Luftbildwesen (1942), 1-18. 

[9] SCHATZ, P., Rythmusforschung und Technik, Verlag 

freies Geistesleben, 1998. 37-38. 

[10] SCHUMANN, H., Schulgeometrie im virtuellen 

Raum, Franzbecker 2007, ISBN 978-3-88120-463-7. 

[11] SEEBACH, K., Verallgemeinerung des Satzes von 

Thales auf 3 Dimensionen, PM 34(1992), 209-212. 

[12] STACHEL, H., A remarkable overconstrained spherical 

motion, In J. Lenarcic and M. Husty (eds), 

Advances in robot kinematics: analysis and control 

(Salzburg, 1998), Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 

1998 (ISBN 0-7923-5169-X): pp. 287-296. 

http://www.geometrie.tuwien.ac.at/ 

stachel/iftom.pdf 

[13] STACHEL, H., Ein bewegliches Tetraederpaar, Elem. 

D. Math. 43 (1988), 65-75. 

18 

[14] STACHEL, H., Zwei bemerkenswerte bewegliche 

Strukturen, J. Geom. 43 (1992), 14-21. 

[15] STEINER TH., 

http://commons.wikimedia.org/wiki/Image: 

Mandate2006.png 

[16] WUNDERLICH, W., Zur Eindeutigkeitsfrage der 

Hauptaufgabe der Photogrammetrie, Monatshefte 

Math.Phys. 50 (1941), 151-184. 

[17] WUNDERLICH, W., Kurven mit isoptischem Kreis, 

Aequationes math. 6 (1971), 71-81. 

[18] WUNDERLICH, W., Die isoptischen Kurven von Zykliden, 

Z.Angew.Math.Mech. 17 (1937), 56. 

[19] http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_ 

Thales 

[20] ZAHAUREK, F., Der umstülpbare Würfel nach Paul 

Schatz, 1999, 

http://www.fzk.at/wuerfel/index.html 

Gunter Weiß 

Technical University of Dresden 

e-mail: Gunter.Weiss@tu-dresden.de 

Franz Gruber 

University of Applied Arts Vienna 

e-mail: Franz.Gruber@uni-ak.ac.at

Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?

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