经典中的力学量怎么转换成量子力学里的算符？

其实这个问题就是简单的正则量子化的问题，本质上量子的更本质，经典的是量子的极限，能量子化的本质是相空间上的函数代数和希尔伯特空间上的算子代数有同样的代数结构(可能不太严谨)，经典的泊松括号{，}与李括号或者交换子存在对应

经典力学的Hamilton-Jacobi方程联系着量子力学里的Schrodinger方程，当取经典极限，也就是 h→0，Schrodinger方程就会退化到简单的Hamilton-Jacobi方程，此时的波函数就可以理解为经典的粒子的运动轨迹的作用！

最后回到如何把简单的力学量量子化的问题，这一点可以了解一下量子力学的基本公设！

量子力学里的物理量是希尔伯特空间上一个稠定自伴算子，如果取坐标表象，那么态|Ψ>此时就变成了我们熟悉的波函数Ψ(x)

经典力学的相空间是(p,q),力学量是相空间上的函数f(p,q),比如动T=T(p)=p^2/2m,而量子力学里的力学量是希尔伯特空间上的稠定自伴算子，比如位置x对应位置算符X,动量p对应ih▽，力学量就是所谓的“算子值函数"，也就是把f(p,q)里的位置p,动量q换成对应的算符X,ih▽，也就是f(p→X,q→ih▽)

这是一个很好的问题。历史上很多优秀的物理学家思考了这个问题，做出了很多很深刻的结论。

从物理的角度来说，量子化(quantization)有一次量子化和二次量子化。

一次量子化在每本量子力学的教材的开始几章就会讲解，本质上讨论的问题是：当用波函数描述状态时，位置、动量、角动量的算符应该是什么？怎么从经典力学上引过来？你要起码（形式上）理解，譬如为什么动量算符是i倍的梯度？

如果说一次量子化引入了波函数的世界，二次量子化（second quantization）就是回归了粒子的图景。我们想知道的问题是：增加/减少一个粒子，在量子（多体）问题里，应该对应成什么算符？于是我们发明了creation operator 和annihilation operator，并且在这个二次量子化的框架下，可以讨论动能算符、动量算符，写出这一版本的薛定谔方程。

从数学的角度来说，这方面是很严肃的分析学与代数学研究。大家考虑的问题是：一个经典的运动方程，怎么对他做一个神奇的变换，他就变成了量子的波函数？反之，一个量子的波函数，大家怎么样对他做一个神奇的变换，（当普朗克常数趋近于0时）就变成了经典的方程？

前者的答案之一便是Weyl quantization, 后者的答案之一便是Wigner transform.可以去wiki上查一查这些细节。

当然，不同的人的思考结果不太一样。费曼也想过这个问题，但是他的角度是发明了路径积分，这样就从Euler-Lagrange变分原理和哈密顿量的角度很好地把经典力学和量子力学的相同之处抓住了。这一点其他回答已经涉及，我就不啰嗦了。