פאי לתלמידים היסודיים - מתכונים לכתות א'-ו' בעקבות ההתמקצעות - מטח

שלוש חידות,‏ שני משחקים וקסם<br />

אבי ברמן – המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים,‏ הטכניון<br />

שלוש חידות,‏ שני משחקים וקסם.‏<br />

יש דרכים שונות לעשות,‏ ללמוד וללמד מתמטיקה בהנאה.‏<br />

בהרצאה אתן מספר דוגמאות.‏<br />

תובנות על הוראת המתמטיקה – מבט מבעד שש תוכניות לימודים<br />

אברהם הרכבי ואלכס פרידלנדר - מכון ויצמן למדע<br />

במחקר שנערך ביוזמת לשכת המדען הראשי של משרד החינוך,‏ סקרנו שש תוכניות לימוד לכיתות א'‏<br />

ב'‏ בשני מישורים:‏ תוכן מתמטי-דידקטי והפעלה בכיתות.‏ במסגרת ההרצאה נציג:‏<br />

-<br />

אפיונים משותפים של כל תוכניות הלימוד.‏ למרות ההבדלים בין התוכניות,‏ יש לכולם מספר<br />

אפיונים משותפים כגון התאמה לתוכנית הלימודים החדשה,‏ שביעות הרצון של המורים<br />

המלמדים לפיהן ודרך ההתייחסות להטרוגניות של אוכלוסיית התלמידים.‏<br />

כלים לניתוח של חומרי למידה.‏ חומרי הלמידה לתלמיד ולמורה נותחו לפי קטגוריות כגון<br />

רציונאל ומטרות,‏ הנחיות דידקטיות-פדגוגיות,‏ תכנים,‏ מבנה וארגון החומרים לתלמיד.‏<br />

תיאור מבנה ותוכן של שיעור.‏ מתוך ניתוח של מעל למאה שיעורי מתמטיקה,‏ מתקבלים<br />

מאפיינים משותפים של שיעור מתמטיקה בכיתות א'‏<br />

- ב ' בארץ.‏<br />

דרכי חשיבה של תלמידים ויכולתם להפעיל חשיבה ברמה גבוהה.‏ מתוך התצפיות מתקבלת<br />

תמונה על יכולתם של תלמידים להפעיל רמות חשיבה שונות ועל תדירות ההפעלה של משימות<br />

הדורשות רמות חשיבה גבוהות בכיתות שנצפו.‏<br />

o<br />

o<br />

o<br />

o<br />

בכל אחד מהסעיפים שלעיל יובאו וינותחו מספר דוגמאות.‏<br />

אנו מקווים כי התובנות והמסקנות שיוצגו יוכלו לסייע בבחירה מושכלת של חומרי למידה ודרכי<br />

הפעלה,‏ בהתאם להעדפות אישיות של המורה וברוח תוכנית הלימודים החדשה.‏<br />

ניתן למצוא הפנייה לנוסח המלא של הדו"ח באתר של מרכז המורים הארצי למתמטיקה בבית הספר היסודי.‏<br />

1<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

עקרונות התפיסה החושית – מהעין אל המוח<br />

עמוס אריאלי – המחלקה לנוירוביולוגיה,‏ מכון ויצמן למדע<br />

בהרצאה אדון בעקרונות העומדים בבסיס היכולות החושיות של בני האדם ושל החיות.‏ גישה זאת<br />

אפשרית ואף יעילה היות ואברי החוש השונים דומים באירגונם,‏ בתיפקודם,‏ בקשריהם למרכזי המוח<br />

השונים ובתגובות אותם הם מעוררים.‏ כל אבר חוש פועל בארבעה מימדים:‏ מימד הזמן,‏ המרחב,‏<br />

האיכות והעוצמה.‏ שני הממדים הראשונים מייחסים את התחושה או התפיסה לעולם או לסביבה.‏<br />

כאשר דבר נוגע בעור שלנו,‏ אנו יכולים לאתר את מיקומו על הגוף ולהרגיש את תחילת הגרוי ומשכו.‏<br />

איכות הגרוי מתייחסת מצד אחד ליכולתנו להבחין בין איכויות שונות של גרוי,‏ כמו אור,‏ קול,‏<br />

חום/קור,‏ מגע וריח.‏ מצד שני אנו מייחסים איכויות שונות לתכונות מובדלות בתוך אותו איבר חוש,‏<br />

כמו הצבעים השונים בראייה,‏ וטעמי החמוץ,‏ מתוק,‏ מלוח ומר.‏ המימד הבסיסי האחרון הוא העוצמה<br />

או הכמות,‏ למשל,‏ עוצמת האור או הקול.‏<br />

בכל אברי החוש השונים קיימת הבעיה של ההבטים ה"אובייקטיבים"‏ וה"סובייקטיבים".‏ אנחנו<br />

יכולים לחקור ולנתח את הביצועים של מערכות החושים כפי שאנו חוקרים,‏ למשל,‏ את מערכת הדם.‏<br />

ניתן לבדוק את הביצועים של אברי החוש לעוצמות גרוי שונות,‏ את יכולת ההפרדה בין גרויים דומים,‏<br />

ועוד.‏ בעשותנו כך אנו לומדים את ההבטים האובייקטיבים של מערכות החושים.‏ מצד שני אנו<br />

יכולים להתקדם מעבר לכך ע"י בדיקה מדעית של התחושות וההבנות שלנו עצמנו בתגובה לגרויים<br />

שונים,‏ ולהשוות את תגובותינו לתגובות אנשים אחרים.‏ כאן אנו מצויים בתחום של נפש האדם<br />

והתגובות הסובייקטיביות של מערכות החושים.‏ אחד ההיבטים המרכזיים של פיסיולוגיה של<br />

החושים היא בדיקה סיבתית של יחסי הגומלין בין התופעות החושיות האובייקטיביות<br />

והסובייקטיביות.‏<br />

רוב הדברים אותם אנו לומדים ויודעים נרכשו מהתבוננות ומניסיון ישירים באמצאות החושים.‏<br />

פעילות אקטיבית הינה מרכיב חיוני בפיתוח התפיסה חושית והקשר בינה לבין התנהגותנו.‏ בהרצאה<br />

אדון בכמה מהמרכיבים ההכרחיים להתפתחות הנורמלית של התפיסה החושית.‏<br />

2<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

בעקבות ז'ול ורן-‏<br />

מסע אל המתמטיקה של סטודנטים במכללת גורדון<br />

שולי אופיר,‏ אילנה לבנברג,‏ חיית שחם<br />

- מכללת ‏"גורדון "<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

במכללת ‏"גורדון"‏ הסטודנטים בהתמחות מתמטיקה וילדי ‏"חוגורדון"‏ – מרכז העשרה לילדים<br />

מחוננים ועתירי כשרון,‏ התנסו,‏ חקרו ואותגרו בתופעות המדע והמתמטיקה בעקבות סיפוריו של ז'ול<br />

ורן.‏<br />

המסע המרתק אל עולם המדע והטכנולוגיה נעשה במטרה:‏<br />

א.‏ לחשוף את הסטודנטים והתלמידים לאוריינות מתמטית דרך ספריו המרתקים של ז'ול ורן;‏<br />

ב.‏ לטפח אצל הסטודנטים והתלמידים חשיבה מדעית ותפיסה טכנולוגית להעשרת הידע;‏<br />

ג.‏ הגברת המוטיבציה לעיסוק במדע ובמתמטיקה.‏<br />

כאנשי חינוך מתמטי ראינו לנכון לשלב סיפורי ז'ול ורן וחקירות מתמטיות,‏ המפתחות מיומנויות<br />

לקישוריות בין מתמטיקה לתחומי דעת אחרים.‏<br />

התבססנו על הסטנדרטים של ,NCTM ששמים דגש על היבט זה,‏ בטענה שקשר כזה בין מתמטיקה<br />

לתחומים אחרים מראה את יישומה של המתמטיקה ומפתח הבנה.‏<br />

בהכנת הסביבה הלימודית התבססנו על הטעונים שסביבת הלמידה היא מערכת של מרכיבים,‏<br />

הקשורים זה בזה ונותנים משמעות זה לזה ומכוונים במשולב למטרות למידה.‏ הסביבה הלימודית<br />

מטפחת לומד בעל הכוונה עצמית.‏<br />

מאפייני הסביבה הלימודית ברוח סיפורי ז'ול ורן התבססה על העקרונות הבאים:‏<br />

סביבה בה קיימת גמישות ברמות הזמן המוקדשות לפעילות לימודית נתונה,‏ במקום שבו<br />

הפעילות מתרחשת,‏ באופני הלימוד האפשריים,‏ ‏(שיטות ודרכי לימוד),‏ ובתכנים הנלמדים.‏<br />

תפקידו של המורה לספק הזדמנויות ללמידה עם העולם,‏ מכוח סקרנותו ועיינו של הלומד.‏<br />

המורה מסייע,‏ מזרז,‏ מכוון ומתאם את פעילויות הלמידה בדרך של מתן גירוי,‏ הגשת עזרה<br />

ויצירת הזדמנויות לימודיות מתאימות.‏<br />

הסביבה הלימודית מאפשרת מצבי למידה הנשענים על הסקרנות של הלומדים המעוררים הנעה<br />

פנימית.‏<br />

הסביבה הלימודית מזמנת לתלמידים גירוי וצורך לקיים שיחה בנושאים מתמטיים.‏ מעודדת<br />

תרבות חשיבה,‏ מטלות מורכבות של איסוף מידע רלוונטי.‏<br />

השילוב בין סיפוריו של ז'ול ורן ומתמטיקה מציג לסטודנטים דוגמא לבניית סביבה לימודית<br />

מאתגרת.‏ הפעילויות מתבססות בעיקר על ספרו של ז'ול ורן ‏"מסביב לעולם בשמונים יום",‏ דרכו<br />

משוטטים הלומדים במפת העולם ונחשפים לעולם המספרים,‏ החישובים,‏ ההיסטוריה של<br />

המתמטיקה,‏ גילויים מעניינים במתמטיקה ולחדשנות ויצירתיות העצומה בסיפורי ז'ול ורן.‏<br />

בכנס תוצגנה חלק מהפעילויות ויתואר מרכז ‏"חוגורדון",‏ תוך התייחסות למאפיינים של אוכלוסיית<br />

הקצה העליון.‏<br />

הילדים המחוננים הם בעלי יכולת אינטלקטואלית גבוהה ובעלי יכולות גבוהות לחקר באמצעות<br />

השערת השערות ואישושן.‏ לכן,‏ הפעילות מאתגרת ומעוררת מוטיבציה.‏<br />

3<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

דרכי פתרון בעיות מילוליות של ילדים מחוננים ועתירי כשרון בגילאים<br />

שולי אופיר,‏ חיית שחם – מכללת גורדון לחינוך<br />

לוי רחמני – אוניברסיטת תל אביב<br />

12-10<br />

פתרון בעיות מילוליות שזור לאורך תוכנית הלימודים במתמטיקה.‏ נושא זה נחשב לאחד הנושאים<br />

המעוררים קושי הן למורה והן לתלמיד.‏ מורים רבים טוענים שאינם מצליחים לעורר עניין אצל<br />

תלמידיהם בפתרון בעיות מילוליות.‏ הם גם טוענים שתלמידיהם מתקשים בפרק זה יותר מאשר<br />

בפרקים אחרים.‏ טענות אלה עולות בקנה אחד עם הספרות המחקרית המדווחת על קשיים בנושא זה<br />

((1983) Schoenfeld .(Thaeler ,(1986) קיים פער גדול בין היכולת של התלמידים לפתור בעיות<br />

‏"מלאכותיות"‏ בבית ספר,‏ לבין יכולתם לפתור בעיות מורכבות יותר בהן הם נתקלים בתחומי החיים<br />

שהם מנהלים.‏ כמורים למתמטיקה אנו רוצים שתלמידים יבינו מתמטיקה ולא רק ידקלמו עובדות<br />

ויבצעו פעולות חישוביות.‏<br />

פרופ'‏ רחמני (2005), טוען שהנחת היסוד של החשיבה המתמטית השיטתית נמצאת בקבוצת הבעיות<br />

המילוליות,‏ אשר יכולות להוביל את התלמיד לתפיסה הולכת ומתרחבת של מצבים ומאורעות של<br />

החיים היומיומיים,‏ עם מידע מרכזי כמותי-מספרי:‏ תנועה של כלי רכב,‏ מרחקים,‏ זמנים ומהירויות,‏<br />

השוואת הספק ועוד.‏ לטענת פרופ'‏ רחמני ניתן להביא את התלמיד לתפוס בעיה מילולית ממבט<br />

ראשון,‏ כמכלול של בעיות מתמטית.‏<br />

לשם כך,‏ על התלמיד לשאול את עצמו : האם כבר נתקל בבעיה כזאת,‏ האם היא מזכירה לו בעיות<br />

דומות,‏ או להיפך,‏ האם היא שונה לחלוטין מסוגי בעיות מוכרות לו:‏ האם נמסרים פרטים על כמויות<br />

או על הפרשים ביניהן באופן בלעדי.‏ משמע,‏ התלמיד צפוי להתרגל לכך,‏ שאחרי שהתרשם מהנושא,‏<br />

ישאל את עצמו:‏ מה ידוע לי מתוך הסיפור,‏ מה לא ידוע לי ואני יכול לגלות או שאי אפשר לדעת,‏<br />

ואיזה סוג של פעולת חשבון נראה מתאים.‏ להבנת השפה הכתובה יש משקל נכבד.‏ יתר על כן,‏<br />

המשמעות של ‏"הבנה"‏ איננה מוגבלת לניסיון הלשוני של התלמיד,‏ אותו הוא רכש לפני פתירת הבעיה.‏<br />

הוא מנסה מסיפור לסיפור,‏ משאלה לשאלה ומקבוצה לקבוצה.‏ הוא גם בוחן את עצמו ומגלה את<br />

החולשות אבל גם את המיומנויות שלו.‏ הוא מרחיב את המשמעות של מילים ‏(כגון,‏ שארית של כסף<br />

וחיסכון,‏ אורך זמן ומשך זמן,‏ שם עצם עם ה'‏ הידיעה או בלעדיה – הבדל משמעותי בהבנת בעיה<br />

מתמטית – רצף מילים במשפט).‏<br />

דוגמה:‏<br />

דני מקבל בחודש<br />

.₪ 60 הוא מוציא .₪ 40<br />

לפניכם רשימת שאלות.‏ בחרו את השאלה הנראית לכם המתאימה ביותר.‏<br />

א.‏ מה עושה דני עם הכסף?‏<br />

ב.‏ איזה סכום הוא מקבל וחוסך?‏<br />

ג.‏ כמה מקבל דני בשלושה חודשים<br />

מטרת השאלה:‏ לבחור שאלה מתאימה,‏ שעל מנת לענות עליה יש לבצע פעולה מתמטית.‏<br />

בכנס נציג דוגמאות של בעיות מילוליות לפי המודל שפיתח פרופ'‏ רחמני ודרך התמודדות של ילדים<br />

מחוננים ועתירי כשרון בגילאים 10-12, בהשוואה לילדים רגילים.‏<br />

4<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ייצוגי ילדים ככלי למדידה בגן הילדים<br />

חיה אייזנר,‏ רונית ויזנטל<br />

-<br />

הדרכת גננות<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

- ידע<br />

בשנים האחרונות מוביל משרד החינוך בקדם יסודי מגמה ברורה של מעבר להוראה מתוכננת יעדים<br />

על פי רצף גילי,‏ בראיית השונות הנורמטיבית בין הילדים בגן הילדים,‏ שמקורה מהתנסויות שונות,‏<br />

מכישורי למידה וסגנונות למידה נבדלים,‏ שוני בתחומי העניין ורקע חברתי שונה.‏<br />

ההוראה המתמטית בגן הילדים היא תואמת התפתחות,‏ מכירה במשותף בין הילדים ורגישה<br />

להבדלים ביניהם ותמיד שומרת על רוח הגן,‏ כלומר,‏ מקפידה תמיד לשמור על למידה משמעותית,‏<br />

חווייתית מעניינת ומסקרנת.‏<br />

פעילות והתנסות הילד בכל התחומים ובפרט בתחום המתמטי מדעי היא מרכזית בגן הילדים,‏ ונעשית<br />

בסביבה חינוכית מגרה וחושפת ללמידה,‏ העונה על הצרכים של שונות בין ילדים.‏<br />

המגמה החינוכית אותה מוביל הקדם יסודי וההתנסות בשטח,‏ מדגישה את הצורך בהערכה.‏<br />

הערכת הלמידה ופעילות הילד בשלביה השונים,‏ תסייע לגיבושן של דרכי הוראה ותוכניות עבודה<br />

המעודדות התפתחות לומדים,‏ תוך הבניית ידע ומיומנויות בדרגות שונות של מורכבות,‏ המותאמות<br />

לשלבי ההתפתחות השונים בגן,‏ כשהמטרה האידיאלית היא בנית תוכניות עבודה מותאמות לכל ילד.‏<br />

בגן הילדים שלא כמו בבית הספר,‏ הערכה אינה פורמאלית ולכן תצפיות וייצוגי ילדים הם הכלים<br />

הבסיסיים המשמשים את המחנכים להערכה.‏<br />

ייצוגי הילדים בבית הספר מאירים מספר נקודות:‏<br />

זיכרון פשוט<br />

הבנה – האם הוא מסוגל לעשות שימוש בידע<br />

יישום – האם הוא יכול לעשות תהליך של הפשטה וליישם את מה שלמד לסיטואציות אחרות<br />

ניתוח – היכולת לפרק את המידע לחלקיו באופן שמבהיר את היחסים בין המרכיבים<br />

סינתזה – היכולת לשלב אלמנטים שונים בכדי ליצור מבנה קוהרנטי חדש<br />

הערכה-‏ יכולת שיפוטית לפי קריטריון שהתלמיד או אחרים קבעו לו להערכה<br />

נשאלת השאלה האם ההתרחשות בגן מאפשרת,‏ נכונה ומותאמת לקריטריונים הבית ספריים אותם<br />

בודקים בהערכה,‏ או האם עלינו לבנות כלי הערכה שונה,‏ מותאם לגן הילדים.‏<br />

איזה כלי זה יהיה<br />

?<br />

מה ניתן לעשות בכדי להפכו לחביב ונוח לצוות החינוכי בגן?‏<br />

אלה הם הנושאים אותם אנו רוצות להעלות בפורום,‏ לדיון בראיה גנית,‏ כלומר,‏ תוך שמירה על רוח<br />

פעילות הגן ומקומו של הילד,‏ כך שיתאפשר לו לעבור את שלבי ההתפתחות בקצב שלו.‏<br />

5<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

שוקומטיקה – חקר נתונים מתוקים<br />

עליזה אלימלך-‏ מרכזת המתמטיקה<br />

, בי"ס<br />

‏"קרית עמל"-‏ טבעון<br />

ברכה פבריקנט-‏ מנהלת בי"ס ‏"קרית עמל"‏ - טבעון<br />

מתמטיקה מתוקה?‏ יש דבר כזה<br />

????????????????<br />

כן בהחלט ... בבית ספרנו " קרית עמל " שבטבעון החלטנו לעסוק בנושא חקר נתונים דרך נתונים<br />

מתוקים – עדשי שוקולד.‏<br />

קיימנו בוקר של מתמטיקה שנקרא ‏"שוקומטיקה"‏ ובו ערכנו פעילויות שונות החל בהעלאת השערות,‏<br />

בדיקת הנתונים וייצוגם בדיאגרמות.‏<br />

בתצוגה נראה את מהלך התכנון והעבודה עם הילדים כמו כן יוצגו עבודות של תלמידים.‏<br />

העיסוק בנושא חקר נתונים באמצעות עצמים מוחשיים ובנוסף לכך גם מתוקים ואכילים גרם לעניין<br />

רב ולמעורבות רבה של התלמידים וכן של ההורים אשר ארגנו סיום מתוק ומלהיב באמצעות אפיית<br />

עוגות שוקולד מספריות.‏<br />

6<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ו-‏<br />

פאי לתלמידים היסודיים - מתכונים לכתות א'‏ ו-‏<br />

רינת באור,‏ יפית בן בסט,‏ מיכל בן שמעון<br />

- ביה"ס<br />

' בעקבות ההתמקצעות<br />

‏"כפיר"‏ בת"א<br />

בהדרכת רונית בסן צינצינטוס מכללת סמינר הקיבוצים<br />

במסגרת ההתמקצעות במתמטיקה במכללת סמינר הקיבוצים,‏ במודולת ‏"פיתוח צוות בית ספרי",‏<br />

קבלנו משימה בתחום הגיאומטריה הדורשת פיתוח נושא והתאמתו לשכבות הגיל השונות בביה"ס<br />

היסודי.‏ מתוך ראיה הוליסטית של הגיאומטריה בחרנו לעסוק בשילובה בחיי היום יום.‏<br />

מידי שנה,‏ בתאריך 14.3 מתקיים יום הפאי הבינלאומי.‏ כידוע,,‏<br />

.π ≈ 3.14<br />

התאריך נבחר מאחר ובמדינות מסוימות ברישום התאריך קודם נכתב החודש ואח"כ היום,‏ כלומר<br />

בחודש השלישי והיום הארבעה עשר.‏ כך מתקבל תאריך ה-‏ 14 במרץ,‏ בו חוגגים את יום הפאי<br />

הבינלאומי.‏<br />

בהתאם לתכנית הלימודים החדשה במתמטיקה בתחום הגיאומטריה,‏ הנושאים מעגל ועיגול והקבוע<br />

פאי,‏ נלמדים רק בכיתות הגבוהות של בית הספר היסודי.‏<br />

בחרנו לפתח את הנושא ולהתאימו לכל שכבות הגיל עפ"י רמות החשיבה של ואן-הילה ובהלימה<br />

לתכנית הלימודים החדשה במתמטיקה.‏<br />

בהרצאה נציג פעילויות מתוך מגוון הפעילויות שהועברו בכיתות השונות,‏ תוך שימת דגש על<br />

פעילויות מן הסוג של משימות חקר,‏ פעילויות המשלבות שימוש באמצעי המחשה-‏ עצמים מחיי היום<br />

יום,‏ שרטוט בעזרת מחוגה ואמצעי מדידה שונים כמו סרגל,‏ חוט,‏ רצועות נייר וכו'.‏<br />

בפעילויות התלמידים משתתפים פעילים ואקטיביים,‏ המורים שותפים הן להפעלת התלמידים<br />

בהתנסות והן להקניית המושגים תוך כדי מדידות,‏ שרטוטים,‏ חישובים,‏ והסקת מסקנות.‏<br />

הבניית הנושא לכתות א'‏<br />

קוטרו של המעגל<br />

' תוצג בהרצאה בשלבים,‏ כאשר המטרה הכללית היא הבנת היחס בין<br />

לבין היקפו,‏ הלא הוא פאי ,<br />

.<br />

π<br />

7<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

יישום עקרונות הלמידה של האברד במקצוע החשבון<br />

דודו בורשטיין - מחבר הספר ‏"חשבון פשוט באמת"‏<br />

אפשר לחלק את רוב תלמידי המתמטיקה לשני סוגים:‏ הסוג הראשון הוא ילדים ‏"קשי-תפיסה",‏<br />

התקועים מאחור,‏ מנסים להבין כלל בסיסי זה או אחר,‏ ומאז הם פשוט לא מבינים כלום.‏ הסוג השני<br />

הוא תלמידים שיש להם קצת יותר משמעת עצמית או כאלה שהפחידו אותם וגרמו להם להאמין,‏<br />

שהמדד היחיד להשרדות ולהצלחה בחיים הם הציונים במבחנים.‏ אלה תלמידים שלומדים רק כדי<br />

לעבור את המבחן,‏ והם אכן עוברים אותו,‏ חלקם בהצלחה רבה,‏ אך ללא שמץ של מושג מה למדו,‏<br />

ושוכחים את החומר מייד לאחר המבחן.‏ לצד שני הסוגים הנ"ל יש כמובן מספר זעום של ילדים שכן<br />

מבינים מה הם עושים,‏ אבל העובדות בשטח מוכיחות שישראל הולכת ומתדרדרת מבחינת החינוך,‏<br />

והילדים יודעים פחות ופחות מתמטיקה.‏ האם אנו רוצים ילדים שרק מביאים ציונים טובים אבל לא<br />

מבינים כלום?‏ האם לא נעדיף שכל ילד באמת יבין את מה שהוא עושה ולמה הוא עושה את זה?‏<br />

מה אפשר לעשות?‏ ובכן,‏ יש פיתרון.‏ רון האברד,‏ סופר והומניטר,‏ פיתח את עקרונות הלמידה,‏ שגרמו<br />

למהפכה בקרב אלה שיישמו אותם.‏ עיקר עקרונות הלמידה עוסק בשלושת המחסומים ללמידה.‏<br />

מדובר בשלושה מחסומים שלהם תגובות מדויקות המאפשרות את זיהויים המיידי,‏ ובעקבות הזיהוי<br />

– גם את מתן הפתרונות המיידיים להתגברות על מחסומים אלה.‏<br />

המחסום הראשון – חוסר מַסָּה:‏ מסה היא הדברים המוחשיים,‏ האמיתיים שאליהם נושא מסוים<br />

מתייחס או שבהם הוא עוסק.‏ למשל,‏ כאשר לומדים על משוואות יש להמחיש זאת ע"י מאזניים<br />

ולספק מסה לכל חלק וחלק של פתרון המשוואה.‏ בכיתות הנמוכות רוב המורים מלמדים תוך שימוש<br />

במסה הולמת – אצבעות,‏ קוביות,‏ תפוחים וכו'.‏ אולם ככל שמתקדמים בחומר ובכיתות השימוש<br />

במסה הופך ליותר ויותר נדיר עד שהמסה נעלמת כמעט לחלוטין בכיתות הגבוהות.‏<br />

המחסום השני – מדרג תלול מידי:‏ מדרג הוא גישה הדרגתית לביצוע או ללימוד של דבר-מה.‏<br />

מתחילים ממשהו בסיסי וקל,‏ ומתקדמים שלב אחר שלב אל חלקים מורכבים יותר של הנושא.‏ מדרג<br />

תלול מידי יגרום לתלמיד להרגיש מבולבל.‏ לדוגמה,‏ תלמידים שלא מבינים את חוק החילוף המורחב<br />

בחיבור ובחיסור,‏ ולא מבינים כיצד ניתן לשנות את סדר האיברים בתרגילים ועדיין לקבל תוצאות<br />

זהות,‏ מתקשים מאוד עקב כך בפתרון משוואות ובעיות אחרות באלגברה.‏<br />

המחסום השלישי,‏ והחשוב ביותר - המילה שאינה מובנת כהלכה:‏ במתמטיקה מחסום זה הוא<br />

קריטי – כל מושג או מונח ואפילו סמל יכול להיות מובן שלא כהלכה ובכך לגרום לבלבול לתלמידים.‏<br />

למשל,‏ תלמידים לא יודעים מה פירושו של הסימן ‏"שווה".‏ הם חושבים שמשמעותו היא ‏"תוצאה...".‏<br />

משמעותו האמיתית של הסימן הוא כמובן ‏"שוויון",‏ כלומר שצד אחד של השוויון שווה בערכו לצד<br />

שני.‏ כמו כן תלמידים לא יודעים שפירוש המילה ‏"מונה"‏ למשל הוא ‏"זה שסופר,‏ שאומר כמה יש<br />

ממשהו",‏ ושמשמעות המילה ‏"מכנה"‏ היא ‏"זה שנותן את השם".‏<br />

מילת המפתח היא פשטות.‏ הדרך ללמד ילד היא פשוטה ומתאימה במיוחד ליישום בכיתות הטרוגניות.‏<br />

צריך להכיר את שלושת המחסומים ללמידה,‏ הדרכים לאבחונם והטיפול בהם.‏ מאחר ויישום השיטה<br />

מתבסס על עבודתם העצמאית של התלמידים,‏ כל אחד על פי הקצב האישי שלו,‏ בפיקוח צמוד של<br />

המורה,‏ אין כמותה מתאימה להוראת תלמידים,‏ שקצב התקדמותם אינו תואם את קצב ההתקדמות<br />

‏"הרגיל"‏ של רוב התלמידים.‏ בפועל יושמו עקרונות הלמידה במספר בתי ספר בצפון הארץ והתוצאות<br />

היו מדהימות – תוך שנתיים עלה הציון הממוצע בבחינות המיצ"ב מ-‏‎60‎ ל-‏‎80‎ והאלימות ירדה משני<br />

מקרים חמורים ביום למקרה אחד בחודש.‏<br />

8<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

‏"משימות פתוחות"‏ כמתן מענה לטווח רמות היכולת בכיתה הטרוגנית –<br />

מנוף ועידוד לקידומו של התלמיד<br />

כרמית ביטון - בתי ספר:‏ ‏"מעלה הכרמל",‏ ‏"זיכרון יוסף"‏<br />

- חיפה<br />

‏"טיפוח מוטיבציה ללימוד המתמטיקה ואהבת המקצוע על כלל התלמידים<br />

"<br />

- זו אחת ממטרות<br />

תוכנית הלימודים הישנה – חדשה איתה המורים מתמודדים בשיעורי מתמטיקה.‏<br />

כשהתלמיד חווה הצלחות יש בצידן גם הנאות.‏<br />

הוראה בכיתה הטרוגנית כוללת מטלות המתאימות לכלל התלמידים ברמת ידע ‏,יכולת,‏ צורת<br />

חשיבה וקצב שונים.‏<br />

כמורים למתמטיקה אנו שואפים לאפשר לכל תלמיד במהלך השיעור להיות אקטיבי,למצות את זמן<br />

השיעור בעשייה,‏ קידום וביסוס ידע - כיצד עושים זאת<br />

?<br />

האתגר שלנו,‏ הוא לתת את מרבית ההזדמנויות לכל תלמיד,‏ ללא קיפוח של קבוצה מסוימת או<br />

תלמיד כלשהו,‏ מתן מענה דיפרנציאלי<br />

.<br />

ההרצאה עוסקת בשאלה<br />

-<br />

לטווח היכולות והידע המצוי בכיתה הטרוגנית.‏<br />

כיצד ניתן לשלב משימות פתוחות בשיעור מתמטיקה כאמצעי להיענות<br />

במהלך ההרצאה נתמקד \ נדון בנושאים הבאים:‏<br />

•<br />

מהי משימה פתוחה<br />

?<br />

•<br />

שילוב משימה פתוחה בשיעור מתמטיקה<br />

-<br />

•<br />

•<br />

משימה פתוחה<br />

תלמיד לתלמיד.‏<br />

נאפיין סוגים שונים של משימות פתוחות לגילאים השונים.‏<br />

הצעה לתהליך עבודה עם תלמידים.‏<br />

- תהליך הוראה המזמן אינטראקציה ושיח מתמטי בין מורה לתלמיד ובין<br />

הקשר בין משימות פתוחות ויצירתיות במתמטיקה<br />

, הכיצד ?<br />

•<br />

ניתוח תוצרי לומדים – נקודות חוזק ונקודות לחיזוק.‏<br />

הערך המוסף של שילוב משימות פתוחות בשיעור מתמטיקה הינו:‏ שליטה של התלמיד בתהליך<br />

הלמידה,‏ העלאת בטחונו העצמי , מיצוי יכולתו ואהבת המקצוע.‏<br />

9<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

לקראת שיח מתמטי-‏ יוזמה לשיחות מתמטיות<br />

עם תלמידים בכתות רגילות ועם תלמידים לקויי למידה<br />

מדלן בלצן - מכללת סמינר הקיבוצים,‏ דורית ברט - אוניברסיטת בר-אילן ומכללת סמינר הקיבוצים<br />

מטרת הרצאה זו הנה להציג דרך שיטתית לתכנון וארגון של שיחות מתמטיות יזומות.‏ קיימת הסכמה<br />

מחקרית רחבה על תרומתן של שיחות מתמטיות לפיתוח תובנות מתמטיות ולהבניית ידע מתמטי<br />

מגובש.‏ חוקרים רבים מלווים את ההסברים על שיחות מתמטיות בהדגמת אירועים של שיחות<br />

בנושאים מתמטיים שונים.‏ החוקרים מציגים אפיונים וסוגים של שיחות,‏ מבחינים בתפקידי המורים,‏<br />

ומביאים קריטריונים להערכת מידת יעילות השיחות.‏ ניתוחים אלה הנם ניתוחים מהסוג של הליכה<br />

לאחור,‏ ראייה בדיעבד של שיחות מתמטיות אשר התקיימו.‏ באמצעות הצגתן המפורטת,‏ יכולים<br />

הקוראים להתרשם מכוחן המפעיל של שיחות ככלי המחולל שינויי חשיבה וכאמצעי המוביל לתובנות<br />

מתמטיות אצל לומדים.‏<br />

למרות ריבוי דגמים ואירועים של שיחות טובות,‏ עדין אין לנו היכולת להכיל את כל מגוון השיחות<br />

המתמטיות האפשריות.‏ מטבע הדברים שיחות מתמטיות יכולות להיווצר במגוון רחב מאוד של<br />

מצבים כיתתיים,‏ במגוון רחב מאוד של נושאים מתמטיים ובתגובה למגוון רחב מאוד של הרכבי<br />

קבוצות לומדים ומורים.‏ שיחות מצריכות מן המורים התחשבות מודעת בהיבטים קוגניטיביים,‏<br />

אפקטיביים וחברתיים,‏ של קבוצות והרכבים משתנים של תלמידים וגם מחייבות גילויי מומחיות<br />

מתמטית וקישורים נרחבים למגוון משתנה של תכנים מתמטיים.‏ על כן,‏ שיחות מתמטיות מהוות<br />

עבור מורים רבים תהליך מורכב ליישום.‏ בהרצאה זו נציג מודל מארגן של שיחות יזומות,‏ ככלי<br />

המנתב ומקל את מלאכת ההנחיה של שיח מתמטי.‏<br />

מודל מארגן של שיחות יזומות,‏ כולל שלבים סדורים,‏ מאורגנים בשלושה תחומים,‏ תכנון ביצוע<br />

ובקרה,‏ של שיח מתמטי.‏ בכל אחד מן התחומים,‏ מוצגים רצף ביצועים,‏ נדונים תהליכים<br />

אלטרנטיביים ומועלות מסקנות דינאמיות אפשריות.‏<br />

בהרצאה הנוכחית נציג מודל של שיחות מתמטיות המתבצעות במהלך משחק תפקידים חדשני.‏ נדגים<br />

תפקידים אותנטיים בהם מורה ותלמידים משחקים דמויות מגוונות:‏ מעצבים,‏ מוכרים,‏ מאמני<br />

כדורגל,‏ אשר משתמשים בתפאורה ובאביזרי במה כדי ליזום שיחה מתמטית ממוקדת קצרה לשם<br />

הבניית הבנה על מושגים ותהליכים מתמטיים.‏<br />

הצגת המודל תכלול התייחסות מפורטת לשתי אוכלוסיות של תלמידים:‏ האחת קבוצת תלמידים<br />

הטרוגנית בכתה רגילה והאחרת תלמידים לקויי למידה בהוראה מותאמת.‏ בדרך זו ניצור שני<br />

מסלולים מקבילים לאותו מודל מארגן של שיחות יזומות,‏ אשר בכל אחד מהם יוכלו המורים לבחור<br />

ולפעול,‏ כדי להנחות תלמידים לשיח מתמטי אפקטיבי.‏<br />

10<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

פעילויות חקר אותנטיות בנושא יחס ופרופורציה<br />

דוד בן-חיים - מכללת אורנים,‏ יפה קרת<br />

-<br />

מטה מל"מ,‏ בת-שבע אילני - מכללת בית ברל<br />

במסגרת מחקר רב-שנתי בנושא ‏"יחס ופרופורציה"‏ פיתחנו מגוון רחב של פעילויות חקר אותנטיות<br />

המציגות את הנושא על כל היבטיו המתמטיים והפסיכולוגיים-דידקטיים.‏ הפעילויות מציגות סיטואציות<br />

מציאותיות המתקשרות לעולמם של תלמידים ומורים בבית הספר ובקהילה,‏ ברמות קושי המתאימות לפרחי<br />

הוראה ומורים למתמטיקה בבית הספר היסודי ובחטיבות הביניים,‏ ושאפשר בקלות יחסית להסב אותן<br />

לפעילויות חקר אותנטיות המתאימות גם לתלמידים.‏ הפעילויות בליווי הערות והארות דידקטיות,‏ נמצאות<br />

בספר:‏ יחס ופרופורציה - מחקר והוראה בהכשרת מורים למתמטיקה ‏(בן-חיים,‏ קרת ואילני,‏<br />

כל 2006).<br />

הפעילויות ‏(ללא ההערות וההארות הדידקטיות)‏ הועלו לנגישות חופשית על אתרי האינטרנט הבאים:‏ אתר<br />

‏"קשר חם"‏<br />

היסודי<br />

http://kesher-cham.technion.ac.il -<br />

http://mathcenter-k6.haifa.ac.il -<br />

ה,‏<br />

ואתר המרכז הארצי למורי המתמטיקה בבי"ס<br />

מקושרים לאתר מכון מופ"ת<br />

-<br />

.http://www.mofet.macam.ac.il<br />

מטרת הפעלת הפעילויות היא לסייע בהקניית ראייה רחבה ומעמיקה של הנושא,‏ הן כמורה<br />

פרופסיונאלי,‏ והן כלומד תוך פיתוח שכילה פרופורציונית.‏ מטרה נוספת היא להציג דרכים מגוונות<br />

לפתרון הבעיות והשאלות,‏ כמו גם את שיקולי הדעת לבחירתם.‏ דרכי הפתרון כוללות זיהוי<br />

הסיטואציה הפרופורציונית כפעולה כפלית ולא כפעולה חיבורית,‏ ושימוש בצורה מושכלת<br />

באינפורמציה כמותית ‏(יחסים,‏ מידות,‏ שברים,‏ אחוזים,‏ קנה מידה,‏ טבלאות,‏ פונקציות וכו')‏ לצורך<br />

השוואה ולמציאת פתרון מתמטי-כמותי לבעיה.‏ הבניית מושגים אלה והיכולת לעשות בהם שימוש<br />

מושכל,‏ הם לב ליבה של השכילה הפרופורציונית.‏<br />

מבחינה מתמטית יש בפעילויות משימות ומטלות מסוגים שונים:‏<br />

בעיות השוואה הכוללות נתונים<br />

איכותיים המאפשרים ניבוי איכותי שאינו תלוי בערכים מספריים ספציפיים וכמותיים;‏ בעיות<br />

השוואה כמותיות המאפשרות לבדוק מי יותר גדול ממי ופי כמה;‏ בעיות ערך חסר,‏ בהן נתונים שלושה<br />

גדלים ומחפשים את הגודל הרביעי.‏<br />

המשתתפים בסדנא יתנסו בפתרון פעילויות חקר מתמטיות אותנטיות מסוגים ,Rate<br />

Scaling ,Ratio<br />

ופרופורציה של יחס הפוך.‏ נדון בדרכים שונות לפתרון המשימות ובמקרים מסוימים נציג דוגמאות<br />

של פתרונות של פרחי הוראה ושל תלמידים בכיתות העליונות של בית הספר היסודי.‏<br />

בתהליך ההפעלה של פעילויות החקר בקורס סמסטריאלי לפרחי הוראה למתמטיקה,‏ שילבנו מאמרים<br />

תיאורטיים ומאמרי מחקר בנושא ‏"יחס ופרופורציה".‏ שילוב זה בתהליך ההוראה,‏ מאפשר סיכום הידע<br />

המתמטי הנדרש להבניית המושגים,‏ והצגת ממצאי המחקר מאפשרת ראייה רחבה,‏ דיון מעמיק ובחינת<br />

דרכי הוראה מתאימות להוראת הנושא בבתי הספר.‏ לדוגמא,‏ מומלץ לקרוא מאמר ששולב במהלך<br />

הקורס:‏<br />

Ben-Chaim, D., Fay, J.T., Fitzgerald, M.W., Benedetto, C., & Miller, J. (1998). Proportional<br />

reasoning among 7 th grade students with different curricular experience. Educational Studies<br />

in Mathematics, 36, 247-273.<br />

תרגום מקוצר של המאמר נמצא ב:‏ בן-חיים,‏ ד'‏ (2002). יחס ופרופורציה.‏ מספר חזק (4), 2000 5-13 באתר<br />

המרכז הארצי למורי המתמטיקה בבי"ס היסודי.‏<br />

11<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

הוראה ספירלית של מושג השטח<br />

מריטה ברבש,‏ ראיסה גוברמן,‏ מיכאל שימנוביץ'‏ - המכללה האקדמית לחינוך אחווה<br />

הוראת מושגים גיאומטריים,‏ בדומה להוראה של מושגים מופשטים בכל תחום אחר של מתמטיקה,‏<br />

דורשת ממורה המתכנן את פעולותיו בכיתה התייחסות רב-ממדית.‏<br />

אנו נתייחס לשניים ממימדים אלה.‏ מימד אחד הוא התייחסות לרמת ההתפתחות של החשיבה<br />

הגיאומטרית בקרב תלמידיו;‏ כאשר מדובר בתלמידי בית ספר יסודי,‏ רובם נמצאים ברמות הראשונה<br />

או השנייה.‏ עובדה זו דורשת מהמורה לחשוב על ייצוג ויזואלי משמעותי של כל מושג חדש,‏ שעיקרי<br />

אפיונו – נגישות לתלמידים ברמתם הנוכחית וכן רלוונטיות להמשך הלמידה.‏<br />

מימד נוסף הוא התייחסות לספירליות של ההוראה.‏ משמעות הדבר שעל ההוראה ללכת ‏"סבוב וחזור<br />

על עצמה"‏ ‏(ברונר,‏ 1965), ובכל סיבוב כזה להגיע לרמות גבוהות יותר.‏ שמירה על ספירליות חשובה גם<br />

כאשר מדובר במהלך שנת לימודים אחת,‏ וגם במעבר משנת לימודים לאלה הבאות אחריה.‏ חשוב<br />

לציין שבתיאוריה של ואן-הילה של התפתחות החשיבה הגיאומטרית יש התייחסות לספירליות<br />

בשלבי הוראה של מושגים גיאומטריים כפי שהיא מציעה להבנותם.‏<br />

מושג השטח,‏ עליו ברצוננו להדגים את הגישה שלנו להוראת הגיאומטריה,‏ הינו מושג שנלמד ברוב<br />

כיתות היסוד.‏ בכיתה ב'‏ הילדים רוכשים הבנה אינטואיטיבית של מושג השטח,‏ ביכתה ד'‏ הם לומדים<br />

על שטח של מלבן ושל ריבוע,‏ בכיתה ה'‏ – חישובי שטחים של מרובעים ומשולשים,‏ ובכיתה ו'‏ – שטח<br />

העיגול.‏ בנוסף לכך בכיתות ד'‏ ו-ו'‏ נפגשים הילדים עם מושג השטח כאשר הוא קשור לגופים – שטח<br />

פנים של הגוף.‏<br />

מבחינה מתמטית הגדרה של שטח היא הגדרה אקסיומטית.‏ צורת הגדרה שכזו נחשבת למופשטת<br />

מאוד ומסיבה זו היא נחשבת לקשה להוראה וללמידה.‏ השאלה שמתבקשת כאן היא:‏ כיצד ללמד את<br />

מושג השטח בצורה שהיא מובנת לילדים הקטנים מצד אחד,‏ ולשמור על דיוק מתמטי עד כמה<br />

שאפשר?‏ גישה כזאת להוראה מבטיחה השגת מטרות ברמה הנוכחית וכן עקביות בהמשך ההוראה<br />

ברמות גבוהות יותר.‏<br />

בסדנא נדגים פעילויות המאפשרות הוראה ספירלית של מושג השטח,‏ הוראה שמתחשבת בהתפתחות<br />

החשיבה הגיאומטרית של תלמידים בכיתות היסוד ויחד עם זאת שומרת על הדיוק המתמטי הנדרש<br />

למושג זה.‏<br />

ברונר,‏ ג.‏ ס.‏ (1965). תהליך החינוך,‏ הוצאת יחדיו.‏<br />

12<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

למידה מתמטית דרך פרויקט החקר בגן<br />

דוד ברודי - מכללת אפרתה<br />

פרויקט החקר בגני הילדים זוכה להתעניינות רבה בשנים האחרונות והופך להיות מודל של למידה<br />

פעילה ומאתגרת.‏ הרצאה זו בודקת את ההשפעה של פרויקט החקר על קידום החשיבה המתמטית<br />

אצל החוקרים הצעירים.‏ מתברר שבנושאים של חקר העולם הטבעי והפיזיקלי ושל חקר פיתוח<br />

הסביבה של משחק סוציו–דרמטי,‏ עוסקים ילדי הגן במושגים מתמטיים רבים ומורכבים.‏<br />

בסיטואציות האלה תיווך הגננת חיוני לקידום הילדים בשימוש בחשיבה המתמטית.‏<br />

ההרצאה תתמקד בתיאוריה ובמעשה.‏ החלק העיוני יפרוס את התיאוריה של למידה דרך החקר,‏<br />

והחלק המעשי יביא דוגמאות של פרויקטים בתחומים שונים בגנים.‏<br />

תהליך החקר שיתואר בהרצאה נערך במסגרת העבודה המעשית של סטודנטיות המכללה במסלול<br />

הגיל הרך.‏ כל סטודנטית עבדה עם קבוצת ילדים שבחרו לעצמם נושא שבו הם רצו להעמיק.‏ תהליך<br />

החקר עסק במיקוד הנושא.‏ בשלב הראשון הילדים פרסו את הידע הקודם והעלו שאלות.‏ השלב הבא<br />

כלל את תכנון החקר – הילדים החליטו כיצד הם יפעלו כדי לקבל מענה לשאלותיהם.‏ השלב הבא הוא<br />

עבודת השדה,‏ בו הילדים פעלו לפי התכנון ומעבר לו.‏ השלב האחרון הוא התיעוד,‏ הרפלקציה,‏ והסקת<br />

מסקנות.‏<br />

הפן המתמטי בא לידי ביטוי בכל השלבים.‏ דרך הפרויקט נוצרה למידה אותנטית המבוססת על פתרון<br />

בעיות אמיתיות שהעסיקו את הילדים.‏ הפרויקטים העצימו גם את הילדים,‏ שגילו שהם מסוגלים<br />

לשאול שאלות חשובות על נושא שהם בחרו,‏ לתכנן את הלימוד,‏ להגיע להבנות משמעותיות ולהציג<br />

לאחרים את מה שהם למדו.‏<br />

13<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

דיון בנושא:‏ אביזרים הכרחיים להוראת המתמטיקה בביה"ס היסודי<br />

עליזה גבאי<br />

- בי"ס אזורי מרחבים<br />

‏"מרבית תלמידי בית הספר היסודי נמצאים בשלבי החשיבה הקונקרטית.‏ לכן התלמידים ברובם<br />

יכולים בגיל זה להגיע להכללות,‏ להקיש דבר מתוך דבר,‏ לקשר דברים - כאשר הם מתנסים באמצעים<br />

או במושגים מוחשיים להם ופועלים עליהם.‏ למידה מתמטית בגיל זה חייבת להתחיל בפעילות<br />

בעצמים.‏ תלמידים אשר עושים רפלקציה על פעילותם מסוגלים כך להגיע אל רמת ההפשטה של<br />

המושגים המתמטיים.‏ אין לחשוש שמא יהיו התלמידים קשורים לנצח להמחשות אלה.‏ כאשר הם<br />

מסוגלים לבצע את הפעולות הנדרשות בדמיון ללא עזרים מוחשיים,‏ הם שומטים אותם.‏ לכל דרגת<br />

כיתה יש מגוון אפשרויות לשימוש ביצוגים ובהמחשות."‏<br />

‏(מתוך תוכנית הלימודים התשס"ו.‏ משרד החינוך)‏<br />

)<br />

במושב זה נדון בחומרי המחשה במתמטיקה בבית-ספר היסודי.‏<br />

הדיון יפתח בשאלות הבאות:‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

מהו חומר המחשה?‏<br />

לדוגמה:‏ האם חבל כביסה הוא חומר המחשה?)‏<br />

האם יש סוגים שונים של חומרי המחשה?‏<br />

מה אנו מצפים מחומר המחשה?‏<br />

מה הם המאפיינים של חומרי המחשה יעילים במתמטיקה?‏<br />

בחלק השני של הדיון תועלה השאלה:‏ ‏"מה הם חומרי ההמחשה הנחוצים להוראת המתמטיקה?"‏<br />

כדי לסייע במיקוד הדיון יוצגו במהלכו מספר חומרי המחשה המיצגים מגוון של אפשרויות.‏<br />

הדיונים יסוכמו בנייר עמדה של קבוצת המורים המשתתפים במושב.‏<br />

14<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

הכנסת הילד בגיל הרך לעולם החשבון על דרך המשחק<br />

מיכל גבלינגר<br />

MickMath -<br />

קונספט המשחקים החדש הוא יוזמה ייחודית ומקיפה אשר מכניסה ילדים בגיל הרך ועד כיתה ג'‏<br />

לעולם החשבון ולחשיבה הלוגית בדרך משעשעת וחדשנית.‏ הילדים לומדים להכיר את היחס בין<br />

כמויות ללא שימוש במושגים מופשטים אלא תוך משחק בצורות וצבעים.‏<br />

הקונספט הינו מודולארי ומורכב משלושים משחקי לוח,‏ קלפים ודומינו.‏<br />

הילדים לומדים בדרך של ניסוי וטעייה כיצד ליצור כמויות חדשות.‏ השילוב בין צבעים וצורות<br />

מאפשר לילד לזהות ולהבין בקלות את היחס בין כמויות ומספרים,‏ ואת הדרך בה הם נוצרים.‏<br />

קונספט המשחקים מוביל את הילדים לפיתרון מובנה של מטלות בכך שהילדים מסתייעים בצעדים<br />

הבאים:‏<br />

1. השוואה:‏<br />

.2<br />

.4<br />

על הילד לוודא שהשווה את כל הנתונים שבידיו על מנת לתפוס את המשותף ואת השונה.‏<br />

מיון:‏ כאשר הילד מתרגל לחלק את המידע לקבוצות,‏ הוא מבין כי גם משהו מורכב נהייה ברור<br />

יותר,‏ זאת בזכות מבט – העל והמקיף שהתקבל.‏<br />

דוגמא:‏ אם הילד מרכיב פאזל ואיננו מביא בחשבון שכל חלקי הפאזל ששייכים למסגרת הם<br />

בעלי שולים ישרים הוא יתקשה,‏ יהיה איטי,‏ יהיה מתוסכל ואולי אף יוותר לגמרי להרכיב אותו.‏<br />

3. סידור:‏ בשלב זה מארגנים את פרטי המידע השונים לפי סדר,‏ שלב זה הינו הכרחי להבנת<br />

מיקומם של הספרות.‏<br />

לדוגמא:‏ בעת אריזת התרמיל על הילד לשים לב שלא יניח את התפוחים הכבדים מעל העגבניות.‏<br />

קישור:‏ הילד משליך השלכות ומסיק מסקנות אשר מאפשרות לו לפתור את הבעיה<br />

.<br />

.6<br />

לדוגמא:‏ כאשר הילד מבין כי מיונם של חלקי הפאזל בעלי הקצוות הישרים מקל בהרכבת<br />

הפאזל הוא לומד כי מיון לקבוצות הינה אסטרטגיה חיונית להשלמת הפאזל.‏<br />

5. השערה ואומדן:‏ פתרון בעיות בחשבון איננו רק תהליך לוגי אנליטי ‏(אונת המוח השמאלית),‏ אלא<br />

גם תהליך של השערה ואינטואיטיבית ‏(אונת המוח הימנית).‏ השימוש בשתי אונות המוח הינו בעל<br />

חשיבות מכרעת ועל כן יש לעודד את הילדים לשלב גם השערה בתהליך פתרון הבעיות.‏<br />

תנועה וקצב:‏ שהילד מבצע בעזרת גופו עוזרים לחזק את התפיסה והילד מפנים את הנלמד.‏<br />

לסיכום:‏<br />

קידום ‏=מניעה<br />

מוטיבציה במשחק מעודדת למידה<br />

15<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

חופש ומתמטיקה<br />

עמוס גואטה - החוג להפרעות בתקשורת,‏ אוניברסיטת חיפה<br />

המניעה היא דרך קלה יותר מן התיקון,‏ ובשלב שבו הילד נחשף לרעיונות המתמטיים הראשונים חשוב<br />

למנוע את בנייתה של תמונת עולם מתמטית מעוותת שאנו מוצאים אותה לעיתים קרובות אצל תלמידים<br />

בוגרים.‏ אצל תלמידים רבים המתמטיקה נתפסת כמשהו שנוצר כנראה מלכתחילה בצורתו הסופית,‏<br />

כמשהו שאין בו חופש בחירה,‏ וכמשהו שאין לו כמעט קשר לחיים הממשיים ובנוסף לכך ישנם כמה מורים<br />

וכמה תלמידים שנהנים ממנו בגלל סיבות לא ברורות...‏<br />

הפילוסוף הישראלי בן עמי שרפשטיין,‏ העוסק בעיקר בפילוסופיה של האסתטיקה,‏ כתב:‏ האמנות היא<br />

ספונטאניות בכלוב של סדר…‏ יצירה מתמטית,‏ אינה פחות ספונטאנית,‏ קשה ומוזרה מיצירת אמנות."‏<br />

הקשר בין מתמטיקה לבין אמנות יכול להיות גשר נהדר ללבם של הילדים וכאן אין הכוונה לקשר בעזרת<br />

היופי שבגרפים של פונקציות מסוימות כמו x^2+y^2=R^2 ‏(במקרה הזה מדובר בגרף של מעגל)‏ אלא<br />

לתהליך היצירה עצמו כפי שמתאר אותו שרפשטיין:‏ ‏"ספונטאניות וסדר מאפיינים לא רק אמנות,‏ אלא את<br />

החיים בכללם.‏ כל מה שאנו הוגים,‏ אומרים או עושים,‏ כל מה שהננו,‏ מכונן מבחינה מסוימת על ידי<br />

התמזגותם של הניגודים הללו.‏ אבל,‏ כאשר התמזגות זאת עולה לנו במכאובים גדולים ומסתיימת בהישג<br />

בלתי צפוי,‏ מכונים בפינו המכאובים וההישג בשם ‏"יצירה"‏ ‏-בלי לשים לב אם תכלית היצירה היא<br />

טכנולוגית,‏ מתמטית,‏ או אמנותית.‏ מכל מקום,‏ ביצירה מצוי תמיד יסוד הפתעה מסוים,‏ משהו מעבר<br />

לניסיון ולהגיון המקובל.‏<br />

לכל מתמטיקאי משחק פנימי משלו שהוא לא ענייני מבחינה הגיונית,‏ אך חיוני בתכלית.‏ לראשונה בא<br />

המשחק,‏ לאחר מכן האינטואיציה ורק בסוף מופיעים בדרך קבע המבנה הקבוע וההוכחה הברורה שאין<br />

לכפור בה.‏ בהמשך הוא כותב:‏ ‏"המשחק הוא מורה רב גוני להפליא<br />

"...<br />

במסגרת הסדנה ננסה להראות גישה להוראה וללמידה של מתמטיקה שיש בה יסודות של משחק.‏ הגישה<br />

משלבת פעילות חופשית בתוך מסגרות מוגדרות,‏ ונותנת המחשה,חלקית אולי,‏ לתיאור היפה של שרפשטיין.‏<br />

המסגרות שנשתמש בהן יהיו הקבוצה והפונקציה.‏ הקבוצות והפונקציות הן אבני היסוד של המתמטיקה<br />

ושל יישומיה,‏ אבל כאן הקבוצות והפונקציות לא מוצגים כנושאים מתמטיים אלא כמסגרות פעולה נוחות<br />

וגמישות.‏<br />

לדוגמא:‏ נתונה קבוצה של מספרים:‏ {1,2,4,8}, הפעולה המותרת היא כפל,‏ נבחר שני מספרים,‏ למשל<br />

המכפלה שלהם היא<br />

2,4<br />

,8<br />

פנימי,‏ אם נבחר במספרים<br />

2,8<br />

8 הוא מספר שנמצא בקבוצה ולכן התרגיל האחרון יקרא תרגיל סגור או תרגיל<br />

המכפלה תהיה 16 והתרגיל יקרא פתוח או חיצוני.‏ המשימה היא למצוא את<br />

כל התרגילים הפנימיים ואת כל התרגילים החיצוניים.‏ אם נשתמש באותה הקבוצה אבל נבחר בפעולת<br />

החילוק ‏,הרי אנו קופצים כמה כיתות,‏ ‏(מכפל בתחום העשר לשברים פשוטים).‏<br />

מהדוגמא אנו למדים משהו על הפשטות והגמישות של שימוש בקבוצה ליצירת פעילות מתמטית מעניינת<br />

ופורייה.‏<br />

בסדנה יובאו דוגמאות רבות נוספות של שימוש בקבוצות ובפונקציות וננסה לדון בהיבטים העיוניים<br />

והמעשיים של הגישה המוצעת.‏<br />

16<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

מתמטיקה<br />

-<br />

זה משחק!...?‏<br />

חיה גוז'נסקי - הוצאת חניה<br />

אם את הדלת נפתח,‏ תראו עולם נפלא<br />

לא תאמינו,‏ כן זוהי כיתה בשיעור מתמטיקה.‏<br />

<br />

<br />

רציונל<br />

שימוש בכלים מוחשיים במתמטיקה,‏ כחלק מתהליך עידוד לימוד הבנת עקרונות ומבנים מתמטיים,‏<br />

שיפור ושכלול דרכי ההוראה והתאמתם לתלמידים ולמטרות ההוראה.‏<br />

הנחת היסוד<br />

שימוש בכלים ואמצעים מגוונים מאפשרים לימוד בדרכים רבות ומגוונות,‏ ובעזרתם ניתן להסביר,‏<br />

להבין טוב יותר את התכנים.‏<br />

מטרות<br />

דרכי פעולה<br />

<br />

<br />

העמקת השימוש באמצעים שונים ומוחשיים להגברת חווית ההצלחות אצל התלמידים.‏<br />

סיפוק סביבה מאתגרת,‏ מגוונת של כלים ואמצעים המאפשרים העמקת הלמידה ופיתוח<br />

חשיבה לסוגיה.‏<br />

שילוב תמידי,‏ עקבי של אמצעים וכלים מגוונים בכל שיעור בהתאם לתכנים הנלמדים,‏ יצירת<br />

מערכת תמיכה לקידום והכרה של הצוות המתמטי.‏<br />

זיהוי ואיתור כלים והערכת מידת התאמתם לנושאים הנלמדים ויישומן בתחומי התוכן.‏<br />

על מנת להביא את המתמטיקה למצב של עשייה,‏ שומה עלינו כמורים להיעזר בעקביות באמצעים<br />

וכלים מגוונים.‏<br />

השימוש באמצעים מגשר בין תחום הידע לבין יכולות התלמיד להבין את הנושא הנלמד.‏<br />

במושב נדגים שילוב אמצעים להבנת תהליכים ומבנים מתמטיים ותרגומם לשפת החשבון.‏<br />

17<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

דיון בנושא:‏ כיצד להעלות את המוטיבציה של התלמידים ללמוד מתמטיקה?‏<br />

ילנה גופמן - בי"ס דקלים,‏ דימונה<br />

אף אחד אינו אדיש ביחסו למתמטיקה.‏<br />

הדיון יפתח בשאלות על ניסיונם של המורים לגבי היחס של התלמידים למתמטיקה.‏<br />

•<br />

•<br />

האם התלמידים אוהבים מתמטיקה,‏ פוחדים ממתמטיקה,‏ אדישים למתמטיקה?‏<br />

מה גורם לתלמידים לאהוב או לא לאהוב מתמטיקה?‏<br />

לאחר הדיון בשאלות אלה,‏ ננסה לענות על השאלות הבאות:‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

מה גורם לתלמידים לאהוב מתמטיקה?‏<br />

מה גורם לתלמידים להצליח במתמטיקה?‏<br />

מה הם הדרכים להוראת המתמטיקה המעלה את המוטיבציה של התלמידים?‏<br />

אילו התנסויות לימודיות צריך המורה לבחור כך שיהיו רלוונטיות לתלמידים ובעלות<br />

משמעות עבורם?‏<br />

אילו שיטות למידה יפעיל המורה כדי לעודד שיתוף פעולה של תלמידים שונים?‏<br />

אילו אסטרטגיות הוראה יפעיל המורה כדי לטפח אצל התלמידים יכולות של רכישת ידע,‏<br />

חשיבה ביקורתית,‏ פתרון בעיות ומיומנויות לביצוע?‏<br />

כיצד מסייעת סביבה לימודית הולמת ליצירת מוטיבציה בקרב התלמידים?‏<br />

בסיכום הדיון ננסה לנסח מסמך משותף שייתן ביטוי לעיקרי הדברים שעלו.‏<br />

‏(התלבטויות,‏ שאלות והצעות אופרטיביות)‏<br />

18<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

למידה דרך המחשב:‏ הנעה<br />

שוש גופשטיין – מדריכת<br />

- הנאה -<br />

‏"חשבון 10"<br />

הערכה<br />

במאה ה-‏ 21 מהווה המחשב אחד הכלים המשמעותיים ביותר כמעט בכל תחום בחיים,‏ החל בייצור<br />

של אריזות מזון למיניהם וכלה בתכנון של לוויינים ומסלוליהם מסביב לכדור-הארץ.‏<br />

האם המחשב חיוני,‏ אפוא,‏ בהוראה בכלל ובהוראת המתמטיקה בפרט?‏ באילו תנאים רצוי לשלב<br />

אותו בהוראה בכיתה?‏ באילו דרכים יכול המחשב לסייע למורה בהערכת תלמידיו?‏ האם הוא יכול<br />

לתרום לאהבת המקצוע בקרב התלמידים?‏ האם הכנסת העבודה במחשב כחלק מתהליך למידה<br />

מסייע לתלמיד?‏ למורה?‏ למערכת?‏<br />

המחשב נמצא כמעט בכל בית ובהישג ידו של כל תלמיד.‏ מחד גיסא,‏ שימוש לא נבון במחשב עלול<br />

לגרום לנזקים רבים.‏ ומאידך,‏ מציאת דרכים ראויות לשימוש בו,‏ עשויות לסייע בשיפור ההוראה<br />

בכלל והוראת המתמטיקה בפרט.‏<br />

אחת הדרכים הראויות לשימוש במחשב בהוראת המתמטיקה היא בעזרת לומדה המפתחת אצל<br />

התלמידים למידה עצמית,‏ מסייעת להעריך את ביצועי התלמידים ומספקת למורה נתונים מרוכזים<br />

על מצבם הלימודי וההישגי.‏<br />

לומדת מחשב אינטראקטיבית מאפשרת למידה יחידנית במחשב באמצעות פעילויות ומשימות<br />

מולטימדיה,‏ הלומדה מלמדת ומקנה את הנושאים בצורה חזותית,‏ צבעונית,‏ מגוונת ומסקרנת,‏<br />

מתרגלת את הנושאים הנלמדים,‏ מתקנת את התלמיד באופן חכם ולא פוגע ‏(מתן משוב חיובי ולא<br />

שלילי),‏ דבר המאפשר לתלמיד להעצים את הביטחון העצמי שלו במתמטיקה מבלי לחשוש לשגות.‏<br />

הלומדה נותנת מענה לאוכלוסיות הטרוגניות ומסייעת למורה בהערכת התלמידים.‏<br />

בהרצאה אדגים בעזרת הלומדה את עקרונות השימוש במחשב בהוראת המתמטיקה,‏ אביא דוגמאות<br />

של הקניות של נושאים מתכנית הלימודים החדשה המתבצעות במחשב,‏ אדגים תשובות נכונות<br />

ושגויות של תלמידים ובאיזה אופן המחשב נותן משוב.‏ כמו כן,‏ אביא חוות דעת של מורים ותלמידים<br />

מהשטח שהתנסו בעבודה עם המחשב.‏<br />

19<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

הוראת המבנה העשורי בכיתה ג'‏<br />

על פי תכנית הלימודים החדשה במתמטיקה<br />

גלי גחטן נסימוב<br />

- בי"ס<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

‏"הגפן"‏ ר,‏ ‏"ג<br />

קרן לוי נחום<br />

הרצאה זו הינה תמצות עקרי הפרטים שערכנו במחקרנו תוך הדרכתה של ד"ר דורית פטקין.‏<br />

מחקר זה עוסק בנושא המבנה העשורי בכיתה ג',‏ על-פי תכנית הלימודים החדשה במתמטיקה,‏ והוא<br />

מבוסס על מורה המלמדת בכיתה ג'.‏ את נושא המחקר,‏ המבנה העשורי,‏ בחרנו מתוך התבוננות<br />

בתכנית הלימודים החדשה במתמטיקה והתייעצות עם המורה הנבדקת.‏<br />

שיטת הספירה בתרבותנו בנויה על נושא המבנה העשורי,‏ הקשור בחיי היום יום ובא לידי ביטוי<br />

בכמויות,‏ אומדן,‏ מידות וכדו'.‏ נושא זה הינו בעל חשיבות רבה בפיתוח כישורים שונים ומיומנויות<br />

חשיבה בקרב התלמידים וניתן ולתרגל בו משימות חקר ופעילויות שונות המפתחות בילד יכולות<br />

הפשטה והכללה.‏ נושא המבנה העשורי מאפשר פיתוח אלגוריתמים לא סטנדרטים מעודדי מחשבה.‏<br />

הוא עוסק בתחום המספרים הטבעיים,‏ ומהווה בסיס למספרים העשרוניים ולקבוצות המספרים<br />

המורחבות שילמדו בעתיד.‏ הנושא מקדם את יכולת התלמידים להבין את הסימנים וההסכמים באשר<br />

למיקום הספרה במספר ולסדר כתיבת המספרים,‏ ויכול להעשיר את אוצר המילים המתמטי של<br />

התלמידים התורם רבות לשיח מתמטי.‏<br />

מטרות המחקר עוסקות בבדיקת התאמת נושא המבנה העשורי ביחס לרמת תלמידי כיתה ג'‏ מבחינת<br />

שלב התפתחותם הקוגניטיבי,‏ ביחס לתכנית הלימודים החדשה במתמטיקה ולאופן בו מלמדת המורה<br />

הנבדקת את הנושא בכיתתה.‏ בהתאם לכך התייחסנו להיבטים מרכזיים כמו תכונת ערך המקום<br />

ותכונת ההקבצה של בסיס עשר,‏ דרכי הוראת המבנה העשורי והתמודדות עם שגיאות אופייניות<br />

וקשיים בהוראת המבנה העשורי.‏<br />

שאלת המחקר המרכזית היתה:‏ האם המורה הנבדקת מלמדת,‏ בכיתה ג',‏ את נושא המבנה העשורי,‏<br />

על-פי תכנית הלימודים החדשה במתמטיקה?‏<br />

איסוף המידע לגבי המורה עליה נערך המחקר נעשה באמצעות ראיון חצי מובנה,‏ תצפית חצי מובנית,‏<br />

ומסמכים שונים בהם נעזרה המורה במהלך הוראתה ובהערכתה את התלמידים.‏<br />

איסוף ועיבוד הנתונים במחקרנו נעשה בדרך של קטגוריזציה – תהליך של מיון,‏ מציאת משמעות<br />

ומתן פרשנות.‏<br />

דוגמאות לממצאים מתוך המחקר:‏<br />

המורה הנבדקת עשתה שימוש רב במטלות הדורשות חשיבה,‏ תוך פיתוח בקרה ואחריות<br />

אישית בקרב תלמידיה.‏ למשל,‏ התעניינה בדרך ולא רק בתוצאה,‏ הקשיבה לדרכים שונות,‏<br />

עודדה פיתוח דרך לפיתרון לא סטנדרטי והנמקת תשובות.‏<br />

המורה הנבדקת עשתה שימוש בשיח דיאלוגי,‏ והרבתה בשאילת שאלות,‏ כמו גם בשיח<br />

המתמטי אותו דרשה מתלמידיה.‏<br />

המורה הנבדקת בחרה בפורום הוראה של המליאה בו היא ריכזה את המחשבה אצלה<br />

והמעיטה ביצירת אינטראקציה בין התלמידים לבין חבריהם.‏ מבדיקת תכנית הלימודים<br />

החדשה במתמטיקה נראה שאין בה התייחסות לפורום ההוראה בכיתה.‏<br />

20<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

מי מדבר על שגיאות<br />

?<br />

- דיון בכיתה בהכללות יתר של תלמידים<br />

תמי גירון - משרד החינוך<br />

דיון בשגיאות של תלמידים כחלק אינטגרלי מובנה ממהלך ההוראה משמש כאחת מהאסטרטגיות<br />

להעלאת קונפליקטים המעוררים בחינה מחדש של ידע קיים,‏ הבנה מעמיקה,‏ תיקוף הידע והבניית<br />

ידע חדש.‏<br />

חוקרים רבים מצביעים על היתרונות בהצגת שגיאות בפני תלמידים ודיון בהן.‏ גישה זו נובעת מראיית<br />

תהליך הלמידה כהתמודדות בלתי פוסקת עם קונפליקטים קוגניטיביים.‏<br />

בין היתרונות העולים מדיון בשגיאות עם תלמידים:‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

הגברת מודעות הלומדים לדרכי החשיבה שלהם<br />

שגיאות יכולות להיות נקודת מוצא לדיון בעקרון מתמטי<br />

שגיאות יכולות להיות נקודת מוצא לדיון בתקפות חוקים מתמטיים<br />

דיון בשגיאה מפתח חשיבה ביקורתית<br />

דיון בשגיאה מעניין ומעורר מוטיבציה<br />

דיון בשגיאה מפתח שיח מתמטי ומפתח את יכולת ההנמקה של התלמידים<br />

דיון בשגיאה עשוי לפתח מבט מעמיק על פרוצדורות ויחסים בין מספרים<br />

כבר בשנות ה-‏ 80 המוקדמות טען שמואל אביטל שיש לשלב ‏"מטלות שגיאה"‏ במהלך השיעור<br />

‏(אביטל,‏ ;1976 (1981<br />

. במאמריו מציע אביטל סוגי שגיאות שלדעתו מומלץ להציג לתלמידים,‏ ומכוון<br />

לסוגי מטלות שכדאי לזמן בפני התלמידים,‏ על מנת שהעיסוק בשגיאות יהיה שלב משמעותי בהבניית<br />

הידע המתמטי שלהם.‏ אחד מסוגי המטלות שאביטל מציע להציג לתלמידים הן מטלות המציגות את<br />

המקרים בהם התלמידים נוטים לעשות הכללות יתר,‏ ולטעון בעקבות הכללת היתר,‏ שתכונה או<br />

פעולה מתמטית ממשיכה להתקיים גם במקרים שאינה מתקיימת ‏(אביטל,‏<br />

.(1981<br />

חלק מהכללות היתר של תלמידים ניתן לזהות כשבוחנים לעומק את דרך הפיתרון,‏ או בתשובות<br />

לשאלות הדורשות נימוק.‏<br />

מיון השגיאות ושיחות עם תלמידים מאפשרים לראות שאחד המרכיבים השכיחים המובילים<br />

לשגיאה הוא שימוש בהיגד או חוק המבוסס על הכללה או על ‏"הרחבת יתר"‏ של החוק.‏<br />

בהרצאה יובאו דוגמאות לפעילויות ולדיונים שנערכו עם תלמידים בעקבות העלאת שגיאות ממבחנים<br />

שהועברו בכיתה,‏ ובמהלכן נערכה בחינה מחודשת של ה"חוק המורחב"‏ או ההכללה שהובילה לטעות.‏<br />

אביטל,‏ ש'‏ (1981). מה אפשר לעשות עם שגיאותיו של תלמיד?‏ שבבים.‏ עלון למורי המתמטיקה.‏<br />

21<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

‏"אוריגאמטריה"‏ ו"טרום אוריגאמטריה"‏<br />

כ -<br />

:<br />

אמנות האוריגאמי בבתי ספר וגני ילדים<br />

פול ג'קסון ומירי גולן<br />

לים להוראת גיאומטריה באמצעות<br />

בשנת 2000 יצרנו את תוכנית האוריגאמטריה,‏ שהתבססה על תוכנית שנכתבה על ידי מירי גולן<br />

ונלמדה במשך 8 שנים בבתי ספר כדרך לפיתוח מיומנויות למידה.‏<br />

ההשפעה של הוראת אמנות האוריגאמי על רכישת מיומנויות למידה<br />

קוגניטיבי<br />

פיתוח התפיסה המרחבית<br />

פיתוח חשיבה לוגית<br />

פיתוח התפיסה החזותית<br />

דמיון<br />

חיזוק ידע<br />

אמוציונאלי<br />

שיפור הדימוי העצמי<br />

שחרור רגשי<br />

חווית הצלחה<br />

המיוחד בשימוש באמנות האוריגאמי הוא בכך שהגיאומטריה קיימת בנייר,‏ היא מתהווה בתהליך<br />

הקיפול וצריך רק לבחון אותה.‏ למשל,‏ בשיעור בו אנו לומדים על האלכסונים,‏ נחפש את האלכסון<br />

במהלך הקיפול,‏ נבדוק האם הקווים המתהווים הם אלכסונים ונחזור ונחקור את האלכסון עד<br />

ליצירת הדגם הסופי.‏ התלמידים בשיעור מרותקים,‏ נפעמים לקראת הדגם,‏ ומשחקים עם המורה<br />

בבדיקת האלכסון.‏ חוויה זו משלבת שימוש בחושים רבים תוך כדי התנסות חיובית המטמיעה את<br />

הידע,‏ והתלמידים יזכרו את הנושא הגיאומטרי גם לאחר מספר שנים.‏<br />

מבנה השיעור כולל<br />

תובנה גיאומטרית-‏ של המושג הנלמד על ידי קיפולים.‏<br />

חקר-‏ לאורך תהליך הקיפול.‏<br />

תכונות והקשרים-‏ בחינת המושג בצורות שונות עם הנייר המקופל או בתהליך הקיפול בהתאם לנושא<br />

הנלמד.‏<br />

מתודות ההוראה-‏ תלמיד שלא יבין את הקיפול יתקשה לרכוש ידע בגיאומטריה.‏ ולכן<br />

לאוריגאמטריה מתודות ההנחיה מיוחדות ‏,במהלך השיעור.‏ שיטות ההוראה ודרך הדרכת הקיפול<br />

הם סוד ההצלחה של התלמידים.‏<br />

טרום אוריגאמטריה<br />

בגילאי טרום אנו מלמדים סדרה של דגמי אוריגאמי שבמהלך קיפולם אין חשיבות ליכולת הדיוק<br />

כל הילדים מצליחים לקפל את המודל גם אם לא דייקו.‏ דגמים אלו פתחו ערוץ חדש להכיר לילדי הגן<br />

את הנושאים הגיאומטרים,‏ ולעבוד על חיזוק מיומנויות חשובות כמו מוטוריקה,‏ מיקוד עין יד<br />

תפיסה כיוונית ומרחבית,‏ ללא תסכולים.‏<br />

שיטות ההוראה דומות לתוכנית האוריגאמטריה . אנו עובדים על חיזוק הדימוי העצמי וכל ילד<br />

מצליח ומקבל חיזוקים חיוביים.‏ גילאי חלון הזדמנויות לרכישת ידע,‏ בעיקר בשל הדמיון,‏<br />

הדומיננטי בגיל זה,דבר המסייע להבנת גיאומטריה ועלינו להשתמש בכלי זה בכדי לחזק את הידע<br />

והתפיסה של הילדים.‏ ככול שהתלמידים מתבגרים כך יש קושי רב יותר להשתמש בדמיון ולהבין את<br />

התלת ממד.לכן חשוב להתחיל ללמד ‏"טרום אוריגאמטריה"‏ בגני ילדים ואוריגאמטריה בבתי<br />

הספר.‏<br />

בכנס נביא דוגמאות מתוך מעקב שעשינו בגן ילדים מחוננים במרכז הארץ.‏<br />

.<br />

,<br />

9 - 3 הם<br />

מוטורי<br />

פיתוח מיומנות מוטורית<br />

ויזו-מוטורי<br />

קשר עין יד<br />

22<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ש )<br />

מתן מענה לתלמידים המגלים עניין וסקרנות מתמטית גבוהה<br />

רונית גרוס,‏ אפרת חן – ריכוז והדרכה<br />

‏"הידע אותו ניתן לרכוש הוא אינסופי ולכן לא נוכל לדעת הכל,‏<br />

אך לדמיון היוצר ולחשיבה המעמיקה יש פתרונות גם להבנת הלא ידוע"‏<br />

‏(אלברט אינשטיין)‏<br />

הסדנה תעסוק בהצגת דגמים שונים לעבודה עם תלמידים בעלי יכולות גבוהות במתמטיקה,‏ סקרנות<br />

מתמטית ורצון לשיתוף פעולה.‏<br />

בעבודה עם תלמידים כאלה ניתן להשיג את המטרות הבאות:‏<br />

העשרת הלומדים בידע מתמטי מתכנים שונים מתוך / מחוץ לתוכנית הלימודים.‏<br />

פיתוח חשיבה מתמטית,‏ תובנה מספרית וגיאומטרית.‏<br />

היכרות עם אסטרטגיות חשיבה שונות בפתרון בעיות.‏<br />

התנסות בחקירה וגילוי.‏<br />

הקניית הרגלי למידה והערכה המאפשרים התמודדות עם משימות מורכבות ומאתגרות.‏<br />

הסדנה תכלול מצגת דגמי הוראה – למידה<br />

- הערכה,‏<br />

והתנסות במספר פעילויות בליווי שיח משמעותי<br />

שיוביל להבנת מטרות הפעילויות,‏ דרכי פתרון,‏ אסטרטגיות חשיבה,‏ יצירת הנעה והנאה בהוראה<br />

ולימוד המתמטיקה.‏<br />

המצגת והמשימות בסדנה יכללו דוגמאות לחלק ממגוון פעילויות המוצע ללומדים:‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

פעילויות חד / רב שלביות קצרות או מתפתחות בעלות אופי תהליכי ‏(בעיה,‏ אסטרטגיות<br />

לפתרון,‏ רפלקציה,‏ הכללה,‏ פתרונות).‏<br />

פעילויות המזמנות עבודה מדורגת ברמות שונות.‏<br />

פעילויות המפעילות אסטרטגיות של פתרון בעיות כמו:‏ ניסוי וטעייה,‏ העלאת השערות,‏<br />

בחירת ייצוגים מתאימים,‏ חשיבה לאחור.‏<br />

פעילויות המצריכות גיוס ידע קודם ו/‏ או אינטגרציה של נושאים.‏<br />

פעילויות המפתחות מיומנויות חשיבה כמו:‏ אומדן,‏ מיצוי אפשרויות,‏ חשיבה יצירתית<br />

וחשיבה רפלקטיבית ‏(העלאה ואימות השערות...).‏<br />

פעילויות המעודדות שיתוף פעולה בין תלמידים.‏<br />

גיוון משימות:‏ חידות,‏ שאלות מילוליות מסוגים שונים,‏ משימות חקר,‏ אתגרי חשיבה,‏<br />

היכרות עם מתמטיקאים,‏ חקר לוחות מספרים ולוחות פעולה,‏ תבניות מספרים,‏ סדרות,‏<br />

משחקי חשיבה<br />

עובדו על ידינו).‏<br />

23<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

לימוד חשבון בעזרת המחשב – מכמות פריטים ועד למספרים תלת-ספרתיים<br />

יוסף דלין – שילוב המחשב בחינוך המתמטי<br />

א.‏ השלב הכמותי<br />

-<br />

בשלבים ההתחלתיים של לימוד חשבון,‏ הילד לומד להתייחס לכמויות של פריטים,‏<br />

כולל ספירת אצבעותיו,‏ ולבצע פעולות חיבור וחיסור של קבוצות פריטים עד לעשר.‏ בשלב זה למספרים<br />

המציינים את מספרי הפריטים יש שמות וורבליים.‏<br />

ב.‏ המעבר לייצוג הסימבולי – בשלב הבא מתווסף המימד הסימבולי והילד לומד להכיר את הייצוג<br />

הסימבולי של המספר ‏(סיפרה)‏ ולקשר אותו למספר מוחשי,‏ המציין כמות של פריטים.‏ מעבר זה לייצוג<br />

הסימבולי של מספרים אינו קל ומחייב שינון ותרגול.‏ בשלב זה,‏ שילוב של המחשב עם תוכנות מתאימות,‏<br />

יכול לסייע רבות להבנת קשר זה שבין הייצוג המספרי הסימבולי-האבסטרקטי לבין מערכת המושגים<br />

האנושית המוחשית – הכמותית.‏ השימוש במחשב עשוי לספק ‏"אין סוף"‏ פעילויות גראפיות ‏-דינאמיות,‏<br />

שיש באפשרותן לעורר התעניינות וסקרנות וליצור הרגלים של לימוד פעיל וחקירה.‏<br />

ג.‏ המערכת העשרונית - בשלב זה,‏ הילד לומד את מערכת המספרים העשרונית.‏ הוא מתקדם בהדרגה<br />

מהכרת יחידות להכרת עשרות,‏ מאות,‏ אלפים וכו'.‏ בתהליך זה,‏ מאחר וקיים קושי להתייחס למספרים<br />

כה גדולים של פריטים – המחשב יכול לעשות זאת בצורה פשוטה וויזואלית,‏ המאפשרת להמחיש את<br />

הקשר בין הייצוג הסימבולי לייצוג הכמותי.‏<br />

ד.‏ ביצוע פעולות חשבון וחישוב תוצאת חישובים יכולים להיעשות ע''י שינון וזיכרון או על בסיס חשיבה<br />

והבנה.‏ מאחר והמידע שנאגר ע''י שינון וזיכרון הוא מוגבל בכמותו – יש חשיבות רבה לביצוע חישובים<br />

על בסיס של הבנה.‏ למעשה,‏ מרבית החישובים נעשים על סמך בסיס זה,‏ שלפיו פועל המוח האנושי.‏ שלבי<br />

החשיבה של המוח האנושי ניתנים לתיאור ולייצוג באמצעות אלגוריתמים.‏ כמו המחשבון והמחשב,‏<br />

האלגוריתמים מושתתים על אלמנטים של חשיבה בסיסיים ופשוטים.‏ שלבי חשיבה אלה ניתנים לתיאור<br />

באמצעות תוכנות גראפיות – כמותיות מתאימות.‏ אם הילד יבין ויבצע את החישובים בשלבים לוגיים<br />

התואמים את שלבי החשיבה של מוחו,‏ הוא יוכל לפתור בעיות ותרגילים מורכבים על בסיס הבנה.‏<br />

בשלב זה תרומת המחשב בפיתוח חשיבה אלגוריתמית בתהליך לימוד החשבון חשובה עוד יותר,‏ היות<br />

ורק בעזרת המחשב ניתן לבנות,‏ להציג וליישם באופן מדויק אלגוריתמים אלה ולבדוק את נכונותם.‏<br />

המחשב יכול לסייע איפה לתלמיד,‏ בהנחיית המורה,‏ לפתח חשיבה אלגוריתמית.‏<br />

התוכנות שתוצגנה מאפשרות זאת,‏ הן בהתייחס לפעולות חשבון בסיסיות במספרים<br />

והן 1 עד 10<br />

בהתייחס לפעולות חשבון מתקדמות ומורכבות יותר במספרים דו-ספרתיים ותלת-ספרתיים.‏<br />

ההמחשה והבקרה של היישום האלגוריתמי שיוצג במהלך הרצאה זו מתייחסים לנושאים הבאים:‏<br />

חוק החילוף בחיבור;‏ הכרות עם מערכת המספרים העשרונית ‏(יחידות,‏ מאות,‏ וכו')‏ ומשמעותה;‏<br />

פעולות חיבור של מספרים דו-ספרתיים;‏ פעולות חיסור של מספרים דו-ספרתיים;‏ פעולות כפל<br />

ככתיב מקוצר של פעולות חיבור של מספרים זהים;‏ חוק החילוף בכפל;‏ חיבור וחיסור מספרים תלת<br />

ספרתיים;‏ יישומי חשבון בקנייה ובמכירה<br />

- בכסף<br />

‏(שטרות ומטבעות)‏ .<br />

ספרי הלימוד מספקים מספר מוגבל של תרגילים סטטיים,‏ ללא מתן היזון ‏-חוזר מיידי,‏ בפרט כאשר<br />

מתייחסים למספרים דו-ספרתיים וגדולים יותר.‏ מאידך,‏ השימוש במחשב מאפשר הפיכת תהליך<br />

לימוד החשבון לתהליך דינאמי,‏ ויזואלי,‏ מומחש,‏ קבלת היזון חוזר מיידי ומספר בלתי מוגבל של<br />

תרגילים ופעילויות.‏ כל זאת,‏ בסביבת למידה טכנולוגית,‏ התואמת את הסביבה שבה התלמיד חי<br />

ואשר בה תלמיד יעשה שימוש יום-יומי בעתיד.‏<br />

24<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

תואר שני M.Ed. בחינוך מתמטי לבית הספר היסודי<br />

רונית הופמן - מכללת סמינר הקיבוצים<br />

במסגרת מושב זה נציג את הרציונל,‏ המטרות ומבנה התכנית לתואר שני M.Ed. בחינוך מתמטי<br />

לביה"ס היסודי במכללת סמינר הקיבוצים.‏<br />

תכנית ה-.‏M.Ed שתוצג היא תכנית לימוד אקדמית רחבה ומעמיקה,‏ ברמת תואר שני,‏ הבאה לספק<br />

תשובה לביקוש הגובר של מורים בוגרי מכללות לחינוך בעלי תואר ראשון בהתמחות מתמטיקה לבית<br />

הספר היסודי,‏ ללימודי המשך ולקידום מקצועי ובאה לתת מענה לצורכי מערכת החינוך.‏<br />

תכנית ייחודית זו מיועדת למורים בעלי תעודת הוראה,‏ בעלי תואר ראשון בחינוך מתמטי או<br />

במתמטיקה המעוניינים להרחיב את השכלתם ולהפוך למובילים בתחום החינוך המתמטי בבתי הספר<br />

היסודיים.‏<br />

נקודת המוצא של התכנית היא שילוב אינטגרטיבי בין לימודי מתמטיקה לבין לימודי חינוך מתמטי.‏<br />

התכנית תעמיק הן את הידע המתמטי והן את הידע הפדגוגי-מתמטי של המורים.‏ בתכנית קיימת<br />

התייחסות למקומו החשוב של המחשב בהוראה ובלמידה.‏ המורים,‏ תלמידי התכנית,‏ נחשפים<br />

למחקרים עדכניים בתחום החינוך המתמטי בבתי הספר היסודיים.‏ מחקרים אלו עוסקים בהבנת<br />

הגורמים הקוגניטיביים,‏ הרגשיים וההתפתחותיים המעורבים בהתפתחות החשיבה המתמטית,‏<br />

בהתפתחות המוטיבציה ללמידת המקצוע ובקשיים בלימוד מתמטיקה המתעוררים אצל תלמידי בית<br />

הספר היסודי.‏ תחום החינוך המתמטי הוא תחום מחקר חדש יחסית,‏ וחשוב שהמורים יכירו ויעזרו<br />

בממצאיו על מנת לבסס ולשפר את הוראת מקצוע המתמטיקה לאוכלוסיה כולה:‏ למתקדמים,‏<br />

לבינוניים ולבעלי צרכים מיוחדים.‏<br />

התכנית תצמיח סגל אקדמי בכיר של מחנכים מקצועיים מובילי שינויים בבתי הספר היסודיים ובעלי<br />

תפקידים בחינוך המתמטי,‏ שישכילו להתמודד בצורה טובה יותר עם אתגרי ההוראה בשנות<br />

האלפיים.‏ התכנית תקדם מורי מתמטיקה לאוכלוסיות מיוחדות,‏ מנחים ומדריכי מורים,‏ רכזי מקצוע<br />

ומפתחי חומרי למידה בזיקה לאוכלוסיות שונות ולצרכים השונים בבית הספר היסודי.‏<br />

המומחיות שירכשו הלומדים במהלך לימודיהם,‏ תסייע להם להוביל ולעצב את השינויים המתבקשים<br />

במערכת החינוך ויביאו לשיפור בהישגים הלימודיים ולהעלאת התדמית של מקצוע המתמטיקה ושל<br />

העוסקים בהוראתה.‏<br />

25<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

–<br />

העדפות של ילדים בכתיבת סיפורים חשבוניים<br />

והקשר בין העדפותיהם להצלחתם בפתרון סיפורים חשבוניים אחרים<br />

מירי הילאי בי"ס ‏"בגין"‏ קרית-‏ מוצקין<br />

בהנחיית פרופ'‏ פרלה נשר,‏ במסגרת לימודי בחינוך מתמטי-‏ מכללת סמינר הקיבוצים<br />

M.ed<br />

ההצגה תכלול סקירה ספרותית קצרה בנושא הבעיות המילוליות ע"פ מאמריהם ומחקריהם של פרופ'‏<br />

פרלה נשר ואחרים.‏ יוצגו ארבעה עשר הסוגים השונים של הבעיות המילוליות:‏ דינאמיות,‏<br />

סטאטיות והשוואתיות.‏ יוצגו הקשיים השונים בפתרון בעיות מילוליות כמו:‏ מסיחים,‏ מיקום<br />

השאלה,‏ סדר אזכור האירועים ועוד.‏ בהמשך יינתנו הצעות,‏ שבהן ניתן להתגבר על הקשיים כמו:‏<br />

חשיפה למסיחים ולא רק לרמזים מילוליים,‏ יצירת סכמות,‏ העלאת שאלות-כתיבת סיפורים<br />

חשבוניים ועוד.‏<br />

שאלות המחקר:‏<br />

מהן העדפות של ילדים בכתיבת סיפורים חשבוניים?‏<br />

מהו הקשר בין העדפותיהם להצלחתם בפתרון סיפורים חשבוניים אחרים?‏<br />

השערות המחקר:‏<br />

לתלמידים קל יותר לחבר סיפור חשבוני דינאמי.‏<br />

אין קשר בין העדפות בכתיבת סיפור חשבוני להצלחתם בפתרון סיפורים חשבוניים מסוגים שונים.‏<br />

שיטת הביצוע:‏<br />

האוכלוסייה הנחקרת-‏ 72 תלמידים מכתות ג'‏ בבית ספר יסודי בצפון הארץ.‏ התלמידים משכבה<br />

סוציו-אקונומית בינונית עד גבוהה.‏<br />

כלי המחקר:‏<br />

בשלב הראשון שני מבדקים הכוללים תרגילים ‏(גם עם נעלמים),‏ בהם נדרשים הילדים לחבר סיפורים<br />

חשבוניים.‏ מבדק אחד למחצית התלמידים כולל תרגילי חיבור בלבד,‏ והשני כולל תרגילי חיסור.‏<br />

ממצאים ראשוניים:‏<br />

כללית,‏ הממצאים הראשונים מראים בעיקר כתיבת סיפורים דינאמיים ‏(בצורה גורפת!).‏<br />

בשלב השני ניתנו לתלמידים סיפורים חשבוניים מכל הסוגים לפתרון - לפי המבדק הקודם ‏(מבדק<br />

חיבור לאלו שקיבלו קודם לכן חיבור,‏ ובאופן דומה בחיסור).‏ באופן כללי,‏ התלמידים הצליחו יפה בכל<br />

הסוגים.‏<br />

26<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

אברהם הרכבי<br />

כפל מעולם אחר<br />

- מכון ויצמן למדע<br />

במהלך מפגש זה נקרין סרט ווידאו שצולם בכיתה ג'‏ ‏(תחילת השנה)‏ בבית ספר מדגים בטוקיו שביפן.‏<br />

השיעור עוסק ברובו בבעיה אחת,‏ וכולל הכנות לקראת הבעיה,‏ דיונים סביבה ופעילות מתמטית<br />

המשלבת חשיבה עם מיומנויות חישוב.‏<br />

במהלך השיעור תלמידים חושבים ומחשבים,‏ מעלים השערות,‏ מסבירים את דרכי החשיבה שלהם<br />

בתמיכה או בהפרכה של השערה.‏<br />

במפגש ננתח מרכיבים שונים של השיעור,‏ נתייחס לאופי המטלה,‏ לפעילות התלמידים,‏ לתפקיד<br />

המורה,‏ לאווירה בכיתה ולמאפיינים המיוחדים של חינוך מתמטי בחברה כה שונה משלנו.‏<br />

27<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ו-‏<br />

ההסבר המתמטי-כטרום אלגברה-למשימות מפתיעות בחשבון<br />

גלעד הר-שפר,‏ משה סטופל - ‏"שאנן"‏ ‏-המכללה האקדמית הדתית לחינוך,‏ חיפה<br />

במהלך לימודי החשבון בבית-הספר היסודי,‏ מציג המורה מדי פעם,‏ משימות חשבון בעלות תוצאות<br />

מפתיעות.‏<br />

לכל אחד מאיתנו בוודאי זכורה משימה מהסגנון:‏ בחר מספר,‏ הכפל אותו ב-‏‎5‎‏,‏ הוסף לתוצאה 8, כעת<br />

הכפל ב-‏‎5‎‏,‏ והחסר מהתוצאה....‏ וכו'.‏<br />

בתום המשימות מוצגות שאלות מהסוג:‏ ‏"נכון שבחרת מספר המתחלק ב-‏‎3‎‏?",‏ או ‏"נכון שהתוצאה<br />

הסופית היא מספר דו-ספרתי בעל ספרות זהות?",‏ או לפי התוצאה הסופית אפשר לגלות את המספר<br />

הנבחר".‏<br />

משימות מפתיעות מסוג זה,‏ מעוררות עניין בלימודי החשבון,‏ מהוות העשרה לימודית,‏ ומחבבות את<br />

לימודי המקצוע<br />

.(1-3)<br />

התלמיד הסקרן,‏ ויש רבים כאלה,‏ אינו מסתפק בטכניקה אלא מבקש להבין את ההסבר המתמטי<br />

שעומד מאחורי המשימה המפתיעה.‏<br />

ברוב המקרים,‏ זוכה התלמיד לתשובה ‏"עדיין אין לכם ידע מתמטי מספיק להבנת ההסבר".‏<br />

במקרים בודדים,‏ זוכה התלמיד לתשובה ‏"העלובה"‏ ‏-"ככה זה",‏ מפני שהמורה אינו מתאמץ לספק את<br />

ההסבר.‏<br />

התייחסויות כאלה,‏ הן לעיתים קרובות זלזול ביכולת התלמידים,‏ משום שבכל כיתת לימוד קיימת<br />

קבוצה בולטת של תלמידים,‏ בעלי יכולת מתאימה או כאלה המשתתפים בחוגי ההעשרה ומצוינות,‏<br />

וראויים לקבל הסבר משכנע.‏<br />

ואכן במסגרת חוגים משולבים שכללו:‏ העשרה מתמטית,‏ יהדות ויישומי מחשב,‏ שניתנו במכללת<br />

‏"שאנן"‏ לתלמידים מצטיינים מכיתות ה'‏<br />

,'<br />

נמצא שבחלק גדול מהמשימות מסוגלים התלמידים<br />

להגיע להסבר באופן עצמאי,‏ תוך שימוש בכלים אלגברים יסודיים שניתנו להם באופן סמוי.‏ מציאת<br />

ההסבר,‏ מהווה עבור התלמידים מקור הנאה,‏ גאווה וסיפוק המקנה להם נכונות וחוזק להתמודד עם<br />

אתגרים המחייבים חשיבה.‏<br />

בחלק רב מהמשימות,‏ לצורך הבנתן,‏ מספיק ידע של פעולות חשבון,‏ הכרת תכונות המספרים,‏ ידיעת<br />

כללי החילוק של המספרים,‏ ידע שניתן לכנותו בשם ‏"טרום אלגברה".‏<br />

כדי להניע ולקדם מהלך של שימוש במשימות חשבון מפתיעות,‏ בעלות מרכיב של הנאה ושיפור<br />

אווירת לימודי החשבון,‏ יוצגו לדוגמא מספר משימות כאלה,‏ כמובן בליווי ההסבר המתמטי-אלגברי<br />

שלהן ‏"בבחינת דע מה להשיב לתלמידים".‏<br />

בן עזרא,‏ א',‏ מחשבתחילה,‏ עמודים:‏ 23,24,85, הוצאת קורטוב,‏ זכרון יעקב.‏<br />

בן עזרא,‏ א',שעור חופשי,‏ עמודים:‏ 102,103,104,109,113, הוצאת קורטוב,‏ זכרון יעקב.‏<br />

סטופל,‏ מ',‏ גלעד הר-שפר,‏ ההסבר האלגברי למשימות ומשחקי חשבון מפתיעים,‏<br />

‏"מספר חזק 2000",<br />

נובמבר 12,<br />

.2006<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

28<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

האם תלמידים בכיתות ב'‏ יכולים להסביר תשובותיהם?‏<br />

רנה הרשקוביץ ואברהם הרכבי - מכון ויצמן למדע<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

.5<br />

בחלק קטן מהשאלות שניתנו במבחן הישגים לכיתה ב,‏ נתבקשו התלמידים להסביר את תשובותיהם<br />

באופן מילולי.‏<br />

ניתחנו את יכולת ההסבר של תלמידי כיתות ב',‏ בכל אחד משני פריטים מתכנית הלימודים,‏ בכל אחת<br />

מהכיתות.‏<br />

בהרצאה נביא לדוגמה הסברים לשתיים מן השאלות.‏<br />

את ההסברים לתשובות על כל שאלה סווגנו לקטגוריות,‏ אותן מצאנו בניתוח איכותי-כמותי:‏<br />

אין הסבר;‏<br />

הסבר לא נכון;‏<br />

הסבר שאינו נוגע לעניין ו/או הסבר ‏"מעגלי";‏<br />

הסבר חלקי;‏<br />

הסבר נכון<br />

בכינוס נציג את תוצאות הניתוח,‏ חלקן מפתיעות וחלקן צפויות.‏ לתוצאות אלה משמעויות<br />

אופרטיביות חשובות,‏ עליהן נדון במהלך ההרצאה.‏<br />

29<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

כיצד לסייע בהבנת המבנה העשרוני :<br />

שאלות,‏ תשובות ונימוקים של תלמידים ומורים<br />

שרה הרשקוביץ – מטח<br />

פסיה צמיר,‏ דינה תירוש,‏ איריס כהנא – אוניברסיטת תל א ביב<br />

תכנית הלימודים לבתי ספר יסודיים במתמטיקה ובמדינות רבות אחרות מציבה,‏ כמטרה מרכזית,‏ את<br />

הוראת המבנה העשרוני.‏ נושא זה נלמד בכל דרגות הכיתה,‏ ומשך זמן רב מוקדש להוראה ולביסוס<br />

שני העקרונות העומדים בבסיס המבנה העשרוני:‏ ייחוס ערך לספרה על פי מקומה במספר,‏ וקיבוץ<br />

חוזר של כל עשר יחידות ליחידה גדולה יותר.‏ ככל שעולים בגיל הנושא נעשה רחב יותר בהיקפו,‏<br />

ומאפשר התמודדות עם שאלות הדורשות הבנה עמוקה יותר של התחום,‏ בין אם בהכרת המספרים<br />

והבנת רעיון ערך המקום,‏ ובין אם בפעולות שבין המספרים.‏<br />

במסגרת קבוצת עבודה בינלאומית הכוללת את:‏ אנגליה,‏ צ'כיה,‏ איטליה וישראל,‏ שבכל אחת<br />

ממדינות אלה המבנה העשרוני הוא אחד מהנושאים המרכזיים ביותר בהוראה בבית הספר היסודי,‏<br />

נעשית בתקופה זו עבודה עם מורים,‏ סטודנטים להוראה ותלמידים.‏ במסגרת העבודה נבחרו כמה<br />

פריטים הכוללים רעיון מתמטי משותף שאפשר להציג אותו בתחומי מספרים שונים,‏ כך שיתאים<br />

לדרגות כיתה שונות.‏<br />

מטרת העבודה היא ללמוד על תשובות של תלמידים בנושא המבנה העשרוני במדינות השונות,‏<br />

הנימוקים שתלמידים נותנים לתשובותיהם בין אם פתרו נכון את השאלה ובין אם שגו בה,‏ וכן על<br />

תגובות של מורים ופרחי הוראה לפעילויות שונות,‏ שאלות בהם בוחרים כדי ללמד נושא זה<br />

והנימוקים לבחירתן,‏ והצעות של מורים לפעילויות נוספות העוסקות במבנה העשרוני.‏<br />

בכנס יוצגו דוגמאות שבהן עסקנו עם תלמידים בכיתות שונות ברחבי הארץ,‏ יודגשו דרכי פתרון שונות<br />

של תלמידים,‏ וקשר בין פתרונות לבעיות שונות של אותו תלמיד.‏ בנוסף,‏ יוצגו דוגמאות של שאלות<br />

שהוצגו לסטודנטים להוראה ולמורים ותגובות לשאלות אלה,‏ וכן שאלות שהוצעו על ידי הסטודנטים<br />

והמורים כמוצלחות לצורך הוראה וביסוס של עקרונות המבנה העשרוני<br />

.<br />

30<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

קוגניטוריקה<br />

-<br />

למידת תכנים קוגניטיביים באמצעות פעילויות חושיות-תנועתיות<br />

דפנה זילבר – מתי"א רג"ב,‏ מתי"א במעל"ה,‏ מתי"א ב"ב,‏ קורס מאבחנות-מכללת אחווה,‏<br />

השתלמויות לגננות מהמגזר הבדואי – מכללת קיי<br />

מטרות:‏<br />

המטרה העיקרית של ההרצאה היא לתת למורים כלי המאפשר הוראה בתחומי קוגניציה מגוונים<br />

תוך שימוש בכלים מתחום המוטוריקה הגסה.‏<br />

קהל היעד – גננות ומורים בבית הספר היסודי.‏<br />

רציונל – חשיבות הפעילות:‏<br />

הרציונל העומד בבסיס פיתוח דרך עבודה קוגניטורית מבוסס על מחקרים שונים המצביעים על קשר<br />

ישיר בין התפתחות מוטורית להתפתחות קוגניטיבית.‏<br />

חוקרים רבים הגיעו למסקנות דומות.‏ לדוגמה פיאז'ה (1963) דיבר על כך שהמחשבה הייצוגית<br />

מתפתחת מפעילויות גלויות עם חפצים במהלך הינקות.‏ כמו כן נמצא שחלק ניכר מהילדים הגדלים<br />

להיות ליקויי למידה גילו קשיים מוטוריים בינקותם ‏(גרוס 2000). בעזרת שימוש בדרכי עבודה<br />

מתחום הקוגנטוריקה ניתן למנוע חלק מליקויי הלמידה השניוניים.‏<br />

הפעילות הקוגניטורית מזמנת אפשרויות רבות להוראה תוך כדי העלאת מוטיבציה ו"תיקון"‏<br />

תפקודים ניהוליים של התלמידים.‏ בנוסף לכך,‏ נוצרות 96 פעילויות שונות בכל תת-תחום,‏ לחיזוק<br />

שליטה ואוטומציה של הילד בתחומים הנלמדים.‏<br />

במהלך הסדנה יוקרן סרט אשר מזמן אפשרות לראות איך הדברים פועלים הלכה למעשה.‏ כמו כן<br />

תהייה הפעלה של הקהל.‏<br />

התכנים המתמטיים אשר יוצגו בסרט:‏<br />

שיום ספרות,‏ רצף המספרים,‏ מספר עוקב,‏ מספר קודם,‏ שליטה בעובדות יסוד,‏ שימוש אקטיבי<br />

במושגים מתמטיים.‏<br />

התכנים המתמטיים אשר תהייה אליהם התייחסות סדנאית:‏<br />

תפיסת כמות,‏ השוואת כמויות,‏ ארבע פעולות חשבון – אוטומציה,‏ גיאומטריה – שליטה במושגים,‏<br />

מבנה המספר.‏<br />

בעזרת קוגניטוריקה ניתן ללמד כל תוכן מתמטי או אחר שבו אנו רוצים להוביל את הילדים לרמות<br />

אוטומציה.‏<br />

יישום בשדה:‏<br />

דרך עבודה זו מופעלת במוסדות חינוך מסוגים שונים:‏<br />

בגנים ובתי ספר רגילים מ"מ ממ"ד ותורני ובמגזר הבדואי – דרך פרויקטים שונים והשתלמויות<br />

בגנים,‏ כתות ‏(בכיתות קטנות,‏ תלמידים משולבים...)‏ של חינוך מיוחד מ"מ,‏ ממ"ד והחינוך הערבי –<br />

דרך מתי"א רג"ב ‏(רמלה,‏ גזר ובאר יעקב)‏ מתי"א במעל"ה ‏(לוד ועמק לוד)‏ ומתי"א ב"ב ‏(בני ברק).‏<br />

המעקב אחר הילדים נעשה בעזרת אבחונים דידקטיים בהתאם למקובל במתי"א.‏<br />

בבתי ספר וגנים רגילים מ"מ,‏ ממ"ד,‏ מוכר שאינו רשמי,‏ ערבי,‏ בדואי – בעקבות השתלמויות ו/או<br />

פרויקטים.‏<br />

מכל המורות המשתתפות בתהליכי הוראה קוגניטוריים יש דיווח על שיפור רב הן במוטיבציה והן<br />

בהישגים של התלמידים.‏<br />

31<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

גישת הוראת נושא ‏"כפל מספרים"‏ בבית ספר יסודי<br />

לפי שיטת ‏"חינוך התפתחותי"‏<br />

אנה זכרוב - ‏"מופת",‏ קבוצה לקידום ההוראה<br />

הוראת הנושא ‏"כפל מספרים"‏ המתקיימת בכיתות ‏"מופת"‏ ‏(כיתות ב')‏ נתמכה על העקרונות הבאים<br />

של תורת החינוך ההתפתחותי:‏<br />

(1<br />

(2<br />

בלימוד מתקיים מעבר<br />

ממושגים כלליים לחזיונות<br />

מוחשיים.‏<br />

לימוד עובדות פרטיות מתקיים בתהליך הכללת העובדות לפעולה יותר רחבה.‏<br />

מהפסיכולוגיה של הלמידה ידוע שהכללה זאת ממריצה את ההַ‏ פנָמָה וזיכרון עובדות חדשות.‏<br />

בשיטה זאת משתמשים בכל מיני תחומי לימוד,‏ ועדיין לא משתמשים בלימוד מתמטיקה בבית ספר<br />

יסודי .<br />

כך אחרי הכרות התלמידים עם הגדרת פעולת כפל,‏ מכניסים ללימוד אלגוריתם כפל מספר רב ‏(תלת)‏<br />

ספרתי במספר חד ספרתי.‏ התלמידים לומדים את לוח הכפל של מספר כלשהו ומייד משתמשים<br />

בתוצאות מלוח הכפל.‏ הם מיישמים ברשימה ארוכה,‏ שדורשת לכתוב את כל התוצאות מלוח הכפל<br />

. בנפרד<br />

בנוסף,‏ מפותח אוסף משימות המעוררות ותומכות בהתעניינות התלמידים ללימוד הנושא:‏<br />

•<br />

•<br />

התלמידים בונים את כל לוח הכפל מחדש ‏(מחשבים את התוצאות)‏ על בסיס חוקי פעולות<br />

החשבון ) חוק החילוף,‏ חוק הקיבוץ,‏ חוק הפילוג)‏<br />

לעידוד זיכרון לוח הכפל ‏(ב-‏‎9‎ ב,‏<br />

,5-<br />

•<br />

•<br />

•<br />

וכו'),‏ משתמשים בתכונות מסוימות<br />

תלמידים ממציאים תרגילי כפל בתחום לוח הכפל שכבר למדו<br />

תלמידים פותרים ומחברים בעיות מילוליות בתחום כפל<br />

בתהליך הלימוד התלמידים פותרים תרגילים עם ספרות חסרות<br />

וכל מיני בעיות מעניינות.‏<br />

, חידות<br />

גישה זאת דורשת שינוים בסדר הוראת הנושאים:‏ התלמידים צריכים להכיר מספרים רב-‏ ספרתיים<br />

וחיבור במאונך לפני נושא הכפל.‏<br />

כתוצאה מלימוד בדרך זאת:‏<br />

•<br />

התלמידים זוכרים עובדות של לוח הכפל בקלות ובזמן יותר קצר מאשר בלימוד לפי השיטה<br />

. הרגילה<br />

•<br />

באופן משמעותי עולה המוטיבציה של הלימוד.‏ תלמידי כתות ב'‏ יותר מעוניינים לפתור<br />

תרגילים עם מספרים ‏"גדולים",‏ מאשר לחזור במשך שיעורים רבים על עובדות מלוח הכפל.‏<br />

הם מתגאים ביכולתם ובידע שלהם.‏<br />

הוראה בבית ספר יסודי לפי שיטה זאת מתקיימת במשך הרבה שנים ‏(מ-‏‎1994‎‏)‏ באוקראינה וברוסיה<br />

בכיתות הלומדות לפי תכנית וספרי לימוד המפותחים על ידי זכרוב אנה.‏ בשלוש השנים האחרונות<br />

לימוד לפי שיטה זאת מתקיים גם במספר כיתות ‏"מופת"‏ בארץ.‏ מבחני סוף שנה לכיתות ב'‏ כוללים<br />

תרגילי כפל של מספרים תלת ספרתיים במספרים חד ספרתיים ומספר תרגילים ובעיות בתחום כפל<br />

מספרים.‏ תוצאות המבחנים משכנעות ביעילות דרך הוראה זאת.‏<br />

במהלך ההרצאה יוצג רצף המשימות.‏<br />

דוגמא<br />

×<br />

+<br />

6<br />

6<br />

:<br />

7<br />

1<br />

3<br />

5<br />

2<br />

4<br />

8<br />

2<br />

5<br />

9<br />

5<br />

5<br />

32<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ק"‏<br />

‏.ד.ם-‏ קבוצות דיון מתמטיות"‏ בלוד<br />

אסתי זעירא,‏ אילנית חן,‏ שרון כלימי,‏ סיגל מזוז-‏ בתי ספר בעיר לוד<br />

אביבה וירניק<br />

פסג"ה לוד -<br />

תמי גירון – משרד החינוך<br />

<br />

<br />

אנו מאמינים ששיתוף בהוראה של תלמידים בכלל ותלמידים מוכשרים בפרט הוא כלי חשוב בבית<br />

הספר,‏ המקדם את המערכת כולה ואת התלמידים כפרטים.‏<br />

קבוצות הדיון המתמטיות המתקיימות זאת השנה הראשונה בעיר לוד הן דוגמא יפה לכך.‏<br />

מטרות:‏<br />

מתן מענה לתלמידים מתקדמים וקידומם במסגרת רב גילאית.‏<br />

שינוי התרבות המתמטית בכיתות באמצעות ‏"תלמידי ק.ד.ם".‏<br />

תיאור הפרויקט:‏<br />

<br />

<br />

<br />

המורה המובילה את הפרויקט בכל בי"ס יוצרת את הקבוצה יחד עם המחנכות,‏ שולחת<br />

מכתב להורים ומתחילה במפגשי הקבוצה.‏<br />

רוב המשימות ניתנות ע"י המדריכות,‏ המורות מוסיפות משימות לפי שיקול דעתן.‏<br />

קיים אתר ב-"תמי"ד"‏ המתעד את המהלכים בבתי הספר,‏ בו תיעוד השיעורים,‏ דפי<br />

העבודה או חומרי למידה נוספים.‏<br />

בתי הספר שותפים:‏ גני אביב,‏ זבולון המר,‏ לוי אשכול,‏ ספיר.‏<br />

בסדנה יפורט מהלכי הפרויקט,‏ הרציונל,‏ אופי המשימות וצמיחת התהליך בבתי הספר.‏ יוצגו תוצרי<br />

תלמידים,‏ כמו כן הדים ומשוב מהשדה.‏<br />

תהיה הזדמנות למורים<br />

לשאול שאלות ולהציג דילמות.‏ יוצגו סרטונים קצרים על פעילות התלמידים.‏<br />

33<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ה-‏<br />

מ.ט.ע - משרד החינוך הטכניון ועירית חיפה – למען המתמטיקה<br />

נעמי חדד - משרד החינוך,‏ מחוז חיפה<br />

מזה ארבע שנים מתקיים בעיר חיפה מיזם מתמטי משותף למשרד החינוך,‏ הטכניון ועירית חיפה.‏<br />

זהו מיזם לסיוע לימודי במתמטיקה – המיזם בהיקף עירוני.‏<br />

במיזם זה פועלים מידי שנה 160 סטודנטים הלומדים בטכניון ‏(במסגרת פרויקט חונכות פר"ח),‏<br />

בחמישים בתי ספר בעיר חיפה - מכל המגזרים.‏<br />

קהל היעד של המיזם הוא תלמידים מכתות ד'‏<br />

' אשר הישגיהם הלימודיים בינוניים ואשר<br />

בהשקעה מועטה,‏ יחסית,‏ קידמו ושפרו את הישגיהם.‏<br />

לדברי האלוף ‏(מיל')‏ שלמה ענבר,‏ חבר הועד המנהל של הטכניון,‏ בכנס השקת המיזם:‏ ‏"אחת הסיבות<br />

המרכזיות לתחושת חוסר הביטחון שלנו אינה רק בביטחון הפיזי אלא חוסר ביטחון מבחינת<br />

ההישגים שלנו ‏-בעיית המצוינות.‏ עלינו להגיע להישגים גבוהים ולחוש תחושת בטחון בידע שלנו."‏<br />

לשם כך גויסו הסטודנטים אשר היכולת שלהם לתקשר עם התלמידים טובה.‏<br />

אחד ההישגים של מיזם זה הוא אכן בשיפור הביטחון העצמי של התלמידים ובהגברת מידת<br />

השתתפותם בשיעורי המתמטיקה בכתות האם.‏<br />

במסגרת המפגש נציג את מודל הסיוע העירוני,‏ את המהלכים והדגמים השונים לביצועו וכן דיווחים<br />

ומשובים מהשטח.‏<br />

34<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

מתמטיקה מחיי יום יום בגיל הרך – הלכה למעשה<br />

דינה חסידוב - מכללת גליל מערבי<br />

מרגנית קלוגמן,‏ עליזה מור – גננות ‏"לחוש חשבון"‏<br />

הבסיס להתפתחות המתמטית של ילדים נוצר בשנים הראשונות לחייהם.‏ למידת המתמטיקה<br />

מתבססת על הסקרנות והתלהבות של ילדים ומתפתחת באופן טבעי מההתנסויות ומהחוויות היום<br />

יומיות של הילד.‏ בגיל הקדם יסודי הקשר של המתמטיקה עם עולם היום יומי של הילד מביא אותם<br />

לחקור רעיונות הקשורים לדגמים ,(patterns) צורות,‏ מספרים ומרחב בצורה מתוחכמת המתפתחת כל<br />

הזמן.‏<br />

העיקרון שילדים מסוגלים ללמוד מתמטיקה נכון לכל גיל.‏ לדוגמה,‏ תינוקות באופן ספונטאני בחיי<br />

היום יום שלהם מזהים ומבחינים במספר קטן של עצמים.‏ לפני שילדים נכנסים לבית הספר,‏ לא מעט<br />

מהם רוכשים ידע רחב של מתמטיקה לא פורמאלית.‏ ידע זה נבנה ומתפתח על סמך חוויות והתנסויות<br />

מצטברות של הילד מהאינטראקציות שלו עם הסביבה.‏ בפעילויות של היום-יום משתמשים הילדים<br />

ברעיונות מתמטיים ותוך כדי כך מפתחים ידע מורכב ומשמעותי.‏ יש הטוענים<br />

Carnegie )<br />

(Corporation 1999 שהצלחת ילדים במתמטיקה בהמשך הדרך דורשת התנסויות איכותיות ‏"בשנות<br />

ההבטחה"‏ ‏(הגיל הרך).‏<br />

מבוגרים יכולים לאפשר,‏ לתמוך ולסייע להתפתחות מתמטית של ילדים על ידי חשיפתם לסביבות<br />

עשירות בשפה,‏ בעידוד חשיבה,‏ בסביבות המקבלות את הייחודיות של כל ילד ומזמנות חקירה נתמכת.‏<br />

מבוגרים מעודדים ותומכים בהתפתחות המתמטית של הילדים על ידי כך שהם מתייחסים בחיוב<br />

ובאופן בונה אל המתמטיקה שילדים משתמשים בה במשחקיהם בחיי היום יום.‏ חשוב שמבוגרים<br />

יאתגרו ילדים לפתור בעיות ויעודדו אותם להמשיך ביתר שאת בפעילויות אלו.‏ הילדים לומדים רבות<br />

מחקר העולם הסובב אותם.‏ שימוש בחושיהם בסביבה זו מאפשר להם התפתחות מתמטית עשירה.‏ על<br />

מנת שילדים יצרו קשרים במצבים מוכרים ומצבים חדשים,‏ עליהם לבצע:‏ זיהוי,‏ שיחה,‏ הכוונה<br />

וצפייה בעולם הסובב אותם.‏<br />

גננות המתנסות בפעילות של מתמטיקה מחיי היום יום יציגו בהרצאה מקרים בהם ילדים בגיל הרך<br />

עוסקים במתמטיקה מחיי היום יום,‏ וכיצד לוקחים הילדים את השיח המתמטי הביתה ולסביבת<br />

מחייתם הטבעית וחזרה לגן הילדים.‏ ההרצאה תציג עיסוק במתמטיקה מחיי היום יום בגיל הרך,‏<br />

כדרך לביסוס ידע ופיתוח אינטואיציה מתמטית.‏<br />

35<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

העשרה לכל:‏ אותו נושא לכל כיתה ולכל רמה<br />

פזית טוויג – בית ספר ‏"נעמי שמר"‏ ‏("אם המושבות"),‏ פתח-תקוה<br />

תכנית הלימודים החדשה,‏ במטרותיה המרכזיות,‏ מציבה שלושה דגשים:‏ רכישת מושגים ומבנים<br />

במתמטיקה,‏ פיתוח כישורים ‏(תובנה,‏ מיומנויות,‏ פתרון בעיות,‏ חקר,‏ שימוש נכון בשפה מתמטית),‏<br />

חיבוב מקצוע המתמטיקה ומניעת תחושת כישלון בו.‏<br />

בבית ספרנו בחרנו להתמקד בלימודי מתמטיקה מורחבים ומועשרים.‏ מתוך תפיסה,‏ כי הבנה<br />

מתמטית רחבה תפתח את יכולת הלמידה והחשיבה של התלמידים בכל התחומים.‏ מגמה זו ביחד עם<br />

יישום מטרות תכנית הלימודים החדשה,‏ היוו אתגר לפיתוח רעיונות תוך בית ספריים.‏<br />

צוות המורים בבית הספר התמודד עם חיפוש תכנים הקשורים לנושאים מתוך תכנית הלימודים<br />

שניתן לפתח לצד תהליכי ההוראה ובכך יהוו העמקה והעשרה בנושאי התכנית ויוצגו בפרספקטיבה<br />

רחבה המותאמת לכל שכבת גיל ברמות למידה שונות.‏ צורך זה,‏ זוהה ע"י מנהלת ביה"ס,‏ בשיתוף<br />

מדריכה שתוכל להוביל מהלך מסוג זה.‏<br />

בכל אחד משלבי פיתוח הנושא מושם דגש מיוחד על:‏ ההיבטים המתמטיים הנלמדים,‏ הקשר ביניהם<br />

לבין תכנית הלימודים,‏ השפה המתמטית בה משתמשים,‏ הפעילויות שיבצעו התלמידים,‏ ההרחבות<br />

שהמורים יפתחו במהלך הדיונים שבעקבות הפעילויות,‏ האמצעים שמשתמשים בהם,‏ חוויות<br />

הלמידה,‏ ועוד...‏<br />

בית הספר הקצה שעה בשבוע ללימודי ההעשרה המוגדרים באופן חד משמעי במערכת השעות וכן<br />

בתעודות.‏<br />

כל נושא נלמד בכל שכבות הגיל במשך ששה עד שמונה שבועות.‏ את שנת הלימודים הנוכחית פתחנו<br />

בנושא דגמים בכל הכיתות ובכל שכבות הגיל.‏ נושא זה קשור לשטחי מתמטיקה רבים.‏ ניתן לעסוק בו<br />

בדרכים שונות:‏ לפתח את הידע של הילדים באיתור יחסים שיסבירו את הדגם,‏ בפיתוח יכולת לדמיין,‏<br />

בפיתוח יכולת ההבעה לתיאור מערכת היחסים בשפה טבעית ובשפה מתמטית,‏ כשלב בפיתוח ההבנה<br />

המתמטית ויכולת ההכללה.‏ נושא נוסף ברצף שיעורי העשרה היה הטנגרם.‏ קשרנו את הנושא הזה<br />

לנושאי הגיאומטריה:‏ מצולעים וסימטריה.‏ הרכבה ופרוק של צורות בדרכים שונות באמצעות חלקי<br />

הטנגרם תורמת רבות לפיתוח היכולת של ראייה חזותית ומרחבית.‏ ריצופים – נושא נוסף הנלמד בכל<br />

הכיתות.‏ הקישורים נעשו מתוך לימוד הגיאומטריה ושימוש במונחים הידועים להם מתוך הלמידה<br />

השוטפת.‏ למשל:‏ זיהוי צורות גיאומטריות,‏ הגדרת צורות משוכללות,‏ צורות חופפות,‏ התנסות בריצוף<br />

באמצעות צורה אחת,‏ התמקדות בנושא גודל זוויות סביב קודקוד,‏ זיהוי זוויות באמצעות הריצוף,‏<br />

ריצוף באמצעות יותר מצורה אחת.‏ תכנון ההמשך לשנה זו הוא נושא השעון.‏<br />

בהרצאה תינתן הדגמה של פיתוח רצף הלמידה של נושא לכל התלמידים בכל שכבות הגיל.‏<br />

לסיכום,‏ נראה כי עיסוק בהרחבה של תכנים מתמטיים בהיבטים שונים,‏ מהווה העצמה וחיזוק<br />

לתכנים הנלמדים באופן שגרתי על פי תכנית הלימודים.‏ ככל שהגישה לנושאים והעיסוק בהם<br />

חווייתיים יותר,‏ המורים והתלמידים מפיקים מכך יותר מוטיבציה והנאה מהלמידה.‏<br />

36<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ת וכנית התערבות לצמצום פערים במתמטיקה<br />

שרה טויל – מנהלת בי"ס קפלן חדרה ,<br />

גלינה זלנסקי – רכזת מתמטיקה,‏ כרמלה קנר – רכזת מיל ‏"ת<br />

מי אינו מודאג מהפערים הקיימים במתמטיקה?‏<br />

מי אינו עסוק בשאלה כיצד לצמצם פערים במתמטיקה?‏<br />

מי אחראי לצמצום הפערים?‏<br />

כיצד ניתן לצמצם פערים?‏<br />

על שאלות אלה ועוד ננסה לענות בהרצאה בנושא:‏ ‏"תוכנית התערבות לצמצום פערים במתמטיקה".‏<br />

בבית ספר פועלת זו שנה שלישית,‏ בשכבות ג-ו,‏ תוכנית לצמצום פערים לימודיים בקרב תלמידים בעלי<br />

הישגים נמוכים.‏ התוכנית פועלת על הצד הרגשי והקוגניטיבי ומתייחסת לקבוצת ההורים,‏ לקבוצת<br />

המורים ולקבוצת התלמידים.‏<br />

התוכנית מסייעת בהקניית כלים ודרכי עבודה לצמצום פערים,‏ ומאפשרת להטמיע דפוסי עבודה<br />

נכונים,‏ ברורים,‏ המלווים שרשרת של הצלחות.‏<br />

הפעילות מתקיימת במקצועות היסוד:‏ מתמטיקה,‏ שפה ‏(עברית).‏<br />

בביה"ס קפלן תוכנית זו מהווה חלק אינטגרלי מתוכנית העצמת הסמכות ההורית והמורית.‏<br />

לאחר מיפוי תחילת שנה,‏ התלמידים אשר אותרו מקבלים ליווי ותמיכה באמצעות שעות פרטניות<br />

הניתנות בשעות השהייה וכן מתוך סל שעות תקן.‏ כל מורה מקבלת שעת תקן אחת ונותנת שעת<br />

שהייה אחת.‏ בנוסף מתקיימות מסגרות תמיכה במסגרת תוכנית מיל"ת ‏(מרכז יום לימודים תוספתי)‏<br />

ובמסגרת קרב.‏<br />

יחידת הלימוד להדגמה בכנס תעסוק בנושא:‏ משפחת המרובעים המתאימה לכתות ד'.‏<br />

תוך כדי הצגת יחידה זו,‏ נתאר כיצד פועלת השיטה אשר תוארה לעיל,‏ מרמת כתיבת הנגזרת,‏ דרך<br />

הדרכת המורות והצגת השיעור לרמת תלמידי כתות ד'.‏<br />

37<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

‏"נולד לחשוב":‏ חידון מתמטי לשכבת כיתות ה '<br />

גלית טולדנו-כהן - ביה"ס רימלט"‏ - נתניה<br />

החידון המתמטי הינו יוזמה מתמטית שקהל היעד שלה הוא תלמידי כיתות ה'.‏<br />

ייחודו של החידון המתמטי הוא בהשתתפות הפעילה של מספר גדול של תלמידים בחידון וכן ביכולת<br />

של תלמידי הכיתה להשפיע ולהיות מעורבים בניקוד.‏<br />

בחידון המתמטי מייצגים את כיתות הלימוד שני מתמודדים וקבוצה של חמישה נציגים נוספים<br />

למשימה קבוצתית.‏ כמו כן הקהל מעורב ולוקח חלק בחידון.‏<br />

לקהל הצופים מופנות שאלות והפותרים נכונה מזכים את הכיתה עליה הם נמנים בנקודות.‏<br />

דרך נוספת להפוך את כלל התלמידים לשותפים ומעורבים היא תערוכת הצילומים המתמטיים<br />

‏"מתמטיקה סביבנו".‏<br />

תלמידי שכבת ה'‏ תיעדו בעדשת המצלמה את המתמטיקה שמסביב,‏ הצילומים ביטאו את<br />

המתמטיקה בטבע או במעשי ידי אדם.‏<br />

צילומם של מושגים מתמטיים המחיש לתלמידים את ההגדרה אך יתרה מכך הסב את תשומת לבם<br />

לשימושים השונים של המתמטיקה.‏<br />

כפי שנאמר ‏"תמונה אחת שווה אלף מילים"‏ או בעקרון דומה ‏"תמונה אחת שווה אלף מספרים".‏<br />

התערוכה הוצגה באולם בו התקיים החידון.‏<br />

כיצד הצילומים קשורים לחידון?‏<br />

כל צילום מזכה את נציגי כיתתו של הצלם/ת בנקודה.‏ מבין התמונות שהגיעו עד המועד שנקבע,‏<br />

נבחרה התמונה הטובה ביותר על פי התבחינים:‏<br />

♦ שילוב מושגים מתמטיים<br />

יופי ועיצוב ♦<br />

♦ מקוריות<br />

לכל תמונה צרפו התלמידים הסבר מהם המושגים המתמטיים המופיעים בתמונה.‏<br />

ארגון מרחב החידון יצר סביבה מתמטית שהיא פרי עבודתם של המשתתפים בחידון.‏<br />

החידון עושה שימוש בטכנולוגיה של המחשב הוא מוצג במצגת בפאוור פוינט ומוקרן בברקו לקהל<br />

הצופים והמתמודדים.‏<br />

השאלות מלוות בהמחשה ויזואלית,‏ קול וצבע.‏ בחידון משולבים סרטונים שהמציגים הם תלמידי<br />

ביה"ס והצילומים נערכו בשטח בית הספר.‏ הסרטים הקצרים הופקו בשיתוף עם תלמידי תקשורת.‏<br />

בחידון שישה שלבים שלאחריהם מתבצעת בדיקת הניקוד המצטבר ועלייה לגמר.‏<br />

שלבי החידון הם:‏ סבב שאלות מהירות,‏ משימה משותפת לחמשת הנציגים,‏ שאלה זהה למתמודדים,‏<br />

בו בזמן שהמתמודדים שוקדים על פתרון - שאלות לקהל,‏ שאלות נכון<br />

ניקוד,‏ הגמר,‏ חלוקת תעודות.‏<br />

/<br />

לא נכון,‏ סרטונים,‏ בדיקת<br />

החידון יצר עניין אצל הלומדים,‏ הם היו קשובים כמו גם מעורבים.‏ ניתן לסכם את החידון כחוויה<br />

שיש בה להעצים את המוטיבציה של התלמידים ולחבב את המתמטיקה עליהם.‏<br />

38<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

לימודי המתמטיקה בבית הספר – מנקודת מבטו של מנהל<br />

שרית כהן לוי<br />

-<br />

מנהלת בי"ס נעמי שמר-פ"ת<br />

אוסנת כץ - רכזת חינוך מתמטי<br />

פיתגורס גורס ש:‏ ‏"המספרים הם המקור לכל דבר,‏ והחוקיות בעולם המספרים היא המפתח הפותח<br />

סודות היקום".‏<br />

לימודי המתמטיקה הם מרכיב הכרחי בפיתוח הלומד בעידן של סביבה המבוססת על ניתוח והסקת<br />

מסקנות מתופעות הקשורות להיבטים לוגיים.‏ הן תופעות חברתיות והן תופעות מדעיות ניתנות<br />

לתיאור וניתוח בכלים מתמטיים.‏<br />

ככל שכלי החשיבה הנדרשים ללימודי מתמטיקה יודגשו ויטופלו מוקדם יותר,‏ יש סיכוי שיותר<br />

תלמידים יתמודדו היטב עם תחום זה.‏<br />

לפיכך בי"ס שם לו למטרה מרכזית לחזק את לימוד המתמטיקה החל מכיתה א',‏ במכלול של דרכים,‏<br />

כלים ואמצעים שונים.‏<br />

במפגש נספר על השינוי בתרבות הארגונית והמקצועית להעצמת החינוך המתמטי בביה"ס.‏<br />

התפיסה הארגונית:‏<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

הקצאת שעות הוראה.‏<br />

תגבור מקביל,‏ תוך התייחסות ולמענה לשונות בין התלמידים.‏<br />

הקצאת תקציבים לתחום החינוך המתמטי.‏<br />

העצמת המורה מבחינה מקצועית:‏<br />

הכנסת מחשבים לכיתות הלימוד,‏ שינויים ארגוניים בבית הספר;‏<br />

השתלמות בית ספרית תומכת בהעצמת המורה מבחינה מקצועית;‏<br />

מורות עמיתות,‏ צפייה בשיעורים תוך משוב עמיתים;‏<br />

הדרכה בשיעורים:‏ ממוקדת כיתה,‏ נושא ומורה – אישית;‏<br />

השתתפות בכנסים,‏ השתלמויות,‏ חומרי המחשה,‏ הוראה,‏ למידה ומעקב אחר חדשנות<br />

בתחום.‏<br />

מתוך תפיסה זו נגזר שינוי שם המקצוע בבית הספר לא חשבון או מתמטיקה אלא - חינוך מתמטי.‏<br />

כאשר ‏"מצוינות זה שם המשחק".‏<br />

39<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

האם יש חשיבה אלגברית בבית ספר יסודי?‏<br />

דניאלה לוזון<br />

- חשבון 10<br />

מהי חשיבה אלגברית?‏<br />

מהם ההבדלים בין חשיבה אלגברית לבין חשיבה אריתמטית?‏<br />

האם אפשר להקל את המעבר לחטיבה בעזרת פיתוח מרכיבים של חשיבה אלגברית בכיתות<br />

א-ו?‏ אם כן,‏ מהם המרכיבים?‏<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

מטרות הוראת המתמטיקה בבית ספר יסודי כוללות כמה רבדים:‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

הקניית ידע של מונחים,‏ מושגים וחוקים רבים בתחומי המספרים,‏ הגיאומטריה וחקר<br />

נתונים;‏<br />

הקניית מיומנויות הקשורות לתחומים אלה;‏<br />

פיתוח מיומנויות הקשורות לפתרון שאלות מילוליות ולתרגילים,‏ ביניהם ‏"דרכי תקשורת";‏<br />

מטרה נוספת היא להכין את התלמידים לכניסה לחטיבת הביניים<br />

.<br />

מחקרים רבים מראים שהמעבר לחטיבת הביניים מלווה בקשיים רבים בכלל ובמתמטיקה בפרט.‏<br />

אחת מהטענות היא שסוגי החשיבה הנדרשים בבית-הספר היסודי שונים מאלה הנדרשים בחטיבת<br />

הביניים.‏ הנושא המרכזי הנלמד בחטיבת הביניים הוא אלגברה . מצפים מבוגרי בית-הספר היסודי<br />

לפתח לאורך שלוש שנים חשיבה אלגברית,‏ כבסיס להמשך לימודיהם.‏<br />

בתוך כדי ההוראה והלמידה של הידע בכיתות היסוד מתפתחים סוגי חשיבה ותובנה שונים:‏<br />

חשיבה אריתמטית,חשיבה גיאומטרית ובמידה מועטה חשיבה הסתברותית.‏<br />

בהרצאה ננסה לענות על שלוש השאלות לעיל.‏<br />

40<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

קשר בין סביבות למידה<br />

סביבת למידה מתוקשבת המוסיפה ממד דינמי לספרי לימוד<br />

ליאורה לינצ'בסקי,‏ דרורה ליבנה,‏ איתן סימון,‏ יהודית בלאיש<br />

כשרים והקשרים,‏ האוניברסיטה העברית<br />

ענת קלמר - עמותת סנונית לקידום החינוך המתוקשב,‏ האוניברסיטה העברית<br />

במושב זה נציג מודל הוראה המשלב סדרת ספרים המאושרת על ידי משרד החינוך יחד עם סביבה<br />

מתוקשבת התומכת בפעילויות שבספרים בעזרת עזרים דינאמיים ופעילויות הידודיות.‏ נושא התוכנית<br />

המשולבת הוא הוראת פעולות החיבור והחיסור בעזרת כלים המדגישים את המבנה העשרוני.‏<br />

סדרת הספרים הינה תוכנית להוראת המתמטיקה בבתי הספר היסודיים,‏ המותאמת לתוכנית<br />

הלימודים החדשה במתמטיקה ופותחה על ידי צוות היחידה לחקר החינוך המתמטי.‏ ליחידה צוות<br />

מומחים בתחום הוראת המתמטיקה.‏ לצוות ניסיון בתחום הוראת החשבון בבית הספר היסודי,‏<br />

בחטיבת הביניים,‏ בהתמודדות עם תלמידים שאינם מגיעים לרמה הנדרשת,‏ ובטיפוח תלמידים<br />

מתקדמים.‏ מטרת התוכנית להקנות לתלמידים מיומנויות מתמטיות וכלים לחשיבה מתמטית,‏ וליצור<br />

אצלם חוויה לימודית חיובית.‏ ההקשרים בהם נבנים המושגים המתמטיים בפעילויות השונות<br />

בתהליך הלמידה,‏ לקוחים מחיי היום יום ומהסביבה אליה חשופים התלמידים.‏ עולם המספרים<br />

ופעולות החשבון נרכשים על ידי התלמידים בתוך הקשרים משמעותיים הנתמכים באביזרים<br />

להמחשה והתנסות,‏ כאשר בתהליך הלמידה תפקיד המורה להציג ולהבליט את הפן המתמטי של<br />

הפעילויות ואת ההיבט הפורמאלי שלהן.‏<br />

הסביבה המתוקשבת רתמה את הכלים ואת המערכות הקיימים ברשת האינטרנט,‏ פיתחה חדשים –<br />

וכל זאת בכדי להעמיד לרשות התלמידים,‏ המורים וההורים סביבת לימודים אינטראקטיבית ומהנה<br />

התומכת בתכנית הלימודים של משרד החינוך.‏ הסביבה המתוקשבת באה ללוות את התלמידים<br />

לאורך שנות בית הספר היסודי תוך פתיחת אפשרויות ליצירת דוגמאות והמחשות לנושאים הנלמדים<br />

ובעזרת יצירת ילקוט עבודות אישי.‏ המורה המשלב את האתר בלמידה,‏ נעזר במעבדה מתמטית<br />

מתוקשבת שבאה להמחיש לילדים את המספרים,‏ הפעולות והצורות.‏ הכלים במעבדה מתמטית זו<br />

מגוונים ונותנים מענה לצרכים של טווח רחב של תלמידים.‏ כל פעילות מלווה במדריך.‏ המדריך<br />

מתייחס לפעילות עצמה,‏ לשאלות לדיון שניתן לעורר בכיתה לאור הפעילות,‏ ולקשיים של תלמידים<br />

שלאורם נבנתה הפעילות.‏<br />

השילוב בין הסביבה המתוקשבת ובין סדרת הספרים – מה תרומתו הפוטנציאלית?‏<br />

ביחידה המשולבת אביזרי הלמידה המצורפים לספרי הלימוד מופיעים ככלים דינאמיים מתוקשבים.‏<br />

למשל,‏ נדנדה הבאה לבטא את פעולות החיבור והחיסור והשוויון בין אגפי המשוואה,‏ נמצאת באתר<br />

המשותף כיישומון המשולב בפעילויות וככלי פתוח שבא לשרת מגוון ספרי לימוד העוסקים בחיבור<br />

וחיסור בתחום ה<br />

.20<br />

הגרסה המתוקשבת קלה לשימוש,‏ מאורגנת ותמיד זמינה בכמויות הנדרשות בבעיה.‏ הילד יכול לפעול<br />

בגרסה המתוקשבת,‏ לתעד את דרך עבודתו ולקבל משוב מיידי מהכלי המתוקשב.‏<br />

41<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

סטנדרטים במתמטיקה לבית הספר היסודי<br />

מלכה מאונטוויטן – האגף לתכנון ולפיתוח תכניות לימודים,‏ משרד החינוך<br />

סטנדרטים הם כלי להגדרת הציפיות של המערכת מתלמידים ומבוגרים.‏ הם קובעים מה התלמידים<br />

צריכים לדעת ומה הם צריכים להיות מסוגלים לבצע בתחנות שונות במהלך שנות הלימוד.‏<br />

ההנחה היא שקביעת סטנדרטים ברורים עשויה לשפר את הישגי התלמידים.‏<br />

סטנדרטים משמשים כלי לתכנון הלמידה בהתאם ליעדים הן במהלך ההוראה והן בסיומה.‏ שימוש<br />

נוסף של סטנדרטים הוא לצורך הקצאה של משאבי הוראה.‏ באמצעותם אפשר לקבוע מה נחוץ על מנת<br />

להשיג את המטרות הלימודיות שנכללות בהם.‏<br />

להגדרת הסטנדרטים נלווית הגדרה של רמות ביצוע.‏<br />

רמות ביצוע הן הגדרות אופרטיביות ומפורשות של מה צריך התלמיד לדעת ולהיות מסוגל לעשות<br />

על מנת להראות עמידה בסטנדרטים.‏ רמות הביצוע מלוות בדוגמאות.‏<br />

בעקבות החלטת משרד החינוך על קביעת סטנדרטים לימודיים לשם שיפור הישגי התלמידים,‏ הוקמו ועדות<br />

לקביעת סטנדרטים במקצועות השונים.‏ מסמכי הסטנדרטים ילוו את תכניות הלימודים במקצועות השונים.‏<br />

בוועדת הסטנדרטים במתמטיקה נעשתה הבחנה בין סטנדרטים של תוכן לבין סטנדרטים של תהליך.‏<br />

סטנדרט תוכן הוא הגדרה רחבה של ידע תוכן כולל רעיונות מרכזיים,‏ עקרונות וכדומה.‏<br />

סטנדרטי התוכן עומדים בהלימה לתכנית הלימודים והם:‏ מספרים ופעולות,‏ גאומטרייה,‏ מדידות,‏ חקר נתונים.‏<br />

סטנדרט של תהליך מציין את הכישורים שיש לפתח בנושאים השונים.‏<br />

הסטנדרטים של תהליך הם:‏ רכישת מושגים,‏ מיומנויות,‏ תובנה,‏ יישום:‏ פתרון בעיות,‏ שאלות חקר.‏<br />

גם אלה עומדים בהלימה למטרות הכלליות של תכנית הלימודים.‏<br />

בסדנה יודגמו סטנדרטים ורמות ביצוע.‏<br />

דוגמה:‏<br />

.1<br />

סטנדרט:‏ התלמיד יכיר את מערכת המספרים הטבעיים ואפס,‏ היחסים ביניהם,‏ פעולות בהם וחוקי הפעולות.‏<br />

רמות ביצוע בכיתה ג:‏<br />

הערה:‏ הרמות מצביעות על התפתחות של המטרות והדוגמאות,‏ ולא על שלוש קבוצות<br />

מובחנות של תלמידים.‏ יש לשאוף לכך שכל תלמיד ילמד כל נושא תוך מיצוי יכולתו.‏<br />

רמת בסיס:‏ התלמיד ידע לזהות ערך ספרה במספר עד 1,000.<br />

התלמיד יבנה ויכתוב מספר תלת-ספרתי לפי תנאים המגדירים כל ספרה.‏<br />

5 במספר ?453<br />

א.‏ 2<br />

א.‏ מהו ערך הספרה<br />

ב.‏ בנו מספר מתאים וכתבו את שמו במילים ובספרות:‏<br />

ספרת המאות היא 3, ספרת העשרות היא 0, ספרת היחידות היא 4.<br />

ג.‏ השתמשו בשתיים מהספרות 2,3,5.<br />

כתבו מספר הגדול מ-‏‎40‎‏.‏<br />

כתבו מספר הקטן מ-‏‎30‎‏.‏<br />

רמה נדרשת:‏ התלמיד ידע לזהות ערך ספרה במספר עד 10,000.<br />

התלמיד יבנה ויכתוב מספר ארבע-ספרתי לפי תנאים כלשהם.‏<br />

5 הימנית מייצגת יחידות והספרה 5 השמאלית מייצגת עשרות.‏<br />

מה ייצגו ספרות אלה אם נרשום 0 בצידו הימני של המספר 55?<br />

. במספר 55 הספרה<br />

מה ייצגו אם נרשום 0 בין שתי הספרות של המספר 55?<br />

ב.‏ כמה מספרים שונים אפשר להרכיב מהספרות ? 4 6, 2,<br />

רשמו שמות של שלושה מהם.‏<br />

רמה מתקדמת:‏ התלמיד ידע לזהות ערך ספרה במספר עד 10,000.<br />

התלמיד יבנה ויכתוב מספר ארבע-ספרתי לפי תנאים כלשהם ויסדר אותם לפי הוראות.‏<br />

בנו סדרה עולה של מספרים:‏ חד ספרתיים,‏ דו-ספרתיים,‏<br />

תלת-‏ ספרתיים,‏ ארבע ספרתיים,‏ מבלי לחזור על אותה ספרה בתוך מספר נתון פעמיים.‏<br />

.3 נתונות הספרות .5 ,3 ,0 ,2<br />

42<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

הקניית יכולות חשבוניות ‏"בדלת האחורית"‏ באמצעות משחקים סקלביליים<br />

כיצד לידד את המספרים על כל ילד כבר בגן ובביה"ס היסודי<br />

שלמה מזרחי – משחקי המאה<br />

- או -<br />

ההתקדמות הטכנולוגית המהירה לה אנו עדים בתחילת המאה ה-‏‎21‎‏,‏ יחד עם המגמה של הקדמת גיל<br />

תחילת הלימודים הפורמליים והלא-פורמליים יוצרים מצב אבסורדי שבו ילדים בגיל הגן כבר יודעים<br />

להפעיל מכשור מתוחכם כטלפון נייד ומחשב לפני שרכשו הבנה בסיסית של המספרים ותכונותיהם.‏<br />

יכולות חשבוניות בסיסיות,‏ שבדרך כלל נרכשות בגיל בית-הספר ‏"מאחרות את הרכבת"‏ משום<br />

שהתלמידים אינם נדרשים עוד לבצע חישובים אלה ולזכור אותם,‏ אלא משתמשים בזיכרון של<br />

המחשב או הטלפון.‏ עם זאת,‏ ניסיוני לימדני כי הנומרופוביה ‏(הפחד הלא-רציונאלי ממספרים וחשיבה<br />

כמותית)‏ מאד נפוצה,‏ כולל בקרב מועמדים ללימודי השכלה גבוהה,‏ ומתבטאת באופן פרדוכסלי<br />

בחשש לבצע פעולות חשבוניות גם אם הן פשוטות ביותר ומבוצעות בפועל ללא כל קושי ועל-בסיס<br />

יומיומי.‏<br />

מכאן,‏ שגיל הגן ובית-הספר היסודי טומנים בחובם את ההזדמנות שלנו ‏(כהורים,‏ מורים,‏ מחנכים<br />

וכו')‏ להפוך כל ילד ל"אוהב"‏ מספרים במקום ל"שונא"‏ מספרים.‏ אך כיצד ניתן לידד את המספרים על<br />

הילדים?‏<br />

לטענתי,‏ מומלץ להציג המספרים בצורתם הפשוטה ביותר המתאימה לכל גיל,‏ כלומר בגן להתייחס<br />

לכל ספרה כאל צורה,‏ ובחינוך היסודי להעלים מהעין את כל הסממנים ‏"המפחידים"‏ של המתמטיקה<br />

כגון סימני פעולות החשבון.‏ הצגת מספרים בלבד מאפשרת לילדים להמציא בעצמם משחקים נוספים,‏<br />

וכך להופכם ל"אוהבי"‏ מספרים ולא רק ל"לא-שונאים".‏ במקביל כל מורה או מדריך<br />

‏(בשיעור/סדנה/יום לימודים ארוך)‏ יכול להשתמש במשחקים ככלי עבודה זמין,‏ ‏"גמיש"‏ וסקלבילי,‏<br />

גם להטמעת נושאים בצורה מהנה ‏"בדלת האחורית"‏ ‏(ללא אזכור המונחים המתמטיים)‏ וגם לעידוד<br />

סקרנותם של ‏"אוהבי"‏ המספרים.‏<br />

כוונתנו להדגים ביריד כיצד ניתן להשתמש במשחקים בצורה פשוטה למגוון מטרות ויעדים:‏<br />

כפתיח או סיכום של נושאים כגון חוק החילוף ‏(סכום ספרות/לוח הכפל)‏ או מספרים זוגיים;‏<br />

הטמעה של לוח הכפל תוך זמן קצר ‏(למשל על-ידי תחרות בין קבוצות/מינים/כיתות);‏<br />

שימוש בטבלאות העזר להעשרה ‏(לדוגמה,‏ לשאול מה משותף לכל המספרים שסכום הספרות<br />

9?); שלהם<br />

ניצול האינטואיציה והרצון לנצח כבסיס להבנת הסתברות ‏(לדוגמה,‏ לשאול למה "22" הוא<br />

‏"גרוע"?‏ למה סכום ספרות=‏‎17‎ הוא ‏"גרוע"?‏ למה 5X5 ‏"גרוע"?‏ ואם כך – איך לבחור מאיזה<br />

קלף להיפטר?);‏<br />

שימוש באינטואיציה זו להכרת תכונות של מספרים ראשוניים ‏(לדוגמה,‏ לשאול איזה קלפים<br />

כדאי לאסוף?‏ מה מאפיין את ספרת האחדות של המספרים הראשוניים?‏ מי יוצאי הדופן?);‏<br />

קריאה עצמית/קבוצתית של הוראות המשחקים לבדיקה של הבנת מונחים מתמטיים;‏<br />

רעיונות נוספים כיד הדמיון,‏ כגון שימוש בצירי אורך ורוחב במשחק זיכרון קבוצתי ועוד<br />

.<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

.5<br />

.6<br />

.7<br />

43<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

תהנה<br />

... תפתור<br />

... בטרם תעבור<br />

ימי שיא במתמטיקה<br />

סמר מחאמיד – בי"ס אלבאטן,‏ אום אל פחם<br />

ימי שיא במתמטיקה הוא פרויקט של מספר ימים חווייתיים אשר בו התלמידים נחשפים למספר<br />

פעילויות בזמן נתון ופותרים חידות מתמטיות,‏ ברוח תוכנית הלימודים של משרד החינוך.‏<br />

מטרות הפרויקט:‏<br />

הקניית ידע מתמטי<br />

פיתוח חשיבה מתמטית<br />

עידוד תחרות חיובית בקרב התלמידים על-ידי פתרון בעיות מתמטיות.‏<br />

העלאת המוטיבציה בקרב התלמידים ללימוד מקצוע המתמטיקה.‏<br />

מיומנות עבודה לפי זמן נתון בעת פתרון התרגילים.‏<br />

חיזוק העבודה בקבוצות.‏<br />

שילוב המחשב במתמטיקה.‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

הפרוייקט מחולק לארבעה שלבים עבור כל שכבת גיל:‏<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

תחנות העונות על מיומנויות שונות במתמטיקה:‏ התחנות השונות בנויות לפי רצף לימודי<br />

ומותאמות למיומנויות שונות שצריכים התלמידים לרכוש בכל שכבת גיל בהתאם לתוכנית<br />

הלימודים.‏<br />

פתירת מספר דפי עבודה המוגשים באופן חוויתי:‏ נערך לכל שכבת גיל דפי עבודה<br />

שמותאמים לתוכנית הלימודים.‏ הדפים מכילים פעילויות שונות בצורת חידונים,‏ ושעשועי<br />

מתמטיקה.‏<br />

משחקים במתמטיקה:‏ נבנו לכל שכבת גיל 6 משחקים מתמטיים שונים שמוסיפים לתלמיד<br />

תענוג וחוויה בנושא המתמטיקה.‏<br />

משחקים מתמטיים במחשב ‏(חדר מחשב):‏ אשר חלק מהם התלמידים צריך לגלוש לאתרים<br />

נתונים כדי שיבצעו משימות חווייתיות,‏ תוך כדי משחק מקבל התלמיד את הניקוד המתאים<br />

והדירוג שלו.‏<br />

44<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

מה זה משולש?‏ האם זה רבוע?‏ כמה זה חצי?‏<br />

-<br />

כיצד מתפתחים מושגים מתמטיים אצל ילדים בגיל הגן<br />

צביה מרקוביץ - אורנים המכללה האקדמית לחינוך<br />

‏"משולש זה שלושה קודקודים ושלושה פסים"‏ ה,‏ משולש לא יכול להתגלגל והשפיצים שלו חדים",‏<br />

משולש זה הגג של הבית שלי".‏ אלה הן חלק מתשובות של ילדי גן לשאלה : מה זה משולש?‏<br />

לשאלה:‏ האם זה ריבוע?‏ ילדים אמרו:‏ ‏"כן,‏ כי יש לו ארבעה צדדים",‏ ‏"כן,‏ כי אם נסובב אותו<br />

אז זה רבוע אבל ככה זה מעוין",‏ ‏"לא כי יש לו 4 פינות אבל זה משולש",‏ ‏"זה מעוין וגם רבוע".‏<br />

לשאלה מה המספר הכי גדול שאת מכירה/אתה מכיר?‏ ילדים אמרו:‏ "<br />

ואלף,‏ אינסוף".‏<br />

100, המון,‏ 0000, מיליארד<br />

מושגים מתמטיים מתחילים להתפתח אצל ילדים בגיל הגן,‏ ואף לפני כן.‏ לתקופת הגן חשיבות רבה<br />

בהתפתחות המושגים המתמטיים,‏ שכן בתקופה זו מונח למעשה הבסיס למושגים המתמטיים<br />

ולמתמטיקה כולה.‏<br />

כששואלים ילדים בגן שאלות הקשורות למושגים מתמטיים שונים מוצאים כי חלק מהם יודעים<br />

לזהות מושגים מתמטיים ו/או לתת דוגמה ואי דוגמה למושגים וחלק אינם יודעים.‏ חלק משתמשים<br />

בשפה מתמטית ראשונית כדי לתאר מושגים וחלק משתמשים בשפה מתמטית יותר מדויקת,‏ חלק<br />

משתמשים במושגים מתמטיים שונים כחלק משפת היום יום שלהם ואחרים לא,‏ חלק מהילדים<br />

שואלים שאלות הקשורות למושגים מתמטיים ומבקשים הסברים בעוד שילדים אחרים מגלים פחות<br />

עניין במושגים כאלה.‏<br />

הנושא של התפתחות מושגים מתמטיים בקרב ילדי גן מעלה שאלות רבות.‏ למשל:‏ כיצד לומדים<br />

הילדים מושגים מתמטיים חדשים?‏ כיצד מפתחים הילדים את המושגים המתמטיים בהם כבר<br />

נתקלו?‏ מה הקשר בין גיל הילדים והאופן בו הם מפתחים מושגים מתמטיים?‏ מה הקשר בין סביבת<br />

הגן והאופן בו מתפתחים מושגים מתמטיים?‏ מה הם המושגים המתמטיים אותם יכולים לפתח ילדים<br />

בגיל הגן?‏ מה הם המושגים המתמטיים אותם חשוב לפתח בגיל הגן?‏ מה תפקיד הגננת בפיתוח<br />

המושגים המתמטיים של ילדי הגן שלה?‏ כיצד היא יכולה לקדם ‏(והאם היא יכולה למנוע)‏ התפתחות<br />

מושגים מתמטיים אצל הילדים?‏ מה היא החשיבות של התפתחות נכונה של מושגים מתמטיים?‏ מה<br />

היא החשיבות של התפתחות מושגים מתמטיים לקראת המעבר לכיתה א'?‏<br />

בהרצאה נדון בחלק מהשאלות האלה תוך הבאת דוגמאות מילדי הגן.‏<br />

45<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

עוברים ברצף מהיסודי לחטיבה – האומנם?‏<br />

קשיים במעבר ומודל ליצירת רצף מתמטי בין בית הספר היסודי לחטיבת הביניים<br />

צביה מרקוביץ - אורנים המכללה האקדמית לחינוך<br />

נעמי חדד,‏ חנה מור - משרד החינוך,‏ מחוז חיפה<br />

המעבר בין בית הספר היסודי לחטיבת הביניים מאופיין בשינויים רבים:‏ בית ספר שונה,‏ חברים<br />

שונים,‏ מורים שונים,‏ שוני בחוקים,‏ שוני בספרים,‏ שוני בדרכי ההוראה ובדרכי ההערכה ועוד.‏ בנוסף,‏<br />

המעבר מתרחש בגיל לא פשוט עבור התלמידים.‏ שני גורמים אלה הופכים את המעבר מבית הספר<br />

היסודי לחטיבת הביניים לקשים מאוד עבור חלק מהתלמידים,‏ דבר הבא לידי ביטוי בירידה<br />

בהישגים.‏ מקצוע המתמטיקה הוא מקצוע קשה לחלק מהתלמידים כבר בבית הספר היסודי.‏ לכן,‏<br />

עבורם,‏ המעבר מבית הספר היסודי לחטיבת הביניים בהקשר למתמטיקה הוא מעבר קריטי<br />

.(Wigfield et al., 1991)<br />

המעבר מתרחש בשלב בו קורים ‏"מעברים"‏ גם בתוך המתמטיקה עצמה:‏ המעבר מהמספרים<br />

הטבעיים אל המספרים השלמים והרציונליים והמעבר מן האריתמטיקה אל האלגברה,‏ הדורשים<br />

מהתלמידים לעשות שינוי בחוקים אותם הכירו עד עתה.‏<br />

במחקר שנערך בארץ<br />

,(Shachar, et al., 2002)<br />

נמצא כי המעבר אינו קל לתלמידים.‏ חלק גדול מהם<br />

הביעו חששות מהדרישות הלימודיות בחטיבת הביניים.‏<br />

במחקר שנערך באנגליה נמצא כי אצל כ-‏ 40% מהתלמידים ישנה עצירה בהתקדמות במהלך המעבר<br />

מבית הספר היסודי לחטיבה.‏ החוקרים תולים זאת בעיקר בחוסר הרצף בתוכניות הלימודים בין בית<br />

הספר היסודי והחטיבה<br />

.(Galton et al., 2000)<br />

לרצף הלימודי יכולה להיות השפעה חיובית על השתלבותם הקלה יותר של התלמידים במסגרת<br />

החדשה של חטיבת הביניים,‏ ומכאן גם על הישגיהם הלימודיים.‏ כשמדברים על רצף לימודי עולות<br />

שאלות כמו:‏ מהו בכלל רצף לימודי?‏ כיצד יוצרים אותו?‏ מי הם השותפים לרצף בנוסף למורים<br />

ולתלמידים?‏ ומה הן הפעולות שיש לבצע?‏<br />

בהרצאה נעסוק בשאלות הקשורות למעבר בין בית הספר היסודי לחטיבת הביניים וליצירת רצף<br />

לימודי במעבר,‏ תוך הצגת מודל יישובי שנוסה במחוז חיפה והבאת דוגמאות מהשדה – ממורים<br />

ותלמידים.‏<br />

Galton, M., Morrison, I. and Pell, T. (2000). Transfer and transition in English schools:<br />

reviewing and evidence, International Journal of Educational Research, 33(4), 341-363.<br />

Shachar; H. Suss, G. and Sharan, S. (2002). Students' concerns about the transition from<br />

elementary to junior high school: a comparison of two cities, Research Papers in<br />

Education, 17(1), 79-95.<br />

Wigfiels, A., Ecceles, J., Maciver, D., Reuman, D. and Midgley, C.(1991). Transition during<br />

early adolescence: changes in children's domain-specific-perceptions and general self-esteem<br />

across the transition to junior high-school, Development Psychology, 27, 552-65.<br />

46<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

טיפוח חשיבה חשבונית בגיל הגן באמצעות לוחיות הדומינו - יוזמה בעיר הכרמל<br />

צ'רנה נשר - מדריכה מחוזית,‏ משרד החינוך,‏ מחוז חיפה<br />

לוחיות הדומינו מזמנות לילד פעילות מתמטית - משחקית מהנה המכילה מאפיינים רבים.‏<br />

הדומינו הקלאסי עשוי מ-‏‎28‎ לוחיות.‏ בכל לוחית שני שדות,ובכל שדה נקודות שמספרם בין<br />

בלוחיות נוצרים זוגות של נקודות בכל הצרופים של<br />

0 ל .6-<br />

, 6 - 0 כולל צירוף כפול 2- 2 1- 1 0- 0<br />

כל צירוף מופיע פעם אחת בלבד.‏ משחק הדומינו שייך קטגורית במבנהו למשחקי הרצף.‏ בזמן<br />

המשחק הילדים צריכים להניח את לוחיות הדומינו בהתאמה.‏<br />

וכו'.‏<br />

לוחיות הדומינו מאפשרות לפתח שני תחומים:‏<br />

1. תחום הכישורים החברתיים<br />

הפעילות המשחקית מכילה בתוכה מאפיינים רבים,‏ כמו למשל חוקים וכללים קבועים<br />

שבמסגרתם מתאפשרת פעילות מגוונת ויצירתית של המשתתפים.‏ גורם המקריות הוא חלק<br />

מפעילות משחקית,‏ אך הוא משתלב במערך מתוכנן של מהלכי-המשתתף.‏ המשתתף מתמודד<br />

להשגת אינטרס אישי - הזכייה,‏ אך הוא תלוי ומעורב בשיתוף פעולה של קבוצה הפועלת מתוך<br />

הסכמה הדדית.‏<br />

2. תחום התוכן המתמטי<br />

•<br />

•<br />

•<br />

ספירה ומנייה<br />

השוואת קבוצות<br />

ייצוג של כמויות<br />

במהלך הפעילויות הילדים התנסו בספירה,‏ במנייה של הנקודות שעל הלוחיות,‏ בצרופי לוחיות<br />

ועוד.‏ הילדים התבקשו להשוות קבוצות,‏ לזהות שוויונים ואי-שוויונים,‏ לארגן כמויות בארגונים<br />

שונים,‏ לזהות קריטריונים שונים של קבוצות ועוד.‏<br />

ההרצאה תכלול סרט שבו נצפה בפעילות הילדים ונשמע רשמים מגננת שהשתתפה בהתנסות.‏<br />

47<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ו-‏<br />

חוגי העשרה משולבי מתמטיקה,‏ יהדות ומחשבים לתלמידים מצטיינים<br />

צ'רנה נשר – מדריכה מחוזית,‏ משרד החינוך,‏ מחוז חיפה<br />

שלמה חריר,‏ משה סטופל,‏ גלעד הר-שפר,‏ ‏"שאנן"‏ - המכללה האקדמית הדתית לחינוך,‏ חיפה<br />

במגמה לקדם תלמידים מצטיינים מכיתות ה'‏<br />

'<br />

.1<br />

.2<br />

ולאפשר להם לממש את הפוטנציאל האישי הגבוה,‏<br />

שאינו בא לידי ביטוי במסגרת הלימודים הרגילים במתמטיקה,‏ המתבצעים בכיתות אֶם הטרוגניות,‏<br />

מפעילה ‏"מכללת שאנן"‏ בשיתוף עם משרד החינוך,‏ זו השנה השלישית ברציפות,‏ חוגי העשרה<br />

משולבים.‏<br />

בכל חוג נערכים 22 מפגשים,‏ אחת לשבוע בשעות אחר הצהריים.‏ כל מפגש נמשך 4 שעות לימוד בהן<br />

נעשה שילוב של 3 תחומים:‏ העשרה מתמטית,‏ יהדות ומתמטיקה ויישומי מחשב.‏<br />

התוכנית להעשרה מתמטית,‏ כללה התמודדות עם מגוון רחב של משימות מאתגרות,‏ בתחומי החשבון<br />

וההנדסה,‏ שחייבו חשיבה עמוקה ומציאת פתרונות יצירתיים ובלתי שגרתיים וכן השלמה והרחבה<br />

של מספר נושאי לימוד.‏<br />

התוכנית בתחום היהדות והמתמטיקה,‏ עסקה בסוגיות המופיעות במקרא ובכתבי חז"ל שהבנתן<br />

מחייבת ביצוע חישובים מתמטיים.‏<br />

התוכנית בישומי מחשב,‏ כללה:‏<br />

הכרת השימוש בגיליון אלקטרוני לאחסון נתונים,‏ עיבודם ע"י פעולות חשבון.‏ הנתונים נאספו<br />

מהסביבה היום-יומית של התלמידים.‏<br />

בניית אתרי אינטרנט בנושאים שונים,‏ גלישה לאתרי אינטרנט שבהם משימוש מתמטיות<br />

המתאימות לגיל התלמידים.‏<br />

במשך הקורס השתדלנו להתאים את הבעיות הנלמדות בשיעורים הפרונטליים לפתרון משולב מחשב<br />

של בעיות אלו.‏<br />

ההתמדה הסדירה של התלמידים לאורך כל שנת הפעילות היא עדות ומשוב חיובי למידת הצלחת<br />

הפרויקט.‏<br />

בכנס יוצג פוסטר המתאר דוגמא למשימות שניתנו לתלמידים וכן סרט וידיאו קצר המתאר את<br />

הפעילות בחוגים.‏<br />

48<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

טנגרם –<br />

זה לא סינית<br />

ג'ף סייח - בי"ס אופק<br />

- ירושלים<br />

במפגש זה,‏ נעסוק בפעילות המשלבת הנאה וטיפול בנושאים רבים המופיעים בתוכנית הלימודים<br />

החדשה.‏<br />

חתיכות הטנגרם הן האמצעי המאפשר טיפול משולב ומאתגר בנושאים שונים בגיאומטריה ובחשבון.‏<br />

בתחילה,‏ המשתתפים יחוו את חווית הבנייה של שבע החתיכות הבסיסיות המרכיבות את הטנגרם –<br />

דבר המעמיק את ההבנה של העקרונות והתכונות עליהן מבוססת הרכבת הצורות השונות.‏<br />

בהמשך,‏ המשתתפים ירכיבו משולשים ומרובעים שונים מחתיכות טנגרם,‏ וינתחו את הצורות<br />

המתקבלות.‏ במהלך ההרכבה,‏ נוכל להתעמק בתכונות שונות של משולשים ומרובעים,‏ ובנושאים<br />

רבים נוספים – כמו למשל,‏ שטחים,‏ דמיון,‏ יחס ושברים.‏<br />

49<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ב-‏<br />

חלקי שתיים...בגיאומטריה<br />

איליה סיניצקי - מכללת גורדון<br />

הבניית ידע גיאומטרי בבית הספר היסודי מבוססת על פעילויות מוחשיות עם אובייקטים<br />

גיאומטריים.‏ למידת גיאומטריה מאופיינת בהיכרות פעילה עם צורות וגופים,‏ בגילוי תכונותיהם<br />

והקשרים ביניהם.‏<br />

בשנים הראשונות עוסקים התלמידים בגזירה של צורות והרכבה של צורות מחלקים.‏ אך בהמשך,‏ עם<br />

‏"עליית מדרגה",‏ פעילויות אלו נראות למורים כפשוטות מדי,‏ לא מתאימות לרמת הלומד ולחומר<br />

המתמטי הנלמד בכיתה בהתאם לתוכנית הלימודים.‏ מכיוון שכך,‏ לא מממשים את מלוא הפוטנציאל<br />

הדידקטי שגלום ב-"משימות גזירה".‏ פעולה של העברת קו ישר אחד שחותך את הצורה הנתונה,‏<br />

פותחת עולם שלם של משימות,‏ העשרות ושאלות פתוחות.‏<br />

במסגרת הסדנה נדגים מספר פעילויות שמזמינות שאלות מתמטיות עמוקות מאד הקשורות בנושאים<br />

שונים בגיאומטריה,‏ כגון מצולעים,‏ קוים מיוחדים במשולש,‏ שטח והיקף של צורות,‏ נפח גופים ועוד.‏<br />

לרוב הפעילויות מסוג זה יש אופי ספיראלי,‏ והשלבים הראשונים שלהן מתייחסים לחומר הנלמד<br />

אפילו בכיתות א'‏<br />

'. אופי זה מאפשר להתאים את המשימות ללמידה ברמות ובשכבות גיל שונות.‏<br />

נגלה,‏ שההכללות לשאלות הקשורות בפעילויות שגרתיות כל כך,‏ משדרגות את הבעיה לרמה מתמטית<br />

אולי אפילו גבוהה למדי לתלמיד של בית הספר היסודי,‏ שפתרונותיה לא תמיד טריוויאליים.‏<br />

לדוגמא,‏ נדון בשאלות הבאות:‏<br />

אילו סוגי מצולעים ניתן לגזור ‏(באמצעות קו ישר אחד)‏ לשני מצולעים מאותו סוג?‏ –<br />

למשל,‏ משולש קל לגזור לשני משולשים,‏ והלאה?‏<br />

אם אחד מהחלקים המתקבלים בגזירה הוא משולש,‏ מהו המצולע השני?‏ – במיוחד,‏<br />

מספר צלעותיו גדל או קטן בהשוואה למצולע המקורי?‏<br />

לכמה חלקים חותך קו ישר את המצולע?‏ – מה,‏ לא תמיד לשניים?!‏<br />

כיצד לגזור מצולע לשני מצולעים שווי שטח ‏(השטח של כל אחד הוא חצי משטח המצולע<br />

הנתון)?‏ – במשולשים זה קל,‏ אך בתנאי ששני המצולעים המתקבלים הם משולשים!‏<br />

כיצד לגזור מצולע לשני מצולעים שווי היקף ‏(האם ההיקף של כל אחד הוא חצי מההיקף<br />

של המצולע הנתון)?‏ – כאשר יש גזירה לשתי צורות חופפות-‏ אין בעיה...‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

ואולי,‏ עוד מספר שאלות יעלו תוך כדי הפעילות ובדיון סביבה.‏<br />

50<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ב-‏<br />

ב-‏<br />

מדידות אורך בכיתות א'‏<br />

:'<br />

למידת חקר חווייתית<br />

לינה סראי אלדין,‏ מינה חלאוי - בי"ס יסודי ע"ש פארוק,‏ עוספיה<br />

האמונה שעל למידה משמעותית בגיל הרך לשלב התנסות והפעלה של חושים שונים,‏ הביאה את צוות<br />

המורות בביה"ס ע"ש פארוק בעוספיה לחיפוש דרך חווייתית להוראת נושא המדידות.‏<br />

ביסוד הרעיון היה הרצון להפעיל את התלמידים לא רק באמצעות אביזרים ואמצעי המחשה<br />

המדגימים את הנושאים המתמטיים,‏ אלא גם לבצע מדידות שהן שימושיות בחיי היום-יום.‏ ההנחה<br />

היתה שהתנסות כזאת תאפשר לתלמידים להבין ולהפנים את הקשר שבין המתמטיקה לחיים ולהכיר<br />

את הצד האורייני של המתמטיקה הנלמדת בדרך כלל בכיתה,‏ בעזרת אמצעי הדגמה,‏ מחברות<br />

וספרים.‏<br />

הנושא שנבחר לצורך כך הוא מדידות אורך בכיתות א'‏<br />

'. בחרנו למדוד את אברי הגוף ולהשתמש<br />

באברים כיחידות מידה לצורך מדידות אחרות.‏ השימוש באברי הגוף הגביר את הפעלתנות של<br />

התלמידים,‏ יצר אוירה חווייתית ואפשר גם קישור לאלמנטים היסטוריים ותרבותיים הקשורים<br />

למדידות.‏<br />

ההתנסות והחוויות שולבו במסלול מובנה שנקבע מראש,‏ שבמהלכו חקרו התלמידים,‏ אספו נתונים<br />

והכלילו את המושגים החדשים בתחום המדידות.‏<br />

בהרצאה תוצג תכנית העבודה,‏ יוצגו פעילויות שונות ותיעוד עבודות של תלמידים.‏ ‏(צילומים ועבודות<br />

בכתב).‏ כמו כן תוצג רפלקציה של הצוות מהתובנות באשר לרכישת המושגים המתמטיים באמצעות<br />

פעילות זו.‏<br />

51<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

הערכה חלופית במתמטיקה הלכה למעשה<br />

נגה עמר - בית ספר יסודי ‏"ניב",‏ חולון<br />

בבית ספרנו מפתחים את תרבות ההערכה החלופית במתמטיקה המשמשת כמנוף לקידום ההישגים<br />

הלימודיים והחברתיים.‏ מהי הערכה חלופית?‏ בבית ספרנו משתמשים במספר הגדרות:‏<br />

1) בחינה ישירה של ביצוע התלמיד לגבי מטלות משמעותיות שהנן רלוונטיות לחייו מחוץ לכותלי בית<br />

הספר.‏ 2) ראשי תיבות של שלושת המרכיבים:‏ ביצוע,‏ תלקיט ותוצר.‏ 3) השגת מידע על אודות<br />

המיומנויות והפוטנציאל של הפרט,‏ שמטרתו כפולה:‏ מתן משוב שימושי לפרט המוערך והפקת נתונים<br />

שימושיים לקהילה.‏<br />

הערכה חלופית מיישמת מספר הדגשים של תוכנית הלימודים החדשה במתמטיקה,‏ כמו:‏ א.‏ טיפוח<br />

תובנה חשבונית ותובנה גיאומטרית ב.‏ החקר הוא חלק מרכזי בתהליך לימוד המתמטיקה ג.‏ פיתוח<br />

שפה מתמטית,‏ הכרת המושגים והמונחים בתהליך של למידה משמעותית ולא ברמה של שינון מכני.‏<br />

הערכה חלופית מתבססת על ההנחה כי בחברה מרובת תרבויות,‏ הבדלים וניגודים בפרספקטיבות הנם<br />

בלתי נמנעים;‏ ולכן בהערכה זו מוערכות כשירויות בתחום הקוגניטיבי ‏(כמו:‏ פתרון בעיות,‏ חשיבה<br />

ביקורתית),‏ כשירויות בתחום המטה-קוגניטיבי ‏(כמו:‏ תכנון מהלך הפעולה,‏ בחירת אסטרטגיה<br />

מתאימה,‏ רפלקסיה על תהליך של פתרון בעיות במתמטיקה),‏ כשירויות חברתיות ‏(כמו:‏ תקשור עם<br />

הסביבה,‏ ניהול שיחה/דיון,‏ שכנוע,‏ עבודה בצוות),‏ כשירויות פסיכומוטוריות ‏(כמו:‏ חיפוש מידע<br />

רלוונטי,‏ ניהול לוח-זמנים,‏ חיפוש סיוע),‏ היבטים אפקטיביים וקוגנטיבים ‏(כמו:‏ הנעה פנימית,‏ נקיטת<br />

יוזמה,‏ סקרנות).‏<br />

בבית ספרנו ‏"ניב"‏ נעשה שימוש רחב במגוון של כלים ושיטות של הערכה חלופית במתמטיקה<br />

וביניהם:‏ מטלות ביצוע,‏ תלקיטים,‏ עבודות חקר ‏(המספר שלי,‏ לו הייתי רוטשילד),‏ מצגות,‏ משחקים,‏<br />

סיפורים חשבוניים,‏ דגמים ‏(סמלי חג חנוכה),‏ עיתונים מתמטים,‏ הרצאות,‏ תצפיות.‏<br />

מה מעריכים?‏ גם תהליכים וגם תוצרים,‏ תוך דגש על בדיקת מגוון כישורים רחב.‏<br />

מי המעריך?‏ התלמיד עצמו,‏ עמיתים,‏ מורה,‏ הורים או קהילה.‏<br />

הקריטריונים להערכה:‏ מגובשים עם התלמידים בדיאלוג משותף.‏<br />

מסגרת המטלה:‏ המטלה יכולה להיות אישית או קבוצתית.‏ המטלה יכולה להיות מוגדרת לטווח<br />

קצר,‏ דקות/שעות,‏ או לטווח ארוך,‏ ימים/שבועות.‏<br />

סוג המטלות הניתנות:‏ א.‏ אותנטיות - אותנטיות במשמעות התרבותית והאינטלקטואלית,‏ ולא רק<br />

בתועלת המיידית הנובעת ממנה.‏ הן דורשות מן התלמידים לעשות שימוש בידע ולא רק להפגין ידע.‏<br />

ב.‏ רב תחומיות - דורשות מהתלמידים לגייס משאבי ידע בסביבתם החינוכית והחברתית.‏ מאפשרות<br />

לתלמידים לגלות את הייחודיות שלהם בכך שהתלמידים יכולים לבחור את תחומי ההתמחות בנושא<br />

ואת עומק ההתמחות.‏<br />

אנו מאמינים שלימוד ממשי של המתמטיקה מתרחש כאשר התלמידים משתמשים בחומר הנלמד<br />

בהקשרים בעלי משמעות לגביהם ובדרך המציגה להם אתגרים ליישום הידע שקנו ומרחיבה את<br />

חשיבתם המתמטית.‏ התלמידים מפעילים את החשיבה כאשר הם לומדים,‏ והם לומדים כאשר הם<br />

מפעילים את החשיבה.‏ הלמידה הטובה ביותר והיעילה ביותר חייבת להיות פעילה,‏ להתבסס על<br />

ניסיון חייו של התלמיד ולהתנהל תוך כדי תקשורת מתמדת עם אחרים.‏ בכל תלמיד טמון הרצון<br />

לחקור את העולם שמסביבו והמתמטיקה והערכה חלופית השלובים יחד הם הכלים המתאימים.‏<br />

52<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

כוחו של ייצוג<br />

חנה פודלקו<br />

- ‏"חשבון "10<br />

‏"תמונה שווה אלף מילים",‏ ‏"ולא תתורו..‏ אחרי עיניכם..."‏ - אלה שני ביטויים מנוגדים.‏<br />

מהי דרך ההוראה והלמידה המתאימה בימינו לתלמידינו?‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

במאה ה-‏ 21 למידה דרך הראייה תופסת יותר ויותר מקום.‏ כולם מנסים פחות ופחות להשתמש<br />

במילים ויותר להשתמש בציורים,‏ בסכמות,‏ בסרטוטים וכדומה.‏ כולנו מבינים כי טלוויזיה,‏ פרסומות,‏<br />

ספרים מאוירים ועוד ממלאים את חיי התלמידים ומשפיעים על אופן הלמידה שלהם.‏<br />

האם לייצוג יש כוח?‏<br />

כיצד לנצל את ההרגלים של צפייה חזותית לצורך למידה משמעותית?‏<br />

האם באיזשהו שלב צריך להיפרד מהייצוג ולהסתפק במילים בלבד?‏ האם הדבר קורה בפועל?‏<br />

האם מיון ייצוגים לסוגים שונים יסייע למצוא תשובות לשאלות לעיל?‏<br />

בהרצאה נציג סוגים שונים של ייצוגים,‏ נדגים את תרומת הייצוגים בלמידה וניתן המלצות לשימוש<br />

בייצוגים בהוראת נושאים שונים.‏<br />

דוגמה:‏ בכיתה ג'‏ לומדים חילוק מעבר לתחום לוח הכפל.‏<br />

מלמדים את התלמידים לבצע אותו בחלקים.‏ למשל,‏ את התרגיל<br />

? = 7 , 91 : פותרים כך:‏<br />

א)‏ מחפשים את המספר הקרוב ביותר ל-‏ 91 שאנו בטוחים שהוא מתחלק ב-‏ 7.<br />

המספר 70 מתאים לכך.‏<br />

ב)‏ מחלקים את המספר<br />

ג)‏ מחסרים 70 מ-‏ 91. מקבלים 21.<br />

70 : 7 =<br />

91 − 70 =<br />

10<br />

21<br />

70 ב-‏ .7 מקבלים .10<br />

ד)‏ מחלקים את המספר 21 ב-‏ 7. מקבלים 3.<br />

ה)‏ מחברים את המספרים<br />

21 : 7 =<br />

3<br />

10 ו-‏ .3 מקבלים .13<br />

אפשר לכתוב דרך זו על-ידי שרשרת השוויונות:‏<br />

זוהי התשובה.‏<br />

10 + 3 =<br />

13<br />

. 91 : 7 = 70 : 7 + 21 : 7 = 10 + 3 = 13<br />

תלמידי כיתה ג'‏ עשויים לשגות בכתיבה נכונה של כל חלקי שרשרת השוויונות.‏<br />

כיצד נציג את דרך הפתרון בכתב כדי להבטיח כי רוב התלמידים יוכלו להשתמש בה גם בלעדינו?‏<br />

הייצוג האפשרי:‏<br />

91:7<br />

70:7<br />

+ 21:7<br />

10<br />

+<br />

3<br />

13<br />

53<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

אבי פולג,‏ גלי שמעוני<br />

משחקי שברים<br />

-<br />

העמותה למצויינות בחינוך<br />

לימוד השברים הוא מאבני היסוד של הוראת המתמטיקה בשנות הלימוד המתקדמות של בית הספר<br />

היסודי.‏ חשיבות הנושא היא רבה מכיוון שהוא מהווה גם כתשתית להבנת נושאים מתמטיים<br />

מתקדמים בהמשך.‏<br />

לימוד טוב של הנושא דורש מיומנויות טכניות והן הכוונה מעמיקה של עקרונות היסוד.‏<br />

ברם,‏ ברוב המקרים אילוצי הזמן והצורך לעמוד ביעדים גורמים לכך שהטכניקה תופסת חלק<br />

משמעותי משעות הלימוד המוקדשות לנושא,‏ ופעמים רבות התלמידים יוצאים מצוידים אמנם<br />

בטכניקות מגוונות,‏ אך ללא הבנה מספקת של הרציונל שעומד מאחורי שיטות החישוב.‏<br />

כתוצאה מכך מוכרת לרבים מאיתנו טענתם של מורים חטיבות הביניים,‏ ש"התלמידים אינם יודעים<br />

שברים".‏<br />

תפיסת העולם של העמותה למצוינות בחינוך היא מתן דגש על הבנה מעמיקה של העקרונות<br />

והתהליכים הקשורים לחומר הלימוד ולאו דווקא הספק החומר.‏<br />

כחלק מתפיסות עולם זו מפתחת העמותה למצוינות בחינוך יחידות לימוד המסייעות להגשים מטרות<br />

אלה.‏<br />

אחת מיחידות הלימוד אשר פותחה לאחרונה עוסקת בתחום השברים.‏ מטרתה הייתה לחזק בילד את<br />

ההבנה של מושג השבר ובכלל זאת,‏ הרחבת שברים,‏ חיבור שברים והשוואת גודלם היחסי של שברים.‏<br />

כל זאת תוך שהיא אינה באה להחליף את התכנית הרגילה אלא לתמוך בה.‏<br />

יחידת הלימוד עשירה בהפעלות,‏ חידות ומשחקים אשר גורמים לתלמידים לפתח תובנות תוך תחושת<br />

חוויה.‏<br />

יחידת הלימוד נוסתה בהצלחה במספר בתי ספר וזכתה להצלחה רבה בקרב התלמידים ומוריהם.‏<br />

בכנס תוצג התפיסה העומדת בבסיס יחידת הלימוד ויוצגו הפעלות ומשחקים.‏<br />

54<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

חידות עם ספרות כדרך פיתוח חשיבה לוגית ותובנת המספרים<br />

אנה פוליאק - בי"ס ‏"מעלות"‏<br />

פיליפ סלובוצקי<br />

- ראשל"צ<br />

-<br />

‏"הלומדה"‏<br />

פסיכולוגים מודעים היטב לעובדה שתהליך מואץ של פיתוח אזורי המוח האחראים לחשיבה לוגית<br />

מתחיל בגיל ההתבגרות<br />

;[1] (12-13)<br />

לפני תחילת התהליך הזה,‏ הקשיים העיקריים שבהם נתקל ילד<br />

בלימודי המתמטיקה הם הבנת הנקרא,‏ תובנת המספרים ומיומנות בפעולות חשבון בסיסיות.‏<br />

עקב כך,‏ רוב תרגילי חובה והעשרה בחשבון הם למעשה תרגילי זיכרון,‏ שמטרתם לשרש בזיכרון<br />

התלמיד את לוח הכפל וכללי פעולות החשבון.‏ כיצד אם כן,‏ ניתן להכין את התלמיד לקראת לימודי<br />

המתמטיקה בחט"ב,‏ אשר דורשים שליטה בלוגיקה בסיסית?‏ כיצד לקדם תלמידים מחוננים ולתמוך<br />

בתהליך ההתפתות של חשיבה לוגית?‏ הרי מחד - תרגילי חשבון רגילים אינם מושכים את התלמידים,‏<br />

ומאידך – חידות לוגיות ‏"רגילות"‏ אינן מתאימות לתלמידי היסודי.‏<br />

אחת הדרכים שפותחה ונבדקה לאחרונה [2] היא שילוב של תוכן פשוט,‏ המבוסס על תובנת המספרים<br />

ופעולות חשבון בסיסיות בלבד מחד,‏ ודרך פתרון החידות המבוססת על פעולות לוגיות בסיסיות<br />

מאידך.‏ פתרון החידות עם ספרות דורש הבנת הנקרא ברמה בסיסית בלבד,‏ ‏(החידה ברובה מוצגת<br />

באמצעות הספרות)‏ מחד,‏ ומאידך,‏ ניסוח החידה אינו כולל ביטוי ‏"פתור תרגיל",‏ המקובל בספרי<br />

תרגול רגילים,‏ שאינו מעורר סקרנות הילד.‏ החידות מציגות לתלמיד תבניות עם מספרים שיהפכו<br />

לביטוי נכון לאחר השלמתן ‏(רישום סימני חשבון בין הספרות,‏ הוספת ספרות חסרות וכו').‏ גישה לא<br />

שגרתית זו הופכת את הבעיה מתרגיל חשבון רגיל לחידה מסקרנת ואטרקטיבית לילד.‏ פתרון חידות<br />

מסוג זה המסודרות עפ"י רמת קושי עולה בהתמדה,‏ מפתח חשיבה לוגית ותובנת המספרים יחד,‏ בלי<br />

שילדים חשים את מטרת הפעילות שהיא בסופו של דבר – תרגול מקיף ושיטתי.‏ בהתבסס על השיטה,‏<br />

חוברו ספרים המכילים<br />

1500 חידות,‏<br />

ופותחו תוכנות מחשב תואמות,‏ המאפשרות לתלמיד עבודה<br />

אינטראקטיבית.‏ מספר החידות וסדר הופעתן מאפשרים למורה להציב לתלמידים 3 עד 5 שאלות<br />

העשרה יחד עם שיעורי בית רגילים במשך 3 שנות לימוד רצופות.‏ להלן מספר דוגמאות מהספרים.‏<br />

רשמו סימני חשבון בין הספרות כך שהשוויון יתקיים<br />

‏(ניתן להמשיך את הסדרה לפי הצורך):‏<br />

4=1 2 3 4<br />

85=1 2 3 4 _ _ _ _ _<br />

4<br />

<br />

=<br />

3<br />

<br />

5<br />

<br />

=<br />

+<br />

2<br />

מקורות:‏<br />

http://pediatric.health.ivillage.com/growthdevelopment/middlechildhooddevelopment4.cfm - [1]<br />

[2] – "1500 חידות עם ספרות",‏ בית הלומדה,‏ 2005<br />

55<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

תלמידים כאומנים מתמטיים קטנים<br />

נחמה פלדמן<br />

- ‏"חשבון "10<br />

כיצד נקנה לילדים מושגים מתמטיים בדרך מרתקת,‏ לא שגרתית,‏ תוך הרחבת אופקים?‏<br />

אחת הדרכים היעילות להקנות מושגים חדשים במתמטיקה היא בשילוב חקירה וגילוי.‏<br />

ננסה לעשות זאת הפעם על ידי התבוננות בעבודותיהם של אמנים ששאבו את השראתם מחוקי<br />

המתמטיקה,‏ ומעקב אחר יצירות אמנות ובהן שימוש בחוקים ובמושגים מתמטיים.‏<br />

בסדנה תתקיימנה תחנות עבודה והמשתתפים יעברו בין תחנות עבודה שונות.‏ בכל תחנה יכירו את<br />

האמן דרך יצירה אחת או יותר ויקבלו הדרכה ודפי עבודה כיצד ליישם את הרעיון בכיתה.‏ המורים<br />

יתנסו בעצמם בחוויה כך שיהיה להם קל יותר להעביר את הנושא אחר כך לתלמידיהם.‏<br />

להלן דוגמאות אחדות :<br />

•<br />

נתוודע למשפט פיתגורס דרך עבודתו של האמן הבלגי<br />

,Jos de Mey<br />

•<br />

פיתגוריים;‏<br />

נכיר את טבעת מביוס של הצייר<br />

,Escher<br />

•<br />

ומספריים;‏<br />

נראה וריאציות על נושא האינסוף אצל האמן ההולנדי<br />

ונבנה בעקבותיו עצים<br />

נבנה את הטבעת ונעמוד על תכונותיה בעזרת ניר<br />

; M.C.Escher<br />

נגלה גופים רב פאונים ‏(פוליהדרליים)‏ ביצירות של אשר ואחרים;‏<br />

נחפש ריבוע קסם ביצירה ‏"מלנכוליה"‏ של אלברכט דירר;‏<br />

•<br />

•<br />

ועוד .<br />

56<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

האם ילדי גן מבינים מהו שוויון מתמטי?‏<br />

אנטולי קורופטוב – מטח דינה תירוש - אוניברסיטת תל-אביב<br />

בהוראת מתמטיקה מוכר מצב בו לסימן אפשר לייחס מגוון משמעויות שחלקן מתאים רק להקשרים<br />

מסוימים וחלקן כוללני יותר.‏ תופעה זו קיימת כבר לגבי תכנים מתמטיים הנלמדים בבית ספר יסודי.‏<br />

נתייחס,‏ למשל,‏ לביטויים:‏ א)‏<br />

2 + 3 = 5<br />

ב)‏<br />

2 + 3 = 4 + 1<br />

מחקרים רבים מדווחים כי תלמידים בבתי ספר יסודיים נוטים לפרש את הסימן ‏"שווה"‏ במובן של<br />

‏"כמה יש ביחד"‏ וכי זהו הפירוש הבלעדי הניתן על ידם לסימן זה ‏(למשל,‏<br />

.(Morris ,2003<br />

פירוש זה,‏ בו<br />

ההתמקדות היא בתרגיל ובתוצאה ‏(כלומר,‏ באופרציה)‏ מתאים לביטוי א'‏ בעוד שבביטוי ב'‏ משמעות<br />

הסימן קשורה ב"יחס בין שני אגפים".‏ המושג המתמטי ‏"אופרציה"‏ הוא מקרה פרטי של יחס.‏ לכן,‏<br />

התייחסות אל השוויון כאל יחס מאפשרת התמודדות עם שני הביטויים.‏ עם זאת,‏ בהוראה נהוג<br />

במקרים רבים להתחיל במתן משמעות צרה יחסית למושג.‏ כאן נשאלת שאלה:‏ האם ילדים בגיל צעיר<br />

מבינים את היחס במידה המאפשרת להתחיל את ההוראה מתוך המשמעות הרחבה ולהבנות את<br />

האופרציה עליה?‏ בסוגיה זו עוסק המחקר אותו אציג בכנס.‏<br />

המחקר נערך בגן המשרת אוכלוסיה ממיצב בינוני – גבוה באזור המרכז.‏ במחקר השתתפו 17 ילדים מ<br />

2 קבוצות גיל.‏ בחרנו בראיון ככלי מרכזי של המחקר בהיותו מתאים לשימוש ברמות הגיל אליהן<br />

התייחסנו.‏ במחקר ניתנו לכל נבדק 24 מטלות במהלך שתי פגישות.‏ במטלות השתמשנו בשני סוגי<br />

חפצים:‏ הטרוגניים והומוגניים.‏ המטלות נבנו כרצף פעילויות הבודק היבטים שונים הקשורים ליחס<br />

-<br />

ולאופרציה בהקשר להשוואת הכמויות.‏ המושגים יחס ואופרציה תורגמו לשפה יומיומית מוכרת<br />

לילדים באופנים הבאים:‏ יחס-‏ ‏"מה אפשר לומר על שתי כמויות ‏(יותר,‏ פחות,‏ שווה,‏ אותו דבר)",‏<br />

אופרציה-‏ ‏"כמה יש ביחד?".‏<br />

המחקר מתמקד בעיקר בבדיקת ידע הילדים לגבי יחסים בין כמויות מתוך רצון לבחון כיצד הם<br />

מתמודדים עם משמעות רחבה זו של שוויון.‏ למטרה זאת השתמשנו,‏ בין היתר,‏ במטלות-מניפולציות<br />

על שתי כמויות ‏(לדוגמה,‏ החוקר מחלק עצמים בכמויות שוות כך שנשאר מלאי נוסף של עצמים.‏ הוא<br />

מבקש מהנבדק ליצור כמויות שונות ‏(לשבור שוויון)).‏ תפקיד פעילויות אלה הוא לספק נתונים<br />

המאפשרים לבדוק תפקוד הילדים בעיקר לגבי מצב המזמן יחס.‏<br />

במחקר נמצא כי ילדים בשתי קבוצות הגיל מתפקדים באופן טוב במטלות רבות בהן נדרשת השוואה<br />

בין כמויות.‏ ההתרשמות היא שהידע וההבנה של ילדים צעירים לגבי יחסי שוויון תומכים בביצוע<br />

ניסיונות הוראתיים בהם סימן השוויון יוצג,‏ מראשית ההוראה,‏ במשמעות הרחבה שלו:‏ כיחס ולא רק<br />

כאופרטור,‏ וכי אין הצדקה להכנסת סימן השוויון במשמעות האופרציונלית בלבד.‏ שיקול נוסף<br />

להתייחסות לשוויון כאל יחס הוא הבעייתיות שהתגלתה בלמידת נושאים שונים בבתי ספר ‏(למשל,‏<br />

נושאים באלגברה)‏ המיוחסת,‏ בין היתר,‏ להתמקדות רבה ב"אופרציה"‏ והתייחסות לא מספיקה<br />

ל"יחס"‏ בהקשר לסימן השוויון . בהרצאה נתאר את מערך המחקר,‏ נציג חלק מהממצאים ונדון<br />

בהשלכות דידקטיות אפשריות של המחקר.‏<br />

Morris, K. A. (2003). The development of children's understanding of equality and inequality<br />

relationships in numerical symbolic context. Focus on Learning Problems in Mathematics,<br />

25 (2), 8-51.<br />

57<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ה-‏<br />

יוסי שיטרית<br />

יעל איתן<br />

שיח מתמטי יסודי<br />

משה קליין<br />

-<br />

-<br />

-<br />

גן-‏ אדם<br />

מנהל בית ספר רימונים<br />

רכזת מתמטיקה בבית ספר רימונים<br />

בבית ספר רימונים בקריית טבעון החלה לפעול השנה תוכנית ייחודית להעשרה במתמטיקה.‏ הערכת<br />

התוכנית מתבצעת ע"י מנהל בית הספר ורכזת המתמטיקה.‏ בתוכנית משתתפים היום<br />

מכיתות ד'‏<br />

' מתוך בחירה חופשית לאחר שעות הלימודים הרגילות.‏<br />

מטרת התוכנית היא לחולל דיאלוג יוצר בנושא חשיבה חשבונית בגיל היסודי.‏<br />

24 תלמידים<br />

הדיאלוגים מתפצלים לקבוצות שונות:‏<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

ילדים אוהבי מתמטיקה – ילדים שהמפגש עם המתמטיקה מעורר בהם ריגוש סקרנות<br />

ואהבה.‏ התוכנית פותחת מרחב לטיפוח האהבה והסקרנות והחשיבה המתמטית הטבעית של<br />

הילדים תוך ניסיון לפתח יכולת דיאלוגית ברמה של מפגש יוצר עם מתמטיקאים מקצועיים.‏<br />

ילדים יראי מתמטיקה – ילדים שמסיבות שונות המפגש עם המתמטיקה מעורר בהם דחייה<br />

מהמקצוע.‏ התוכנית פועלת תוך ניסיון לאתר ולהסיר את אבני הנגף בדרכו של התלמיד<br />

שהביאו אותו לעמדה עוינת למקצוע.‏<br />

פיתוח מנהיגות אחראית.‏ במסגרת התוכנית תטופח מנהיגות אחראית של ילדים מצטיינים<br />

כלפי חבריהם.‏ התוכנית תשאף לטיפוח של חונכות ילדים כלפי חבריהם.‏<br />

נושאי התוכנית לכל שלוש הקבוצות :<br />

לוגיקה מתמטית<br />

תורת הקבוצות<br />

קומבינטוריקה<br />

תורת המספרים<br />

תורת הגרפים<br />

גיאומטריה<br />

תורת המשחקים<br />

הסתברות<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

.5<br />

.6<br />

.7<br />

.8<br />

58<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

תוכנית לימודים דינאמית המקושרת לחומרי למידה והוראה<br />

ענת קלמר - עמותת סנונית לקידום החינוך המתוקשב,‏ האוניברסיטה העברית<br />

מרכז מורים ארצי למתמטיקה בחינוך היסודי והקדם יסודי<br />

תוכנית הלימודים החדשה במתמטיקה לבית הספר היסודי יצאה לאינטרנט באתר משרד החינוך:‏<br />

http://cms.education.gov.il/EducationCMS/UNITS/tochniyot_limudim/Math_Yesodi<br />

התוכנית מפרטת את התכנים הנדרשים בכל כיתה,‏ הבהרות ודוגמאות וכן רשימה של נושאים שבהם<br />

על התלמידים לגלות שליטה ויכולת ביצוע.‏ מצד שני,‏ קיים מאגר עצום של חומרים למורים ולמורי<br />

מורים באתר המרכז הארצי למתמטיקה:‏ מאמרים מתורגמים בנושאים מגוונים,‏ משחקים,‏ פעילויות,‏<br />

שאלות מילוליות,‏ פעילויות לפתיחת שעור ופעילויות לסדנאות למורים ועוד.‏ החומרים הקיימים<br />

באתר מרכז המורים לא מקושרים לסעיפים ספציפיים מתוך תוכנית הלימודים ולמורה לא תמיד<br />

ברור מתי מתאים לשלב את החומרים הללו בהתאם לתוכנית הלימודים של משרד החינוך.‏ הפרויקט<br />

הנוכחי יוצר קישורים בין תוכנית הלימודים החדשה הקיימת באתר משרד החינוך לבין מאגר<br />

הפעילויות והחומרים שבמרכז המורים הארצי.‏ לדעתנו תוכנית לימודים יישומית כפי שמוצע כאן<br />

תתרום להתפתחות המקצועית של המורה בשטח.‏<br />

הפרויקט כולל:‏<br />

מיפוי חומרים מאתר המרכז הארצי לפי נושאים מתוכנית הלימודים ‏(פריט אחד יכול<br />

להתאים למספר מקומות בתוכנית הלימודים כפי שגם נושא מתוכנית הלימודים יכול<br />

להתאים למגוון פריטים).‏<br />

רישום מילות מפתח לכל פריט,‏ רישום כנ"ל לסעיפי תוכנית הלימודים.‏<br />

בניית מאגר מידע מקוון הממפה את תוכנית הלימודים באתר משרד החינוך למצבור<br />

פעילויות וחומרים למורים ולתלמידים הנמצאים באתר מרכז המורים הארצי למתמטיקה.‏<br />

יצירת קישורים בין פריטי תוכנית הלימודים לפריטים שבאתר מרכז המורים,‏ ולפריטים<br />

רלוונטיים שפותחו באגף לתכניות לימודים ועל ידי גופי מל"מ,‏ בהתאם למשכו של הפרויקט<br />

מעבר לשנה אחת.‏<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

בכנס נציג פיתוח של ממשק המקשר מאגר מידע מקוון לתכנית הלימודים.‏ עדכון המאגר נעשה בצורה<br />

דינמית בעזרת טפסים מקוונים וניתן לערוך חיפושים במאגר על-פי חתכים שונים כגון פרק מתכנית<br />

הלימודים,‏ מיומנות או שכבת גיל.‏<br />

59<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

פרויקט למד את ילדך לחשוב – החושב הצעיר - חושבים אחרת<br />

במגזר הדרוזי והבדואי<br />

סאוסן קרא - מדריכת מתמטיקה - עיר הכרמל<br />

בתקופה האחרונה עולה הצורך בשילוב ההורים בעשייה הבית ספרית.‏ הוכח שמעורבות הורים רחבה<br />

ומשמעותית,‏ עוזרת לשפר את איכות בית הספר ומשפיעה לטובה על הישגי התלמידים.‏ שיתוף פעולה<br />

פורה עם ההורים הוא אחד הכלים להצמחת בית הספר.‏<br />

ומאחר ובית הספר אינו היחיד שבכוחו ללמד ולפתח מיומנויות חשיבה,‏ ראינו לנכון לבנות תוכנית<br />

רחבה ובה אנו מציעים הזדמנויות להורים ללמוד כיצד לשפר את החשיבה של ילדיהם ‏(במתמטיקה)‏<br />

וגם להרוויח משהו לעצמם.‏ הסדנה להורים מתקיימת פעם בשבועיים.‏<br />

מטרות הסדנה:‏<br />

קירוב קהילת ההורים למתרחש בביה"ס.‏<br />

זימון ידידות מופלאה בין עולמו של הילד לבין עולם המספרים והחשיבה המתמטית.‏<br />

שילוב המשחק בלמידה מתוך אמונה שמשחק הוא הדרך של הילדים ללמוד את מה<br />

שלא ניתן ללמד אותם.‏<br />

אקלים חיובי אשר מעלה את ההערכה העצמית של התלמיד ומקדם את הביצועים<br />

הלימודיים שלו.‏<br />

העלאת הישגים מתוך אמונה ששינוי מתחיל מגיל צעיר.‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

בסדנה אנו מצעים להורים מגוון של משחקים מתמטיים שבאמצעותם יוכלו לעזור לילדיהם.‏ המטרה<br />

היא:‏ התמודדות עם עולם הרגש<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

שיפור היכולת של התלמידים להתמודד עם כישלונות,‏ כמו גם עם הצלחות באמצעות<br />

המשחק.‏<br />

למידה מתוך הנאה.‏<br />

חיזוק אסטרטגיות שונות אצל הילדים באמצעות משחק.‏<br />

כלי לא מאיים להורים שבעזרתו יוכלו לגעת ברגשות של ילדיהם.‏<br />

הפרויקט מיועד לכיתות א',‏<br />

ג'.‏ ב',‏<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

.5<br />

.6<br />

הנושאים המתמטיים הם לפי תוכנית הלימודים החדשה מכיתה א'‏ עד ג':‏<br />

הכרת המספרים;‏<br />

ייצוג המספר בצורות שונות + מבנה המספר – המבנה העשרוני;‏<br />

פעולות חשבון:‏ חיבור,‏ חיסור,‏ כפל וחילוק;‏<br />

שאלות מילוליות;‏<br />

חקר נתונים;‏<br />

גיאומטריה.‏<br />

60<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

סיפורה של שותפות מכללה-שדה<br />

חיותה רגב - מכללת לוינסקי לחינוך<br />

(PDS) – גישה מערכתית<br />

רעיון השותפות בין מכללה להכשרת מורים ובין בית ספר יסודי נולד כביטוי לחוסר שביעות רצון<br />

מתוכנית ההכשרה של סטודנטים להוראה במוסדות אקדמיים וממה שקורה בבתי הספר ומהלמידה<br />

הפרופסיונאלית של מורים,‏ כאשר המורים מרגישים שההחלטות לגבי התפתחותם הפרופסיונאלית<br />

נעשות מלמעלה למטה ללא התחשבות בצורכיהם ‏(דוגמת תוכנית ‏"ההתמקצעות")‏ וכאשר המדיניות<br />

מוחלפת חדשות לבקרים בטרם ניתנה לה הזדמנות להתרחש<br />

‏(צלרמאיר 2005).<br />

אני,‏ כמכשירת מורים להוראת המתמטיקה,‏ ראיתי בשותפות מכללה-שדה אפשרות למימוש תפיסה<br />

מערכתית בהכשרת מורים,‏ תפיסה המבוססת על קשרים קונסטרוקטיביים בין תיאוריה ומחקר לבין<br />

מדיניות לבין פרקטיקה,‏ המאפשרים למידה הדדית משמעותית<br />

.(Fullan, 2000)<br />

לתפיסה הוליסטית<br />

זו משנה תוקף עם ההגדרה החדשה של מקצוענות בהוראה,‏ הגדרה הקובעת כי מורה מקצוען הוא זה<br />

שעבודתו מבוססת על ידע מחקרי מתעדכן ואשר מבין את עבודתו בהקשרים רחבים.‏<br />

מסע השינוי האישי שלי,‏ החל עם הבנתי,‏ כי הקמת השותפות מחייבת שינויים בתרבות ההוראה-‏<br />

למידה,‏ הן של סגל ההוראה והן של הסטודנטים,‏ אשר מטרתם לסייע בהתארגנות מחדש ובבניית<br />

תכנית הכשרה,‏ שתהלום את הצרכים העכשוויים של מערכת החינוך.‏<br />

מערכת מורכבת ופתוחה זו של אנשים בתפקידים שונים,‏ המתנסים ולומדים יחד,‏ מהווה מערכת<br />

אקולוגית,‏ המזינה את השותפים בה ומוזנת על ידי תרומותיהם.‏ מערך זה מבוסס על אינטראקציות<br />

בין כל השותפים,‏ המאפשרת יצירת תרבות חברתית ובניית קהילות לומדות.‏ מערכת מורכבת זו,‏<br />

הפועלת ברוח הגישה הקונסטרוקטיביסטית,‏ במקום שבו כל אחד לומד ומלמד בתוך מרחב פתוח<br />

ורחב,‏ בה נבנית תרבות המאפשרת יצירת נורמות סוציו-מתמטיות,‏ במקום זה מתאפשרת למידה<br />

משמעותית.‏<br />

למדתי כי מרחב חדש זה מאפשר:‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

טשטוש ההבחנה בין ה"מומחה"‏ – המורה המאמן לבין ה"טירון"‏ – הסטודנט להוראה.‏<br />

השותפות מאפשרת בנייה של קהילת לומדים,‏ בה סטודנטים ומורים מלמדים ולומדים בו<br />

זמנית ומתרחבת האחריות של כל אחד מהשותפים.‏<br />

טשטוש הגבולות בין ההדרכה המתודית וההוראה בשדה ובין קורס המתודיקה – דרכי<br />

הוראת המקצוע.‏<br />

הרחבת המושג ‏"סביבה לימודית"‏ במרחב הבית ספרי,‏ שבו לוקחים חלק שותפים רבים<br />

כאשר השינוי המתהווה הוא מלמעלה למטה ומלמטה למעלה בו זמנית עם מחויבות ואחריות<br />

משותפת.‏<br />

אציג את סיפור ההתפתחות הפרופסיונאלית שלי באמצעות סיפור מרתק של שותפות בין מכללה<br />

להכשרת מורים ובין בית ספר יסודי במרכז הארץ.‏ סיפור צמיחתה של קהילה מקצועית לומדת על<br />

בסיס שותפות,‏ שעוזרת לפתח מערכות יחסים עם אחרים בבית הספר,‏ במערכת החינוך ובקהילה,‏<br />

והיא תומכת ביכולתם לפעול כסוכני שינוי באמצעות מערכות יחסים אלו.‏<br />

61<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

ד-‏<br />

אודות קידום מתקדמים<br />

נעמי רובינזון,‏ אלכס פרידלנדר,‏ נעמי תעיזי,‏ לאה אילני - מכון ויצמן למדע<br />

מקובל לחשוב שתלמידים מתקדמים צריכים להתקדם בעצמם וללמוד את החומר שטרם נלמד.‏<br />

תלמיד של כיתה ג'‏ ‏"שמשתעמם"‏ בכיתה יוכל ללמוד חומר שנלמד בכיתה ד'.‏ איננו באים לחלוק על<br />

יכולתו זו,‏ אך האם חשוב שהוא ‏"יתקדם"‏ בדרך זו?‏ לשם מה?‏ מה יהיו רווחיו?‏ ואולי טוב יותר<br />

שיעסוק במשימות מסוג אחר אשר ירחיבו,‏ יעשירו או יעמיקו את ידיעותיו ויכולותיו המתמטיות.‏<br />

אולי?!‏<br />

לאחרונה מתרבים הקולות הקוראים לתת לתלמידים מתקדמים במתמטיקה משימות מתאימות<br />

להתפתחותם.‏ לאור ניסיוננו עם תלמידים מתקדמים בבית הספר היסודי ובעקבות בקשות של מורים<br />

והורים,‏ ניכר הצורך בהפקת חומרי למידה מסודרים וזמינים שיתאימו לרמות החשיבה וליכולות של<br />

תלמידים אלה.‏ החומרים שנציג ונדון בהם בנויים כמשימות ברמה גבוהה בעזרתם יוכלו תלמידים<br />

מתקדמים להעמיק את הידע שלהם בנושאים הכלולים בתכנית הלימודים,‏ תוך כדי פיתוח וטיפוח של<br />

דרכי חשיבה מתמטית.‏ הפעילויות דורשות בין היתר:‏ העלאת השערות,‏ גילוי והנמקה של חוקיות,‏<br />

הסקת מסקנות,‏ שילוב תחומים,‏ מיצוי אפשרויות וחשיבה חזותית.‏<br />

במסגרת המפגש,‏ נתייחס לעבודה עם תלמידים מתקדמים בשני מישורים:‏<br />

הרצאה תיאורטית העוסקת במסגרות עבודה,‏ בסוגי פעילויות ובמאפייני התלמידים המתקדמים<br />

במתמטיקה.‏<br />

הפעלה מעשית של דוגמאות לפעילויות העמקה לתלמידים מתקדמים ‏(פעילויות שנועדו להעמקה<br />

בנושאי הלימוד השוטפים).‏<br />

.1<br />

.2<br />

נעבוד על שני המישורים במשולב באופן הבא:‏<br />

נסקור את מסגרות העבודה ‏(כיתה הטרוגנית,‏ כיתה הומוגנית,‏ שיעורים ייחודיים,‏ חוגים,‏<br />

משימות בית)‏ ואת סוגי הפעילויות ‏(העמקה,‏ העשרה,‏ הרחבת פעילויות שגרתיות,‏ חידות<br />

ואתגרים,‏ האצה).‏ כמו כן,‏ נדון ביתרונות וחסרונות של כל סוג פעילות.‏<br />

נפעיל סדנה לפתרון פעילויות העמקה שפותחו עבור תלמידים מתקדמים בכיתות ג'‏<br />

נציג '.<br />

פתרונות של תלמידים מכיתות הניסוי,‏ ונסיק מסקנות כלליות לגבי מאפייני דרכי החשיבה<br />

של תלמידים מתקדמים,‏ דרכי הוראה של מוריהם,‏ ומאפייני הפעילויות שפיתחנו.‏<br />

נפעיל ונדגים אסטרטגיות ליצירת שאלות הרחבה על סמך שאלות מילוליות או תרגילי חישוב<br />

שגרתיים.‏ נשלב עבודה על דוגמאות ספציפיות ודיון בעקרונות כללים.‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

62<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

משוב ממבחנים ככלי עזר – מכותב ספרי הלימוד ועד למורה בכיתה<br />

עפרה רטנר אברהמי,‏ שלי רוטה<br />

-<br />

ענת אמויאל,‏ שי דניאלי,‏ מיה יובל,‏ סיגל פייגלין<br />

-<br />

המרכז לטכנולוגיה חינוכית<br />

ביה"ס הריאלי סניף מרכז,‏ חיפה<br />

בחינוך בכלל,‏ ובחינוך המתמטי בפרט,‏ נעשה שימוש רב במבחנים,‏ הניתנים בעיקר בתום נושא שנלמד,‏<br />

לצורך בדיקת הישגים,‏ ומלווים במתן ציונים לתלמידים.‏<br />

מושב זה יציג מבחנים מזווית קצת אחרת,‏ ומנקודות מבט שונות:‏<br />

התנסות אחת היא של מבחנים הניתנים בבית הספר הריאלי סניף מרכז בשנה וחצי האחרונות.‏<br />

המבחנים ניתנים שלוש פעמים בשנה לתלמידי כיתות א'‏<br />

ד –<br />

' לצורך מעקב שוטף אחר כל הנושאים<br />

הנלמדים בכיתות אלה והתפתחות ידע התלמידים לאורך זמן.‏ ניתוח מבחנים אלה בעזרת<br />

Excel<br />

משמש את רכז המקצוע ככלי עזר בתכנון ופיתוח נושא המתמטיקה בבית הספר ואת המורה בתכנון<br />

עבודתו בכיתה.‏<br />

התנסות אחרת היא של מבחנים הנערכים במהלך פיתוח ספרי לימוד בשלב של הניסוי בשדה.‏<br />

מבחנים אלה עוסקים בנושאים שנלמדו בחוברות הניסוי,‏ מתוצאותיהם יכולים המפתחים להסיק<br />

מסקנות לגבי כתיבת הנוסח הסופי של החומר הנלמד.‏ המורה היא זו שמעבירה את המבחנים<br />

ומתעדת את תוצאותיהם,‏ ולפיכך הם משמשים גם אותה בהערכת תלמידיה.‏ מבחנים אלה מנותחים<br />

בצורה המאפשרת גילוי וזיהוי שגיאות אופייניות,‏ וכן בודקים הסברים,‏ ובכך משרתים היטב הן את<br />

כותבי התכנית,‏ והן את המורים המלמדים אותה.‏<br />

במושב יתוארו נקודות המבט של המשתמשים השונים של המבחנים:‏ מורי כיתות א'‏ – ג'‏ ורכזת<br />

, המקצוע<br />

שלמים וניתוחיהם.‏<br />

וכן יוצגו דוגמאות של פריטים מתוך המבחנים של כיתות ה'‏ בנושא שברים ומספרים<br />

63<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

סיור מתמטי בשביל אוהד זך ‏(ז"ל)‏<br />

הדס רמון צימבלר - צוות מתמטיקה – בית-ספר ‏"נופית"‏ בהנחיית חנה מור<br />

המחשבה על פעילות מתמטית ב"שביל אוהד – סובב נופית"‏ התגבשה במטרה לשלב בין המתמטיקה,‏<br />

הטבע והקהילה.‏<br />

הסיור המתמטי מאפשר ומזמן חוויה מתמטית מיוחדת.‏ הוא הופך את הסביבה הקרובה לילדים<br />

לסביבה ידידותית,‏ ומאפשר להם להביט בה בעיניים מתמטיות,‏ תוך חידוד הראיה וההבחנה בצורות<br />

הגיאומטריות,‏ בגופים ובריצופים השונים בסביבה.‏ העולם המתמטי על אופניו השונים,‏ נגלה לילדים<br />

בדרך שונה ומגוונות הפותחת בפניהם צוהר לעולם המספרים.‏<br />

הסיור המתמטי מאפשר שילוב רב תחומי של טבע,‏ גיאוגרפיה,‏ אוריינות ומתמטיקה.‏<br />

הפעילות התקיימה בשיתוף הורים במסגרת דו-שכבתית,‏ המאפשרת אינטראקציה חברתית ולימודית<br />

בין ילדים מכיתות שונות,‏ ובכך מקרבת ומזמנת הכרות מעמיקה בין הילדים.‏<br />

במטע השקדים אמדנו את כמות העצים ונעזרנו במיומנות הכפל כדי לחשב את הכמות המדויקת.‏<br />

בשביל העצים זיהינו את שמות העצים בעזרת גימטריה,‏ בדקנו כמה עצים יש מכל סוג ובנינו דיאגרמה<br />

מתאימה.‏ בנוסף עסקנו בהיקף הגזעים השונים – אומדן ומדידה.‏ כמו כן העלינו השערות למספר<br />

האבנים בצד השביל ובדקנו דרכים שונות למנייתן.‏ ליד החרוב הגדול הצענו הצעות כיצד למדוד את<br />

גובהו בעזרת מתווכים ואספנו חרובים וחומרים מהטבע לפי כמות נדרשת.‏ באזור התצפית על גבעת<br />

אלונים-שפרעם זיהינו את הישובים והגבעות של הנוף בעזרת גימטריה.‏ ולבסוף היינו ‏"אדריכלים<br />

צעירים"‏ ותכננו את בית חלומותינו תוך התייחסות לצורות הגיאומטריות השונות מהן ייבנו<br />

החלונות,‏ הדלתות והשערים ולאילוצים כספיים של הבניה.‏<br />

על השביל<br />

שביל אוהד הוא שביל טיולים,‏ המקיף את היישוב נופית במסלול טבעתי מהיפים והמרהיבים בארץ.‏<br />

היישוב ‏"נופית"‏ נמצא בגליל התחתון סמוך לקרית טבעון.‏<br />

אורך השביל כ-‏<br />

ק 3<br />

‏"מ,‏ נוח להליכה ומתאים לפעילויות מגוונות לכל הגילאים.‏ השביל פורש מניפת<br />

נוף מדהימה מהרי נצרת במזרח,‏ דרך הרי הגליל התחתון והעליון,‏ עמק עכו בואכה ראש הנקרה<br />

בצפון,‏ ומפרץ חיפה ורכס הכרמל במערב.‏<br />

השביל נמצא בשולי היישוב ומהווה תפר לסביבה הכפרית עם נחל ציפורי ושמורת אלונים.‏<br />

נופי צמח,‏ אדם,‏ מים התיישבות,‏ גיאולוגיה,‏ הן רק מעט משפע האפשרויות הגלומות בהליכה לאורך<br />

‏"שביל אוהד – סובב נופית".‏<br />

בית ספרנו,‏ בהיותו בית ‏–ספר קהילתי,‏ מאמץ את שביל אוהד זך ומקיים בו פעילויות שונות לאורך<br />

השנה בתחומי הדעת השונים,‏ במטרה להנציח את זכרו של אוהד,‏ בוגר בית-הספר,‏ שנפל בלבנון<br />

במהלך שירותו הצבאי.‏<br />

64<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

כיצד לקצר את החילוק הארוך<br />

חפציבה רקובסקי - ‏"נועם רחל",‏ מכמש<br />

שטרות הכסף יכולים לשמש כאמצעי המחשה בהבנת המבנה העשורי ופעולות החשבון.‏<br />

השימוש בכסף מקשר את המתמטיקה לחיי היום יום.‏<br />

אני משתמשת בשטרות של 100 , 10 , 1 בלבד.‏<br />

פותחים את ההיכרות של אמצעי המחשה זה<br />

בפעולות המרה.‏ כל ילד מקבל ערמה של שטרות וצריך לחשב כמה כסף קיים ברשותו.‏<br />

התלמידים משחקים במשחקים שונים המשתמשים בשטרות ‏(מונופול וכד'‏<br />

(...<br />

)<br />

ופריטה.‏ באמצעות שטרות הכסף ניתן להמחיש גם את נושא הפריטה הכפולה בחיסור.‏<br />

לדוגמה,‏<br />

יש לך ₪ 300<br />

ואתה צריך לתת לי ₪ 57 כמה יישאר לך<br />

ניתן להשתמש בשטרות גם ללימוד נושא החילוק הארוך.‏<br />

השאלות בחילוק מתחלקות לשני סוגים<br />

( ?<br />

:<br />

•<br />

•<br />

ומתרגלים המרה<br />

חילוק לחלקים ‏(הכיתה התחלקה לשלוש קבוצות.‏ כמה תלמידים בכל קבוצה?)‏<br />

חילוק להכלה ‏(הכיתה התחלקה לשלשות.‏ כמה שלשות היו?)‏<br />

במרבית שיטות הלימוד אנו מקנים לתלמידים דרכי פיתרון לשאלות חילוק באמצעות חילוק<br />

להכלה ‏(שימוש בקפיצות וכדו'..)‏ מכיוון שבצורה זו דרך הפיתרון מובנת יותר.‏<br />

לדעתי החילוק לחלקים מתאים יותר להבנה של משמעות החילוק ולכן חשוב לשלב בין שתי<br />

השיטות.‏<br />

בתהליך ההוראה מופיעים שני שלבים:‏<br />

א.‏<br />

ב.‏<br />

החילוק הארוך – הסבר על סמך המבנה העשורי:‏ התלמידים מתנסים בחילוק מספרים<br />

גדולים בעזרת שטרות,‏ נעזרים בהמרה ומגלים בעצמם את היתרון של התחלת החילוק<br />

מהספרה הגדולה.‏<br />

החילוק המקוצר – תיעוד:‏ בחילוק המקוצר נתחיל מהספרה השמאלית ביותר,‏ נרשום את<br />

תוצאת החלוקה מעליה ואת השארית נצמיד לספרה הבאה.‏<br />

בסדנה נסביר ונדגים כיצד להשתמש בשטרות הכסף להבנת החילוק הארוך.‏<br />

65<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

נימוקים מתמטיים כאמצעי להתמודדות<br />

עם תפיסות מוטעות של תלמידים בנושא השבר הפשוט<br />

ויקי שוחמי,‏ סימה ברונשטיין<br />

-<br />

צוות ה.ש.ב.ח.ה - אוניברסיטת בר-אילן<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

מחקרים רבים שבדקו תפיסות של תלמידים לגבי המספרים הרציונליים,‏ הראו כי מעבר מהמספרים<br />

הטבעיים למספרים הרציונליים והבנייה מחדש של משמעות המספר ושל הפעולות במספרים מהווים<br />

קושי עבור התלמידים.‏<br />

המחקרים הציגו סיבות שונות לקושי זה:‏<br />

לתלמידים יש פחות ניסיון יום-יומי בשימוש במספרים הרציונליים מאשר יש להם לגבי<br />

המספרים הטבעיים.‏<br />

לתלמידים קשה לקבל את השבר הפשוט כמספר והם נוטים לראות מספר רציונלי כשני<br />

מספרים שלמים עם קו מפריד ביניהם.‏<br />

קשה לתלמידים להכיר במשמעויות השונות של השבר ובצורות רישום שונות של המספרים<br />

הרציונליים:‏ כחלק משלם,‏ כשבר עשרוני,‏ כיחס,‏ כפעולה,‏ כמתאר כמות וכמנת חילוק.‏<br />

תלמידים מייחסים,‏ לעיתים קרובות,‏ למספרים הרציונליים ולפעולות בהם,‏ את כל התכונות<br />

של המספרים הטבעיים.‏<br />

בסדנה,‏ המשתתפים יעסקו בפעילויות שמטרתן לימוד מתוך תפיסות מוטעות של תלמידים בנושא<br />

השבר הפשוט.‏<br />

יושם דגש על שימוש בנימוקים מתמטיים כאמצעי להתמודדות עם תפיסות אלו.‏<br />

בסיום הסדנה ייערך דיון עם המשתתפים על חשיבות הלמידה מטעויות ועל דרכי התמודדות של<br />

מורים עם תפיסות מוטעות של תלמידים בנושא השבר הפשוט בפרט ובמתמטיקה בכלל.‏<br />

66<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

איך לפתח דיון מתמטי טוב?‏ איך לבנות על דרכי החשיבה של התלמידים בדיון?‏<br />

רותי שטינברג - מכללת סמינר הקיבוצים,‏ ו-‏ ‏"פשוט חשבון"‏<br />

יוצגו עקרונות של דיון טוב בקבוצה קטנה ובמליאת הכיתה.‏ יובאו דוגמאות של דיונים טובים ממגוון<br />

נושאים לימודיים ודרגות כיתה.‏ במיוחד,‏ תהייה התייחסות לדיונים מכיתות גבוהות של בית הספר<br />

היסודי.‏<br />

יושם דגש על דיון שבו תלמידים מציגים דרכים שונות בהן הם פתרו בעיות או תרגילים.‏ יוצעו הצעות<br />

לגבי הבניית ידע מתמטי בדיון תוך התייחסות לרעיונות של הילדים.‏ בנוסף,‏ נבחן איך אפשר לקדם<br />

ילדים שונים בכיתה דרך הדיון תוך הסתמכות על ידע המורה על דרכי החשיבה של ילדים שונים<br />

בכיתה.‏ נציג מספר רעיונות להצגת משימות שקל לפתח דיון טוב סביבם.‏<br />

נדגיש תפקידים של המורה בניהול הדיון.‏ נראה מה המורה יכול לתרום לדיון כדי לקדם את הילדים<br />

לחשיבה מתמטית נוספת.‏ כמו כן נתייחס להנמקות של ילדים,‏ ושימוש ברעיונות ובמונחים מתמטיים.‏<br />

בין שאר התכנים המתמטיים שיודגמו בדיונים נתייחס גם לשברים ויחס.‏<br />

67<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

אולימפיאדת המתמטיקה<br />

שושנה תבל – יוספי - רכזת מתמטיקה בבי"ס ממ"ד ‏''יבנה''‏ גבעת-אולגה,‏ חדרה<br />

משה עמרם - מנהל ביה"ס הממ"ד ‏''יבנה''‏ גבעת-אולגה,‏ חדרה<br />

בביה"ס ממ"ד ‏''יבנה''‏ שבגבעת אולגה - חדרה נערכה בחודש אדר אולימפיאדה במתמטיקה.‏<br />

בשלב א':‏ נערכו טורנירים בנושאים מתמטיים בין הכתות.‏<br />

בשלב ב':‏ התקיימה תחרות חצי הגמר.‏<br />

בשלב ג':‏ נערך הגמר הגדול.‏ ביום זה תלמידים הגיעו לביה"ס עם ממתק שיש בו צורות גיאומטריות.‏<br />

בשלב ד'‏ ה:‏ תקיים יום שיא במתמטיקה.‏ ביום הזה השתתפו כל תלמידי ביה"ס,‏ כמו כן הוזמנו הגנים<br />

להשתתף עמנו בפעילויות במתמטיקה.‏ ביום זה הוכרזו הזוכים במדליות במקומות הראשון,‏ השני<br />

והשלישי של אולימפיאדת ‏"יבנה"‏ – במתמטיקה וחולקו תעודות לכתות המשתתפות.‏<br />

הנושא המרכזי ביום השיא במתמטיקה היה מספרים טבעיים:‏ בלוח המאה,‏ בלוח שנה – חודש<br />

אדר.‏ מתמטיקאים מפורסמים – פיתגורס,‏ פסקל,‏ פיבונאצ'י,‏ פרדוקסים במתמטיקה ואתגרי<br />

חשיבה.‏ הפעילויות לוו בדיון קבוצתי,‏ הפעילויות בקבוצת הדיון התאפיינו בשיח מתמטי בין<br />

התלמידים.‏ לכל כתה ניתנו כמה פעילויות והתלמידים יוכלו לעבוד בסבב.‏<br />

הגנים הכינו את עכביש המספרים וקבלו משחק:‏ חודש אדר מלוח שנה וקוביית שש-בש.‏<br />

מטרות האולמפיאדה:‏<br />

התלמיד יגבש יחס חיובי כלפי המתמטיקה.‏<br />

התלמיד יפתח כושר חשיבה מתמטית,‏ ירכוש מושגים ומבנים מתמטים בתחומי החשבון<br />

וההנדסה.‏ כשהדגש הוא על אמצעי לימוד על-ידי משחקי חשיבה.‏<br />

פיתוח מודעות,‏ מיומנויות והערכה רפלקטיבית של תהליכי חשיבה.‏<br />

ניהול שיח מתמטי בפעילויות השונות.‏<br />

רצף חינוכי – שיתוף בין הגנים וביה"ס.‏<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

•<br />

מתוך דברי פתיחה ליום השיא במתמטיקה:‏<br />

בספורט צריך לאמן את השרירים,‏ במתמטיקה צריך לאמן את המוח,‏ ואם תתאמנו כל יום תוכלו<br />

לפתח כושר חשיבה מתמטית.‏<br />

אנגלית זו שפה,‏ גם מתמטיקה זו שפה.‏ בשיעורי מתמטיקה אנחנו מנהלים שיח מתמטי.‏<br />

גם במתמטיקה יש היסטוריה,‏ זה ניקרא ההיסטוריה של המתמטיקה,‏ אנחנו נלמד על מתמטיקאים<br />

מפורסמים,‏ כמו פיתגורס,‏ פסקל,‏ פיבונאצ'י ועוד<br />

. . .<br />

המתמטיקה היא משחק ילדים רק צריך לדעת לשחק לפי הכללים.‏ צריך לדעת:‏ כמה?‏ ו-למה?‏ וגם איך<br />

בדיוק,‏ לא בערך,‏ והעיקר:‏ מה הדרך?‏<br />

68<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007

---

עולמו של מספר<br />

אברהם תורגמן<br />

ירושלים -<br />

בהרצאה נציע רעיון ללימוד מתמטיקה במקביל ללימוד הרגיל – לימוד,‏ סיכום והרחבה של ידע מתמטי<br />

ואחר סביב מספר נתון.‏ מניסיון השימוש ברעיון זה,‏ כהעשרה,‏ הרחבה,‏ כסיכום וכפתרון לתמידים שונים,‏<br />

מעורר עניין,‏ מגביר מוטיבציה,‏ ומקשר בין תחומי ידע שונים ומפחית חרדה.‏ הרעיון מודגם סביב המספר<br />

12, מתוך סדרת מאמרים בנושא זה.‏ הרעיון כולל סקירה ולימוד של נושאים שונים הקשורים במספר<br />

הנתון – סימונו בדרכים,‏ בבסיסים ובאופנים שונים.‏ הקשרים להיסטוריה ולטבע.‏ תכונות מתמטיות,‏<br />

כלליות ודתיות ועוד.‏<br />

המספר 12: סימון:‏ בספרות<br />

-<br />

12 בבסיס עשר או ‏(שנים עשר)‏ 10. באותיות – יב.‏ בספרות רומיות –<br />

.XII<br />

במילים – שתים עשרה ‏(במניה או בלשון נקבה),‏ שנים עשר ‏(כמספר סודר או בלשון זכר),‏ תריסר או<br />

תרי עשר בארמית.‏ אפשרויות הוראה – תרגול דרכי כתיבה ומעבר של מספרים בשיטות כתיבה שונות.‏<br />

המספר 12 מקושר היטב ביהדות בתחומים שונים,‏ 12 השבטים והסמלים,‏ 12 חודשי השנה,‏ 12 המזלות,‏<br />

שעת חצות ביום ובלילה,‏ 12 ‏"שעות זמניות",‏ חלוקת היום מזריחה ועד שקיעה ל-‏ 12. גיל בת-מצווה.‏<br />

הספר תרי-עשר בתנ"ך המכיל נבואות 12 נביאים ועוד.‏ אפשרות הוראה – חישוב שעות זמניות,‏ חצות וכו'.‏<br />

תכונות חשבוניות ומתמטיות:‏ הפרוק הראשוני של 12 הוא 3·2 = 2 12. 12 הוא המספר השלם החיובי<br />

הקטן ביותר בעל 6 מחלקים שונים,‏ מתוכם 5 מחלקים ממש.‏ ובעל יותר מחלקים מכל שלם הקטן ממנו!‏<br />

אפשרויות הוראה:‏ תרגול פרוק לגורמים,‏ מספרים פריקים וראשוניים,‏ פרוק ראשוני,‏ מספר מחלקים וכו'.‏<br />

12 הוא מספר הרשד -(Harshad) מספר המתחלק בסכום ספרותיו.‏ ואמנם 12 הוא מספר כזה,‏<br />

שכן 12 מתחלק ב-‏ (1+2=3). 3 אפשרות הוראה:‏ בדיקת מספרים נתונים ומציאת מספרי הרשד.‏<br />

תכונות חשבוניות של 12 ומחלקיו כסדרות של מספרים,‏ סימני חלוקה ב-‏‎12‎ ועוד.‏ אפשרויות הוראה:‏<br />

בניית סדרות מספרים וסימני חלוקה של מספרים.‏ 12 הוא מספר מחומש.‏ מספר מצולע הוא מספר שניתן<br />

לארגנו בצורה של מצולע משוכלל ‏(הבנוי מנקודות).‏<br />

להלן 5 מספרים מחומשים – 1,5,12,22,35.<br />

אפשרויות הוראה:‏ מציאת נוסחה אלגברית למספר מחומש ולמספרים מצולעים אחרים.‏ תרגול בניות<br />

באמצעות מחוגה וסרגל.‏ מציאת דרך לבנייה הנדסית למספרים מחומשים ולמצולעים בכלל.‏<br />

המספר 12 בגיאומטריה:‏ דודקגון משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל 12 צלעות.‏ בדודקגון יש 12 צלעות<br />

שכולן שוות ו-‏ 12 זוויות שוות,‏ כל אחת בת 150. 0 שטח דודקגון משוכלל שצלעו a נתון על ידי<br />

-<br />

(3√+2) 2 3a. אפשרויות הוראה:‏ מציאת דרך לצייר דודקגון משוכלל על ידי מחוגה וסרגל בלבד<br />

ב-‏ 4<br />

צעדים,‏ חישוב זוויות ושטחים.‏ תריסרון – דודקהדרון,‏ אחד מ-‏ 5 הגופים האפלטוניים,‏ שכל דופן שלו<br />

היא מחומש משוכלל.‏ לתריסרון יש 12 דפנות ‏(מכאן שמו),‏ 20 קדקודים,‏ ו-‏‎30‎ צלעות ‏(מקצועות).‏<br />

אפשרויות הוראה:‏ הכרת 5 הגופים האפלטוניים.‏ תיאור דרכים לפרוש את התריסרון לצורה מישורית,‏<br />

על ידי חיתוכו לאורך הצלעות או ע"י על ידי עשיית ‏"חור"‏ באחת הדפנות ומתיחה של צלעות דופן זו<br />

ואיתן את כל התריסרון עד שתתקבל הצורה המישורית,‏ מבלי לחתוך שום צלע.‏ שימוש בתרסריון<br />

כ"משחק המילטון".‏ מציאת הקשר בין התריסריון לארבעון,‏ לקוביה ולתמניון.‏ תרגול חתכי תרסריון<br />

שונים ליצירת צורות גיאומטריות שונות.‏<br />

69<br />

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בביה"ס היסודי ובקדם יסודי – מאי 2007