Hipersuperficies isoparamétricas y métricas de curvatura escalar ...

Problema de Yamabe 

Hipersuperficies Isoparamétricas 

Resultados 

Hipersuperficies isoparamétricas y métricas de 

curvatura escalar constante. 

Guillermo Henry y Jimmy Petean 

FCEyN, UBA 

21 de septiembre de 2011 

Hipersuperficies isoparamétricas y métricas de curvatura escalar c



Resultados 

Ecuación de Yamabe 

Sea (M, g) una variedad Riemanniana cerrada, dim(M) = n ≥ 3. 

El problema de Yamabe consiste en encontrar métricas de 

curvatura escalar constante en la clase conforme [g] de g. 




Resultados 





Funcional de curvatura escalar total: 

h ∈ [g] −→ 

 

M sh dvolh 

Vol(M, h) n−2 . 

n 




Resultados 






h ∈ [g] −→ 

 

M sh dvolh 

Vol(M, h) n−2 . 

n 

Si escribimos a h = f pn−2 g con f > 0, donde pn = 2n 

n−2 , 




Resultados 






h ∈ [g] −→ 

 

M sh dvolh 

Vol(M, h) n−2 . 

n 

Si escribimos a h = f pn−2g con f > 0, donde pn = 2n 

n−2 

que 

con an = 4 n−1 

n−2 . 

f −→ J(f ) = 

 

M an∇f 2 + sg f 2 dvolg 

f 2 

p 

, tenemos 




Resultados 

Los puntos críticos de este funcional corresponden a métricas de 





Resultados 



La ecuación de Euler-Lagrange de J, que llamamos ecuación de 

Yamabe, es 

− an∆g f + sg f = shf p−1 

(1) 




Resultados 



La ecuación de Euler-Lagrange de J, que llamamos ecuación de 

Yamabe, es 

− an∆g f + sg f = shf p−1 

(1) 

Si h = f pn−2 g, son equivalentes: 

h es de curvatura escalar constante. 

h (f ) es un punto crítico de J. 

f es solución de la ecuación (1) con sh = J(f )f 2−p 

p . 




Resultados 

En una serie de trabajos H. Yamabe 60’, N. Trudinger ’68, T. 

Aubin ’76 y R. Schoen ’84 probaron que el ínfimo 

Y (M, [g]) = inf 

f ∈L2 1 ,f =0 

 


f 2 

p 

se alcanza en cada clase conforme, por lo tanto, en cada clase hay 

al menos una métrica de curvatura escalar constante. 

Hipersuperficies isoparamétricas y métricas de curvatura escalar c 

.



Resultados 



Y (M, [g]) = inf 

f ∈L2 1 ,f =0 

 


f 2 

p 



El problema técnico está generado por el exponente p, ya que para 

este valor la inclusión de L 2 1 en Lp no es compacta. 


.



Resultados 



Y (M, [g]) = inf 

f ∈L2 1 ,f =0 

 


f 2 

p 



El problema técnico está generado por el exponente p, ya que para 

este valor la inclusión de L 2 1 en Lp no es compacta. Y (M, [g]) es 

conocida como la constante de Yamabe. 


.

Hechos: 



Resultados 

En una clase conforme no puede haber métricas con curvatura 

escalar de distinto signo. 


Hechos: 



Resultados 



Si Y (M, [g]) ≤ 0 sólo existe una única métrica de curvatura 

escalar constante de volumen 1. 


Hechos: 



Resultados 





Y (Mn , [g]) ≤ Y (S n , g n 0 ) = n(n − 1)Vol(S n , g n 2 

0 ) n . 


Hechos: 



Resultados 





Y (Mn , [g]) ≤ Y (S n , g n 0 ) = n(n − 1)Vol(S n , g n 2 

0 ) n . 

El invariante de Yamabe se define 

Y (M) = sup [g]Y (M, [g]) ≤ Y (S n , g n 0 ). 

En en S n y CP 2 (Lebrun ’97) se alcanza, pero para S n × S 1 

no (Schoen ’87). 

Y (S k × S m ) =? 


Problema 



Resultados 

Vamos a mostrar resultados acerca de la multiplicidad de las 

soluciones a la ecuación de Yamabe para 

(S n × S k , [g n 0 + Tg k 0 ]) que dependen sólo de S n . 


Problema 



Resultados 




− ∆g0u + λu = λuq 

con 2 < q = pn+k − 1 < pn − 1, λ = 

n(n−1)+(1/T )k(k−1) 

. 

an+k 

(2) 


Problema 



Resultados 




− ∆g0u + λu = λuq 

con 2 < q = pn+k − 1 < pn − 1, λ = 

Veremos que existen soluciones no radiales. 

n(n−1)+(1/T )k(k−1) 

. 

an+k 

(2) 


Problema 



Resultados 




− ∆g0u + λu = λuq 

con 2 < q = pn+k − 1 < pn − 1, λ = 

n(n−1)+(1/T )k(k−1) 

. 

an+k 


Caso radial: Jin, Li y Xu (2008) y Petean (2010). 

(2) 


Problema 



Resultados 




− ∆g0u + λu = λuq 

con 2 < q = pn+k − 1 < pn − 1, λ = 

n(n−1)+(1/T )k(k−1) 

. 

an+k 



S ⊂ S n 

h. isoparamétrica 

existe f solución de (2) tal que f es constante en S × S k . 

(2) 


Problema 



Resultados 




− ∆g0u + λu = λuq 

con 2 < q = pn+k − 1 < pn − 1, λ = 

n(n−1)+(1/T )k(k−1) 

. 

an+k 



S ⊂ S n 



Resultados similares para (M × N, g + h) con (M, g) cerrada 

de curvatura escalar constante. 

(2) 


Problema 



Resultados 




− ∆g0u + λu = λuq 

con 2 < q = pn+k − 1 < pn − 1, λ = 

n(n−1)+(1/T )k(k−1) 

. 

an+k 



S ⊂ S n 



Resultados similares para (M × N, g + h) con (M, g) cerrada 

de curvatura escalar constante. 

Las hipersuficies Isoparamétricas son fuente de métricas de 


(2) 




Resultados 


Definición: Sea f : M −→ IR suave, decimos que es isoparamétrica 

si existen b suave y a contínua tal que 

∇(f ) 2 = b ◦ f 

∆g (f ) = a ◦ f . 

Una hipersuperficie isoparamétrica es una superficie de nivel 

regular de f . 




Resultados 




∇(f ) 2 = b ◦ f 

∆g (f ) = a ◦ f . 



Ejemplos: 

f : S n −→ IR dada por f (x) = xn+1 es isoparamétrica. La 

familia de hipersuperficies inducida ≈ S n−1 . 




Resultados 




∇(f ) 2 = b ◦ f 

∆g (f ) = a ◦ f . 



Ejemplos: 



(x, y) ∈ R n+k sea f (x, y) = x 2 1 + · · · + x 2 n − y 2 1 − · · · − y 2 k . 

f | S n+k es isoparamétrica y la familia inducida es 

≈ S n−1 × S k−1 . 




Resultados 




∇(f ) 2 = b ◦ f 

∆g (f ) = a ◦ f . 



Ejemplos: 



(x, y) ∈ R n+k sea f (x, y) = x 2 1 + · · · + x 2 n − y 2 1 − · · · − y 2 k . 

f | S n+k es isoparamétrica y la familia inducida es 

≈ S n−1 × S k−1 . 

Hay flias. de h. isoparamétricas no homogéneas en las esferas: 

Ozeki y Takeuchi ’75 y ’76, en S 15 . Las de tipo F-K-M ’81. 




Resultados 

Las hipersuperficies isoparamétricas en los espacios de 

curvatura constante tienen curvaturas principales constantes 

(E. Cartan ’38). La cantidad de curvaturas principales 

distintas l se llama grado de la hipersuperficie. 




Resultados 

Las hipersuperficies isoparamétricas en los espacios de 

curvatura constante tienen curvaturas principales constantes 

(E. Cartan ’38). La cantidad de curvaturas principales 

distintas l se llama grado de la hipersuperficie. 

(Münzner ’80, ’81) f : S n −→ IR es una función 

isoparamétrica de grado l sii f = F |Sn con F polinomio 

homogéneo de IRn+1 de grado l tal que 

< ∇F , ∇F >= l 2 x 2l−2 

∆F = 1 

2 cl 2 x l−2 

donde l = 1, 2, 3, 4 y 6, c = 0 si l = 1 o l = 3, sino 

c = m2 − m1 donde la mitad de las curvaturas principales 

tienen multiplicidad m1 y las otras m2. 




Resultados 

Si l = 1 la flia. de h.i. son S n−1 . Si l = 2 son S k × S n−k−1 

con 1 ≤ k ≤ n − 2 




Resultados 


con 1 ≤ k ≤ n − 2 

Si el grado es 3, las multiplicidades posibles son m = 1, 2, 4, 8, 

por lo tanto sólo puede haber (hay) h.i. de grado 3 en 

S 4 , S 7 , S 8 , S 25 (Cartan ’38). 




Resultados 


con 1 ≤ k ≤ n − 2 



S 4 , S 7 , S 8 , S 25 (Cartan ’38). 

Si l = 6 entonces m1 = m2 = 1 y m1 = m2 = 2. Solo hay en 

S 7 y S 13 Abresch ’83, Miyaoka 2009. 




Resultados 


con 1 ≤ k ≤ n − 2 



S 4 , S 7 , S 8 , S 25 (Cartan ’38). 



Todos estos casos son homogéneos. 




Resultados 


con 1 ≤ k ≤ n − 2 



S 4 , S 7 , S 8 , S 25 (Cartan ’38). 



Todos estos casos son homogéneos. 

En grado 4 están los ejemplos no homogéneos: las de tipo 

FKM. No hay una clasifición total. S 15 , S 19 y S 31 . (Chi: sólo 

S 31 ) 


Resultados 



Resultados 

Sea λi,n = −i(n + i − 1) los autovalores del Laplaciano de S n y 

λ l,q −λil,n 

i,n = 

q − 1 . 


Resultados 



Resultados 


es creciente i. 


i,n = 

q − 1 . 


Resultados 



Resultados 



i,n = 

q − 1 . 

es creciente i. 

Teorema[H -Petean] Sea S una hipersuperficie isoparamétrica de 

S n de grado l. Para cada i existen al menos i soluciones de la 

ecuación 

−∆g0u + λu = λuq 

en S n que son constantes a lo largo de S si λ ∈ (λ l,q 

i,n , λl,q 

i+1,n ]. 




Resultados 

Si en la ecuación del Teorema tomamos λ = 

q = pn+k − 1 con n = k = 3, es decir 

n(n−1)+(1/T )k(k−1) 

an+k 

λ = 6 1 

(1 + ) y q = 2 

5 T 

tenemos el caso de la ecuación de Yamabe (que depende sólo de 

una variable) de 

(S 3 × S 3 , [g 3 0 + Tg 3 0 ]) 


y



Resultados 



n(n−1)+(1/T )k(k−1) 

an+k 

λ = 6 1 

(1 + ) y q = 2 

5 T 



(S 3 × S 3 , [g 3 0 + Tg 3 0 ]) 

Sea u l i = il(2 + il), Si S ⊆ S 3 una h.i. de grado l = 1, 2 y 

entonces existen: 

5u l i+1 

6 

≤ T < 

− 6 

i soluciones constantes sobre S. 

5u l i 

6 

− 6 


y



Resultados 



n(n−1)+(1/T )k(k−1) 

an+k 

λ = 6 1 

(1 + ) y q = 2 

5 T 



(S 3 × S 3 , [g 3 0 + Tg 3 0 ]) 

Sea u l i = il(2 + il), Si S ⊆ S 3 una h.i. de grado l = 1, 2 y 

entonces existen: 

5u l i+1 

6 

≤ T < 

− 6 

i soluciones constantes sobre S. 

5u l i 

6 

− 6 

Existen i métricas distintas de curvatura escalar constante en 

la clase conforme de [g 3 0 + Tg 3 0 ]. 


y

Sea µ n,k 

i 



Resultados 

= (n + k − 1) λi,n y T n,k 

i 

= k(k − 1)/(−µn,k i − n(n − 1)). 


Sea µ n,k 

i 



Resultados 

= (n + k − 1) λi,n y T n,k 

i 

= k(k − 1)/(−µn,k i − n(n − 1)). 

Corolario[H-Petean] Sea N n,k 

Y (T ) el número de métricas de 

volumen 1 isométricamnete distintas en la clase conforme de 

(S n × S k , g n 0 + Tg k 0 

n,k n,k 

) y supongamos que T ∈ [Ti+1 , Ti ). 


Sea µ n,k 

i 



Resultados 

= (n + k − 1) λi,n y T n,k 

i 

= k(k − 1)/(−µn,k i − n(n − 1)). 

Corolario[H-Petean] Sea N n,k 

Y (T ) el número de métricas de 

volumen 1 isométricamnete distintas en la clase conforme de 

(S n × S k , g n 0 + Tg k 0 

Entonces 

n,k n,k 

) y supongamos que T ∈ [Ti+1 , Ti ). 

a) Si n = 2m con m = 2 entonces N n,k 

Y (T ) ≥ i + [(2m − 1)/2][i/2]. 

b) Si n = 2m + 1 con m = 1, 3, 4, 6, 7, 9, 12 entonces 

(T ) ≥ i + m[i/2] + (γ(m) + β(m))[i/4]. 

N n,k 

Y 

c) 1 Si n = 3, N n,k 

Y 

2 Si n = 4, N n,k 

Y 

3 Si n = 7, N n,k 

Y 

4 Si n = 9, N n,k 

Y 

5 Si n = 13, N n,k 

Y 

6 Si n = 15, N n,k 

Y 

7 Si n = 19, N n,k 

Y 

8 Si n = 25, N n,k 

Y 

(T ) ≥ i + [i/2]. 

(T ) ≥ i + [i/2] + [i/3]. 

(T ) ≥ i + 3[i/2] + [i/3] + [i/4] + [i/6]. 

(T ) ≥ i + 4[i/2] + 2[i/4]. 

(T ) ≥ i + 6[i/2] + [i/3] + [i/4] + [i/6]. 

(T ) ≥ i + 7[i/2] + 4[i/4]. 

(T ) ≥ i + 9[i/2] + 3[i/4]. 

(T ) ≥ i + 12[i/2] + [i/3] + [i/4]. 




Resultados 

Sea m un entero y j0 el número de 2’s en la factorización de m + 1. 

Si j0 = 4l + d con d = 0, 1, 2, 3, sea 

γ(m) = 8l + 2 d 




Resultados 

Sea m un entero y j0 el número de 2’s en la factorización de m + 1. 

Si j0 = 4l + d con d = 0, 1, 2, 3, sea 

β(m) = 

γ(m) = 8l + 2 d 

 

{m1 : φ(m1)≤j0 , m1≡0(4)} 

[ m + 1 

] 

2φ(m1)+1 donde φ(r) es el número de enteros s tal que 1 ≤ s ≤ r − 1 y 

s ≡ 0, 1, 2, 4 mod(8). 




Resultados 

Lema [H-Petean] Sea S ⊂ M isoparamétrica. Se puede ver que 

existe una subsucesión de los autovalores del Laplaciano de (M, g) 

tal que para cada autovalor en la subsuceción existe una 

autofunción no nula que es constante sobre S. 

Sea λ0 = λ0(M, g, S) < 0 el primero de estos autovalores. 




Resultados 

Lema [H-Petean] Sea S ⊂ M isoparamétrica. Se puede ver que 

existe una subsucesión de los autovalores del Laplaciano de (M, g) 

tal que para cada autovalor en la subsuceción existe una 

autofunción no nula que es constante sobre S. 

Sea λ0 = λ0(M, g, S) < 0 el primero de estos autovalores. 

Teorema [H-Petean] Sea (M n , g) cerrada de curvatura escalar 

constante y S un h. i. Si (N k , h) es de curvatura escalar 

constante, sea s = sg + sh la curvatura escalar del producto. Si 

s > −an+kλ0 

pn+k−2 existe una función u : M → IR que es constante sobre 

S y resuelve la ecuación de Yamabe para (M × N, g + h). 




Resultados 

GrAcIaS! 




Resultados 




Resultados 

Multiplicidad de las Hipersuperficies Isoparamétricas de 

tipo Ferus- Karcher-Munzner 

(1, k − 2) (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), . . . 

(2, 2k − 3) (2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (2, 9), (2, 11), (2, 13), . . . 

(3, 4k − 4) (3, 4), (3, 8), (3, 12), (3, 16), (3, 20), (3, 24), . . . 

(4, 4k − 5) (4, 3), (4, 7), (4, 11), (4, 15), (4, 19), (4, 23), . . . 

(5, 8k − 6) (5, 2), (5, 10), (5, 18), (5, 26), (5, 34), (5, 42), . . . 

(6, 8k − 7) (6, 1), (6, 9), (6, 17), (6, 25), (6, 33), (6, 41), . . . 

(7, 8k − 8) (7, 8), (7, 16), (7, 24), (7, 32), (7, 40), (7, 48), . . . 

(8, 8k − 9) (8, 7), (8, 15), (8, 23), (8, 31), (8, 39), (8, 47), . . . 

(9, 16k − 10) (9, 6), (9, 22), (9, 38), (9, 54), (9, 70), (9, 86), . . . 

(10, 32k − 11) (10, 21), (10, 53), (10, 85), (10, 107), (10, 149), . . . 

(11, 64k − 12) (11, 52), (11, 116), (11, 180), (11, 244), (11, 308), . . . 

(12, 64k − 13) (12, 51), (12, 115), (12, 179), (12, 243), (12, 307), . . . 

(13, 128k − 14) (13, 114), (13, 242), (13, 370), (13, 498), (13, 626), . . . 

. Hipersuperficies isoparamétricas y métricas de curvatura escalar c

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