“简并”在物理学中有怎样的含义？这两种“简并”有什么关系？

“简并”的本意是“几个不同态具有一样的能量"。（为什么要这样定义？因为一个给定的系统，处于一个态的概率只与能量有关，与其他量无关，所以统计物理不关心其他量）

但我们知道，简并态的数目越多，系统的量子效应（就是只能用量子力学描述、不能用经典力学描述的效应）越明显，越“简并”越“量子”，所以“简并”又有了衍生义：量子效应强，只能用量子力学刻画的系统。题中的简并都是衍生义。

从量子力学里的简并态说起。简单地说，处于同一能级的两个不同的量子态是简并的。线性代数学了吧？做了不少特征值特征向量的题吧？有些特征值有不止一个特征向量。可以把属于同一个特征值的不同特征向量看作简并的。举个例子，不考虑电子自旋等精细结构的氢原子可以用三个量子数来描述：主量子数n，角动量量子数l和磁量子数m。但氢原子的能级仅由主量子数决定。当两个氢原子的两个量子态的n相同时，它们的能级相同，是简并态。简并度为n的平方，意思是这一能级中可以有n^2个不同的量子态。这就是最开始许多回答所说的。

来看费米气体。费米子有一个特点，就是必须遵循泡利不相容原理，这一原理禁止不同的粒子占据同一个态。费米分布告诉我们，在温度T时，处在能量为\varepsilon 的一个态上的平均电子数为

f=\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon -\mu}{k T}}+1}。当T=0， \varepsilon < \mu_0时，f=1，粒子从最低能级开始一次填充，每个能级上一个电子，排到\mu_0为止，之后就没有了。\mu_0称为费米能级，即题主那张图中的\varepsilon_F。当T>0时，费米能级附近每个能级粒子数按指数规律变化。以上全部解释了题主那幅图。详细见统计物理教材。

那么什么是费米分布，什么时候用费米分布呢？统计物理一般用系综理论研究宏观量级的粒子，但当忽略粒子间的相互作用的时候，可以用麦克斯韦-玻尔兹曼分布、费米-狄拉克分布或玻色-爱因斯坦分布三种分布描述。第一种是经典分布，后两种是量子分布。什么时候用经典分布，什么时候用量子分布呢？有一个非简并性条件（经典极限条件）：若任意能级\varepsilon_l上的粒子数均远小于该能级的量子态数，费米分布和玻色分布就退化为玻尔兹曼分布。满足非简并性条件的称为非简并气体，不满足的称为简并气体。

回到费米气体，我们知道了每个能级上的粒子数，便可以求出每个粒子的动量，可以通过积分求得费米气体的压强，称简并压：p=\frac{2}{5}(3\pi^2)^{3/2}\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{N}{V} \right) ^{5/3}。当体积V很小的时候，简并压就很大了（当然此时粒子的动量已经大到必须用相对论来修正了）。这时的物质叫简并态物质(Degenerate matter)，也叫费米气体，简并气体。白矮星就是这样的状态。

最后，说了这么多“简并”，名词使用好像很混乱。因为上面第三段里的用词来自国内热统教材，第四段来自Wikipedia (

)。题主了解上面所说的到底是什么就行了。另外我不太赞同

所说，量子力学的简并和统计力学里的简并不同的说法。因为统计力学里的简并最初的概念来自于上面第一段所描述的内容，每个能级的简并度和粒子数。

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自己最早写的那个答案有问题，回来翻了翻书，重写了大多数内容。