Les vecteurs

Résumé des notions du chapitre 4Notions chapitre 4 Formule RésultatLoi des sinusLoi des cosinus2 2 2a = b + c − 2bcCosAVecteurDéfinis par une norme (grandeur,longueur), une direction et un sens.Composante (a, b)a : composante horizontaleb : composante verticaleL’orientation (en degré) est définiepar une direction et un sens.Dans un plan cartésien, désigne ledéplacement du vecteur.AB ≈ (||AB||cos(θ o ), ||AB||sin(θ o ))La normeÉquipollentsOpposésColinéairesOrthogonauxProjection orthogonaleRelation de ChaslesOrientation d’un vecteurConstruction géométrique.Vecteur sommeMultiplication d’un vecteurpar un scalairec 2 = a 2 + b 22||AB|| = a 2 + b2( x − x ) + ( y − ) 2d( A,B)=y2IdentiquesSens opposéParallèlesAngle de 90 o .On projette de façon orthogonale unvecteur sur une droite. On trouve lanorme de la projection à l’aide ducosinus(Même norme, direction, sens)(Même norme et direction)(Même direction)On trouve le vecteur résultant à l’aided’une combinaison de vecteur.Le point de départ est sur une droitehorizontale à partir de l’origine duvecteur.Prendre le vecteur initial et placerl’origine du second vecteur surl’extrémité du premier. Le vecteurrésultant est défini par l’origine dupremier vecteur et l’extrémité dusecond vecteur.La norme peut être trouvée de deuxfaçons :1. Loi des cosinus2. À l’aide des composantesu + u + u + u + ,,, + u = ku(il y a une flèche sur tous les <strong>vecteurs</strong>u)121Utiliser la formule de la distance sivous avez les coordonnées àl’origine et à l’extrémité du vecteur.Utiliser Pythagore avec lacomposante.||AB’|| = ||AB||cos(θ o )où AB’ est le vecteur projetéAB + BC + CD = ADÀ l’aide de la composante, il estpossible de trouver le point associédans un plan cartésien et de trouverl’angle à l’aide de sin, cos ou tan.On fait la même procédure s’il y aplusieurs <strong>vecteurs</strong>. Le vecteurrésultant sera ainsi défini parl’origine du premier vecteur etl’extrémité du dernier vecteur.0u = 0k0 = 01u = u(il y a une flèche sur tous les<strong>vecteurs</strong> u)Sylvain Lacroix 2009-2010

Résumé des notions du chapitre 4Manipulations algébriques Si u = (a, b) v = (c, d)ku = (ka, kb)u + v = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)u - v = (a,b) - (c,d) = (a-c, b-d)Commutativité u + v = v + uAssociativité (u + v) + w = u + (v + w)(il y a une flèche sur tous les <strong>vecteurs</strong>u,v,w)Propriété par un scalaire Associativité (k 1 k 2 )u = k 1 (k 2 u)Distributivité k(u + v) = ku + kv( k 1 + k 2 )u = k 1 u + k 2 uCombinaison linéaireProduit scalaire de deux<strong>vecteurs</strong>Propriété du produit scalaire(il y a une flèche sur tous les <strong>vecteurs</strong>u,v)w = k 1 u + k 2 v(il y a une flèche sur tous les <strong>vecteurs</strong>u,v,w)u ● v = ||u|| x ||v|| x cosӨӨ est l’angle formé par les deux<strong>vecteurs</strong>Si on connaît les composantesu=(a, b) v=(c, d)u ● v = ac + bd(il y a une flèche sur tous les <strong>vecteurs</strong>u,v)Commutativité u ● v = v ● uAssociativité k 1 u ● k 2 v = k 1 k 2 vDistributivité u● (v + w) = u●v +u ●w(il y a une flèche sur tous les <strong>vecteurs</strong>u,v,w)Si on connaît les composantes destrois <strong>vecteurs</strong>, on utilise la méthoded’addition pour trouver les deuxnombres réels.Le produit scalaire de deux <strong>vecteurs</strong>orthogonaux est nul (0).Force(N) x Déplacement (m) xCos(angle) = Travail (J)Sylvain Lacroix 2009-2010