抽象代数1-3 预备知识

本节我们将介绍双射、同态的概念和等价关系与集合的分类。等价关系是将集合分类的主要手段，将来不管是通过子群的陪集分解群，或是通过群作用的轨道分解集合，使用的陪集、群作用的轨道实质上都是给了群或者集合的一些等价关系。

关于双射：可以先引入这么一个问题：“一个集合能否和它的真子集一样“大”？，这和下面的问题类似：

巴拿赫-塔尔斯基怪球：给一个实心的西瓜，切成5块之后，经过平移和旋转，能够组成两个和原来一模一样大的实心西瓜。

现在介绍抽象代数学需要的一些预备知识。包括：集合、映射与变换、运算、运算律、同态、等价关系与集合分类。重点是同态、等价关系与集合的分类。同态是保持代数系统结构的映射，而等价关系是将集合分类的主要手段，将来不管是通过子群的陪集分解群，或是通过群作用的轨道分解集合，使用的陪集、群作用的轨道实质上都是给了群或者集合的一些等价关系。

§1 集 合

定义1.1：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合。集合中的每个事物叫做这个集合的元素。
定义1.2：一个没有元素的集合叫做空集，记为 Ø ，空集是任一集合的子集。
习惯上用大写字母A，B，C…表示集合，用小写字母a，b，c…表示集合中的元素。
若a是集合A中的元素，则记为 a \in A ，否则记作 a\notin A 。

集合的要素：确定性、相异性(若A={a,b}，通常默认a,b是两个不同的元素)、无序性。

常见的数集一般用花写字体表示：整数： ℤ ；自然数： ℕ ；有理数： ℚ ；实数： ℝ ；复数： ℂ 。设F表示一个数集，F* 表示F中非零元素集合。

• 集合的关系

（1）集合的包含（蕴含）及相等

定义1.3：若集A中每个元素都属于B，则称A是B的子集，记为A⊆B.
定义1.4：设A⊆B,且存在a∈B，但是a∉A,则称A是B的真子集，记为A⊂B.
定义1.5：A=B⟺"A⊆B"且B⊆A.

（2）集合的幂集

定义1.6：以集合A的所有子集为元素的集合，称为A的幂集，记为P(A).

幂集的概念在点集拓扑中也出现过，实际上：设A为任意非空集合，则由A的所有子集组成的拓扑称为A上的离散拓扑。它是A上的最细拓扑。由此得到的拓扑空间称为离散拓扑空间。

集合A的元素个数称为A的阶数，简称阶，记为|A|。

若A有无限多元素，记作 | A | =+ \infty。

若|A|=n, 通过高中组合的知识，马上可以知道A的子集由元素构成，每个元素属于或者不属于这个子集合，就组成了不同的子集，所以A的所有子集，也就是幂集|P(A)|= 2^n 。

（3）集合的运算

• 集合的并： \[A \cup B = \left\{ {x\left| {x \in A \text{ 或 } x \in B} \right.} \right\}\] 。
• 集合的交： \[A \cap B = \left\{ {x\left| {x \in A 且 x \in B} \right.} \right\}\] 。
• 集合的差： \[A - B = \left\{ {x\left| {x \in A且x \notin B} \right.} \right\}\] 。
• 集合在全集内的补： \[A'（或\overline A ） = \left\{ {x\left| {x \in E且x \notin A} \right.} \right\}，其中{\rm{A}} \subseteq {\rm{E}}\] 。
• 集合的布尔和（对称差）(将来我们讲布尔代数时会用到)： \[A \oplus B = \left\{ {x\left| {x \in A或x \in B{\rm{ }}且x \notin A \cap B} \right.} \right\} = (A \cup B) - (A \cap B)\] 。

• 集合的笛卡尔积： \[A \times B = \left\{ {(a,b)\left| {a \in A，b \in B} \right.} \right\}\] 。

（4）集合的运算性质（这些性质通过画图很容易看出来）

• 幂等率 : A \cup A = A，A \cap A = A 。
• 交换律 : A \cup B = B \cup A，A \cap B = B \cap A 。
• 结合律 : (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)，(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) 。
• 分配律 : A \cap \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)，A \cup \left( {B \cap C} \right) = \left( {A \cup B} \right) \cap \left( {A \cup C} \right)
• 德∙ 摩根律: \left( {A \cup B} \right)' = A' \cap B', (A \cap B)' = A' \cup B'.

§2 映射与变换

定义2.1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它对应.
\[\begin{array}{l} f:A \to B \\ {\rm{ }}~~~~~~x \mapsto y \\ \end{array}\] y=f(x)称为元素x在映射f下的像，x称为y的原像(或逆像)。

例1 设 A= _ (ℝ) =\{n阶实方阵\}， B=\{0,1,2,…,n\} .

\[\begin{array}{l} f:A \to B \\ {\rm{ }}~~~~~M \mapsto rank(M) \\ \end{array}\] 是A到B的一个映射,（满射，非单射）.

例2 设 = =ℚ , f:A\rightarrow B,\frac{b}{a} \mapsto a + b 不是映射。

因为 \frac12=\frac24,\frac12\mapsto3,\frac24\mapsto6 ,同一元素映成了不同的两个像。

定义2.2 设 f:A→B 是一个映射，A中元素在映射f下所有的像的集合记为Im(f)(或f(A))，称为A的像集。如果 ( )=B，则称f是A到B的一个满射.<br/>定义2.3 设 f:A→B 是一个映射，如果对于A中任意两个元素x和y，只要x≠y，就有f(x)≠f(y)，则称f 是A到B的一个单射.

单射的实际上还可以用其逆否命题定义：单射等价于，若f(x)=f(y )，则x=y.

定义2.4 设映射 f:A→B 既是单的又是满的，则称f是一个双射（或一一映射）.
设 f:A→B :x →y 是双射，则对应法则 ^{− }: → : → 是B到A的一个双射，称为f的逆映射.

有了双射的定义以后，可以思考一个这样的问题：

• 能否建立从一个集合到它的真子集之间的双射？也就是说一个集合能否和它的真子集一样“大”？例如：整数比偶数多吗？整数和有理数是否可以建立双射？

例如： :ℤ→2ℤ， ↦2 ，\psi:ℤ→2ℤ+1， ↦2 +1 就是整数和偶数、整数和奇数之间的双射。

例3 整数和有理数的双射。只考虑正数情况，有理数都是按分子、分母和从小到大排序，当和相同时，按分子从小到大排序，当遇到和前面出现过的分数相等的分数时，舍掉即可。依照图中箭头的顺序依次和自然数可做一一对应。

拓展知识：

• 连续统假设

有理数与整数可以建立双射，测度论中认为它们基数相同。实数比有理数基数大。实数通常被认为是连续统，是否有介于整数基数和连续统基数的无穷大？这个猜想被称为连续统猜想，连续统假设与选择公理是独立的，因此无法用现有公理体系来判定连续统假设是否正确（哥德尔不完备定理）。

哥德尔不完备定理：任何一个系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含既不能证明是正确的，也不能证明是错误的命题。

• 巴拿赫-塔斯基怪球

在选择公理成立的情况下可以将一个三维实心球分为五个互不相交的部分，对于各部分做出恰当的平移或者旋转以后，我们可以将它们拼成和原来的实心球全等的两个球。

可惜的是，现实生活中是做不到把一个西瓜（或者钱币）一生二，二生三，乃至无穷。因为分成的5部分中有测度为0的部分，我们现实中是做不到的。

这个怪球看似奇怪，违反常理，但是如果按照刚才整数和偶数，奇数之间的双射来理解，就比较容易接收了，就好像整数集合一分为二，而两部分：偶数和奇数跟原来的某种意义上一样。

高等代数中，有个很好的定理：

有限维向量空间到同维数的有限维向量空间之间的线性映射是双射，当且仅当是单射，当且仅当是满射。单即满，满即单，从而是双射。

对于有限集合也有类似结论：

定理2.1 设A和B是两个有限集合，且|A|=|B|（元素个数相等）。则A到B的映射 f 是满射当且仅当它是单射。（从而是双射）

证明是很简单的。

下面考虑映射的合成，也叫映射的乘法。

定义2.6： 设 f是A到B 的一个映射，g是B 到C 的一个映射. 那么对于每一个x∈A, g(f(x))是C中的一个元素. 因此，对于每一x∈A ，就有C中唯一的确定的元素g(f(x))与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，称为 f 与g 的合成（乘积），记作g∘f.

还记得高等代数里线性映射和线性变换的区别么？线性变换就是线性空间V到自身的线性映射。类似的：

定义2.7 集合X到自身的映射，叫做集合X的一个变换。
定理2.2：含n个元素的任意集合上共有 n ! 个双射变换。

定理2.2是显然的，因为一个双射变换的等价于n个元素的一个全排列。

对有限集合上的双射变换，我们引入一个记号，并给它一个新名字：置换（其实就是双射变换，代数里同一类东西有时候会取好几个名字。。。不要觉得头大哦）。

设 \varphi 是n元集合 M=\{a_1,a_2,...,a_n\} 上的一个双射，为了简单，我们记 M=\{1,2,...,n\} 。令
\[\;\varphi {\rm{ = }}\left( \begin{array}{l} \;\;1\;\;\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;n\; \\ \varphi (1)\;\;\varphi (2)\;\; \cdots \;\;\;\varphi (n) \\ \end{array} \right)\] 表示M上的一个双射，第一行表示原象，第二行表示像的集合。

例如：3个元素集合上的所有双射可以表示成：

§3.代数运算

回忆下代数运算的定义。

定义3.1（代数运算）：设M是集合。如果有一个法则，它对M中任意两个有序元素a和b，在M中都有一个唯一确定的元素c与它们对应，则称这个法则是M上的一个代数运算，简称运算。可记为c=a∘b,或c=ab。
有代数运算的集合，称为代数系统。

运算具有封闭性!

例1：除法是否是实数集合上的代数运算？

（不是，因为对于实数对(a,0)，没有对应的元素， \frac{a}0 没有定义）

例2：矩阵的加法是否为全体n 阶可逆方阵的代数运算？

（不是，因为对于两个可逆矩阵的和不一定是可逆矩阵，因此运算不封闭）

例3：并集和交集是集合A的幂集P(A)上的代数运算。

例4：变换的乘法是所有变换的集合T(M)上的运算，也是全体双射变换的集合S(M)上的运算。

§4．运算律

• 结合律：设A是有运算的集合，对任意的a,b,c∈A,均有(ab)c= a(bc)。

例1：减法运算不满足结合律。

例2：李代数中的李括号运算不满足结合律。

我们本门课程里的运算都是满足结合律的，都属于结合代数的范畴。若集合M上的运算满足结合律，则对M中任意n个元素，无论如何加括号，结果都相等。

• 交换律：设A是有运算的集合，对任意的a,b∈A,均有 ab= ba。

例3：矩阵乘法不满足交换律。

例4：变换的乘法不满足交换律。

例如在上面的3个元素上的所有双射变换构成的集合上，乘法就不满足交换律。

\[{\varphi _{\rm{3}}}{\varphi _5}{\rm{ = }}\left( \begin{array}{l} 1\;\;\;2\;\;\;3 \\ 2\;\;\;1\;\;\;3 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} 1\;\;\;2\;\;\;3 \\ 2\;\;\;3\;\;\;1 \\ \end{array} \right){\rm{ = }}\left( \begin{array}{l} 1\;\;\;2\;\;\;3 \\ 1\;\;\;3\;\;\;2 \\ \end{array} \right){\rm{ = }}{\varphi _{\rm{2}}}\] ，而

\[{\varphi _5}{\varphi _3}{\rm{ = }}\left( \begin{array}{l} 1\;\;\;2\;\;\;3 \\ 2\;\;\;3\;\;\;1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} 1\;\;\;2\;\;\;3 \\ 2\;\;\;1\;\;\;3 \\ \end{array} \right){\rm{ = }}\left( \begin{array}{l} 1\;\;\;2\;\;\;3 \\ 3\;\;\;2\;\;\;1 \\ \end{array} \right){\rm{ = }}{\varphi _4}.\]

若集合M上的运算满足结合律和交换律，则M中任意n个元素做运算时，可以任意加括号和交换次序，结果不变。

• 分配律：设A是有两个运算：∘和⨁的集合，对任意的a,b,c∈ ,均有

∘( ⨁c)= (a∘b)⨁(a∘c); (左分配律)； ( ⨁c)∘a= (b∘a)⨁(c∘a); (右分配律)

分配律讨论的是两个运算的关系，我们遇到的运算基本都满足分配律，否则，研究一个集合，给两个没有关系的映射，给了两倍的麻烦，然后相互还没有关系，那就是吃力不讨好了。

§5 同态与同构

研究保持结构的映射是数学中的一个核心问题。

例如：想要研究蜂群的社会形态，我们可以建立蜂群与蚁群之间的映射，保持结构，例如把蜂后对应到蚁后，工蜂对应成工蚁。。那我们就可以从蚁群的形态来研究蜂群的形态。

定义5.1（同态） 设 ( ,∘), ( ̅,∘ ̅) 是两个代数系统。映射 ： → ̅ 保持运算，即对任意a,b∈M, ( ∘ )= ( ) ∘ ̅ ( ) 。则称φ是同态。

例1： \[\begin{array}{l} \varphi :{{\rm{M}}_n}(\mathbb{R} ) \to {\rm{\mathbb{R} }} \\ ~~~~~~~~~~~ A \mapsto |A| \\ \end{array}\] 关于矩阵乘法和实数乘法是（满）同态。

例2：设 M = {\mathbb{Q}^{\text{ + }}} (正有理数集)。 \varphi :M \to M,a \mapsto \frac{1} {a}. 关于加法是否是同态？关于乘法是否是同态？

同态是与运算紧密联系在一起的。例2中关于加法不是同态，但是关于乘法是同态。

在代数中，同态满射非常重要，因为它一般能保持像和原象之间的代数运算、代数结构、子结构。

定义2： 若φ是单射，称 φ是单同态；若φ是满射，称φ是满同态，若M和 M ̅ 之间存在满同态，则称它们是同态的，记为M∼ M ̅ 。
定理5.1 设（M,∘）,(M ̅,∘ ̅)是两个代数系统。若M∼ M ̅, 即M和M ̅之间存在满同态。则：（1） 若“∘”满足结合律，则“∘ ̅”也满足结合律；
（2）若“∘”满足交换律，则“∘ ̅”也满足交换律。
定理5.2 设（M,∘,⨁）,(M ̅,∘ ̅,⨁ ̅ )是两个代数系统。若M和M ̅之间存在满射，且这个满射对于两个运算都是同态。 若“∘”对“⨁”满足分配律，则“∘ ̅”也对“⨁ ̅”满足分配律。

同构也是代数学中非常重要的概念。同构的代数一定意义上我们认为是一样的。

定义3：设（M,∘）,(M ̅,∘ ̅)是两个代数系统。映射φ：M→M ̅既是单同态，又是满同态。则称φ是同构。此时，记为M≅M ̅.

例3： \varphi :\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z} ,n \mapsto 2n 是关于加法的同构，但是关于乘法不是同态。

同构满足：1）反身性: A≅A；2）传递性: A≅B, B≅C⟹A≅C；3）对称性： ≅ ⟹ B≅A。

(取逆映射 φ^{-1}:B⟶A ,易证它保持运算，是B到A的同构)

这实际上说明同构关系是一种等价关系。

§6 等价关系与集合的分类

等价关系是将集合、代数系统分成子集合、子代数系统的分类的主要手段。

定义6.1（关系） 设M是集合，有一个法则R，对任意的a,b∈M，总可以确定a与b是否符合这个法则，则称R是M的元素之间的一个关系。a，b符合关系，记为aRb或a~b。

关系说的是给两个元素，总能确定它们满足或者不满足这个法则。不能出现像“薛定谔的猫”那样处于生与死的叠加态那样模棱两可的情形。

例如整数集上的小于，等于、大于、整除、互素、同余等都是关系。

但是正有理数集合上 \frac{b} {a}R\frac{d} {c} \Leftrightarrow \frac{{b + d}} {{a + c}} < 1 不是关系（分数的不同的写法会导致有时候符合，有时候不符合法则R）。

最重要的一类关系是类似同构关系似的等价关系：

定义6.2：集合一个关系～叫做等价关系，如果～满足以下性质：
（1） 反身性： ~ ；（2） 对称性： ~ ⟹ ~ ；（3） 传递性： ~ , ~ ⟹ ~ 。

注意对称性说的是两个不同的元素。否则你会得到这样的错误结论：由对称性和传递性可以得到反身性：A~B, B~A⟹A~A.

现在思考给出我们班上同学的一些等价关系？

例如我们有3个班，定义A同学和B同学满足关系当且仅当A,B在同一班级。你会发现在等价关系下，我们教室里的同学分成了三个无交的班级。

定义6.3：将集合M 的全体元素分成若干个互不相交的非空子集，称每个这样的子集为M 的一个类。类的全体构成M的一个分类。
定义6.4：设R是集合M的等价关系，称[a]为a关于M的等价类，其中[a]=\{x∈M |xRa，a∈M\} .

集合的分类与集合的等价关系有下面的关系。

定理6.1（1）集合A的一个分类决定A的一个等价关系；
（２）集合A的一个等价关系决定A 的一个分类。

这个还是比较显然的，只证一下（2）.

证： \forall a \in A ，令 [a] = \{ x\in X| x Ra \} 。
（i） \forall a \in A ，由 aRa 知， a\in [a] ，从而 A=\bigcup_{a}^{}[a] 。接着证明不同的等价类相交为空集即可。
（ii）若 [a] \cap [b] \ne \emptyset ，设 c \in [a] \cap [b] 。则 cRa,cRb。\forall x\in [a], xRa,aRc，故xRc. 又 cRb ,从而 xRb,x\in [b], [a]\subseteq [b]. 同理 [b]\subseteq [a]。[a]=[b]。

最后看一个比较重要的等价关系。

例：设 \mathbb{Z} 是整数集， n\in \mathbb{Z^+} 。规定： aRb \Leftrightarrow a \equiv b(\bmod n) （即a,b除以n的余数相同，称a,b 模n同余）同余关系是等价关系，同余类称为模n剩余类。同余关系将 \mathbb Z 分成一些剩余类的集合（称为商集），得到的商集 \mathbb{Z}/R 记作 \mathbb{Z}_n .

\[{Z_n} = \{ [0],[1],[2], \cdots ,[n - 1]\} {\text{ = \{ }}\overline 0 {\text{,}}\overline 1 {\text{,}}\overline 2 {\text{,}} \ldots {\text{,}}\overline {n - 1} {\text{\} }}.\] 其中：

\overline 0 = \{ \cdots , - 2n, - n,0,n,2n, \cdots \} ; \\ \overline 1 = \{ \cdots , - 2n + 1, - n + 1,1,n + 1,2n + 1, \cdots \} ; \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \overline {n - 1} = \{ \cdots - n-1, - 1,n - 1,2n - 1, \cdots \} .

大家可以思考 \mathbb{Z}_n 能否定义加法和乘法？

参考文献：杨子胥. 近世代数, 第3版. 高等教育出版社, 2011。