集总参数元件组成L型网络实现阻抗匹配

写写我对使用Smith Chart解L型集总参数匹配网络问题的理解。

第一步，L型电路形式选择。从电阻较大者的角度思考（不论是负载阻抗Z_{L} 还是特征阻抗Z_{0} ），需要先并联电纳jB以降低该阻抗实部模值\left| R \right| ，再串联电抗jX。即在不进一步改变实部大小的前提下，消除先前并联的电纳对虚部的影响，实现匹配Z_{L} =Z_{0} =Z_{in} 。因此有了教材的结论：

归一化\bar Z_{L} 在1+j\bar{x} 圆内（R_{L} > R_{0} ）时，选择集总参数元件网络(a)。

归一化\bar Z_{L} 在1+j\bar{x} 圆外（R_{L} < R_{0} ）时，选择集总参数元件网络(b)。

不论选择以上哪种电路，都需要将1+j\bar{b} （网络(a)）或1+j\bar{x} （网络(b)）圆关于原点（匹配点）旋转\pi ，获得“辅助圆”1-j\bar{b} 或1-j\bar{x} （圆心在负半实轴上坐标(0.333,0)处）。

我拿到史密斯圆图，先在标题旁边注上“注意估读”，在左右两端分别注上短路点和开路点，然后画上辅助圆。

第二步，问题一般给定负载阻抗值Z_{L}，设计方向一般为自负载端至源端。若选择(a)型网络，需将\bar Z_{L} 关于原点旋转\pi 弧度获得归一化导纳\bar Y_{L} ，以便与j\bar{B} 进行运算，整张图因此变为导纳圆图。若选择(b)型网络，首先面对的是j\bar{X} ，故只需要在图上标出归一化阻抗\bar Z_{L} 的对应点即可，此时整张图是阻抗圆图。

第三步，沿等电导圆（(a)型）或等电阻圆（(b)型），将\bar Y_{L} 或\bar Z_{L} 旋转到最初所作的“辅助圆”上，读取一正一负上下两个交点的归一化电抗值，减去负载对应点的归一化电抗，获得L型集总网络的\bar{B} （(a)型）或\bar{X} （(b)型）。

第四步，这两个交点关于原点旋转\pi 的中心对称点，为其相反性质的归一化值（(a)型导纳变阻抗，(b)型阻抗变导纳与第一步相同），求其共轭，就能得到L型集总网络的\bar{X} （(a)型）或\bar{B} （(b)型），各有上下一正一负两个值，且绝对值相同。

第五步，电抗元件提供了两个自由度，据此结合给定的工作角频率\omega =2\pi f，算出参数C=B/\omega 以及L=X/\omega 。若集总网络的\bar{X} 和\bar{B} 为负值，说明电抗元件处在与取正值相反的位置上，即

• 当\bar{X} >0, \bar{B} >0，则C=\bar{B} /(\omega Z_{0} ), L=\bar{X} Z_{0}/\omega, B_{C} =\bar{B} / Z_{0} , X_{L} =\bar{X} Z_{0} ；
  
• 当\bar{X} <0, \bar{B} <0，则C=-1 /(\omega\bar{X} Z_{0}), L=- Z_{0}/(\omega\bar{B} ), X_{C} =-\bar{X}Z_{0} , B_{L} =-\bar{B}/Z_{0} 。
  

解释：在本问题中，对圆图上的要素旋转\pi 弧度，实际上暗含了两种类型的预期。一种是变更圆图性质（阻抗-导纳）而不变更虚部正负取值，另一种是变更虚部取值（图下半部为负-图上半部为负）而不变更圆图性质。二者看似对立，本质是统一的，毕竟e^{-j\theta } 当\theta =\pi 时就能变换电抗与电纳性质了。不过该问题中还是分开考虑比较方便。

第一步作辅助圆属于第二种情况，圆图上半部变为负电抗区域，预先完成了第一个网络元件参数取负值的过程。然而，为什么可以沿用原来（图上部为正电抗区域时）的标度读取归一化电抗值？因为标度是相对的，差值却是绝对的。我们并未改变读取负载\bar Y_{L} 或\bar Z_{L} 的方式，与此相应，旋转180度后的“辅助圆”1-j\bar{b} 或1-j\bar{x} 也要置于相同体系中读取某点的值，这样才能保证差的正确。而在旋转180前后“末减初”的方法不变，所以差值仍然能用原标度读出。好比-8~-4与12~16，二者末减初都得4。

两种旋转180度的类型区分也可以解释，为何第三步中获取第二个网络元件参数时要取共轭值。因为先前作“辅助圆”旋转180度后在圆图上半部形成的负电抗区域，现在又旋转180度移回了圆图下半部，也就不存在“辅助圆”中预取负值的情况了。

（图片来自参考教材：Microwave Engineering 4th edition, David M. Pozar, John Wiley & Sons, Inc, 2011033196）