请问如何理解极限的精确定义？

无穷远到底是多远，我能到达吗，无限接近到底是多近，我能触摸吗？这个看似哲学性的问题，在数学中却是有精确定义的。

数学中的函数极限，就是对函数去到无穷远处和无限接近某一点的趋势的描述。

1 极限的精确定义

先贴基本定义：

设 \displaystyle f:\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} 是一个定义在实数上的函数。 并在某个开区间 {x>A} 或 {x<A} 上有定义。 L 是一个给定的实数。 c 是一个实数，并且函数 f 在 c 的某个去心邻域上有定义。如果对任意的正实数 \epsilon ，都存在一个正实数 \delta ，使得对任意的实数 x ，只要 f 在点 x 处有定义，并且 x 在 c 的某个 \displaystyle \delta -（去心）邻域中（即 \displaystyle \vert x-c\vert \leqslant \delta ），就有\displaystyle \vert f(x)-L\vert \leqslant \epsilon ，那么就称 L 是函数 f 在 x 趋于 c 时的极限，或简称 L 为 f 在 c 的极限，记为 \displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L 。反之则称 L 不是 f 在 x 趋于 c 时的极限。维基教科书

语句很长，名词很多，其实把三个名词讲清楚，极限的精确定义就有了：

• 函数为什么要在去心邻域内有定义？
• 极限能否为 +\infty ？
• 什么是任意正实数 \epsilon 和正实数 \delta ？

2 初见极限

2.1 数列极限与函数极限

讲极限就要从数列极限讲起。

人们把无穷数列收敛于一个确定的实数L，就把L叫做此无穷数列的极限。

例如

\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L,a_ n=1-(\frac{1}{10})^ n

如果我们把此无穷数列看成是一个从 N\to R 的一个函数，那么函数 f(x) 在c的极限，就可以看做两个无限逼近c点的无穷数列。那么求 f(x) 在c点的极限，就是求这两个无穷数列的极限。

举一个具体函数的例子

2.2 单边极限与极限

函数f(x)求 x\to c 的极限。

我们将f(x)在c点的左侧看做是一个 x^{-}\to c 的无穷数列，将此无穷数列称为 f(x),x\to c的左极限。

相应的，将f(x)在c点的右侧看做是一个 x^{+}\to c 的无穷数列，将此无穷数列称为f(x),x\to c 的右极限。

只有左极限与右极限相等时， f(x),x\to c 的极限才存在，且等于左（右）极限。

这个很好理解，因为如果两边极限不同：

又如果一边存在极限，而另一边不存在：

极限也就懵逼了，手心手背都是肉，该听谁的？索性就都不听吧。

即只有当左极限右极限存在，且相等时，极限才存在。

对应到刚刚那个函数极限，在图中f(x)在0点的左极限等于右极限等于0，因此函数f(x)在c点的极限是0.

3 邻域与去心邻域

3.1 邻域

上面是对极限的第一印象，但有点问题。举个例子：

数列 \{ a_ n\} ^{\infty }_{n=1} ,通项式为：

\begin{eqnarray} a_ n= \begin{cases} -n(n<3)\cr -\frac{1}{n}(n\geqslant 3) \end{cases}\end{eqnarray}

将其展开就是 \{ -1,-2, -\frac{1}{3},-\frac{1}{4},-\frac{1}{5}...\}

这个无穷数列显然也是有极限的：

\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0

它的图像是：

再举一个例子:

数列 \{ a_ n\} ^{\infty }_{n=1} ,,通项式为：

\begin{eqnarray} a_ n= \begin{cases} (-1)^ n(n<5)\cr 3(n\geqslant 5) \end{cases}\end{eqnarray}

将其展开就是 \{ -1,1,-1,1, 3,3,3,...\} 。

它的图像是：

可见无穷数列的有极限并不是要求数列中所有项都是单调的向极限值靠拢的。

回到刚刚那个函数的例子，换一下问题，求f(x)在1点的极限呢？

很明显在x<0时，f(x)在1点的左极限并不等于1.

因此，描述 f(x) 在 x\to 1 的趋势，至少可以将整个函数在定义域内分成三个部分。

• 在 x\leqslant -1 时， x\to 1 ， f(x)\to 1 （黑色部分）
• 在 -1<x\leqslant 0 时， x \to 1 ， f(x)\to 0 （红色部分）
• 在 x>0 时， x \to 1 ， f(x)\to 1 （蓝色部分）

可见并不是整个定义域内当 x\to 1 时， y\to 1 。

由此我们就需要定义一个范围的半径。把半径加上中心的这两个元素放在一起就有了邻域这个概念。

回到上面的图，我们就能说， f(x) 在半径为0.5(当然也可以是0.4，0.3，总之足够小就行)的邻域内在 x\to 1 时 f(x)\to 1 。

3.2 去心邻域

邻域的概念让我们知道了极限的作用范围，可这是有瑕疵的。让我们来看这种情况

\lim _{x\to c}f(x)=L (x\neq c)

这时候在以c为中心的邻域内 f(x) 在c点无定义，此时还能够求 f(x),x\to c 的极限吗？

当然是可以的。

首先看看什么叫无限接近。

类比到无穷数列，n是无限接近 +\infty 的。但这个数列中并没有一项是 a_{+\infty } ，非正式的写法：

\{ a_ n\} ^{\infty }_{n=1}=\{ a_1,a_2,...a_ n...\} \neq \{ a_1,a_2,...a_ n...a_{+\infty }\}

再来看无穷远处的值是否影响无穷数列的极限。

用一个非正式的写法：设 a_{+\infty }=-L

因为 a_{+\infty } 并不在 \{ a_ n\} ^{\infty } 数列中，所以即使 a_{+\infty }=-L ， \{ a_ n\} ^{\infty }_{n=1}=L 。

甚至L可以根本不存在

来到函数极限时，趋于某一点的函数极限，若函数在此点并无定义，则其实就是两个无限逼近同一个值的无穷数列。

由此我们可以得到:

求函数 f(x),x\to c 的极限的作用范围应该是c点的去心邻域而不是邻域。

我们将之前的 f(x)=x^2 修改为 f(x)=x^2(x\neq 1) ,仍然求函数在 x\to 1 处的极限。

我们就能说，f(x)在半径为0.5的去心邻域内在 x\to 1 时 f(x)\to 1

可见函数只要在去心邻域内有定义就可以了。

邻域的半径告诉我们，两个人该从哪里踏上这对相向而行的列车，去心邻域告诉我们，两个人虽无限接近，却永不会相见。

4 极限能否为 +\infty

极限存在的定义，是f(x)在逼近此点时，函数值收敛于一个给定的实数L。那么如果 +\infty 是实数， \displaystyle \lim _{x \to a} f(x) 极限存在，否则 \displaystyle \lim _{x \to a} f(x) 是发散的，极限不存在。

4.1 +\infty 是不是实数

我们来看看实数是如何发展出来的：

也就是说从自然数系扩展到实数系是在数轴上一个一个填坑的过程。数轴上的坑被填满，实数域就出现了。

那么 +\infty 能够被填到实数的数轴上吗？

我们知道如果A是一个实数，那么一定存在一个实数B=A+1

假设 +\infty 是一个实数，那么一定存在一个数等于 +\infty +1 ,这明显违反了 \infty 的定义。

在实分析中，符号 \infty 称为“无穷大”，代表无界极限。 x \to +\infty 表示 x \quad 超出任意给定值， x \to -\infty 表示 x \quad 最终小于任意给定值。维基百科

因此 +\infty 放不进实数的数轴上， +\infty 也就不是一个实数。

4.2 极限不能是 +\infty

在实数域中，如果函数f(x)趋向实数c时，收敛到某实数L，我们就说此函数是收敛的，并且它的极限是L，记做

\lim _{x \to c} f(x) = L

反之，如果函数f(x)趋向实数时，不收敛到任何数L，我们就说此函数是发散的，并且认为\displaystyle \lim _{x \to c} f(x) 无定义。

通常 \displaystyle \lim _{x \to c} f(x) 发散到 +\infty 记做：

\lim _{x \to c} f(x) = +\infty

即极限不能等于 +\infty

4.3 超实数域

后来有人把 +\infty 放在实数域正半轴的端点上 -\infty 放在实数负半轴的端点上，组成了超实数域。

超实数域的极限，这里就不讨论了。

5 \epsilon 与 \delta

无限接近L在数学里怎么描述呢？

如果我与L的距离小于等于任意一个正实数 \epsilon ，是不是就能说无限接近L？

因此如果有 \displaystyle \vert f(x)-L\vert \leqslant \epsilon ,我们就可以说 f(x) 与L之间的距离是趋近于无穷小的。

但函数有函数的规则，我想无限接近，是不是能无限接近呢，有没有x满足 f(x) 无限接近呢？

因此如果存在 x 满足 \displaystyle \vert f(x)-L\vert \leqslant \epsilon ，那么函数 f(x) 在 c 点无限接近L。 x 与 c 的距离就是去心邻域的半径。即： \displaystyle \vert x-c\vert \leqslant \delta 记做

\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L

即 \epsilon 只是对f(x)无限接近L的描述， \delta 只是x无限接近c的描述

最后给一幅经典的极限图

6 结语

无穷远是多远，我不知道，也无法到达，我只知道那里有远方。

无限接近是多近，我不知道，也无法触摸，我只知道那里将是归宿。

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函数极限的精确定义是这样的：

设函数f\left(x\right)在点a的去心领域内有定义，若存在常数L，对于任意给定的正数\varepsilon （无论它多么小），总存在正数\delta ，使得当x满足不等式0<|x-a|<\delta 时，对应的函数值f\left(x\right)都满足不等式：|f\left(x\right)-L|<\varepsilon

那么常数L就叫做函数f\left(x\right)当x\rightarrow a时的极限，记作\lim_{x \rightarrow a}{f\left(x\right)}=L

这个定义有些复杂，可以借助下图帮助理解：

L是我们需要击中的目标，我们允许在击中目标时存在一定的误差，这个误差就是\varepsilon 。通过函数f\left(x\right)，我们可以调整射击的角度任意地接近于a ，射击的角度会存在误差，误差范围在\delta 之内，当\lim_{x \rightarrow a}{f\left(x\right)}=L 时，射击角度误差为\delta 的射击必须保证击中的目标在L的\varepsilon 领域内。无论\varepsilon 多么小，总能找到足够小的\delta 使得击中的目标在L 的\varepsilon 领域内。你不需要找到最优的\delta ，只要足够小的\delta 的就行。