Tema 2 - Teletráfico Hoja de problemas 1 - Grupo de Ingeniería ...

E.T.S.I.I.T - Ingeniería de Telecomunicación 

Redes Telefónicas - Curso 2011/2012 

Tema 2 - Teletráfico 

Hoja de problemas 1 

Problema 1. Un grupo de circuitos cursan en 3 horas 500 llamadas con un tiempo 

medio de duración de 4 minutos. Calcular: 

(a) Volumen de tráfico. 

(b) Intensidad de tráfico cursado. 

(c) Número medio de llamadas en el sistema. 

Problema 2. Dada la figura representativa del estado de ocupación de un grupo de 

circuitos durante un tiempo de observación de 12 segundos, determinar: 

N(t) 

12 

t (seg) 

(a) La tasa de llegada de peticiones del sistema. 

(b) El tiempo medio de servicio de una unidad. 

(c) El número medio de circuitos ocupados. 

Teniendo en cuenta que de la figura anterior se desprende que el grupo de circuitos constituye 

un sistema con tres posibles estados: 0, 1 y 2, durante el tiempo de observación, 

obtener: 

(d) λ 0 y µ 1 , y comprobar que λ 0 ·p 0 = µ 1 ·p 1 , siendo: 

λ 0 la tasa de cambios del estado 0 al 1, con la condición de que el sistema está en 

el estado 0. 

µ 1 la tasa de cambios del estado 1 al 0, con la condición de que el sistema está en 

el estado 1.

Problema 3. Dados los siguientes sistemas con pérdidas: 

Sistema A 

Sistema B 

C A = 2 circuitos 

t s = 1/ s 

C B = 1 circuito 

t s = 1/2 s 

SabiendoqueenelSistemaAeltiempomediodeservicio porservidores1/µ,conocupación 

aleatoria, mientras que en el Sistema B el tiempo medio de servicio del servidor es de 1/2µ, 

calcular, para los dos sistemas A y B: 

(a) Tráfico ofrecido a un circuito (servidor). 

(b) La expresión del Grado de Servicio. Decir cuál de los dos es más grande, razonando 

la respuesta. 

Con la ayuda de los diagramas de transición entre estados (procesos de nacimiento y 

muerte), determinar: 

(c) El tiempo medio de permanencia en el estado de bloqueo. 

(d) El tiempo medio de permanencia en el estado 0 (sistema desocupado). 

(e) Las probabilidades p i (i ≠ 0) de todos los estados diferentes al estado de desocupado 

p 0 . 

(f) Calcular la p 0 en función de ρ = λ/µ. 

(g) El número medio de llamadas que se están sirviendo en función de las p i . 

(h) Utilizando la relación de Little, calcular cuál es la tasa cursada de entrada en función 

de la probabilidad de bloqueo.

Problema 4. Dos poblaciones a y b infinitas generan un tráfico poissoniano de tasas λ a 

y λ b , respectivamente. Las peticiones de las dos poblaciones son atendidas por un grupo 

de C = 25 circuitos con un tiempo medio de servicio de 3 minutos. 

Población a 

a 

1 

a = 200 llamadas/hora 

b = 400 llamadas/hora 

Población b 

b 

25 

Desbordamiento 

Calcular: 

(a) El tráfico ofrecido por cada población. 

(b) La probabilidad de bloqueo para la población b. 

(c) El tráfico cursado de la población a y de la población b. 

(d) El tráfico perdido para las poblaciones a y b. 

(e) La probabilidad de que una llamada sea de la población a y de la población b. 

(f) La probabilidad de que una llamada desbordada provenga de la población a y la 

probabilidad de que lo haga de la población b. 

Problema 5.Ungrupode10circuitosseocupandemanerasecuencial (estoes,seocupa 

el primer circuito si éste está libre; si está ocupado se ocupa el segundo y así repitiendo esta 

búsqueda por orden para cada una de las ocupaciones hasta que se acaban los circuitos del 

grupo). Si el tráfico es de 10 Erlangs y el tiempo medio de duración de una llamada es de 

120 segundos, calcular: 

(a) El tráfico cursado por el grupo de circuitos. 

(b) Tráfico cursado por el último circuito. 

(c) Tasa con la que se ocupa el primer circuito. 

(d) Tasa con la que se ocupa el último circuito. 

En el caso en que la ocupación fuese aleatoria (es decir, se ocupa cualquier circuito de entre 

los que están libres), calcular: 

(e) Tráfico cursado por el grupo de circuitos. 

(f) Tráfico cursado por el primer circuito. 

(g) Tráfico cursado por el último circuito. 

(h) Tasa con la que se ocupa el primer circuito.

Problema 6. Se ofrece un tráfico de A = 2 Erlangs a un grupo de 2 circuitos. Si la 

ocupación de estos circuitos es secuencial, calcular: 

(a) Probabilidad de tener un circuito ocupado. 

(b) Probabilidad de tener 2 circuitos ocupados. 

(c) Número medio de circuitos ocupados. 

(d) Probabilidad de tener el primer circuito ocupado. 

Si la ocupación es aleatoria, calcular: 

(e) Probabilidad de tener 0 circuitos ocupados. 

(f) Probabilidad de tener un circuito ocupado. 

(g) N o medio de circuitos ocupados. 

Sugerencia: Estudiar los diagramas de estado de cada caso donde cada estado se puede 

representar por: 

i,j 

i: ocupación del primer circuito 

j: ocupación del segundo circuito 

i,j = 0 libre i,j = 1 ocupado 

Problema 7. Dado el sistema de Erlang-C representado en la figura: 

N servidores 

esdecir,unsistema constituidoporN servidores, colainfinitaytiempomediodeserviciode 

una unidad para cada uno de los servidores 1/µ . Siendo λ la tasa de llegadas de peticiones 

al sistema y N, número de servidores, superior al tráfico ofrecido por λ, N > TO, señalar 

para cada una de las preguntas cuál de las respuestas es válida: 

(a) El tráfico cursado por los servidores será: 

1) TO·PD 2) TO 3) TO(1−PB) 4) TD 

(b) La tasa de llamadas cursadas por el servidor será: 

1) µ 2) λ(1−PB) 3) λ 4) µN 

(c) El tiempo medio entre finalizaciones del servicio será: 

1) 

1 

µ 

2) 

1 

λ 

3) 

1 

Nµ 

4) 

1 

λ(1−PB)

(d) El número medio de elementos en el sistema cola + servidores será: 

1) N q + N servidores 

N 

2) TC 3) 

W q +W servicio 

λ 

4) N q +N servidores 

Problema 8. Una empresa dispone de una centralita privada, sin operador, de baja capacidad 

yya dimensionada como sistema de acceso ala red públicapretendiéndose analizar 

su funcionamiento. La empresa tiene contratadas dos líneas a la compañía telefónica, de conexión 

con la red pública para dar servicio a 6 teléfonos (población finita pero distribución 

de Poisson), situados en diferentes despachos de aquélla. 

Se sabe que cada uno de los teléfonos genera individualmente en promedio 3 llamadas 

durante la hora cargada,λ ind , con una duración media de 120segundos (1/µ).Para facilitar 

la resolución supondremos que las llamadas o bien se cursan o bien se pierden. Por otra 

parte, el acceso a las líneas es secuencial. 

(a) Representar el diagrama de estados del sistema constituido por las dos líneas, indicando 

el estado (ocupado o libre) de cada una de las líneas y las tasas de transición. 

(b) Encontrar las probabilidades de estar en cada uno de los 4 estados anteriores en 

función de A ind = λ ind /µ. 

(c) Tráfico ofrecido al sistema en función de A ind . 

(d) Número medio de líneas ocupadas. 

(e) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema se bloquee 

Problema 9. Se dispone de un sistema formado por un grupo de C 1 circuitos sobre el 

que se ofrecen las llamadas en primera elección. Si este grupo está lleno, las peticiones se 

desbordan a otro grupo que dispone de un grupo de C 2 circuitos y una cola de capacidad 

ilimitada donde las llamadas esperan a que quede un circuito de este segundo grupo libre. 

TO 

Sistema A 

C 1 = 3 circuitos 

Sistema B 

C 2 = 2 circuitos 

(a) Calcular el tráfico cursado por el grupo de circuitos A cuando TO = 3 Erlangs. 

(b) Calcular el tráfico cursado por el grupo de circuitos B. 

(c) Probabilidad de que una llamada que llegue al grupo B no se espere para conseguir 

un circuito.

(d) Asumiendo que las ocupaciones de los grupo A y B son independientes, calcular la 

probabilidad de que una llamada que llegue al sistema no se espere. 

(e) ¿Qué valor máximo puede llegar a tener TO sin que el sistema llegue a saturarse (es 

decir, que el tamaño de la cola del grupo B no crezca indefinidamente) 

Problema 10. Considérese la red de conmutación de paquetes que se muestra en la 

figura: 

7 

2 

1 

A 

38400 bps 

B 

3 

38400 bps 

38400 bps 

D 

C 

6 

38400 bps 

5 

4 

donde la carga de paquetes medida en paquetes/segundo entre los nodos es la que se indica 

a continuación: 

De 1 a 4: 4 paquetes/seg. 



Considerando que la longitud de los paquetes está distribuida exponencialmente con media 

256 bytes, calcular el retardo medio en los siguientes casos: 

(a) Se realiza el encaminamiento en base al mínimo número de saltos. 

(b) Se cambia el encaminamiento de forma que la comunicación entre 3 y 6 se realiza a 

través de los enlaces BC y CD, en lugar de pasar directamente por el nodo D. 

Problema 11. Dado el sistema de Erlang-B representado en la figura: 

N servidores 

esto es, un sistema constituido por N servidores, con un tiempo medio entre servicio, por 

unidad 1/µ para cada uno de ellos, y una tasa de llegadas de peticiones de servicio λ.

Señalar para cada una de las siguientes preguntas cuál de las respuestas es cierta. 

(a) El tráfico ofrecido al sistema será: 

1) λ 2) 

λ 

µ 

3) TC 4) 

µ 

λ 

(b) Siendo N, el número de servidores, superior al tráfico ofrecido, N > TO se debe 

cumplir: 

1) TC = TO 2) TC < TO 3) TC > TO 

(c) La tasa de llegadas cursadas por el conjunto de los N servidores será: 

1) 

N 

µ 

2) λ 3) 

TO(1−PB) 

1/µ 

4) 

TO 

1/µ 

(d) El tiempo medio entre finalizaciones de servicio será: 

1) 

1 

µ 

2) 

1 

Nµ 

3) 

1 

µ·TO(1−PB) 

4) 

1 

λ 

Problema 12. Se dispone de un sistema condos servidores y cola de capacidad infinita, 

en el que el tiempo de servicio es exponencial de media 1/µ y la tasa de entrada depende 

del estado del sistema y sigue la ley λ n = λ/(1+n), siendo n el estado del sistema. 

(a) Representar el diagrama de estados del sistema. 

(b) Obtener las probabilidades de encontrarse en cada uno de los anteriores estados en 

función de A = λ/µ. 

(c) Obtener la tasa media de entrada al sistema en función de A, µ y p 0 . 

(d) Calcular el número medio de unidades en el sistema global en función de A y P 0 . 

(e) Obtener el número medio de unidades en el subsistema cola de espera y el número 

medio de unidades en el subsistema conjunto de servidores en función de A y P 0 . 

(f) Obtener el tiempo medio de permanencia en cada uno de los subsistemas en función 

de A y µ. 

Problema 13. Se dispone de una CPU a la que se envían programas, para ser ejecutados, 

siguiendo una ley de Poisson de tasa λ. Estos programas se esperan hasta que son 

asignados a la CPU, lo cual se hace según el orden de llegada. Con objeto de mejorar el 

grado de servicio, el sistema dispone de la posibilidad de conectar otra CPU en el momento 

en que haya N o más programas esperando en la cola. El tiempo de ejecución por programa 

es exponencial con valor medio 1/µ.

Se pide: 

(a) Diagrama de estados del sistema indicando las tasas de nacimiento y muerte. 

(b) Probabilidad de cada estado en función de A = λ/µ y N. 

Calcular en función de A, N y P 0 : 

(c) Tráfico ofrecido al sistema. 

(d) Tráfico cursado por el sistema cuando únicamente hay una CPU activada. 

(e) Probabilidad de bloqueo del sistema. 

(f) Probabilidad de que la segunda CPU esté en funcionamiento. 

Problema 14.Aunnododeconmutaciónseconectan4terminales.Dichonododispone 

de 3 enlaces de salida de capacidad 9600 bps cada uno. Cuando un terminal genera un 

mensaje, éste transmite por cualquier enlace libre, o se guarda en un buffer (interno al 

terminal) a la espera de que quede algún enlace libre para transmitirlo. La longitud de 

los mensajes está distribuida exponencialmente con media 960 bits. Entre el nodo y los 

terminalesexisteunprotocolo,demaneraquecuandounterminalgeneraunmensajequeda 

inactivo (no genera más mensajes) hasta que el nodo confirma que su mensaje ya ha 

sido transmitido (dicha confirmación es inmediata). Cada uno de los terminales activos 

generan mensajes según una distribución de Poisson con tasa λ = 2 mensajes/segundo. 

(a) Dibujar el diagrama de estados para el nodo. 

(b) Calcular las probabilidades para cada uno de dichos estados. 

(c) Calcular el número medio de mensajes en el nodo. 

(d) Calcular el tiempo medio de permanencia en el nodo. 

Problema 15. Un nodo de una red de conmutación de paquetes bajo estudio consta 

de un enlace de salida y una memoria adicional con capacidad para almacenar 3 paquetes. 

Una población infinita genera paquetes a una tasa media de λ p/s. La distribución de la 

longitud de los paquetes se supone exponencial y de media L bits. La capacidad de la línea 

de salida es de C bps mientras que el número de unidades en cola sea menor o igual a 

un paquete. Cuando esta condición no se cumple, el nodo renegocia instantáneamente con 

la red la capacidad del enlace, que pasa a ser de 2C bps para intentar drenar con mayor 

rapidez los paquetes entrantes. 

Se pide: 

(a) Dibujar el diagrama de estados. 

(b) Obtener la probabilidad de cada uno de los estados en régimen permanente. 

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione a C bps ¿Y a 2C bps 

(d) ¿Cuál es la probabilidad de pérdida de un paquete

(e) ¿Cuál es el tiempo medio de permanencia en el sistema 

Nota: En todo el problema se supone que la tasa media de servicio, correspondiente a la 

velocidad de transmisión C bps, es igual a la tasa de llegada de paquetes y, a su vez, igual 

a la unidad. 

Problema 16. Para aumentar la fiabilidad, los nodos A y B de una red de datos están 

unidos por dos enlaces de capacidades respectivas C 1 y C 2 , con C 1 > C 2 . 

Enlace 1 

Enlace 2 

El nodo A encamina los paquetes, de longitud exponencial de media L bits, por el enlace 

de mayor capacidad hasta que λ alcanza cierto umbral u p/s. El enlace 2 se empieza a 

utilizar cuando el tiempo de transferencia (espera + transmisión) por el enlace 1 se iguala 

al tiempo de transmisión de un paquete por el enlace 2, lo cual determina el valor de u. 

Cuando λ > u, A distribuye aleatoriamente los paquetes que sobrepasan el umbral de 

forma proporcional a la capacidad de los enlaces. 

Teniendo en cuenta que: 

Calcular: 

C 1 = 64 kbps 

C 2 = 32 kbps 

L = 100 bits 

(a) El valor de u. 

(b) El valor de λ 1 y λ 2 cuando λ = 2u. 

Problema 17. Las llegadas a una sucursal bancaria, por parte de una población infinita, 

se pueden modelar como un proceso de Poisson con tiempo medio entre llegadas de 

dos minutos. Dentro de la sucursal los clientes tienen la posibilidad realizar dos tipos de 

gestiones A y B, lo cual también se puede modelar como el acceso a dos tipos de sistemas, 

según se representa en la figura.

Cola Infinita 

C A = 4 circuitos 

1/ A = 300 s 

Población 

Infinita 

Sistema para 

gestiones de tipo A 

Cola Infinita 

Sistema para 

gestiones de tipo B 

C B = 1 circuito 

1/ B = 9 min 

En el sistema A los circuitos C A modelan el comportamiento de los oficinistas (que hacen 

gestiones del tipo A), y en el sistema B el circuito C B modela el comportamiento del director 

de la sucursal (que hace gestiones del tipo B). La probabilidad de que un cliente 

desee realizar una gestión del tipo A es 0.8. 

Calcular: 

(a) Tráfico ofrecido y tráfico cursado por cada uno de los sistemas. 

(b) Tiempo medio que deben esperar los clientes que realizan gestiones del tipo A y 

tiempo medio que deben esperar los clientes que realizan gestiones del tipo B. 

(c) Si los clientes que hacen gestiones de tipo A eligen al azar cualquier oficinista que se 

encuentre libre, ¿a cuántos clientes atenderá un oficinista durante las 8 horas de un 

día de trabajo 

Problema 18. Una empresa que diseña aplicaciones tiene que implantar un sistema de 

servidores. Se asume que las peticiones de servicio siguen una distribución de Poisson, con 

tasa λ. El ingeniero se plantea dos alternativas: 

Emplear tres sistemas idénticos, en los que el tiempo de servicio medio (se asume una 

distribución exponencial) es de 1/µ. Si los tres servidores están ocupados, la petición 

se pierde. 

Sustituir dos de los anteriores equipos por uno de mayores prestaciones, con un 

tiempo de servicio medio (también distribuido exponencialmente) tres veces menor. 

En este caso, cuando una petición llega al sistema, es atendida por la máquina de 

mayores prestaciones y, si estuviera ocupada, por el segundo servidor. Al igual que en 

la anterior estrategia, cuando los dos servidores están ocupados, la petición se pierde. 

Teniendo en cuenta que λ = 2 peticiones/segundo, y que el tiempo de servicio es 1/µ = 

1 segundos, se pide:

(a) Determinar la probabilidad de pérdida en ambos sistemas; ¿cuál de las estrategias 

ofrece un mejor GoS 

Nota: Paraanalizarlasegunda alternativa,representar cadaestadocomo(i,j),donde 

i representa la ocupación del primer servidor y j la del segundo. 

(b) En la segunda alternativa, ¿cuál es la probabilidad de que el primer servidor esté ocupado 

(c) Calcular,paralosdosestrategias,elnúmeromediodeservidoresocupadosyeltiempo 

medio de permanencia en el sistema. 

Problema 19. Una empresa tiene contratada 2 líneas de salida en su “router”, que se 

supone dispone de una memoria infinita para almacenar los paquetes antes de ser transmitidos. 

La capacidad de cada una de ellas es de C bps y se asume que la distribución de 

la longitud de los paquetes es exponencial, con media L bits, y que la tasa de llegada de 

paquetes al “router” es λ pkt/s . Para abaratar costes se decide valorar la posibilidad de 

contratar una única línea, con capacidad αC bps (α > 1). Se pide: 

(a) Representar lascadenasdeMarkov quepermitenanalizarambossistemas. Establecer 

las tasas de nacimiento y muerte correspondientes y derivar la probabilidad de cada 

uno de los estados en función de λ,C,L y α. 

(b) Derivar el tiempo medio de espera en la cola para los dos sistemas. 

(c) Calcular el valor mínimo de α para que el tiempo medio total (espera y transmisión) 

sea igual en ambos casos. 

(d) Teniendo en cuenta que el alquiler de una línea tiene un precio fijo de 30e, más 10e 

adicionales por kbps contratado, ¿sería rentable modificar la configuración (Asumir 

que L = 1000 bits, λ = 10 pkt/s y C = 10 kbps) 

Ayuda: Si |x| < 1, se sabe que: 

∞∑ 

i=0 

x i = 1 

1−x 

∞∑ 

ix i = 

i=0 

x 

(1−x) 2 

Problema 20. Se va a analizar el sistema de planificación de las dos CPUs que una 

empresa tiene para atender las peticiones de sus empleados, que llegan según un proceso 

de Poisson de tasa λ. El planificador se ha programado de manera que cuando se recibe 

una petición siempre vaya a la CPU más rápida (se asume que el tiempo de servicio sigue 

una distribución exponencial negativa, de media 1 ), siempre que esté libre. Si estuviera 

µ 

ocupada, la petición se atendería por la otra CPU (su tiempo de servicio también es 

exponencial negativo, aunque con una media tres veces mayor que la de la anterior). 

Teniendo en cuenta que λ = 2 peticiones/segundo y que el tiempo de servicio de la CPU 

más rápida es 1 = 1 segundos, se pide calcular, de manera razonada: 

µ 3 

(a) Probabilidad de que la 2 a CPU esté ocupada.

(b) Número medio de aplicaciones atendidas en el sistema y tiempo medio de permanencia 

en el mismo. 

(c) Probabilidad de que el sistema esté bloqueado. 

Pista. Para resolver estos apartados, representar cada estado como (i,j), donde i representa 

la ocupación de la primera CPU y j la de la segunda. 

Se supone ahora que la empresa instala un nuevo conjunto de aplicaciones, que requieren 

una capacidad mayor que las anteriores. Para ello decide ampliar las prestaciones del 

sistema y adquiere una nueva CPU, con las prestaciones de la de mayor capacidad, para 

sustituir a la segunda. 

Las aplicaciones a procesar pueden ser de dos tipos: 

Grupo uno. Requieren de una CPU para ser ejecutadas y el tiempo de 

( 

servicio medio 

(distribución exponencial negativa) es, para las dos CPUs, igual a 1 1 segundos) . 

µ 4 

Grupo dos. Necesitan de las dos CPUs para poderse ejecutar, siendo el tiempo medio 

de servicio (distribución exponencial negativa) el doble del anterior ( 2 segundos). 4 

El planificador se reprograma de manera que, cuando llega una petición del Grupo uno 

es atendida, de manera aleatoria, por cualquiera de las CPUs que esté libre. Cuando una 

peticiónnopuedeatendersesepierde.Teniendoencuentaestanuevaconfiguración,yquela 

probabilidad de recibir una petición es de 0.5 para cada uno de los grupos (equiprobables), 

manteniéndose la tasa global en λ = 2 peticiones/segundo, se pide resolver las siguientes 

cuestiones de manera razonada: 

(d) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos CPUs estén ocupadas 

(e) Obtener la probabilidad de bloqueo para cada grupo de aplicaciones. 

Pista. Para resolver estos apartados, representar cada estado como (i,j), donde i representa 

el número de CPUs ocupadas y j la aplicación que las ocupa. 

Problema 21. Se va a analizar el comportamiento de un nodo de comunicaciones, con 

una única interfaz de salida, de capacidad C bps. Se supone que los paquetes llegan según 

una distribución de Poisson, con una tasa λ paquetes por segundo, y que éstos tienen 

una longitud l, según una distribución exponencial negativa, de media L bits. Cuando un 

paquete llega al nodo y el enlace de salida está ocupado, se mantiene en un buffer (que 

se supone infinito) hasta que pueda ser transmitido. Debido a un crecimiento en la tasa 

de llegada de paquetes, se decide incorporar un regulador de tráfico a la entrada del nodo. 

Así, cuando haya S o más paquetes en el nodo (esperando o en el enlace de salida), el 

regulador entrará en funcionamiento y descartará, con una probabilidad 1 − q, cualquier 

nueva llegada. 

(a) Modelar el sistema con una cadena de Markov. Establecer las tasas de nacimiento y 

muerte y calcular la probabilidad de los estados correspondientes.

(b) ¿Cuál es el valor máximo de q, en función de L, C y λ, para que el sistema sea 

estable 

(c) Calcular la probabilidad de que una nueva llamada sea rechazada. 

(d) ¿Cuál es el número medio de paquetes en el buffer de espera 

(e) Obtener, apartir del resultado del apartadoanterior, el tiempo medio queun paquete 

tiene que permanecer esperando en el buffer del nodo. 

(f) ¿Cuánto vale dicho tiempo cuando q = 1 Discutir el resultado obtenido. 

En este último apartado, asumir que C > λL. 


Además: 

N−1 

∑ 

i=0 

∞∑ 

i=0 

x i = 1−xN 

1−x 

x i = 1 

1−x 

N−1 

∑ 

i=0 

∞∑ 

ix i = 

i=0 

x 

(1−x) 2 

( ) 1−x 

ix i N 

= x 

(1−x) 2 − NxN−1 

1−x 

Problema 22. Una compañía de banca on-line quiere establecer un centro de atención 

al cliente vía telefónica. Para ello se plantea contratar a tres operadores, que atenderán las 

llamadas de los clientes. Se supone además que cuando los tres operadores están ocupados, 

cualquier llamada nueva se pierde. Se ha estimado que se producen 2 llamadas por minuto 

y que su duración media es de 1 minuto. Considerando que el tráfico correspondiente sigue 

un modelo de Poisson, se pide resolver razonadamente las siguientes cuestiones. 

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda una llamada ¿Cuál es el tráfico que cursa 

el sistema 

(b) AplicandolarelacióndeLittle,obtenereltiempomediodepermanenciaenelsistema. 

¿Cuál es el porcentaje de ocupación de cada operador, si se asume elección aleatoria 

(c) ¿Cuantos operadores serían necesarios para reducir la probabilidad de bloqueo hasta 

el 10% 

(d) Laempresadistingueciertosclientescomopremium.Sisemantieneelsistemaoriginal 

de tres operadores (que no tiene ningún tipo de inteligencia), ¿cuál es la probabilidad 

de que una llamada de un cliente premium se pierda 

Suponer que el porcentaje de clientes premium es 100·α. 

La compañía quiere fidelizar a sus clientes premium, para lo que pretende que sus llamadas 

tengan una probabilidad de bloqueo inferior. Para ello establece el siguiente procedimiento: 

cuando hay dos operadores ocupados, sólo se aceptarán llamadas de los clientes premium, 

rechazando el resto de llegadas al sistema. 

(e) ¿Cuál es el porcentaje máximo de clientes premium que puede haber para que la 

probabilidad de perdida de sus llamadas sea inferior al 10%

(f) Si se suponeque α = 0.4 (el 40%de losclientes sonpremium), cuál es laprobabilidad 

de bloqueo de sus llamadas ¿Y la de las llamadas del resto de clientes 

(g) Calcular, en este caso, el tráfico cursado por el sistema y, a través de la relación de 

Little, establecer el tiempo medio de permanencia en el mismo. 

(h) Si el turno de trabajo de los operadores es de 8 horas, ¿cuánto tiempo estará atendiendo 

llamadas cada agente en el sistema modificado 

Se sigue suponiendo que la asignación de los operadores a las llamadas es aleatoria. 

Problema 23. Se cuenta con un nodo de comunicaciones, con dos interfaces de salida, 

de capacidad C bps cada una. Se supone que los paquetes llegan según una distribución 

de Poisson, con una tasa λ paquetes por segundo, y que éstos tienen una longitud l, según 

una distribución exponencial negativa, de media L bits. Cuando un paquete llega al nodo y 

los dos enlaces de salida están ocupados, se mantiene en un buffer (que se supone infinito) 

hasta que pueda ser transmitido. Si se define A como λ , donde µ es el inverso del tiempo 

µ 

de servicio, se pide resolver las siguientes cuestiones, en función de A, λ y µ. 

(a) Modelar el sistema con una cadena de Markov. Establecer las tasas de nacimiento y 

muerte y calcular la probabilidad de los estados correspondientes. 

(b) ¿Cuál es el número medio de paquetes en el nodo (esperando o en una interfaz) Utilizando 

la relación de Little, calcular el tiempo medio de permanencia en el sistema. 

Debido a una incidencia en la red, una de las interfaces de salida baja su capacidad hasta 

unvalor α·C (α < 1). El gestor del nodo seplantea dosposibilidades: (1)anular lainterfaz 

más lenta; o (2) dejarla en funcionamiento, asumiendo que un paquete se transmitirá, de 

maneratotalmentealeatoria,porcualquieradelasdosinterfacescuandoambasesténlibres. 

(c) Modelarel sistema delaopción(1)conunacadena deMarkov.Establecer lastasasde 

nacimiento y muerte y calcular la probabilidad delos estados correspondientes. ¿Cuál 

es el número medio de paquetes y el tiempo medio de permanencia en el sistema 

(d) Repetir el apartado anterior para la opción (2). Pista: Dividir el estado en el que 

hay un único paquete en el nodo en dos estados, en función de cuál sea la interfaz 

por la que se esté transmitiendo el paquete. 

(e) ¿Cuál es el valor de A, en función de α, que le puede ayudar al gestor a decantarse 

por una u otra opción, teniendo en cuenta el tiempo de permanencia en el sistema 

Nota: Asumir, en cualquier caso, que el sistema es estable. 


∞∑ 

i=0 

x i = 1 

1−x 

∞∑ 

ix i = 

i=0 

x 

(1−x) 2

Problema 24.Enunaoficinatrabajan2personas,quecompartenunservidordeimpresiónconunaúnicaimpresora.Alenviaruntrabajo,sedebeesperaraquehayaconcluidopara 

poder volver a remitir otro documento. Se supone además que el servidor tiene memoria 

suficiente paraalmacenartrabajospendientes. Sesabequeeltiempomedioentreelmomentoenqueacabauntrabajoyelenvíodelsiguientees,paracadaterminal,t 

ia 

( 1 

λ) 

= 1 minuto 

(distribución exponencial negativa) y que el tiempo de impresión ) (asimismo distribución 

(1 

exponencial negativa), tiene un valor medio de t impresión = 1 minuto. 

µ 

(a) Modelar el sistema con una cola de Markov. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un 

trabajo esperando en el servidor de impresión 

(b) Obtener, aplicando la relación de Little, el tiempo medio de espera y el de estancia 

total en el servidor (espera más impresión). 

Para mejorar el comportamiento del sistema, se decide añadir al servidor una segunda 

impresora, el doble derápida que la anterior. Semodifica la política del servidor, de manera 

que cuando llegue un trabajo sea atendido por la impresora más rápida, siempre que 

esté libre; en caso contrario iría a la que había originalmente. 

(c) Modelar el nuevo sistema, y calcular la probabilidad de que esté funcionando la 

impresora nueva. 

Nota: Para analizar la segunda alternativa, representar cada estado como (i,j), donde 

i representa la ocupación de la primera impresora (rápida) y j la de la segunda. 

(d) Volver acalcular eltiempo medio deespera, asícomoel depermanencia enelsistema, 

tras la modificación que se ha realizado. 

(a) Configuración inicial 

(b) Configuración mejorada 

Problema 25. La Universidad de Lusitania dispone de un super-computador para que 

losdiferentes gruposdeinvestigación puedanmandarsussimulaciones máspesadas.Debido 

al volumen de datos necesarios, el servidor sólo dispone de memoria para almacenar una 

petición en espera cuando el procesador esté atendiendo otra. Si llegara una aplicación 

cuando el servidor y la memoria están ocupados, ésta se perdería. 

Se supone que las llegadas al super-computador siguen una distribución de Poisson, con 

una tasa de λ = 3 peticiones/hora, y que el tiempo que tarda el procesador en finalizar las

simulaciones ) se puede modelar como una variable aleatoria exponencial negativa de media 

= 20 minutos. 

t servidor 

(1 

µ 

(a) Modelar el sistema con una cola de Markov. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 

un trabajo esperando en el sub-sistema de memoria ¿Cuál es la probabilidad de 

bloqueo 


total en el computador (espera más procesador). 

Con el objetivo de reducir el consumo que supone poner en marcha el procesador se decide 

hacer una modificaciónenel sistema, demanera quecuando llega una petición, se mantiene 

a la espera, pasando al procesador únicamente al recibir una segunda simulación; cuando 

el simulador se enciende, no se vuelve a pasar al estado de stand-by hasta que el sistema 

esté desocupado. Al igual que antes, se asume que una petición se pierde si llega cuando 

tanto servidor como memoria están ocupados. 

(c) Modelar el nuevo sistema, y calcular las probabilidades de espera y de bloqueo. 

Nota: Para analizar esta alternativa, representar cada estado como (i,j), donde i 

representa la ocupación del sub-sistema de espera y j la del procesador. 

(d) Volver acalcular eltiempo medio deespera, asícomoel depermanencia enelsistema, 

tras la modificación que se ha realizado. Comentar los resultados. 

Problema 26. Una pequeña empresa tiene una base de datos para gestionar toda la 

información relativa a sus empleados. Para acceder a la misma se dispone de una aplicación 

que tiene dos procesos, de manera que si llegara una tercera petición cuando ambos están 

ejecutándose, ésta se perdería. Teniendo en cuenta que el tiempo necesario para atender 

una consulta a la base de datos sigue una distribución exponencial negativa, con un valor 

medio t s = 3 segundos, y que las peticiones llegan, según un proceso de Poisson, a una 

tasa de λ = 20 consultas/minuto, se pide resolver razonadamente las siguientes cuestiones. 

(a) Modelar el sistema como un proceso de nacimiento y muerte y calcular, a partir del 

mismo, la probabilidad de que una petición a la base de datos se pierda. 

(b) ¿Cuál es el número medio de peticiones en la aplicación Utilizando la relación de 

Little, calcular el tiempo medio de permanencia en la misma. 

Una vez puesto en marcha el servicio, se determina que un porcentaje de llegadas (α·100) 

vienen del departamento de recursos humanos (RRHH), mientras que el resto provienen 

de otros departamentos. 

(c) Si α = 2 3 

, ¿cuál es la probabilidad de pérdida para las peticiones de RRHH ¿Y para 

las que vienen del resto de departamentos

Con objeto de priorizar las consultas que se llevan a cabo desde RRHH se hace una modificación 

en la aplicación. Así, se establece que una petición que provenga de este departamento 

permanezca en espera cuando los dos procesos están ocupados (únicamente se 

permite que haya una consulta en espera). 

(d) Modelar el nuevo sistema como un proceso de nacimiento y muerte. Calcular la 

probabilidad de pérdida para las consultas de RRHH y para las peticiones de otros 

departamentos. 

(e) ¿Cuál es el número medio de procesos ocupados ¿Cuál es el número medio de consultas 

en espera 

(f) Utilizando la relación de Little, y a partir de los resultados del apartado anterior, 

calcular el tiempo medio de espera y el de permanencia total en la aplicación. 

(g) ¿Cuál es la probabilidad de pérdida global 

Problema 27. La empresa CONSULTEL S.L. tiene un servicio de atención al cliente 

con tres líneas y dos operadores, de manera que cuando los dos operadores están ocupados, 

sólo puede permanecer en espera un cliente. Se supone que las llamadas llegan (según 

una distribución de Poisson) a una tasa λ = 2 llamadas por minuto, y que su duración 

(distribución exponencial negativa) media es de 1 minuto. 

(a) Modelar el sistema con una cola de Markov, asumiendo que los clientes en espera se 

mantienen en el sistema hasta que les atienda un operador. ¿Cuál es la probabilidad 

de que el sistema esté bloqueado Obtener, aplicando la relación de Little, el tiempo 

medio de espera. 

Se va a analizar la impaciencia de los clientes, utilizando dos modelos diferentes: 

Modelo 1 En este caso se supone que cuando un cliente, al llamar, encuentra los dos 

operadores ocupados, decide permanecer a la espera con una probabilidad α. 

Modelo 2 Los clientes, cuando están esperando, pueden decidir finalizar la llamada. El 

tiempo de espera que aguantan en espera se modela con una variable aleatoria 

exponencial negativa, con media 1 γ . 

(b) Representar el modelo 1 conuna cola de Markov. Calcular la probabilidadde bloqueo 

y el tiempo medio de espera, cuando α = 3. 

4 

(c) Representar el modelo 2 conuna cola de Markov. Calcular la probabilidadde bloqueo 

y el tiempo medio de espera, cuando 1 = 30 segundos. 

γ 

(d) ¿Cuál es el valor de α que hace que las probabilidades de bloqueo de ambos modelos 

sean iguales (se mantiene que 1 = 30 segundos). ¿Cuál es el tiempo medio de espera 

γ 

en ese caso 

(e) Explicar brevemente cómo se podría calcular la probabilidad de que un cliente decidiera 

finalizar la espera en el modelo 2.

Problema 28. Un centro de investigación dispone de un computador de altas prestaciones 

para realizar análisis que requieren de una gran carga computacional. Cuando se 

está ejecutando una simulación, y debido al volumen de información que se necesita para 

realizar el análisis, sólo se puede tener una petición en espera, con lo que si llegara otra 

cuando el servidor y la memoria están ocupados, se perdería. 

Se supone que las llegadas al simulador se pueden modelar como un proceso de Poisson, 

con una tasa λ = 6 peticiones/hora y que el tiempo que tarda el procesador en finalizar el 

análisis se corresponde con una variable aleatoria exponencial negativa de media t s = 10 

minutos. 

(a) Modelar el sistema con una cola de Markov. ¿Cuál es la probabilidad de bloqueo 


total en el computador (espera más procesador). 

Se comprueba que algunos de los análisis que se llevan a cabo no convergen, por lo que 

tienen que ser repetidos con otros valores iniciales, lo que sucede con una probabilidad 

1 − α. En esta situación, cuando finaliza una simulación que no ha obtenido resultados 

adecuados, se vuelve a ejecutar inmediatamente. 

(c) Modelar el nuevo sistema, y calcular la probabilidad de bloqueo, asumiendo que 

α = 1. 

2 

(d) Aplicando la relación de Little, calcular el tiempo medio que una simulación (considerando 

todas las ejecuciones) está en el procesador y el tiempo medio de espera. 

(e) ¿Cuántasejecuciones sonnecesarias(enmedia)paracadaanálisis ¿Cuálesel tiempo 

medio por ejecución. Nota: Si |x| < 1, se sabe que ∑ ∞ 

i=0 ixi = x 

(1−x) 2

Tema 2 - Teletráfico Hoja de problemas 1 - Grupo de Ingeniería ...

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