实分析-测度

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六、集类、环、代数

20、集类

\Omega 是某个取定的集合，称为基本空间。在 \Omega 上的某些子集组成的某些集合R称为 \Omega 上的一个集类。

21、环与代数

如果任意两个集合 E_{1}，E_{2} \in R 有 E_{1} \cup E_{2} \in R, E_{1} - E_{2} \in R ,则集类R是 \Omega 上的一个环。如果 \Omega \in R ，则R就是 \Omega 的代数或称为域。可以验证对于有限交（有限并）也是封闭的。

这里有限并封闭并不能推出可列并也是封闭的，有例子：

例1中的E对于有限并都是封闭的即 b_{n} \in E, n \in N,\bigcup_{i = 1}^{n}b_{i} \in E ，但是 \bigcup_{i = 1}^{\infty}b_{i} \notin E

例2中的E就满足了对可列并的封闭。

任意个环（代数）的交也是环（代数）。

定理18： \Omega 上的任意一个集类E，总能找到一个环（代数）R，使得（i） E \subset R ，（ii）对于任意包含E的环（代数） R^{'} 都有 R \subseteq R^{'} ，R称为E张成的最小环（代数）记做R(E)(F(E))。

如果R对于可列并也封闭，则R是 \Omega 上的一个 \sigma-环(代数) ，可以验证\sigma-环(代数) ，对于可列交也是封闭的。同理存在E张成的最小\sigma-环(代数)。记做 S(E)(F(E))

22、单调集类

如果对于集类E中任意单调集列 \left\{ E_{i} \right\} 都有 \lim_{n \rightarrow \infty}{E_{n}} \in E, 则E是单调集类。

同样存在E张成的最小单调集类，记做 M\left( E \right) 。

Lemma：

\sigma-环必是单调类，单调环必是\sigma-环

证明比较简单，略。

定理19：R是 \Omega 上的一个环，则S(R) = M(R)。

证明：夏道行书上的证明感觉有漏洞...，我自己整理的证明如下。

（i）因为S(R)是 \sigma-环，S(R)必是一个单调类而且 R\in S(R) ，而M(R)是R张成的最小单调类，因此 M(R)\subseteq S(R) 。因为单调环必是 \sigma-环，所以只要证明M(R)是一个环就可得到 S(R)\subseteq M(R) ,进而命题得证。

(ii)对任何的 A \subseteq \Omega ，设集类：

K(A)= \left\{ B |B ，A \cup B， A - B， B- A \subseteq M(R) \right\}

设 \left\{ B_{i} \right\} 是K(A)上的一个单调集列，由于 \lim_{n \rightarrow \infty}({A - B_{n}} )= A - \lim_{n \rightarrow \infty}{B_{n}} , \lim_{n \rightarrow \infty}{A \cup B_{n}} = A \cup \lim_{n \rightarrow \infty}{B_{n}} , 所以 A - \lim_{n \rightarrow \infty}{B_{n}} ， A \cup \lim_{n \rightarrow \infty}{B_{n}} \in K(A) ， \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}{B_{n}} \in K(A) ,因此K(A)是单调类。

(iii)当 A = E \in R 时，有 R \subseteq K(E) \subseteq M(R) ，但是K(E)又是一个单调类，所以 M(R) = K(E) 。

(iV)当 A = E \in M(R) 时，（a）因为 B \in R 时由（ii）可得K(E) \supseteq M(R)；（b）当 B \in M(R) - R 时，明显K(E)仍然是一个单调类，且K(E) \subseteq M(R)。由（a）（b）可知K(E)是一个环，且K(E) = M(R)，所以命题得证。

推理：M是单调类，R是环，如果 R \subseteq M 则 M \supseteq S(R)

23、 \pi-系， \lambda-系

对有限交封闭的集类叫 \pi-系；

包含 \Omega ，并且对差、可列并封闭的集类称为 \lambda-系

既是 \pi-系又是 \lambda-系的集类是一个\sigma-代数。

定理20： \pi-系张成的 \lambda-系等于 \pi-系张成的 \sigma-代数

七、测度

24 环的测度

定理21：

如果 \mu 是环（代数）R上的测度，则 \mu 满足：（i）有限可加性;（ii）单调性；（iii）可减性；（iV）次可列可加性：如果 E_{i} \subset R， E\subset R ，如果 \bigcup_{i}^{}E_{i} \supseteq E 则有 \mu(E) \leq \sum_{}^{}{\mu(E_{i})}

有限可加性到可列可加性的充要条件以及集合在空集连续的概念：

25、外测度

（1）R为 \Omega 上的一个环，定义H(R) = \left\{ E | E \subseteq \Omega, \exists \left\{ E_{i} \right\} , E_{i} \in R, E \subseteq \bigcup_{i}^{\infty}E_{i}\right\}

Lemma:

H(R)是一个 \sigma-环

（2）外测度