6 - Líneas de Transmisión (cont.) - Facultad de Ingeniería - UBA ...

Adaptación de impedancias 

Electromagnetismo 2004 6-33 

6 - Líneas de Transmisión (cont.) 

Es común que se deba conectar una carga a una línea de impedancia característica diferente. En 

tal caso existirá una onda reflejada que disminuye la potencia entregada a la carga y puede tener 

efectos adversos en el generador, crear sobretensiones y sobrecorrientes sobre la línea capaces de 

causar daños, etc. Para evitar estas situaciones problemáticas existen distintos mecanismos de 

adaptación entre la línea y la carga. Veremos los más sencillos a continuación. 

Como es lo habitual en las aplicaciones, supondremos que las líneas son ideales o de bajas pérdidas, 

por lo que tomamos reales a la impedancia característica y la constante de propagación. Por 

simplicidad en la introducción también supondremos que la carga es real 

• Transformador (línea) de cuarto de onda 

Z0 

Zin 

-La 

Z 

in 

Za 

Z L cos( k La 

) + i Z a sen( k La 

) 

= Z ( −La 

) = Z a 

= Z 

Z cos( k L ) + i Z sen( k L ) 

a 

Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería 

Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar 

a 

Se trata de un trozo de línea de longitud La 

y de impedancia característica Za. Para la 

adaptación, se requiere que la impedancia 

de entrada del conjunto carga + adaptador 

sea igual a la impedancia característica de 

la línea original Z0: 

Luego: 

2 

Z aZ 

L cos( k La 

) + i Z a sen( k La 

) = Z a Z 0 cos( k La 

) + i Z LZ 

0 sen( k La 

) 

Para que se cunpla esta igualdad deben igualarse por separado las partes reales e imaginarias de 

ambos miembros: 

Z aZ 

L cos( k La 

) = Z a Z 0 cos( k La 

) 

2 

Z sen( k L ) = Z Z sen( k L ) 

a 

0 

a 

ZL 

La primera ecuación, si el coseno es no nulo, requiere que ZL = Z0, pero esto no ocurre por hipótesis, 

ya que en tal caso no sería necesaria la adaptación. Entonces la igualdad sólo es válida si se 

L π 

anula el coseno: cos( k L ) = 0 ⇒ k L = 2π 

a 

λ 

a a 

a a = n ⇒ L 

a 

a = n 

λ 2 

4 

Si n = 1 ⇒ La 

= λ a / 4 y esta es la longitud más corta de la línea adaptadora, que por tal motivo 

se llama línea de cuarto de onda. Con esta condición el seno en la segunda ecuación vale 1 

y se satisface la igualdad si: 2 

Z a = Z LZ 

0 ⇒ Za = Z0 

Z L 

que es la media geométrica de las impedancias que se quieren adaptar. 

Consideremos ahora la adaptación cuando la 

carga es compleja. En este caso se coloca el 

adaptador a una distancia L0 de la carga para la 

cual la impedancia de entrada Z ′ L es real y entonces: 

0 Z Z Z Z0 Za 

Z0 ZL 

-La-L0 

-L0 

Z′ L 

0 z 

′ 

a = L 

La adaptación por este método se realiza en forma 

sencilla usando la carta de Smith que veremos más adelante. 

La adaptación de impedancias por línea de cuarto de onda se da 

para una única frecuencia, aquélla en que La = λa /4 

L 

z 

0 

a 

L 

a 

a 

0

• Adaptador (stub) 

Z0 

ca que podría causar interferencias. 


Muchas veces no es posible tener una línea con 

la impedancia característica necesaria para un 

adaptador de cuarto de onda. Suele usarse un 

stub, que habitualmente es un trozo de la misma 

línea que se conecta en paralelo con el conjunto 

linea+carga para lograr la adaptación de impedancias. 

Normalmente el extremo de carga (extremo 

lejano) del stub se cortocircuita para minimizar 

la emisión de radiación electromagnéti- 

El diseño del stub consiste en definir la longitud del stub Ls y la posición - ds en la que debe ubicarse. 

En el punto de conexión la admitancia del conjunto es la suma de las admitancias del stub 

y la admitancia de entrada del conjunto línea+carga. Esa admitancia debe ser igual a 1/ Z0 para 

la adaptación. 

Si la carga es resistiva quedan las ecuaciones para las admitancias de entrada: 

línea+carga: 

i 2 2 

Y Y ( ) sen( 2 ) 

cos( ) sen( ) 

0 Y0 

Y k d 

Y k d iY0 

k d 

L + − L 

L + 

Y ( −d 

) 

2 

s = Y0 

= Y0 

2 2 

2 2 

Y0 

cos( k d) 

+ iYL 

sen( k d) 

Y0 

cos ( k d) 

+ YL 

sen ( k d) 

stub: Y −L 

) = −iY 

cotan( 

k L ) 

( s 0 s 

de modo que para adaptación: Y0 = Y ( −d 

s ) + Y ( −L 

s ) 

Operando: 

i 2 2 

Y LY 

0 + ( Y0 

− YL 

) sen( 2k 

d ) 

Y 

2 

0 = Y0 

− iY0 

cotan ( k L ) 

2 2 

2 2 

s 

Y cos ( k d ) + Y sen ( k d ) 

de donde: 

Y 

2 

0 

-ds 

0 

L 

Y LY0 

λ −1 

= 1 

⇒ d 

2 

2 2 

s = tan ( Z L / Z 0 ) 

cos ( k d ) + Y sen ( k d ) 

2π 

s 

( Y 

2 

− Y 

2 ) 

L 

s 

0 L 

sen( 2k 

d ) 

⎛ ⎞ 

= 2 cotan ( k L ) ⇒ 

2 

cos 

2 

( ) + 

2 

sen 

2 

s 

= 

−1⎜ 

0 ⎟ 

⎜ ⎟ 

Y 

0 

k d Y 

L 

( k d ) 

⎝ 

− 0 ⎠ 

2 λ Z LZ 

Ls 

tan 

2π Z L Z 

Estas ecuaciones permiten diseñar la adaptación. Son válidas únicamente para cargas resistivas. 

En el caso general de cargas no resistivas es más fácil utilizar la carta de Smith para diseñar los 

adaptadores, cosa que veremos más adelante. 

Ejemplo 6.12: Una línea de transmisión coaxil de tipo RG58 está terminada en una carga de 

valor ZL = 175 Ω. Se desea acoplarla por medio de un coaxil adaptador de λ/4 a 10MHz. 

Calcule la impedancia característica y la longitud del adaptador. 

De la tabla de la p.6.10 tenemos que Z0 = 50Ω. La impedancia característica del adaptador 

debe ser: Z = Z Z ≈ 93. 

5Ω 

a 

Ls 

Z0 

0 L 

z 

0 

cortocircuito 

De la tabla de la p.6.10 se ve que el cable tipo RG62 A/U tiene la impedancia adecuada. 

La velocidad de propagación es vf = 0.85c. La longitud del adaptador entonces es: 

L 

a 

ZL 

a va 

= = ≈ 

4 4 f 

λ 

Ejemplo 6.13: Realice la adaptación del Ejemplo previo usando un stub cortocircuitado de la 

misma línea. 

Las ecuaciones de diseño son: ( ) ⎟ v 

⎛ ⎞ 

−1 

v −1 

2 Z 

= 

= ⎜ LZ 

0 

d s tan Z L / Z0 

Ls 

tan 

2π f 

2π 

f ⎜ 

⎝ Z L − Z0 

⎠ 

6. 

38 



m


De la tabla de la pág. 235 se tiene para el cable RG58: Z0 = 50Ω , vf = 0.66c y entonces: 

v −1 

d s = tan ( 

2π f 

Z L / Z0 

) ≈ 3. 

4m 

v ⎛ 2 Z LZ 

⎞ 

−1 

0 

Ls 

= tan ⎜ ⎟ ≈ 3. 

09m 

2π 

f ⎜ Z L Z ⎟ 

⎝ − 0 ⎠ 

Nuevamente en este caso la adaptación funciona a una única frecuencia, porque los parámetros 

de diseño son proporcionales a la longitud de onda en la línea a la frecuencia de adaptación. Si se 

cambia esta frecuencia se debe cambiar la longitud del stub y su posición. La longitud se puede 

modificar con cierta facilidad, colocando un cortocircuito móvil en el extremo de carga, pero la 

posición es difícilmente variable. Sin embargo, si se usan dos o más stubs es posible variar la 

frecuencia de adaptación cambiando únicamente sus longitudes 1 . 

Carta de Smith 

La impedancia de onda relativa a la impedancia característica puede escribirse: 

−ikz 

ikz 

i2 

kz 

i( 

2kz+ 

ϕ ) 

Z( 

z) 

e + ρ 1 ρ 1 + ρ 

L e + L e 

L e 

= = 

= 

−ikz 

ikz 

i2kz 

i( 

2kz+ 

ϕ ) 

Z e − ρ e 1 − ρ e 1 − ρ e 

0 

L 

1 + w 

Esta ecuación es del tipo: z = donde z = r + i x y w = u + iv. 

1 − w 

Tal ecuación se conoce como una transformación bilineal (se puede demostrar fácilmente que 

z − 1 

w = ) y se caracteriza porque las líneas de r constante o las líneas de x constante resultan 

z + 1 

circunferencias en el plano w. Como ρ L ≤ 1 el diagrama completo se halla dentro del círculo de 

radio unitario. Podemos demostrar que la forma de las curvas de de r constante o x constante 

son circunferencias: 

2 2 

1+ 

u + iv ( 1+ 

u + iv)( 

1− 

u + iv) 

1− 

u − v + i 2 v 

Partimos de: 

r + ix = = 

= 

1− 

u − iv ( 1− 

u) 

2 

+ v 

2 

( 1− 

u) 

2 

+ v 

2 

Luego: 

1− 

u 

2 

− v 

2 

r = 

( 1− 

u) 

2 

+ v 

2 

L 

2 v 

x = 

( 1− 

u) 

2 

+ v 

2 

1 

2 2 

2 

− u − v 

de donde: r = ⇒ ( 1+ 

r) 

u 

2 

− 2 r u + ( 1+ 

r) 

v = 1− 

r 

( 1− 

u) 

2 

+ v 

2 

completamos cuadrados: 

2 

2 

2 r ⎛ r ⎞ 2 1− 

r ⎛ r ⎞ 

u − 2 u + ⎜ ⎟ + v = + ⎜ ⎟ 

1+ 

r ⎝1 

+ r ⎠ 1+ 

r ⎝1 

+ r ⎠ 

2 2 

u − r ( 1 + r) 

+ v = 1 ( 1 + r) 

y finalmente: [ ] 2 

de donde se ve que las líneas de r constante son circunferencias de radio 1/( 1 + r) 

y centradas 

en el punto r /( 1 + r) 

. 

2 

Se ve también que el círculo para r = 0 tiene la ecuación u 

2 

+ v = 1 y coincide con el círculo 

2 

exterior de la carta y que el círculo para r → ∞ tiene la ecuación [ u − 1] 

el punto (1,0). 

Análogamente, de la ecuación para x: 

2 

+ v = 0 y coincide con 

2 v 

x = 

2 2 

( 1 − u) 

+ v 

⇒ 

2 2 v 

( 1 − u) 

+ v − 2 = 0 

x 

⇒ 

2 2 v 1 

( 1 − u) 

+ v − 2 + 2 

x x 

1 

= 2 

x 

y finalmente: [ ] [ ] 2 

2 

u − 1 + v − 1/ 

x = 1/ 

x 

1 

Ver, por ejemplo, R. Neli Vera, “Líneas de Transmisión”, McGraw-Hill Interamericana, México,. 199, pp. 182 y 

posteriores. 



2 

L


de donde se ve que las líneas de x constante son circunferencias de radio 1 / x y centradas en el 

punto ( 1, 

1/ 

x ) . 

Para x = 0 el radio se hace infinito y la curva coincide con el eje real. Para x → ∞ se tiene la 

2 

ecuación [ u − 1] 

2 

+ v = 0 , que nuevamente coincide con el punto (1,0). 

En este diagrama los ejes (u,v) representan las partes real e imaginaria del complejo ⏐ρL⏐e i(2kz+ϕ) 

mientras que r = Re[Z(z)/Z0] (valores señalados sobre el eje horizontal) y 

x = Im[Z(z)/Z0] (valores señalados sobre el círculo exterior) son los valores, normalizados a la 

impedancia característica de la línea, de la parte real e imaginaria de la impedancia de onda. 

Por convención, el ángulo ϕ del fasor ρL se mide desde el eje real positivo en sentido antihorario. 

iv 

Variar la posición sobre la línea impli- 

λ hacia el generador 

i0 5 

i1 

i2 

⏐ρL⏐=1 

ϕρ , ϕτ 

ca cambiar el ángulo de fase del complejo 

(u, v), lo que implica girar alrededor 

del centro del diagrama a ⏐ρL⏐ 

constante (ρL es constante porque depende 

de las impedancias característica 

y de carga, pero no de la posición en la 

línea). 

0 

02 05 

O 

1 2 

u 

Como los ángulos aumentan convencionalmente 

en el sentido antihorario, 

y el sentido positivo de la coordenada z 

es hacia la carga, un giro antihorario 

representa un movimiento hacia la 

⏐ρL⏐=0.5 

carga, y el giro horario un movimiento 

hacia el generador. El círculo 

exterior del diagrama permite medir 

-i0 5 

λ hacia la carga 

-i1 

-i2 

estos desplazamientos, calibrados en 

longitudes de onda. El cero de desplazamiento 

se coloca sobre el eje real 

negativo. Dado que se miden diferencias 

de longitud (la posición a lo largo de la línea 

respecto de la posición de la carga) no importa 

dónde se ponga el cero. 

La carta de Smith se usa para calcular impedancias 

de entrada, ROE, coeficientes de reflexión y 

otros datos sólo con una regla y un compás, sin 

usar funciones trigonométricas o hiperbólicas, lo 

que facilita los cálculos. Aunque hemos deducido 

sus ecuaciones para líneas sin pérdidas (Z0 real), 

es posible extender su uso a líneas con bajas pérdidas. 

En la figura se muestra una carta estándar 

(archivo SMITH.PDF). 

Las aplicaciones de cálculo básicas de la carta 

de Smith a líneas sin pérdidas son: 

• Dada Z(z) obtener ρ(z) 

Dada ρ(z) obtener Z(z) 

• Dados ZL y ρL obtener Z(z) y ρ(z) 

Dados Z(z) y ρ(z) obtener ZL y ρL 

• Hallar posiciones y valores de máximos y mínimos de tensión sobre la línea. 


Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar

0 

• Hallar la ROE. 

• Dada Z(z) obtener Y(z) 

Dada Y(z) obtener Z(z) 

Ejemplos de uso de la carta de Smith 


La operación básica con la carta de Smith consiste en ubicar una impedancia, como se explica en 

el siguiente ejemplo: 

Ejemplo 6.14: Ubicar sobre la carta de Smith las siguientes impedancias: 

iv 

a) Una resistencia RA = 150Ω. b) Una 

i1 

reactancia inductiva XB = i10Ω. c) Una 

reactancia capacitiva XC = -i50Ω. d) Una 

i0 5 

i2 

impedancia RL serie ZD = (15 + i10)Ω. e) 

Un circuito abierto ZE = ∞. f) Un cortocircuito 

ZF = 0. Usar como impedancia de 

normalización el valor Z0 = 50Ω. 

B 

F 

D 

O 

02 05 1 2 

A 

E 

a) = Z Z = R / Z = 3 

z A A / 0 A 0 (A) 

b) = Z Z = X / Z = i 0. 

2 (B) 

z B B / 0 B 0 

c) = Z Z = X / Z = −i1 

(C) 

zC C / 0 c 0 

d) = Z / Z 0 = 0. 

3 + i 0. 

2 (D) 

z D D 

e) Z / Z → ∞ 

z E = E 0 

(E) 

f) / 0 0 = = Z Z 

z F F 

(F) 

-i0 5 

C 

-i2 

Ejemplo 6.15: Una línea de 50Ω está ter- 

-i1 

minada por una resistencia de 30Ω en serie 

con una reactancia capacitiva de 40Ω. 

Hallar: a) ρL y ROE, b) la impedancia de 

entrada si la longitud de la línea es L = 0.1 λ y c) los valores de longitud de línea que llevan 

iv 

a una impedancia de entrada puramente 

resistiva y los valores de estas 

impedancias. 

i0 5 

i1 

i2 

Para utilizar la carta de Smith primero 

expresamos la impedancia de carga 

normalizada a la impedancia característica: 

Z L 30 − i 40 

= = 0. 

6 − i 0. 

8 

Z0 

50 

y entonces marcamos en la carta de 

0 

02 

B 

C 

05 

O 

1 

D 

2 

u Smith el punto A en la intersección 

de los círculos r = 0.6 y 

x = - 0.8. 

a) La distancia desde A al centro del 

diagrama da ⏐ρL⏐= 0.5 y la prolon- 

(l0+L)/λ 

A 

gación de este segmento hasta el 

círculo de ángulos exterior da ϕ = 90° 

⏐ρL⏐ (trazos en negro). 

-i0 5 

-i1 

-i2 

ϕ 

1 + ρ L 

Además ROE = 

1 − ρ L 

1 + 0. 

5 

= = 3 

1 − 0. 

5 

l0/λ 

Podemos sacar el valor de ROE de la 

carta de Smith. Como depende solamente 

de ⏐ρL⏐, una carga resistiva pura con el mismo ⏐ρL⏐ dará el mismo ROE. 



u


′ 

′ 

Como para RL > Z0 : ρ L = ( RL − Z 0 ) ( RL 

+ Z 0 ) ⇒ RL 

Z 0 = ( 1+ 

ρ L ) ( 1− 

ρ L ) = ROE 

y el valor del ROE coincide con la resistencia normalizada que da el mismo valor de ⏐ρL⏐. 

Se usa este hecho y se traza en la carta de Smith el arco de circunferencia centrada en el 

centro del diagrama hasta el eje x = 0 para r > 1. El valor obtenido de r en el cruce D (3) 

es igual al ROE (trazo en verde). 

b) Para calcular la impedancia de entrada buscamos la posición donde el radio del diagrama 

que pasa por A corta al círculo perimetral marcado “hacia el generador”. Resulta l0/λ = 

0.375. Este es un valor de partida arbitrario. Si ahora nos desplazamos hacia el generador 

(en el sentido horario) sobre el círculo de ⏐ρL⏐ = cte. (⏐ρL⏐ depende solamente de la carga y 

Z0) en 0.1λ, de acuerdo al enunciado del problema, tendremos: 

(l0+L)/λ = 0.375 + 0.1 = 0.475. 

El punto B así obtenido tiene r = 0.34 y x = 0.14 , o sea Zin = (17 – i 7)Ω (trazos en azul). 

c) Finalmente, las longitudes de las líneas con impedancia de entrada resistivas corresponden 

a los puntos de intersección sobre el eje real (x = 0) de la circunferencia que pasa por A, 

recorrida en el sentido horario. El primer punto de cruce es el C (separado del A en λ/4)y 

luego el D (separado del C en λ/4) (trazos en violeta). 

Carta de admitancias 

Dado que la admitancia Y = 1/Z satisface las mismas ecuaciones que la impedancia de onda, la 

carta de Smith es también un diagrama de admitancias normalizadas a Y0 = 1/Z0. La transformación 

bilineal es: 

i( 

2kz+ 

ϕ) 

Z( 

z) 

1+ 

ρ L e 

= i( 

2kz+ 

ϕ) 

Z 0 1− 

ρ L e 

⇒ 

i( 

2kz+ 

ϕ) 

i( 

2kz+ 

ϕ+ 

π) 

Y ( z) 

1− 

ρ L e 1+ 

ρ L e 

= 

= 

i( 

2kz+ 

ϕ) 

i( 

2kz+ 

ϕ+ 

π) 

Y0 

1+ 

ρ L e 1− 

ρ L e 

⇒ 

iπ 

1+ 

we 

y = iπ 

1− 

we 

que es la misma ecuación de la carta de impedancias, pero aparece un ángulo de fase de π multi- 

iv 

plicando al complejo w. Por ello, un punto de la carta 

i1 

de impedancias está sobre el círculo de ⏐ρL⏐ constante 

i0.5 

i2 

separado 180° (π) del punto correspondiente a la mis- 

A 

ma carta medida en admitancias. Por otra parte, las 

escalas son iguales, de manera que donde se lee resistencia 

(reactancia) en la carta de impedancias se debe 

0 

0.2 0.5 

O 

1 2 

u 

leer conductancia (susceptancia) en la de admitancias. 

En el siguiente ejemplo se usa la carta de Smith para 

pasar de impedancia a admitancia en el caso de las 

cargas del Ejemplo 6.14. 

0 

B 

F 

-i0.5 

i0.5 

-i0.5 

A´ 

D 

C´ 

C 

-i1 

iv 

i1 

O 

02 0.5 1 

A´ 

2 

-i1 

-i2 

i2 

A 

-i2 

D´ 

E 

B´ 

u 



′ 

Ejemplo 6.16: Ubicar sobre la carta de Smith las siguientes 

admitancias: 

a) Una resistencia RA = 150Ω. b) Una reactancia inductiva 

XB = i10Ω. c) Una reactancia capacitiva 

XC = -i50Ω. d) Una impedancia RL serie ZD = (15 + 

i10)Ω. e) Un circuito abierto ZE = ∞. f) Un cortocircuito 

ZF = 0. Usar como impedancia de normalización el 

valor Z0 = 50Ω. 

a) y A = YA 

/ Y0 

= Z 0 / G A = 1/ 

3 (A´) 

b) y B = YB 

/ Y0 

= Z 0 / X B = −i 

5 (B´) 

c) yC = YC 

/ Y0 

= Z 0 / X c = i1 

(C´) 

d) y D = YD 

/ Y0 

≈ 2. 

3 − i1. 

54 (D´) 

e) / 0 0 = = Y Y z E E 

(E) 

f) Y /Y → ∞ (F) 

z F = F 0

0 


Z Y 

Otra posibilidad de representación 

de admitancias es 

girar todo el diagrama en π, 

en lugar de girar cada punto, 

con lo que se obtiene una 

carta de admitancias como 

la de la figura. 

A la izquierda se muestra 

una carta de Smith donde se 

dibujan los círculos de impedancias 

(en rojo) y de 

admitancias (en azul) simultáneamente. En este 

caso no es necesario girar en π la posición del 

punto para pasar de una carta a la otra, sino que 

basta con usar los círculos adecuados (archivo 

SMITHZY.PDF). 

En el siguiente ejemplo se diseña un stub paralelo 

de adaptación usando la carta de Smith como carta 

de impedancias y luego como carta de admitancias. 

Ejemplo 6.17: Usar la carta de Smith para diseñar 

un stub de adaptación entre una línea de 

Z0 = 100 Ω y una carga real ZL = 500 Ω. 

Vamos a usar la carta de Smith de impedancias. 

La impedancia de carga normalizada es: 

zL = Z L / Z0 

= 5 

Se ingresa a la carta en este punto (A). Se traza un círculo auxiliar concéntrico con la carta 

que pasa por A. Este círculo es la curva de ⏐ρL⏐ y ROE constantes. Para adaptación debe- 

i0 5 

B 

-i0 5 

ds 

O 

i1 

iv 

02 05 1 2 

-i1 



mos pasar de A a O, el centro del diagrama, 

donde ⏐ρL⏐= 0. Como vamos a 

colocar un stub en paralelo con la línea 

principal, nos conviene trabajar con 

admitancias. Pasamos entonces de A al 

punto correspondiente B (a 180°), donde 

la admitancia normalizada es yL=0.2. 

Para ubicar el stub nos movemos por el 

círculo de ⏐ρL⏐ constante en sentido 

horario (hacia el generador) hasta llegar 

al círculo de admitancia real normalizada 

igual a 1 (que coincide con el círculo 

de impedancia normalizada igual a 1 - 

punto C). Para adaptación sólo se requiere 

agregar una susceptancia en 

paralelo de valor opuesto a la susceptancia 

de C. La distancia ds = 0.183 λ 

(en longitudes de onda) medida sobre el 

círculo exterior de la carta entre los 

radios que pasan por B y C es la distancia 

desde la carga a la que hay que poner 

el stub. Para hallar la longitud del 

stub, se observa que la impedancia 

normalizada en C es yC = 1 + i 1.79, de 

manera que el stub debe presentar una admitancia de entrada que anule la parte imaginaria: 

yS = - i 1.79. El stub cortocircuitado presenta una admitancia de entrada puramente 

reactiva: Z − l ) = i Z tan( 

k l ) ⇒ Y ( −l 

) = −i 

Y cot( k l ) . 

C 

D 

i2 

-i2 

( s 0 s 

s 

0 s 

A 

Ls 

u

0 


El lugar geométrico de esta impedancia (a medida que cambia ls es el círculo exterior de 

radio unitario que corresponde a r = 0. Ubicamos entonces el punto D que define la admi- 

iv 

tancia de entrada del stub sobre el cru- 

D 

i1 

ce del círculo de susceptancia bS = -i 

1.79 con el círculo exterior, y midiendo 

Ls 

i2 

i0.5 

sobre el círculo exterior la distancia 

desde el punto de admitancia normalizada 

infinita (condición de cortocircuito 

- eje real positivo) se obtiene Ls = 0.08 λ 

que es la longitud (mínima) requerida 

del stub. 

Si se trabaja con la carta de admitan- 

O 

B u cias, se parte desde B ( yL = 0. 

2) 

y se 

∞ 

25 1 05 0.2 0 gira a ⏐ρL⏐ constante hasta alcanzar el 

círculo de conductancia normalizada 

C 

unitaria (C). Se mide sobre la escala de 

longitudes de onda la posición del stub, 

como antes. Luego se ubica el punto D, 

que neutraliza la impedancia de entrada 

de la línea en el punto de conexión del 

-i2 

-i1 

-i0 5 

ds 

stub y se mide la longitud necesaria del 

stub. Naturalmente los valores obtenidos 

son los mismos que en la construcción 

previa. 

Ejemplo 6.18: Usar la carta de Smith para diseñar un adaptador de cuarto de onda entre una 

línea de Z0 = 100 Ω y vf = 0.87c y una carga ZL = 150(1+i) Ω a 20 MHz. 

Este es un caso donde el uso de la 

Z0 

Za 

Z0 ZL 

carta de Smith es mucho más sencillo 

que la resolución analítica. En 

la sección de adaptación vimos có- 

z mo adaptar una carga real a una 

-za 

Zin 

0 

línea de impedancia característica 

real, pero en este caso tenemos una 

carga de impedancia compleja. 

La solución consiste en intercalar el adaptador a una distancia za de la carga, de manera 

que la impedancia de entrada Zin del conjunto línea+carga sea real, como se muestra en la 

i0 5 

-i0 5 

O 

iv 

i1 

02 05 1 2 

-i1 

i2 

B 

-i2 

A 

zs 

figura. La determinación de esta posición 

se complica matemáticamente si se desea 

resolver el problema analíticamente, pero 

es muy fácil con la carta de Smith. 

Comenzamos calculando primero la impedancia 

de carga normalizada: 

= Z / Z 0 = 1. 

5 + i1. 

5 

z L L 

y determinamos el punto A en la carta. 

Cualquier posición en la línea estará sobre 

la circunferencia centrada en la carta y 

que pasa por A. Para hallar la posición 

donde se debe intercalar el adaptador de 

cuarto de onda, nos movemos desde A 

hacia el generador (en sentido horario) 

hasta el primer cruce con el eje real. Esto 

ocurre en el punto B. Podemos leer en la 

escala exterior la longitud del arco que nos 

da la posición deseada zs para el adaptador, 

y del eje real la impedancia (real) Z′ L 

en ese punto, que será la impedancia que 

hay que adaptar a la línea. 



u

En nuestro caso: 



v f 

zs 

≈ 0. 

056λ 

= 0. 

056 

f 

Z′ 

≈ 3. 

35Z 

≈ 335Ω 

L 

Z 

L 

a 

a 

0 

≈ 0. 

73m 

= Z Z L′ 

0 ≈ 1. 83Z 

0 ≈ 183Ω 

λa 

= 

4 

v f 

= 

4 f 

≈ 3. 

26 m 

Aplicación a circuitos de constantes concentradas 

La carta de Smith no es sólo aplicable a circuitos con líneas. Se puede usar para diseñar circuitos 

concentrados con la misma simplicidad, como se muestra en los siguientes ejemplos. 

Ejemplo 6.19: Determinar la impedancia de entrada del circuito de la figura. Datos: R1 = 50 Ω, 

R2 = 15 Ω, L1 = 8 µHy, L2 = 26.5 µHy, C1 = 3 nF, C2 = 50 nF, f = 1 MHz. 

Para usar la carta de Smith debemos normalizar las impe- 

Zin 

C1 

R2 

C2 

L1 

L2 

iv 

R1 

dancias del circuito a un valor arbitrario. En el caso de las 

líneas elegimos la impedancia característica. En este caso 

elegiremos el valor de la resistencia R. Asignamos a cada 

elemento el valor de su impedancia normalizada a la frecuencia 

de trabajo: 

R1 

→ r1 

= 1 R2 

→ r2 

= R2 

/ R1 

= 0. 

3 

i0 5 

i1 

i2 

L1 

→ x1 

= iωL1 

/ R1 

≈ i L2 

→ x 2 ≈ 3. 

33i 

C1 

→ x4 

= 1/ 

iωC1R 

≈ −1. 

06i 

C → x ≈ −0. 

064i 

0 

B' 

O 

C' D 

02 5 1 2 

D' C 

A 



2 

5 

Con estos valores ubicamos primero la 

impedancia serie zA = r+ix1 = 1+i en la 

carta de Smith (punto A). El siguiente paso 

consiste en hallar la impedancia resultante 

del paralelo de z1 con x2 , para lo cual debemos 

transformar ambas impedancias en 

admitancias: 

zA → yA = 0.5(1-i) (punto A') 

x → b = − / x ≈ −0. 

3i 

2 

2 

1 2 

La admitancia resultante del paralelo de y1 

A' 

y b2 se puede hallar en el diagrama de 

B 

Smith moviéndonos sobre el círculo de 

conductancia constante 0.3 en el sentido 

-i0 5 

de admitancia decreciente (porque b2 es 

-i2 

negativa) o sea en el sentido opuesto a las 

-i1 

agujas del reloj. Llegamos al punto B 

[yB ≈ 0.5 - 0.8 i)]. Como el siguiente elemento 

a combinar es en serie, volvemos al 

diagrama de impedancias [punto B' : zB ≈ 0.56 + 0.9 i)]. Agregamos ahora la impedancia serie 

x4 para lo cual nos movemos sobre el círculo de resistencia constante en el sentido antihorario 

de reactancia decreciente (porque x4 es negativa) hasta llegar al punto C: 

zC ≈ 0.56 - 0.16 i. Finalmente agregamos en paralelo la serie de R2 y C2: zC ≈ 0.3 - 0.064 i, 

que corresponde a una admitancia yC ≈ 3.19 + 0.68i. Pasamos al diagrama de admitancias: 

C → C' (yC ≈ 1.65 + 0.47 i) y giramos primero sobre un círculo de conductancia constante 

+0.68i y luego sobre un círculo de susceptancia constante 3.19, para llegar al punto D 

(yD ≈ 4.84 + 1.15 i). Finalmente invertimos el punto para volver al diagrama de impedancias 

y llegamos al punto final D' : zD = zin ≈ 0.196-0.046 i ⇒ Zin ≈ (9.8 - 2.3i)Ω. Los valores 

numéricos que aparecen en el texto salen de la carta y los valores intermedios no se requieren 

para el resultado y se han dado solamente para referencia. 

u


Ejemplo 6.20: Diseñar un circuito de adaptación entre un generador de impedancia interna 

Zg = 50 Ω y una impedancia de carga ZL = (25 - 13.2i)Ω a la frecuencia de trabajo. 

Para adaptación se requiere que la impedancia de entrada Zin sea 

Vg 

Zg 

ZL 

igual a la impedancia del generador Zg. 

Ubicamos en la carta de Smith la impedancia del generador y la 

impedancia de carga normalizadas a Zg : 

zg = 1 (O) zL = 0.5 - 0.264i (A). 

0 

i0 5 

Zin 

iv 

i1 

02 05 1 2 

-i0 5 

A 

O 

-i1 

i2 

-i2 

Para pasar de A a O podemos ir por varios 

caminos. Elegimos el camino de la figura 

donde vamos primero en sentido horario 

sobre el círculo de reactancia constante 

hasta alcanzar el círculo r = 1, y luego por 

este círculo hasta el punto O. Esto implica 

agregar una impedancia serie RL: 

z = 0.5 + 0.264i ⇒ Z = (25 + 13.2i)Ω, 

que es una solución trivial del problema. 

Esta solución tiene una respuesta en frecuencia 

del tipo de un pasabajos. Es posible 

obtener otras soluciones de diferentes 

respuestas en frecuencia modificando el 

camino desde A hacia O, lo que implica 

elegir otros circuitos de adaptación. 



u

Líneas resonantes 


Además de transmitir energía e información de un punto a otro, las líneas se pueden usar como 

elementos de circuito, fundamentalmente por su propiedad de lograr cualquier impedancia de 

entrada en función de su longitud y su carga. Esta situación es muy común en la actualidad, en 

que se integran líneas de transmisión o guías de onda en chips para microondas. 

En particular, la posibilidad de tener ondas estacionarias lleva a que las líneas se puedan usar 

como circuitos resonantes o sintonizados. 

Consideremos primero una línea supuestamente ideal cortocircuitada en ambos extremos. El 

generador se coloca en algún punto intermedio que consideraremos más adelante. Las ondas 

(estacionarias) de tensión y corriente en la línea son: 

V 

v( z, 

t) 

= 2V 

sen( ωt) 

sen( kz) 

i( 

z, 

t) 

2 

+ 

+ 

= cos( ωt) 

cos( kz) 

Z0 

Veamos si estas expresiones satisfacen las condiciones en los extremos de la línea. La tensión se 

anula sobre el extremo de carga (z = 0) pero debe también anularse sobre el extremo opuesto 

(z = -l). Entonces: 

λ c 

n 

sen( kl) = 0 ⇒ kl = nπ 

⇒ ln 

= n = n ⇒ ln = 

2 2 f 

2 f LC 

lo que significa que, para una dada frecuencia de excitación, la longitud de la línea no puede ser 

cualquiera, sino solamente alguno de los valores discretos ln . Viceversa, para una línea de longitud 

y parámetros dados, sólo se pueden establecer ondas con un conjunto discreto de frecuencias: 

1 

n 

l = n ⇒ f n = 

2 f n LC 

2 l LC 

Un elemento circuital o un circuito que selecciona frecuencias es un circuito resonante o sintonizado. 

Para esta aplicación pueden usarse líneas que habitualmente se cortocircuitan en ambos 

extremos para minimizar la radiación de interferencias. 

Ahora podemos analizar la posición del generador que alimenta la línea. Suponemos que es un 

generador de tensión ideal (impedancia interna nula), y podemos colocarlo en la posición de un 

antinodo cualquiera de la onda estacionaria: 

π 

( 2m 

+ 1) 

sen( kz) = 1 ⇒ - kzm 

= ( 2m 

+ 1) 

⇒ zm 

= − 

2 

4 f LC 

donde se toman valores negativos de zm por la 

convención de colocar el origen de coordena- 

V0 

das sobre la carga. Entonces queda definido el 

valor de V+: 2V+ = V0, donde V0 es la tensión 

del generador. 

z 

l 

zm 

0 

Energía y Q 

La energía almacenada en la línea, que está asociada a sus componentes reactivos, se puede calcular 

apelando al modelo circuital. Cada dz de línea tiene una inductancia Ldz y una capacidad 

Cdz. La energía almacenada en estos elementos es: 

⎛ 2 

V 

⎞ 

1 ⎜ ⎛ ⎞ 

⎟ 

dU = ( L i 

2 

1 

( z, 

t) 

+ C v 

2 

( z, 

t) 

) dz = L 

t kz CV 

t kz dz 

⎜ ⎜ 0 

+ 

Z ⎟ cos 

2 

( ω ) cos 

2 

( ) 

2 

sen 

2 

( ) sen 

2 

( ) 

2 

2 

0 

ω 

⎟ 

⎝ 

⎝ 0 ⎠ 

⎠ 

1 2 2 2 2 2 

Entonces: dU = CV 

( cos ( t) 

cos ( kz) 

sen ( t) 

sen ( kz) 

)dz 

2 0 

ω + ω 




1 

y tomando el promedio temporal: dU CV 

2 ( 2 

kz 

2 1 

< >= 

kz ) dz CV 

2 

0 

cos ( ) + sen ( ) = 

0 

dz 

4 

4 

1 2 

Finalmente, integrando a toda la línea: = CV 

0 ln 

4 

Consideremos ahora una línea con pérdidas. Si las pérdidas son bajas, como es el caso en la mayoría 

de las líneas comerciales, podemos suponer que la distribución de tensión y corriente no 

será muy diferente que en el caso ideal, y podemos calcular la potencia perdida para cada tramo 

dz de la línea como: 

⎛ 2 

V 

⎞ 

⎜ ⎛ ⎞ 

⎟ 

dW = 

2 

Rdz i z t + 

2 

( , ) Gdz v ( z, 

t) 

= R 

t kz GV 

t kz dz 

⎜ ⎜ 0 

+ 

Z ⎟ 2 

cos ( ω 

2 2 2 2 

) cos ( ) 

0 

sen ( ω ) sen ( ) 

⎟ 

⎝ 

⎝ 0 ⎠ 

⎠ 

1 ⎛ R G ⎞ 

y tomando el promedio temporal: < dW >= CV 

2 

⎜ cos 

2 

( kz) 

+ sen 

2 

( kz) 

⎟dz 2 0 

⎝ L C ⎠ 

⎛ 0 

0 

1 

⎞ 

2 

Integrando a toda la linea: 

⎜ R 2 G 2 

< W >= CV 

+ 

⎟ 

0 ⎜ ∫ cos ( kz) 

dz ∫ sen ( kz) 

dz 

2 

⎟ 

⎝ L −l 

C 

n 

−ln 

⎠ 

y como k = nπ /ln : 

⎛ 0 

0 

1 

⎞ 

2 ⎜ R 2 nπ 

G 2 nπ 

< >= 

+ 

⎟ 

1 2⎛ 

R G ⎞ 

W CV0 

⎜ ∫ cos ( z) 

dz ∫ sen ( z) 

dz ⇒ < Wn >= CV0 

2 

⎟ 

⎜ + ⎟ln ⎝ 

L l 

−ln 

n C l 

−ln 

n ⎠ 

4 ⎝ L C ⎠ 

Un circuito resonante tiene como misión almacenar energía. Cuanto mayores son las pérdidas 

menor es la calidad del circuito como resonante. Esta característica se suele medir por el llamado 

factor de calidad o factor de mérito: 

energía media almacenada 

Q = 2π 

= 2π 

= ω 

potencia media disipada por ciclo < W > / f < W > 

Usando las expresiones que hemos hallado: 

1 2 

CV 0 l n 

 

Q = ω = ω 

4 

⇒ 

< W > 1 2 ⎛ R G ⎞ 

CV 0 ⎜ + ⎟l 

n 

4 ⎝ L C ⎠ 

( R ω L + G ω C) 

R f L + G f C 

Se observa que para una línea de bajas pérdidas Qn >> 1 ya que en tal caso cada término del 

denominador es mucho menor que 1. La frecuencia que aparece en la expresión de Qn es una de 

las posibles frecuencias de resonancia fn del circuito, y el valor de Qn calculado corresponde a 

esa frecuencia. 

En resonancia, el generador (supuestamente conectado en un antinodo de la tensión) ve una impedancia 

infinita cuando la línea es ideal. Cuando hay pérdidas, la potencia perdida debe ser suministrada 

por el generador, de manera que la impedancia que el generador ve debe ser ahora 

finita y real y de valor tal que la potencia que el generador le suministra sea igual a la potencia 

disipada en la línea. Podemos calcular así la resistencia de entrada (en resonancia) de la línea 

vista por el generador: 

2 

1 V0 

1 2 ⎛ R G ⎞ 

4 

4Q 

< W >= = CV0 

⎜ + ⎟ln de donde Ri = 

= 

2 R 4 ⎝ L C ⎠ 

ωC R ωL 

+ G ωC 

nλ 

ω C n 

i 

y finalmente nos queda, en función del Q de la línea: 



Q 

n 

= 

n 

1 

n 

= 

n 

2π 

( ) λ 

2 

Q n Z 

R i = 

n π n 

0 

n

Ancho de banda 


Podemos analizar el comportamiento en frecuencia alrededor de la resonancia considerando ahora 

que variamos ligeramente la frecuencia del 

generador respecto de una de las frecuencias de 

l1 

V0 

l2 

resonancia del circuito. Para analizar el resultado 

de esta variación de frecuencia, el circuito se 

puede pensar como un generador conectado a dos 

líneas en paralelo y cortocircuitadas en sus extremos 

de carga. Las longitudes de cada línea 

son, respectivamente, l1 y l2. En resonancia, estas longitudes son múltiplos impares de λ/4 y la 

impedancia de entrada del paralelo de ambas líneas es Ri, pero deja de tener este valor fuera de 

resonancia. Como se trata de líneas cortocircuitadas de bajas pérdidas, fuera de resonancia sus 

impedancias de entrada son fundamentalmente reactivas, por lo que en el siguiente análisis despreciamos 

momentáneamente la parte resistiva. Como las dos líneas están en paralelo, es conveniente 

trabajar con las admitancias (susceptancias). En resonancia: 

[ β l ) + cot( ) ] → 0 

0 cot( 1 

2 

i Bi 

= −iY 

β l 

Fuera de resonancia podemos escribir: β = ω / c = ω0 

( 1 + δ ) / c donde ω0 es una de las frecuencias 

de resonancia y δ


2 

2 

2 

nπY 

0 ⎛ 1 ⎞ ⎛ω−ω0⎞ nπY 

0 1 ⎛ω−ω0⎞ 2 

Yi = ⎜ ⎟ + = 2 Yi 

= 2 ⇒ + = 

min 

2 

2 

2 Q ⎜ 

⎟ 

0 

2Q 

Q 

⎜ 

⎟ 

ω 

ω 0 Q 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎝ ⎠ 

ω 0 

y finalmente: ω − ω 0 = ± 

Q 

⇒ 

ω 0 

∆ω 

= de donde: 

Q 

Qn = ω 0n 

/ ∆ω 

n = f 0 / ∆f 

n n 

Podemos observar que a estas frecuencias la parte real y parte imaginaria de la admitancia de 

entrada (o de la impedancia de entrada) son iguales. 

Ejemplo 6.21: Una línea de parámetros L = 1.2 µHy/m, C = 30 nF/m, R = 0.01 Ω/m, 

G = 10--41/Ωm se usa como circuito sintonizado. a) Hallar la mínima longitud para tener 

una frecuencia de resonancia de 10MHz. b) Determinar las posibles posiciones de la entrada 

al circuito. c) Calcular el Q, la impedancia de entrada en resonancia y el ancho de 

banda del circuito sintonizado. 

n 

1 

a) Las frecuencias de resonancia son: f n = ⇒ lmin = l = ≈ 26. 

35cm 

2l LC 

2 f LC 

b) Las posiciones de los antinodos, posibles posiciones de entrada al circuito, son: 

( 2m 

+ 1) 

z = − = ( m + 1/ 

2) 

l ⇒ z m 

0 = l / 2 ≈13. 

17cm 

4 f LC 

ya que sólo se puede tomar m = 0. 

2πf ⎧ 2Q 

Z 

≈ 

0 

Q = 

5386 

c) ( ) 

⎪ Ri 

= ≈ 21. 

68 KΩ 

R / L + G / C 

⇒ 

π 

⎨ 

R + iωL 

f 

Z = ≈ Ω ⎪∆f 

= ≈ 1. 

86kHz 

0 

6. 

3 

G + iωC 

⎪⎩ 

Q 

Se observa que el ancho de banda es muy bajo comparado con el valor de la frecuencia 

central, lo que se asocia al alto valor del Q. 

Ejemplo 6.22: Un tramo de coaxil RG11 se usa para crear un circuito resonante a 100 MHz. 

Hallar la longitud necesaria del cable, el Q, la impedancia de entrada en resonancia y el 

ancho de banda del circuito sintonizado. 

De la tabla de la p.6.10, los parámetros del coaxil RG11 son: 

Diámetro (2b) Z0 

v/c C α (a 100 MHz) 

mm 

Ohm 

pF/m 

dB/m 

10.3 75 0.66 67 0.069 

1 v 

= = ≈ 

2 f LC 2 f 

La longitud mínima del circuito sintonizado es: l 1m 

Como: 

La ecuación hallada vincula los tres parámetros fundamentales de la 

resonancia: la frecuencia de resonancia, el ancho de banda y el Q. 

⎧ π f L π f 

⎪ Q = = ≈ 200 

α Z 0 α v 

⎪ 

2πf R ⎪ 2Q 

Z 0 

Q ≈ y α = ⇒ ⎨Ri 

= ≈ 9. 

5 KΩ 

R / L 

2Z 

0 ⎪ π 

⎪ f 

∆f 

= ≈ 0. 

5 MHz 

⎪ 

⎩ 

Q 



Transitorios en líneas 


Es muy común el uso de líneas de transmisión para propagar pulsos que codifican información. 

Un tren periódico de pulsos se puede representar mediante una serie de Fourier que es una superposición 

de ondas armónicas (un pulso no periódico requiere una integral de Fourier, que 

también representa una superposición de ondas armónicas). Es posible entonces analizar el proceso 

para cada frecuencia y finalmente superponer los resultados, ya que las ecuaciones diferenciales 

que describen el comportamiento de las líneas de transmisión son lineales. Este análisis se 

hace entonces en el dominio de la frecuencia. 

Sin embargo, en muchos casos es más instructivo analizar el comportamiento de la señal completa 

sin descomponerla por Fourier. Este análisis se hace en el dominio del tiempo, y es el que 

vamos a usar en esta sección. 

Vs 



Consideremos una línea sin pérdidas 

que conecta una batería de impedancia 

interna resistiva Rs a una resistencia 

de carga RL. En el instante t = 0 

se cierra el interruptor que conecta el 

generador a la línea. La onda inicial o 

de arranque “ve” solamente la serie 

de Rs y Z0. 

Entonces la corriente para z = -l, t = 0 + es: I(-l,0 + ) = I0 = Vs /(Rs+Z0) y la tensión inicial es: 

V(-l,0 + ) = V0 = I0 Z0 = Vs Z0/(Rs+Z0). 

Después de cerrar el interruptor las ondas i+ = I0 y 

v+ = V0 se propagan hacia la carga con la velocidad 

c 

c = 1/ 

LC . Como esta velocidad es finita, el frente de 

ondas tarda t 1 = l / c en llegar a la carga e interaccionar 

con ella. En ese momento la tensión y corriente en 

la carga serán la superposición de las ondas incidente y 

la reflejada: 

( 0, 

t ) v + v = 1+ 

ρ V 

( ) 0 

V 1 = + − 

L 

I( 0, 

t1) 

= i+ 

+ i− 

= ( 1−ρL 

) I0 

Z 

donde 

L − Z 

ρ 

0 

L = 

es el coeficiente de reflexión en la carga. 

Z L + Z 0 

Las ondas reflejadas i- = ρL I0 y v- = ρL V0 viajan ahora hacia el generador (las ondas incidentes 

siguen propagándose desde el generador hacia la carga). En el instante t = 2t1 

las ondas reflejadas 

llegan al generador, donde la nueva desadaptación de impedancias crea una nueva onda 

“reflejada” progresiva: 

( l, 

2t 

) = v + v + v′ 

= 1+ 

ρ V + ρ ρ V = 1+ 

ρ + ρ ρ V 

donde 

Rs 

-l 

( L) 

0 s L 0 ( L L ) 0 

( 1− 

ρL) 

I0 

−ρs 

( −ρL 

I0) 

= ( 1− 

ρL 

+ ρL 

ρ ) 0 

V − 1 + − + 

s 

( ′ 

I 

I − l, 

2t1) 

= i+ 

+ i− 

+ i+ 

= 

s 

Z s − Z 0 

s = 

Z s + Z 0 

Z0 

ρ es el coeficiente de reflexión en el generador. 

Esta nueva onda progresiva viaja hacia la carga, donde llega para t = 3t1 

, instante en el que se 

genera una nueva onda regresiva: El proceso de reflexiones múltiples se puede ver más fácilmente 

mediante los diagramas de rebote o diagramas de malla de Bewley, que se muestran a 

continuación: 

0 

RL 

z


z = -l z = 0 z = -l 

z = 0 

V I 

ρs 

Se ve claramente cómo se forma cada serie de términos que dará el valor final de la tensión y la 

corriente sobre la línea después de los múltiples rebotes. Salvo en los casos de generador ideal y 

carga en cortocircuito o circuito abierto, en que se producen oscilaciones permanentes, como se 

analizó en la sección previa, como ⏐ρ⏐


cortocircuito y la tensión final sobre la carga es la misma que la tensión de entrada (e igual 

a la tensión de la fuente porque no circula corriente por estar la carga en circuito abierto). 

La corriente sobre la carga es siempre cero, como debe ser, y la corriente en la entrada 

tiende a su valor final cero. 

Ejemplo 6.24: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador de 

la línea del ejemplo anterior para RL = 0 Ω (cortocircuito). 

ρ V0 e I0 tienen los mis- 

= −1 

ρ s = −0. 

667 

Los coeficientes de reflexión son: L 

mos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora: 

10 

5 

V(-1,t) 

V(0,t) 

8.33 

5.56 

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t 

La tensión a la salida es siempre cero, por el cortocircuito, mientras que a la entrada tiende 

a su valor límite nulo de corriente continua. La corriente tiende en ambos extremos de 

la línea a su valor límite de continua que vale ( 0, 

∞) 

= I( 

−l, 

∞) 

= V / R = 1 A 

I s s 

A tiempo infinito, ya no hay ondas viajeras por la línea y ésta se comporta como un cortocircuito 

por el que circula corriente estacionaria. 

De estos ejemplos se observa que, en el caso de carga a circuito abierto, la tensión en el extremo 

del generador oscila alrededor del valor límite de continua (la tensión del generador) mientras 

que en el caso de carga cortocircuitada la tensión de entrada tiende monótonamente a cero. 

Vemos ahora qué ocurre con una impedancia de carga resistiva finita. 


la línea del ejemplo anterior para RL = 200 Ω . 

ρ V0 e I0 tienen los mis- 

= 0. 6 ρ s = −0. 

667 

Los valores de tensión y corriente tienden a sus valores límite de corriente continua: 

( 0, 

∞ ) = I ( −l, 

∞) 

= V0 

/( Z + Z ) ≈ 47. 

6 mA y V ( 0, 

∞) 

= V ( −l, 

∞) 

= Z L I ( 0, 

∞) 

≈ 9. 

524V 

I s L 

0 

3.7 

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t 


la línea del ejemplo anterior para RL = 20 Ω . 

ρ V0 e I0 tienen los 

= −0. 

429 ρ s = −0. 

667 


mismos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora: 



1 

0.5 

I(-1,t) 

I(0,t) 

0.167 

0.333 

0.444 

0.556 

0.629 0.704 


mos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora: 

15 

10 

5 

V(-1,t) 

V(0,t) 

8.33 

13.33 

10 

8 

9.33 

0.2 

10.13 

9.524 

0.1 

I(-1,t) 

I(0,t) 

0.167 

0.067 

0.04 

0.06 0.05 

0 

0.0476 

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t 

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

10 

5 

V(-1,t) 

V(0,t) 

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t 


Los valores de tensión y corriente tienden a sus valores límite de corriente continua: 

( 0, 

∞ ) = I ( −l, 

∞) 

= V0 

/( Z + Z ) ≈ 33. 

3mA 

y V ( 0, 

∞) 

= V ( −l, 

∞) 

= Z L I ( 0, 

∞) 

≈ 6. 

67V 

I s L 

( 0 Z Z L 

En este caso < ) la tendencia de tensión y corriente a sus valores finales es monótona, 

mientras que en el caso previo ) Z > la tendencia era oscilante. 

( 0 Z L 

En estos dos últimos ejemplos se observa que si ZL < Z0 la tendencia de todas las variables graficadas 

es monótona hacia sus valores finales, mientras que si ZL > Z0 la tendencia es oscilante. 

Cargas complejas 

Hemos analizado el comportamiento de cargas resistivas. Cuando la carga es una impedancia 

compleja la dependencia temporal de los frentes de onda se modifica. Consideremos por ejemplo 

una línea de impedancia característica real Z0 terminada en una impedancia de carga ZL, a la 

que se conecta una batería V0 a la entrada para t = 0. El frente de onda de tensión V0 viaja con la 

velocidad de propagación en la línea hasta que llega a la carga en t = t1. La carga impone la relación 

entre tensión y corriente y genera así una onda reflejada, por la desadaptación de impedancias 

con la impedancia característica de la línea. 

Podemos obtener la forma de onda de la onda regresiva utilizando técnicas de de la transformación 

de Laplace. Si en lugar de trabajar con las tensiones y corrientes como funciones del tiempo 

consideramos sus transformadas de Laplace: 

( z, 

t) 

↔ V ( z, 

s) 

i ( z, 

t) 

↔ I ( z, 

s) 

v ± 

± 

± 

± 

entonces podemos escribir para el coeficiente de reflexión: 

v− 

( 0, 

t) 

Z 

= = 

v ( 0, 

t) 

Z 

− Z 

+ Z 

↔ 

Ρ 

V− 

( 0, 

s) 

Ξ 

= = 

V ( 0, 

s) 

Ξ 

− Z 

L 0 

L 0 

ρ L 

L 

− 

+ 

L 0 

+ 

L + Z 0 



⇒ 

V 

Ξ 

( 0, 

s) 

= 

Ξ 

donde ΞL es la transformada de Laplace de la impedancia de carga y V0/s la transformada de Laplace 

de la función escalón que representa la onda progresiva. Esta expresión se invierte nuevamente 

por Laplace para hallar la expresión en el tiempo de la onda de tensión regresiva. 

Ejemplo 6.27: Halle la onda de tensión regresiva cuando la impedancia de carga es: a) una 

serie RL; b) una serie RC; c) un paralelo RL; d) un paralelo RC. 

a) En este caso: Ξ = R + sL 

R 

L 

8.33 

4.76 

7.14 

L 

6.12 

6.8 

0.5 

6.51 

6.67 0.25 

I(-1,t) 

I(0,t) 

0.167 

0.238 

0.286 

0.306 

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t 

L 

L 

0.32 0.333 

− Z 

+ Z 

Ξ − Z V R − Z + L s V ⎡ R − Z 1 2Z 

1 ⎤ 

V ( 0, 

s) 

= 

= 

= + 

V 

y: − 

L 0 

Ξ L + Z 0 

0 

s 

0 

R + Z 0 + L s 

0 

s 

0 

⎢ 

⎣ R + Z 0 s 

0 

R + Z 0 

⎥ 

s + 1/ 

τ ⎦ 

0 

donde /( 0 ). Z R L + = τ La antitransformada de esta expresión es: 

⎡ R − Z 0 2Z 

0 

v− 

( 0, 

t) 

= V0 

⎢ + 

⎣ R + Z 0 R + Z 0 

−t 

′ / τ ⎤ 

e ⎥ u( 

t′ 

) 

⎦ 

con 1 t t t − = ′ 

Se ve que para 1 0 ) , 0 ( 0 V t v 

t = 

⇒ = ′ − 

y la tensión sobre la carga en el 

instante del rebote duplica a la de la onda incidente, porque la inductancia serie 

0 

0 

V0 

s 

0.326


impide el súbito incremento de la corriente, que entonces es inicialmente cero (condición 

de circuito abierto). 

b) En este caso: Ξ = R + 1/ 

sC 

R 

L 

Ξ − Z V R − Z + 1/ 

sC V ⎡1 

2Z 

1 ⎤ 

V ( 0, 

s) 

= 

= 

= − 

V 

y: − 

L 0 

Ξ L + Z 0 

0 

s 

0 

R + Z 0 + 1/ 

sC 

0 

s 

⎢ 

⎣s 

0 

R + Z 0 

⎥ 

s + 1/ 

τ⎦ 

0 

donde ( 0 ). Z R C + = τ La antitransformada de esta expresión es: 

⎡ 2Z 

0 

v− 

( 0, 

t) 

= V0 

⎢1− 

⎣ R + Z 0 

−t 

′ / τ ⎤ 

e ⎥ u( 

t′ 

) 

⎦ 

con 1 t t t − = ′ 

Se ve que para 0 

1 0 

0 

) , 0 ( 

C 

t′ 

= 0 ⇒ 

R − Z 

v t = V ya que el capacitor es inicialmente un 

− 

R + Z 

cortocircuito y la tensión sobre la carga depende solamente de la relación R/Z0. 

c) En este caso: Ξ = 1/( 1/ 

R + 1/ 

Ls) 

= sRL /( R + sL) 

R 

L 

Ξ − Z V sL( 

R − Z ) − RZ V ⎡ 1 2R 

1 ⎤ 

V ( 0, 

s) 

= 

= 

= − + 

V 

y: − 

L 0 

Ξ L + Z 0 

0 

s 

0 0 

sL( 

R + Z 0 ) + RZ 0 

0 

s 

⎢ 

⎣ s 

⎥ 

R + Z 0 s + 1/ 

τ⎦ 

0 

donde τ = RZ 0 / L( 

R + Z 0 ). La antitransformada de esta expresión es: 

⎡ 2R 

v− 

( 0, 

t) 

= V0 

⎢−1+ 

⎣ R + Z 0 

−t 

′ / τ ⎤ 

e ⎥ u( 

t′ 

) 

⎦ 

con 1 t t t − = ′ 

Se ve que para 0 

1 0 

0 

) , 0 ( 

t′ 

= 0 ⇒ 

R − Z 

v t = V ya que la inductancia es inicialmente un 

− 

R + Z 

circuito abierto y la tensión sobre la carga depende nuevamente de la relación R/Z0. 

d) En este caso: Ξ = 1/( 1/ 

R + Cs) 

= R /( 1+ 

sCR) 

R C 

L 

L 

Ξ − Z V R − Z − sCRZ V ⎡ R − Z 1 2R 

1 ⎤ 

V ( 0, 

s) 

= 

= 

= − 

V 

y: − 

L 0 

Ξ L + Z 0 

0 

s 

0 

0 

R + Z 0 + sCRZ 0 

0 

s 

0 

⎢ 

⎣R 

+ Z 0 s 

⎥ 

R + Z 0 s + 1/ 

τ⎦ 

0 

τ = CRZ 0 /( R + Z 0 La antitransformada de esta expresión es: 

donde ). 

⎡ R − Z 0 2R 

v− 

( 0, 

t) 

= V0 

⎢ − 

⎣ R + Z 0 R + Z 0 

−t 

′ / τ ⎤ 

e ⎥ u( 

t′ 

) 

⎦ 

con 1 t t t − = ′ 

Se ve que para 1 0 ) , 0 ( 0 V t v 

t − = 

⇒ = ′ − 

ya que el capacitor es inicialmente un cortocircuito 

y la tensión sobre la carga debe anularse. 

Las formas de onda de la onda regresiva en cada uno de estos casos se representa en las 

siguientes figuras, donde r = R/Z0 = 0.5, 1, 2. 

v-/V0 

r = 0.5 

r = 1 

v-/V0 

a r = 2 

b 

t/τ 



t/τ

v-/V0 

c 


t/τ 

r = 0.5 

r = 1 

r = 2 

Estas ondas viajan hacia la entrada desde el mismo instante t1 en que se generan. Las diversas 

formas de onda que se obtienen cuando la impedancia de carga no es resistiva pura permiten 

sacar conclusiones del tipo de impedancia de carga y da origen a aplicaciones técnicas 2 . 

En los ejemplos precedentes se conectó una batería a la línea. Desde el punto de vista matemático 

se usó una función escalón para describir la propagación de las ondas en la línea. Habitualmente 

en lugar de enviar un escalón se envía un pulso 

f(t) 

h1(t) 

por la línea. Podemos usar los resultados obtenidos ya 

que el pulso es equivalente a dos escalones separados en 

el ancho temporal del pulso y de amplitudes iguales y de 

signo opuesto, como se muestra en la figura: 

h2(t) 

f ( t) 

= h1( 

t) 

+ h2 

( t −τ 

) . 

Para analizar el comportamiento de la propagación de pulsos en una línea de transmisión, debemos 

comparar el tiempo de viaje a lo largo de la línea con el ancho del pulso. Si el ancho del 

pulso es mucho menor que el tiempo de viaje el pulso mantiene su entidad en la propagación y 

las formas de onda obtenidas en el ejemplo previo son aplicables. Si el ancho de pulso es comparable 

con el tiempo de tránsito el problema se complica, especialmente cuando hay múltiples 

rebotes, y es necesario un cálculo por computadora. 

2 Hewlett-Packard Application Note 1304-2, “Time Domain Reflectometry Theory”, 1988 (HP-AN1304.PDF). 

v-/V0 



d 

t/τ


APLICACION: TDR 

El comportamiento de la propagación de pulsos por una línea da la base de un método de análisis 

de cargas en líneas de transmisión, la reflectometría en el dominio del tiempo (TDR). Esta 

técnica se basa en enviar un escalón o un pulso desde el extremo del generador (adaptado a la 

línea ⇒ no hay rebotes a la entrada) y observar la forma de onda. En las fotos de la pantalla de 

un osciloscopio que siguen se presenta un caso de circuito abierto y otro de cortocircuito en el 

extremo de carga, con un generador prácticamente ideal (Rs → 0): 

La técnica permite hallar la longitud de línea entre el punto de observación y el sitio donde se 

produce la reflexión por desadaptación de impedancias (midiendo el intervalo ∆ t = 2 L / v que 

tarda en cambiar la lectura) y la impedancia del punto de desadaptación midiendo la altura del 

∆V = V 1 + ρ 1 + ρ 

salto [ ( ) ] 

0 L s de donde se puede calcular ρL y por lo tanto ZL conociendo ρs. 

Esta técnica se puede usar para: 

• conociendo el tipo de línea ( ⇒ v), calcular su longitud. Se deja el extremo de carga en circuito 

abierto y se mide a la entrada el tiempo ∆t que tarda el pulso rebote. 

Luego: L = v∆t/2. 

• conociendo la longitud, calcular los parámetros de la línea. Se carga la línea con una impedancia 

resistiva conocida RL. La velocidad de propagación se calcula a partir del tiempo de 

rebote: v = 2 L / ∆t 

. La línea se considera de pérdidas despreciables (Z0 real). Como no hay 

rebotes a la entrada, la tensión en ella es: 

vin 

= V0 

( 1+ 

ρL 

) ⇒ ∆v 

= vin 

−V0 

= ρLV0 

⇒ 

RL 

− Z 0 ∆v 

ρL 

= = 

R + Z V 

⇒ 

V0 

− ∆v 

Z 0 = RL 

V + ∆v 

Entre otras aplicaciones, esta técnica permite detectar fallas en líneas de transmisión muy largas 

midiendo desde un extremo (o un punto conveniente). Se envía un pulso y se observa la forma de 

onda. Si se registran rebotes es señal de que hay una desadaptación de impedancias. El tiempo de 

rebote da la posición de (la primera) discontinuidad. La forma de onda da el tipo de desadaptación 

y permite inferir el tipo de fallas. El análisis de los ejemplos precedentes se puede extender 

a múltiples puntos de desadaptación. Hay procedimientos semi-automáticos de detección de fallas 

en líneas muy largas que usan además sistemas de GPS para la localización geográfica 3 . 

3 

Hewlett-Packard Application Note 1285, “Traveling Wave Fault Location in Power Transmission Systems”, 1997 

(HP-AN1285.PDF). 



L 

0 

0 

0

RESUMEN 


• En este Capítulo presentamos las técnicas básicas de adaptación de impedancias 

entre una línea y una carga cualquiera: 

• El transformador de cuarto de onda se coloca entre la línea y la carga (posiblemente 

a una distancia para que la 

impedancia que ve el transformador 

Z0 

Z0 ZL sea real) y cumple las ecuaciones: 



L λ 

Z ′ 

a = a 4 Z a = Z 0 

Este adaptador funciona solamente 

a la frecuencia de diseño. 

• El stub es un trozo de la misma línea que se coloca en paralelo con la carga a una 

distancia definida. El trozo o stub se puede terminar de diversas formas. Vemos 

solamente la forma más común, que 

es el cortocircuito. Las ecuaciones 

Z0 

ZL de diseño dan la posición y longitud 

del stub y son: 

λ 1 

d s = 

− 

tan L 

2π 

( Z / Z ) 

⎛ ⎞ 

= 

−1⎜ 

0 ⎟ 

⎜ − ⎟ 

⎝ 0 ⎠ 

2 λ Z LZ 

Ls 

tan 

2π Z L Z 

• La carta de Smith permite obtener soluciones gráficas de problemas de uso de líneas 

de transmisión. Se basa en las propiedades de 

las ecuaciones de la impedancia y admitancia 

de onda a lo largo de la línea: 

w = u+iv = ⏐ρL⏐e i(2kz+ϕ) iv 

λ hacia el generador 

⏐ρL⏐=1 

ϕρ , ϕτ 

z = Z/Z0 = r+ix 

z = (1+w)/ (1-w) 

La carta de Smith presenta círculos de r 

O 

u 

constante (en rojo), círculos de x constante (en 

azul) y círculos de ⏐ρL⏐ constante (en violeta). 

Al moverse en la línea la impedancia normalizada 

z varía sobre un círculo de ⏐ρL⏐ constante. 

⏐ ⏐ 05 La carta de Smith permite calcular con facilidad 

todos los parámetros de una línea cargada y la 

λ hacia la carga 

adaptación mediante transformadores o stubs. 

• Una línea donde existan ondas estacionarias 

se comporta como un circuito resonante de alto Q, con las siguientes características: 

Frecuencias de resonancia Q y ancho de banda 

f n 

-ds 

Za 

La 

Ls 

Z0 

n 

= 

2l 

LC 

Z′ L 

z 

0 

cortocircuito 

Q 

n 

= 

1 

= 

( R ω nL 

+ G ωnC 

) ∆f 

n 

• Se presentó una introducción al comportamiento de los transitorios en las líneas, 

donde se tienen en cuenta las propiedades de propagación de pulsos a lo largo de la 

f 

n 

0 

L


línea. Esto da una serie de posibilidades técnicas, de las cuales la más común es la 

reflectometría en el dominio del tiempo (TDR) que permite obtener la posición y características 

de impedancia de discontinuidades en las líneas. Esta técnica se usa, 

por ejemplo, en la detección remota de defectos en líneas de alta tensión y caracterización 

de parámetros de líneas microstrips. 

• Introducimos en un Apéndice las ideas relacionadas con la descripción de circuitos 

mediante la llamada matriz de dispersión y otras descripciones matriciales equivalentes, 

que son de mucha utilidad para analizar la propagación de ondas en estructuras 

complejas de guiado desde un punto de vista circuital. Analizamos estas ideas en 

el marco de la descripción de la propagación de ondas en líneas. 




APENDICE 7: Matriz de Dispersión 

Muchos sistemas que propagan energía e información pueden considerarse como un conjunto de 

puertos por los que entran y salen señales que transportan 

b1 

b4 

a4 

a1 

1 

4 

la energía e información. Existe un método general de 

descripción de sistemas lineales de n-puertos, cuando es 

posible establecer una relación lineal entre las señales de 

entrada y salida. Este método, llamado de la matriz de 

dispersión, es aplicable a un gran número de sistemas 

pasivos y activos y es de mucho uso en la descripción de 

circuitos de microondas. 

Sea a = [a1, a2, …, an] T el vector de entradas y 

b = [b1, b2, …, bn] T el vector de salidas. Estos vectores 

están ligados entre sí por la llamada matriz de dispersión: b = S a. Los elementos Sij de la matriz 

están relacionados con distintos parámetros que definimos a continuación. Decimos que un 

puerto tiene su salida adaptada cuando está conectado a una impedancia de carga que no produce 

onda reflejada (que en caso de existir constituiría una onda incidente sobre el puerto). Por 

b2 

Z2 

ejemplo, si el puerto 2 tiene su salida adaptada, se tiene 

a2 = 0. Análogamente, el puerto tiene su entrada adaptada cuando no 

existe onda saliente del puerto. En tal caso, para ese puerto bi = 0. 

Supongamos un sistema donde todos los puertos, salvo el primero, tienen 

sus salidas adaptadas. Entonces ai = 0 si i > 1. Las ecuaciones en la descripción 

de la matriz de dispersión se reducen a: 

= S a i = 1, 

2,..., 

n 

bi i1 

1 

de modo que S11 es un coeficiente de reflexión del primer puerto mientras que los Si1 (i > 1) son 

coeficientes de transferencia de señal que liga al entrada en el primer puerto con las salidas en 

los otros puertos. Se los conoce como ganancias (o pérdidas) de inserción, según que sus módulos 

sean mayores o menores que 1. Resulta así que los coeficientes diagonales de la matriz de 

dispersión Sii son coeficientes de reflexión del puerto en cuestión y los coeficientes fuera de la 

diagonal principal Sij son coeficientes de transferencia o inserción entre distintos puertos. 

Muchos sistemas satisfacen también la condición de reciprocidad: Sij = Sji. Esta condición significa 

que la transferencia de señales entre los puertos i y j es simétrica o recíproca. 

Desde el punto de vista de la potencia o energía que se propaga entre los puertos, podemos decir 

que, en general, para señales armónicas la potencia media que ingresa en cada puerto (potencia 

* 2 

incidente) es proporcional a a a = a , mientras que la potencia media que sale de cada puerto 

(potencia reflejada) es proporcional a 

i 

i 

i 

i 

* 

i 

2 

bi 

2 

i 

b b = . Por lo tanto, la potencia media neta que in- 

2 

gresa a cada puerto es proporcional a ai − b . 

Analizamos nuevamente el caso donde todos los puertos, salvo el primero, tienen sus salidas 

2 2 

2 2 ⎪⎧ 

( 1− 

S11 

) a1 

adaptadas. En tal caso, bi 

= Si1a1 

⇒ ai 

− bi 

= ⎨ 2 2 . 

⎪⎩ − Si1 

ai 

i > 1 

Si el sistema no tiene pérdidas ni ganancia de potencia, toda la potencia que entra debe salir, 

mientras que si hay pérdidas la potencia que sale debe ser menor que la que entra, de manera que 

para un sistema pasivo: 

a 

2 

3 

2 

1 

a3 

a2 

n 

2 2 

2 2 

− ∑ bi 

= a1 

− ∑ Si1 

a1 

≥ 0 ⇒ ∑ S 

i= 

1 

b2 

b3 

n 

i= 

1 



n 

i= 

1 

2 

i1 

≤ 1

0 

0 

2 

i( 

ωt+ 

kd ) 


Se ve que cada sumando Si1 propaga a cada puerto. 

representa la fracción de potencia incidente en el sistema que se 

Vamos a ejemplificar sistemas de 1 y 2 puertos para líneas de transmisión. 

1 Puerto 

Para ejemplificar el caso de un sistema de un único puerto, consideramos 

un tramo de línea de longitud d conectada a una impedancia 

de carga ZL. Suponemos que la línea es ideal (sin pérdidas) de 

impedancia característica Z0 real. La entrada al tramo de línea es el 

único puerto. Definimos, como es costumbre en la literatura, las 

señales en el puerto como: 

v1 

+ Z 0i1 

a1 

= 

2 Z 0 

v1 

− Z 0i1 

b1 

= 

2 Z 0 

donde 1 v e d 

b1 

a1 

Z0 ZL 

i 1 son la tensión y la corriente en el puerto. Podemos relacionar estas cantidades con 

las ondas de tensión y corriente en la línea de la forma: 

i( 

ωt+ 

kd ) 

i( 

ωt− 

kd ) i( 

ωt+ 

kd ) 

−i 

2kd 

v1 

= v+ 

( −d 

) + v − ( −d 

) = V+ 

[ e + ρ L e ] = V+ 

e [ 1 + ρ L e ] 

V+ 

i( 

ωt+ 

kd ) 

i( 

ωt− 

kd ) V+ 

i( 

ωt+ 

kd ) 

−i 

2kd 

i1 

= i+ 

( −d 

) + i− 

( −d 

) = [ e − ρ L e ] = e [ 1 − ρ L e ] 

Z 0 

Z 0 

de modo que: 

i( 

ωt+ 

kd ) 

−i 

2kd 

−i 

2kd 

v1 

+ Z 0i1 

V+ 

e [ 1 + ρ L e + 1 − ρ L e ] 

a1 

= = 

= 

2 Z 

2 Z 

V+ 

Z 

i( 

ωt+ 

kd ) 

e 

v1 

− Z 0i1 

V+ 

e 

b1 

= = 

2 Z 

0 

−i 

2kd 

−i 

2kd 

−i2 

kd 

[ 1 + ρ e − 1 + ρ e ] ρ V e i( 

ωt+ 

kd ) 

L 

2 

Z 

0 

Luego la relación de dispersión es: b1 

= S11 

a1 

⇒ 

−i 

2kd 

S11 

= ρ L e de donde se puede ver que 

S11 es un coeficiente de relexión, salvo un factor de fase. 

También se ve que S11 2 

= ρ L 

2 

≤ 1. 

Es 1 cuando hay reflexión total (carga 0 o ∞). 

La impedancia en el puerto único es: 

entrada de la línea. 

−i 

2kd 

v1 

1 + ρ L e 

Z1 = = Z 0 

−i 

2kd 

i1 

1 − ρ L e 

que es la impedancia de 

2 Puertos 

Hemos adoptado un modelo de cuadripolo de una línea de transmisión para hallar las ecuaciones 

del telegrafista y, a partir de ellas, analizar la propagación de ondas en la línea. En general, es 

posible describir el comportamiento de la línea en términos de la matriz de dispersión modeli- 

bn-1 

an-1 

zn-1 

bn 

Z0n-1 

an 

bn+1 

Z0n 

an+1 

bn+2 

Z0n+1 

an+2 

zn zn+1 zn+2 



L 

= 

L 

0 

+ 

Z 

0 

zándola como un conjunto de cuadripolos en 

cascada. Para el n-ésimo elemento del conjunto 

definimos una onda incidente an y una 

onda reflejada bn y le adjudicamos una impedancia 

característica Z0n. Considerar que la 

impedancia característica sea variable elemento a elemento de la cascada nos permite analizar 

b1 

a1 

d 

Z0 

z0 

a2 

b2 

sistemas no uniformes e incorporar dispositivos intermedios 

como acopladores, filtros, etc. 

Consideramos uno de los cuadripolos como un tramo de línea 

ideal de impedancia característica Z0 y longitud d. El puerto 

más cercano a la carga ZL se halla en la posición z0. Definimos 

e


las variables de puerto como en el caso previo 4 : 

v1 

+ Z 0i1 

v1 

− Z 0i1 

a1 

= 

b1 

= 

2 Z 0 

2 Z 0 

v2 

− Z 0i2 

v2 

+ Z 0i2 

a2 

= 

b2 

= 

2 Z 0 

2 Z 0 

Desde el punto de vista de la línea de transmisión, las ondas que inciden y se reflejan sobre los 

puertos son: 

i[ 

ω t+ 

k ( z0 

+ d )] 

i[ 

ω t+ 

k ( z0 

+ d )] 

⎧v1+ 

= V+ 

e 

i1+ 

= V+ 

Z 0 e 

Ondas incidentes ⎨ 

i( 

ω t−k 

z0 

) 

i( 

ω t−k 

z0 

) 

⎩ v2− 

= ρ L V+ 

e 

i2− 

= − ρ L V+ 

Z 0 e 

Ondas reflejadas 

⎧v 

⎨ 

⎩v 

1− 

2+ 

= ρ V 

= V 

L 

+ 

e 

e 

i[ 

ω t−k 

( z0 

+ d )] 

+ 

i( 

ω t+ 

k z0 

) 

Entonces las variables del puerto son: 

v1 

+ Z 0i1 

( v 

a1 

= = 

2 Z 

a 

2 

0 

v2 

− Z i 

= 

2 Z 

0 2 

0 

1+ 

ρ L V 

= 

+ v 

y se observa entonces que: 

v 

v 

1+ 

2+ 

= 

= 

Z 

Z 

+ 

0 

0 

e 

1− 

i( 

ωt−kz0 

) 

Z 

a 

b 

1 

0 

2 

) + Z 0 ( i 

2 Z 

v 

0 

1− 

v 

2− 

1+ 

= 

= 

+ i1− 

) V+ 

e 

= 

= −ρ 

L V+ 

Z 

= V Z 

i( 

e 

i[ 

ω t−k 

( z0 

+ d )] 

0 

ω t+ 

k z0 

) 

puerto 1, que es la onda “reflejada” en el puerto 1. 



Z 

Z 

0 

0 

b 

1 

a 

2 

i 

1+ 

i 

i 

i 

1− 

2− 

0 

+ 

i[ 

ωt+ 

k ( z0 

+ d )] 

2+ 

Z 

= a 

1 

= b 

/ 

2 

/ 

Z 

0 

Z 

0 

0 

e 

v1 

− Z 0i1 

ρ L V+ 

e 

b1 

= = 

2 Z 

Z 

0 

v2 

+ Z i 

b2 

= 

2 Z 

i 

1− 

i 

= −b 

Las variables de puerto están relacionadas entre sí por el sistema lineal: 

b = S a + S a 

b 

1 

2 

11 

= S 

21 

1 

1 

12 

a + S 

22 

2 

a 

2 

2− 

1 

0 2 

0 

/ 

= −a 

2 

/ 

V 

= 

Z 

0 

Z 

+ 

0 

e 

i[ 

ωt−k 

( z0 

+ d )] 

i( 

ωt+ 

kz0 

) 

Para calcular los coeficientes de la matriz de dispersión usamos la técnica de adaptar la salida (o 

entrada) de los puertos sucesivamente para simplificar las ecuaciones. Supongamos primero que 

el puerto de salida está adaptado (no hay onda incidente sobre la salida): 

a 2 = 0 ⇒ b1 

= S11a1 

b2 

= S21a1 

Entonces: 

i[ 

ωt−k 

( z0 

+ d )] 

b1 

ρ L V+ 

e 

−i 

2k 

( z0 

+ d ) 

S11 

= = 

= ρ 

i t k z d 

L e 

[ ω + ( 0 + )] 

a V e 

i( 

ωt+ 

kz0 

) 

b2 

V+ 

e 

−ikd 

S21 

= = 

= e 

i[ 

ωt+ 

k ( z0 

+ d )] 

a V e 

1 

+ 

Se ve que S11 es el coeficiente de reflexión de las ondas a la entrada y S21 es un factor de desfasaje 

introducido en la propagación de la onda progresiva en el puerto cuando la salida está 

adaptada. Para líneas sin pérdidas ⏐S21⏐=1, mientras que en líneas con pérdidas ⏐S21⏐< 1, ya 

que el número de onda k es entonces complejo, indicando una atenuación de la onda en su propagación 

a lo largo del puerto. En general, el puerto puede incorporar un circuito activo que amplifique 

la onda incidente, en cuyo caso tendremos ⏐S21⏐> 1. Por lo tanto, S21 se conoce como 

ganancia (o pérdida) de inserción del puerto, e indica el factor que el puerto introduce para la 

onda progresiva en la propagación. 

4 Nótese que las ai se refieren a las ondas incidentes en el puerto i-ésimo. Así a2 está asociada a la onda que sale del 

1 

+ 

Z 

0 

0


Análogamente, si ahora suponemos que la entrada del puerto está adaptada (no hay onda incidente 

sobre la entrada): v1 

+ = 0 ⇒ a1 

= 0 

y las ecuaciones de dispersión quedan: b 1 = S12a 

2 b2 

= S22a 

2 


b2 

S22 

= 

a 

i( 

ωt+ 

kz0 

) 

V+ 

e 

= 

i( 

ωt−kz0 

) 

ρ V e 

1 

= 

ρ 

i2 

kz0 

e 

b1 

S12 

= 

a 

i[ 

ωt− 

k ( z0 

+ d )] 

ρ L V+ 

e 

−ikd 

= 

= e 

i( 

ωt− 

kz0 

) 

ρ V e 

2 L + 

L 

2 L + 

Se ve que S22 es el coeficiente de reflexión de las ondas a la salida (aquí escrito en términos del 

coeficiente de reflexión en la carga de la línea) y S12 es el factor de desfasaje introducido en la 

propagación de la onda regresiva en el puerto cuando la entrada está adaptada. 

Se observa además que: S 12 = S21 

. Esta es una condición general de los puertos que cumplen 

la llamada relación de reciprocidad, que conceptualmente puede definirse como la situación 

donde el puerto de comporta de la misma manera para la propagación en ambos sentidos. 

La impedancia en el puerto de entrada es: 

v1 

v1+ 

+ v1− 

Z in = = = Z 0 

i i + i 

a1 

+ b1 

= Z 0 

a − b 

( 1+ 

S11 

) a1 

+ S12a 

2 

( 1− 

S ) a − S a 

1 

1+ 

1− 

En el caso de salida adaptada ( a 0 ): 

Análogamente: 

Z out 

v 

= 

i 

2 

2 

v 

= 

i 

2 + 

2 + 

2 = 

+ v 

+ i 

Y para entrada adaptada ( a 0 ): 

 

P 

2 

P 

1 = 

2− 

2− 

Z 

= Z 

0 

Z 

out a1= 

0 

1 

in a2 

= 0 

b 

b 

2 

2 

+ a 

− a 

= −Z 

5 

Obsérvese que las potencias reflejadas a la entrada y la salida son de por sí negativas, lo que indica que son potencias 

que fluyen hacia fuera del cuadripolo. 



1 

= Z 

2 

2 

0 

0 

= Z 

1+ 

S 

1− 

S 

0 

1 + S 

1 − S 

22 

22 

S 

S 

21 

21 

11 

11 

a 

a 

⇒ 

1 

1 

⇒ 

11 

S 

1 

11 

+ ( 1+ 

S 

− ( 1− 

S 

S 

22 

12 

Z 

= 

Z 

22 

22 

Z 

= 

Z 

) a 

) a 

2 

in a2 

= 0 

in a2 

= 0 

2 

2 

out a1 

= 0 

out a1= 

0 

+ Z 

− Z 

− Z 

+ Z 

Analicemos el comportamiento de transmisión de potencia. Las potencias 

medias netas (incidente – reflejada) en cada puerto son 5 : 

1 

* * 1 

* * 1 2 

2 

= v1+ 

i1+ 

+ v1−i1− 

= ℜe( 

v1+ 

i1+ 

+ v1−i1− 

) = ℜe( 

a1 

a1 

− b1 

b1 

) = ( a1 

− S11a1 

+ S12a2 

) 

2 

2 

2 

1 2 

2 2 2 

* * 

= [ a1 

( 1− 

S11 

) − S12 

a2 

− 2ℜe( 

S11S12a1a 

2 ) ] 

2 

1 

* 

* 1 

* * 1 2 

2 

− v2− 

i2− 

− v2+ 

i2+ 

= ℜe( 

− v2− 

i2− 

− v2 

i2 

) = ℜe( 

a2 

a2 

− b2 

b2 

) = ( a2 

− S21a 

1 + S 22a 

2 ) 

2 

2 

2 

2 

2 

2 2 

* * 

[ a2 

( 1− 

S 22 ) − S 21 a1 

− 2ℜe( 

S 21S 

22a 

2a1 

) ] 

1 

= + 

1 

= 

2 

La potencia neta que fluye hacia la derecha del cuadripolo es: 

1 2 

2 2 2 

* * 

P = P1 

− P2 

= [ a1 

( 1− 

S11 

) − S12 

a2 

− 2ℜe( 

S11S12a1a 

2 ) ] 

2 

1 2 

2 2 2 

* * 

− [ a2 

( 1− 

S22 

) − S21 

a1 

− 2ℜe( 

S21S 

22a 

2a1 

) ] 

2 

Consideremos el caso de salida adaptada, donde v 2 − = 0 ⇒ a2 

= 0 : 

1 2 

2 1 2 2 1 2 

2 2 

P = P1 

− P2 

= [ a1 

( 1− 

S11 

) ] − [ − S21 

a1 

] = [ a1 

( 1− 

S11 

+ S21 

) ] 

2 

2 

2 

Si la salida está adaptada, esta cantidad será nula si no hay pérdidas, ya que representa la potencia 

neta que ingresa al puerto de entrada menos la que sale del puerto de salida. Si hay pérdidas, 

la potencia neta que entra es mayor que la que sale y la cantidad es positiva. Entonces: 

0 

0 

0 

0


2 

11 

2 

21 

1− S + S ≥ 0 ⇒ S ≤ 1− 

S 

El coeficiente de reflexión de potencia a la entrada es: 

R = 

− v1−i1− 

v1+ 

i1+ 

1 

* 

ℜe( 

b ) 

2 

1 b1 

2 

S11a1 

+ S12a 

2 

= 

= 

= 

2 

1 

* 

ℜe( 

a ) 

1 

1 a a 

1 

2 

2 2 2 2 

* * 

S11 

a1 

+ S12 

a2 

− 2ℜe( 

S11S12a1a 

2 ) 

2 

a1 

En el caso de la salida adaptada queda: 

como para el sistema de 1 puerto. 

2 

R = S11 

Relación con otras descripciones matriciales 

La descripción de la propagación por medio de cuadripolos y la matriz de dispersión está asociada 

a otras descripciones. 

La matriz de transmisión T permite relacionar las ondas a la salida del cuadripolo en función 

de las ondas en su entrada. En nuestra notación: 

b2 

= T11a1 

+ T12b1 

a2 

= T21a1 

+ T22b1 

Los coeficientes de la matriz de transmisión están relacionados con los de la matriz de dispersión 

por las relaciones: 

S21S12 

− S11S 

22 

T 11 = 

S12 

T12 

= S22 

/ S12 

T21 

= −S11 

/ S12 

T22 

= 1/ 

S12 

La matriz de transmisión es más cómoda que la de dispersión para tratar una cascada de cuadripolos. 

La matriz de impedancias Z relaciona las tensiones en los puertos con las corrientes: 

V1 

= Z11I 

1 + Z12I 

2 

V2 

= Z 21I 

1 + Z 22I 

2 

La matriz de admitancias Y es la inversa de Z: 

⎧ I1 

= Y11V1 

+ Y12V2 

⎨ 

⎩I 

2 = Y21V1 

+ Y22V2 

⇒ 

Z 22 

Y11 

= 

∆ 

Z12 

Y12 

= − 

∆ 

Z 21 

Y21 

= − 

∆ 

Z11 

Y22 

= 

∆ 

con 

∆ = Z11Z 

22 − Z12Z 

21 

Podemos relacionar la matriz de dispersión con la matriz de impedancias mediante las siguientes 

ecuaciones: 

S 

S 

donde z Z ij / Z 0 

11 

12 

( z 

= 

( z 

= 

( z 

11 

11 

11 

−1)( 

z 

+ 1)( 

z 

22 

22 

2z12 

+ 1)( 

z + 1) 

− z 

22 

−1) 

− z 

+ 1) 

− z 

12 

12 

12 

z 

z 

z 

21 

21 

21 

2 

21 

2 

11 



S 

S 

22 

21 

( z 

= 

( z 

= 

( z 

11 

11 

11 

+ 1)( 

z22 

−1) 

− z 

+ 1)( 

z22 

+ 1) 

− z 

2z 

21 

+ 1)( 

z + 1) 

− z 

ij = son las impedancias normalizadas a la impedancia característica del tramo. 

Estas descripciones matriciales de dispositivos y líneas de transmisión son de 

importancia porque proveen de una forma sencilla de conectar sucesivos dispositivos 

sin resolver en detalle las ecuaciones del circuito completo, y permiten 

utilizar programas como el Spice para analizar el comportamiento del circuito 

a partir de la descripción matricial de cada bloque. 

22 

12 

12 

12 

z 

z 

z 

21 

21 

21

PROBLEMAS 


6.11) A partir del diagrama de Smith, hallar la impedancia de entrada de una sección de línea 

de transmisión sin pérdidas de 50 Ω con longitud de 0.1λ, terminada en un cortocircuito. 

Comparar con el resultado analítico. 

[Rta: Zi = i 36.3 Ω] 

6.12) Empleando la carta de Smith, encuentre la longitud mínima en metros que debe tener una 

línea con Z0 = 100 Ω, terminada en circuito abierto para que a la entrada presente una impedancia 

de i30 Ω. Considere que la permitividad relativa εr del dieléctrico de la línea vale 2.5 y 

que la frecuencia de trabajo es de 300 Mhz. 

[Rta: 18.8 cm] 

6.13) Una línea de transmisión sin pérdidas, con impedancia característica de 50 Ω, está terminada 

en una carga cuya impedancia vale ZL = (50+i20) Ω. Si la línea mide λ/4, obtenga la 

impedancia de entrada a partir del diagrama de Smith. 

[Rta: Zi = (43 - i17.5) Ω] 

6.14) Una línea de transmisión ideal, con impedancia característica de 100 Ω, está terminada en 

una carga de valor (150 + i150) Ω. Se desea acoplarla por medio de un adaptador de λ/4, 

colocado a cierta distancia La de la carga. Calcule la impedancia característica del adaptador 

y la distancia La a la que debe colocarse. 

[Rta: Za = 183 Ω, La = 0.056λ] 

6.15) Dada una impedancia Z = (95 + i20) Ω, determinar a que admitancia corresponde utilizando 

el diagrama de Smith. 

[Rta: Y = (10 - i2) mS] 

6.16) Una línea de transmisión ideal de longitud 0.434λ y cuya impedancia característica es de 

100 Ω, está terminada en una impedancia de (260 + i180) Ω. Calcule a) el coeficiente de reflexión, 

b) la razón de onda estacionaria, c) la impedancia de entrada y d) la posición del valor 

máximo de voltaje más cercano a la carga. 

[Rta: ρ = 0.6/21.6°, S = 4, Zi = (69 + i120) Ω, a 0.03λ de la carga] 

6.17) Una línea de transmisión sin pérdidas tiene una impedancia característica de 100 Ω y 

está terminada con una carga (120 + i80) Ω. Se desean evitar las reflexiones hacia el generador, 

acoplando la línea con un equilibrador reactivo. Encuentre la posición más cercana a la 

carga sobre la línea principal donde debe unirse el stub y obtenga la longitud del mismo. 

[Rta: l1 = 0.232λ, L1 = 0.148λ] 

6.18) Se conecta un generador de tensión ideal a una línea de 50Ω, v = 0.85c, 

αc = 2 dB/m, αd = 0.25 dB/m, L = λ a 100 MHz. El generador se coloca a λ/4 del extremo izquierdo 

de la línea. Los extremos de la línea se cortocircuitan. a) Determinar las expresiones 

de la tensión y la corriente a lo largo de la línea. b) Calcular la potencia cedida por el generador 

en resonancia. c) Calcular el Q y el ancho de banda de la línea. 

6.19) Una batería de 30V en serie con una resistencia de 75Ω se conecta a través de una línea 

de 50Ω y L = 600m de longitud con una carga resistiva de 30Ω. a) Dibujar los diagramas de 

rebote de la tensión y la corriente. b) Graficar V(L/2,t) e I(L/2,t). c) ¿Cuáles son los valores 

finales de tensión y corriente sobre la carga? 

6.20) Repita el problema anterior si ahora el generador es una fuente de pulsos de periodo T = 

10 ms y ciclo útil del 75%.

6 - Líneas de Transmisión (cont.) - Facultad de Ingeniería - UBA ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?