（I）Banach空间和不动点定理 4: Schauder 不动点及其应用
在（I）Banach空间和不动点定理 2 : 不动点定理和钟摆问题中我们介绍了Banach不动点和它的应用，这个不动点的特点是需要算子具有很强的Lipschitz连续性而且它的Lipschitz的系数要小于1，这是一个非常强的结论。即使在一般的欧式空间中很多函数都是不满足这个条件的。我们希望得到更一般的“不动点”定理：在这一节中，我们我主要的目的是介绍Schauder不动点及其在微分方程／积分方程方面的应用。我们的目标是解下面两种方程：
一、Brouwer不动点 （有限维的Schauder不动点）
知乎上不是特别喜欢问：有什么形象理解方法吗？
一维：设M=[0,1]，h(x)=f(x)-x。 则我们可以发现h(0)\geq 0 而h(1)\leq 0。显然根据函数的联系性我们可以知道至少存在一个点使得h(x)=x。
二维：我们想象两张一摸一样的带坐标的橡皮，一个摊平放在桌上，一个在这个橡皮的正上方，使得下面橡皮上的每一点正上方都有对应一个点。你可以把上面的皮揉搓，拉长，皱起。但是不允许撕开或者超出下面橡皮的范围。那么至少存在一个点使得它对应的点和自己的坐标是一样的。
三维： 你有一杯茶，你拿着小勺子在里面慢慢搅动（保证不溢出），那么至少存在一个点是不会动。
这个定理的具体证明方法有很多种，可以借助代数拓扑，可以借助组合论Sperner Lemma，也可以用“stokes定理”就能证明出某个特殊情况。我会在下一节附上一个“简单的证”明。实际上Brouwer定理的证明都要用到一些“奇奇怪怪的”东西。
好了，少年们？你们是不是觉得无限维这样的结论也成立呢？NO NO NO。
一个反例：
好了，怎么办？难道就没有别的方法了吗？我们在上一节不是说过“紧性”和“有限维”很像吗？我们将引入一类新的算子，并且把Brouwer不动点推广到无限维空间的Schauder不动点。
二、紧算子和Schauder不动点
对于这种紧算子，我们有下面的不动点定理。
上一节中，我们学过一个点：“紧集”和“有限维空间”差不多，下面的结果说明“紧算子”和“有限维空间算子”差不多。
下面我们给出Shauder不动点的一个证明，这个证明是建立在Brouwder不动点的基础上的。
三、不动点的应用
好了，那么这个Schauder不动点有什么用呢？这大概是不动点定理里面最常用的一个。我们利用它的思路和之前的差不多，对于一个存在性问题，我们构造一个算子，把存在性问题变成不动点问题，然后解决这个不动点。
我们会在空间C[a,b]里面讨论紧算子，所以，我们第一个问题是：C[a,b]的预紧集是什么样子的？这个问题可以通过下面的定理回答：
1.积分方程：
在0.2 泛函分析简史(1) - 知乎专栏中我提及了这个方程的起源，我们在这里给出一个解答。
2.微分方程：
我们虽然用Banach不动点证明过微分方程的存在性定理，但是那个定理要求F是Lipschitz的，但是这个连续性有点过强了。下面的定理只需要它是连续的。
