有限群的线性表示1：表示与群代数

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放假了。上学期学了有限群的线性表示。这是一门要考试的课，所以做个简短的期末复习。

计划中的目录

表示与群代数
半单代数的结构
特征标理论
诱导表示与限制表示
应用：Burnside p^\alpha q^\beta 定理

参考

Konstantin Ardakov, Lecture Notes on B2.1 Introduction to Representation Theory (2020-2021)
丘维声，群表示论

有限群的表示论是群论和线性代数结合的产物。群是从“对称性”中抽象出来的代数结构。群表示论的核心课题，就是找到所有群在向量空间上的线性表示。

这门课的前置课程是线性代数，群论，环论和模论。在整个笔记中，k指代基域。G指代一个有限群。我们有时会考虑k是代数闭域，以及\operatorname{char} k \not|\ \ |G|的情况。在特征标理论中，我们只研究k = \mathbb{C}的情况。V指代一个k上的有限维向量空间。令\operatorname{GL}(V)为V上全体可逆线性变换构成的群。

若不加声明，所有向量空间均为k上的向量空间，当我们谈及维数时，均指k上的维数。例如当我们说“n维k[G]模V”，实际上是指\dim_k V = n。

定义 1.1 表示

设G是有限群，V是有限维向量空间。G在V上的>一个表示是指一个群同态
\rho: G \to \operatorname{GL}(V)
其中表示\rho的次数即V的维数\dim_kV。若\ker\rho=\{e_G\}，则称\rho是忠实的。

我们接下来将证明，给定一个V上群G的k表示，等价于在V上定义一个k[G]模结构，其中将要定义的k[G]是群G在域k上的群代数。群代数可以视为G在k上的“线性扩充”。

定义 1.2 群代数

设G是有限群。考虑k上以G为基自由生成的向量空间：
k[G] := \left\{ \sum_{g \in G}a_gg:\ a_g \in k \right\}
其上可定义乘法结构：
\left( \sum_{g \in G}a_gg \right)\left( \sum_{h \in G}b_hh \right) = \sum_{g \in G}\sum_{h \in G} (a_gb_h)(gh) = \sum_{g \in G}\left( \sum_{h \in G} a_hb_{h^{-1}g} \right) g
可以验证，这个乘法与k上的标量乘法相容。于是k[G]就成为k上的一个代数。

表示\rho: G \to \operatorname{GL}(k)可以线性地扩充到k[G]上。定义\rho^*: k[G] \to \operatorname{End}_k(V)：

\rho^*{\left( \sum_{g \in G}a_gg \right)} := \sum_{g \in G}a_g\rho(g)

易验证\rho^*是从k[G]到\operatorname{End}_k(V)的k代数同态。于是\rho^*定义了V上的一个左k[G]模结构：

\sum_{g \in G}a_gg \cdot v := \rho^*{\left(\sum_{g \in G} a_gg\right)}(v) = \sum_{g \in G} a_g \rho(g)(v), \quad\quad\quad v \in V,\ a_g \in k,\ g \in G

反过来，设k向量空间V是一个左k[G]模。则V上有自然的群同态\rho:G \to \operatorname{GL}(V)，由如下方式给出：

\rho(g)(v) := g \cdot v,\quad\quad\quad v \in V,\ g \in G

这是群G在V上的一个k表示。

这样，我们就把左k[G]模和群G的k表示自然对应了起来。以后我们会不加声明地交换使用这两个概念。

接下来给出一些群表示的重要栗子。

Example 1.3 群表示的例子

设G是一个有限群。
平凡表示： 群表示\mathbf{1}_G: G \to \operatorname{GL}(V)满足对于任意g \in G，\mathbf{1}_G(g)(v) = v，称为G的平凡表示。
正则表示： 群表示\rho: G \to \operatorname{GL}(k[G])满足\rho(g)\left( \sum_{h\in G}a_hh \right) = \sum_{h\in G} a_hgh，称为G的(左)正则表示。k[G]自身是一阶左k[G]自由模，称为左正则k[G]模，它的子模就是k[G]的左理想。
矩阵表示： 群表示\rho: G \to \operatorname{GL}_n(k) \cong M_n(k)^\times称为G的一个矩阵表示。
置换表示： 设X是一个有限集。考虑k上以X为基自由生成的向量空间：
k^{\oplus X} = \left\{ \sum_{x \in X}a_xx:\ a_x \in k \right\}
一个群作用\rho: G \to \operatorname{Sym}(X)可以线性地扩充成一个群表示\tilde{\rho}: G \to \operatorname{GL}\left(k^{\oplus X}\right)，由如下方式给出：
\rho(g){\left( \sum_{x \in X}a_xx \right)} := \sum_{x \in X}a_x(g\cdot x)
\rho称为G的一个置换表示。

群表示之间有同态映射：

定义 1.4 表示同态

设\rho: G \to \operatorname{GL}(V)和\sigma: G \to \operatorname{GL}(W)是群G的两个表示。若线性映射\varphi: V \to W使得对于任意g \in G，有\sigma(g)\circ\varphi = \varphi\circ\rho(g)，则称\varphi是表示\rho与\sigma之间的同态。若\varphi是双射，则称之为表示同构。

用模论的语言，表示同态\varphi: V \to W给出了左k[G]模V与W之间的一个模同态：

\varphi{\left( \left(\sum_{g \in G} a_gg\right) \cdot v \right)} = \sum_{g \in G}a_g(\varphi\circ\rho(g))(v) = \sum_{g \in G}a_g(\sigma(g)\circ\varphi)(v) = \left(\sum_{g \in G}a_gg\right) \cdot \varphi(v)

群表示有子表示和商表示：

定义 1.5 稳定子空间

设\rho: G \to GL(V)是一个群表示，它定义了V上的一个左k[G]模结构。设U \leqslant V是一个V的子空间。若对于任意g \in G和v \in U，有\rho(g)(v) \in U，那么U称为V的G稳定子空间。

定义 1.6 子表示，商表示

设\rho: G \to GL(V)是一个群表示。U \leqslant V是G稳定子空间。
由U提供的\rho的子表示，是指群同态\rho_U: G \to \operatorname{GL}(V)，满足\rho_U(g)(u):=\rho(g)(u)对所有g \in G和u \in U成立。换而言之，子空间U是V的左k[G]子模。
由U提供的\rho的商表示，是指群同态\rho_{V/U}: G \to \operatorname{GL}(V/U)，满足\rho_{V/U}(g)(v+U):=\rho(g)(v)+U对所有g \in G和v \in V成立。换而言之，商空间V/U是V的左k[G]商模。

定义 1.7 既约表示

若表示\rho: G \to GL(V)没有非平凡真G稳定子空间，则称之为既约表示。换而言之，作为左k[G]模，V是单模。

表示论的核心就是在至多同构的情况下找到群G的所有既约表示。

接下来我们给出表示论的第一个有趣的结论：

定理 1.8 Maschke定理

设G是有限群，且\operatorname{char} k \not|\ \ |G|。设V是k[G]模，U \leqslant V是V的k[G]子模。则存在V的k[G]子模W使得V = U \oplus W。

证明：

首先设Z是V中关于U的一个线性补空间，即V = U \oplus Z。设\pi_U:V \to V是这个直和分解到U上的投影。即对u \in U和z \in Z有\pi_U(u+z) = u。由|G|1_k \ne 0，可以定义线性变换\varphi: V \to V
\varphi(v) := \dfrac{1}{|G|}\sum_{g \in G}\rho(g)\circ \pi \circ \rho(g^{-1})(v)
容易验证\varphi是一个k[G]模同态，且\varphi也是一个从V到U的投影。设W := \ker\varphi，则由模的第一同构定理，W是V的k[G]子模。且由投影的性质有
V = \operatorname{im}\varphi \oplus \ker\varphi = U \oplus W

命题 1.9 半单模，完全可约表示

设A是k代数，V是左A模，且V \ne \{0\}。以下命题等价：
存在V的一族单A子模\{U_i: i\in I\}，使得 V = \bigoplus_{i \in I} U_i；
对V的任意A子模U，都存在A子模W使得V = U \oplus W。满足以上条件的A模称为半单模或者完全可约模。对于群代数A=k[G]，V上提供的表示\rho:G\to\operatorname{GL}(V)称为完全可约表示。

证明：

1\implies 2：设U是V的子模。由Zorn引理存在一个(集合包含意义下的)极大子模W使得U \cap W = \{0\}。我们要证V = U \oplus W。如不然，则存在一个单子模U_i \not\subset U \oplus W。于是U_i \cap (U \oplus W) = \{0\}，即U \cap (U_i \oplus W) = \{0\}。这与W的极大性矛盾。因此V = U \oplus W。
2\implies 1：首先我们证明V有至少一个单A子模。固定v \in V \setminus \{0\}，于是Av是V的一个循环子模。考虑A的一个极大左理想I，则Iv是一个Av的一个极大子模。由题设存在V的另一个子模W使得V = Iv \oplus W，于是
Av = Av \cap V = Av \cap (Iv \oplus W) = Iv \oplus (Av \cap W)
因此有A模同构：
Av \cap W \cong Av/Iv \cong (A/I)v
其中(A/I)v是单A模由I的极大性。故Av \cap W是V的子单模。
考虑集族及其上定义的偏序：
\mathscr S := \left\{ \{U_i: i \in I\} \subseteq \mathcal{P}(V):\ U_i \leq V \text{ 是单模，且 } \sum_{i \in I} U_i = \bigoplus_{i \in I} U_i \right\}
\{U_i: i \in I\}\leq_{\mathscr S}\{U_i: i \in J\} \iff I \subset J
由前面的论述有\mathscr S \ne \varnothing，因此Zorn引理推出\mathscr S有一个极大元\{U_i:i \in K\}。由题设存在V的另一个子模Z使得
V = \left( \bigoplus_{i \in K} U_i \right) \oplus Z
由\{U_i:i \in K\}的极大性，Z是V的单子模，因此命题得证。