有限群的线性表示1:表示与群代数
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放假了。上学期学了有限群的线性表示。这是一门要考试的课,所以做个简短的期末复习。
计划中的目录
- 表示与群代数
- 半单代数的结构
- 特征标理论
- 诱导表示与限制表示
- 应用:Burnside p^\alpha q^\beta 定理
参考
- Konstantin Ardakov, Lecture Notes on B2.1 Introduction to Representation Theory (2020-2021)
- 丘维声,群表示论
有限群的表示论是群论和线性代数结合的产物。群是从“对称性”中抽象出来的代数结构。群表示论的核心课题,就是找到所有群在向量空间上的线性表示。
这门课的前置课程是线性代数,群论,环论和模论。在整个笔记中,k指代基域。G指代一个有限群。我们有时会考虑k是代数闭域,以及\operatorname{char} k \not|\ \ |G|的情况。在特征标理论中,我们只研究k = \mathbb{C}的情况。V指代一个k上的有限维向量空间。令\operatorname{GL}(V)为V上全体可逆线性变换构成的群。
若不加声明,所有向量空间均为k上的向量空间,当我们谈及维数时,均指k上的维数。例如当我们说“n维k[G]模V”,实际上是指\dim_k V = n。
定义 1.1 表示
设G是有限群,V是有限维向量空间。G在V上的>一个表示是指一个群同态
\rho: G \to \operatorname{GL}(V)
其中表示\rho的次数即V的维数\dim_kV。若\ker\rho=\{e_G\},则称\rho是忠实的。
我们接下来将证明,给定一个V上群G的k表示,等价于在V上定义一个k[G]模结构,其中将要定义的k[G]是群G在域k上的群代数。群代数可以视为G在k上的“线性扩充”。
定义 1.2 群代数
设G是有限群。考虑k上以G为基自由生成的向量空间:
k[G] := \left\{ \sum_{g \in G}a_gg:\ a_g \in k \right\}
其上可定义乘法结构:
\left( \sum_{g \in G}a_gg \right)\left( \sum_{h \in G}b_hh \right) = \sum_{g \in G}\sum_{h \in G} (a_gb_h)(gh) = \sum_{g \in G}\left( \sum_{h \in G} a_hb_{h^{-1}g} \right) g
可以验证,这个乘法与k上的标量乘法相容。于是k[G]就成为k上的一个代数。
表示\rho: G \to \operatorname{GL}(k)可以线性地扩充到k[G]上。定义\rho^*: k[G] \to \operatorname{End}_k(V):
\rho^*{\left( \sum_{g \in G}a_gg \right)} := \sum_{g \in G}a_g\rho(g)
易验证\rho^*是从k[G]到\operatorname{End}_k(V)的k代数同态。于是\rho^*定义了V上的一个左k[G]模结构:
\sum_{g \in G}a_gg \cdot v := \rho^*{\left(\sum_{g \in G} a_gg\right)}(v) = \sum_{g \in G} a_g \rho(g)(v), \quad\quad\quad v \in V,\ a_g \in k,\ g \in G
反过来,设k向量空间V是一个左k[G]模。则V上有自然的群同态\rho:G \to \operatorname{GL}(V),由如下方式给出:
\rho(g)(v) := g \cdot v,\quad\quad\quad v \in V,\ g \in G
这是群G在V上的一个k表示。
这样,我们就把左k[G]模和群G的k表示自然对应了起来。以后我们会不加声明地交换使用这两个概念。
接下来给出一些群表示的重要栗子。
Example 1.3 群表示的例子
设G是一个有限群。
- 平凡表示: 群表示\mathbf{1}_G: G \to \operatorname{GL}(V)满足对于任意g \in G,\mathbf{1}_G(g)(v) = v,称为G的平凡表示。
- 正则表示: 群表示\rho: G \to \operatorname{GL}(k[G])满足\rho(g)\left( \sum_{h\in G}a_hh \right) = \sum_{h\in G} a_hgh,称为G的(左)正则表示。k[G]自身是一阶左k[G]自由模,称为左正则k[G]模,它的子模就是k[G]的左理想。
- 矩阵表示: 群表示\rho: G \to \operatorname{GL}_n(k) \cong M_n(k)^\times称为G的一个矩阵表示。
- 置换表示: 设X是一个有限集。考虑k上以X为基自由生成的向量空间:
k^{\oplus X} = \left\{ \sum_{x \in X}a_xx:\ a_x \in k \right\}
一个群作用\rho: G \to \operatorname{Sym}(X)可以线性地扩充成一个群表示\tilde{\rho}: G \to \operatorname{GL}\left(k^{\oplus X}\right),由如下方式给出:
\rho(g){\left( \sum_{x \in X}a_xx \right)} := \sum_{x \in X}a_x(g\cdot x)
\rho称为G的一个置换表示。
群表示之间有同态映射:
定义 1.4 表示同态
设\rho: G \to \operatorname{GL}(V)和\sigma: G \to \operatorname{GL}(W)是群G的两个表示。若线性映射\varphi: V \to W使得对于任意g \in G,有\sigma(g)\circ\varphi = \varphi\circ\rho(g),则称\varphi是表示\rho与\sigma之间的同态。若\varphi是双射,则称之为表示同构。
用模论的语言,表示同态\varphi: V \to W给出了左k[G]模V与W之间的一个模同态:
\varphi{\left( \left(\sum_{g \in G} a_gg\right) \cdot v \right)} = \sum_{g \in G}a_g(\varphi\circ\rho(g))(v) = \sum_{g \in G}a_g(\sigma(g)\circ\varphi)(v) = \left(\sum_{g \in G}a_gg\right) \cdot \varphi(v)
群表示有子表示和商表示:
定义 1.5 稳定子空间
设\rho: G \to GL(V)是一个群表示,它定义了V上的一个左k[G]模结构。设U \leqslant V是一个V的子空间。若对于任意g \in G和v \in U,有\rho(g)(v) \in U,那么U称为V的G稳定子空间。
定义 1.6 子表示,商表示
设\rho: G \to GL(V)是一个群表示。U \leqslant V是G稳定子空间。
- 由U提供的\rho的子表示,是指群同态\rho_U: G \to \operatorname{GL}(V),满足\rho_U(g)(u):=\rho(g)(u)对所有g \in G和u \in U成立。换而言之,子空间U是V的左k[G]子模。
- 由U提供的\rho的商表示,是指群同态\rho_{V/U}: G \to \operatorname{GL}(V/U),满足\rho_{V/U}(g)(v+U):=\rho(g)(v)+U对所有g \in G和v \in V成立。换而言之,商空间V/U是V的左k[G]商模。
定义 1.7 既约表示
若表示\rho: G \to GL(V)没有非平凡真G稳定子空间,则称之为既约表示。换而言之,作为左k[G]模,V是单模。
表示论的核心就是在至多同构的情况下找到群G的所有既约表示。
接下来我们给出表示论的第一个有趣的结论:
定理 1.8 Maschke定理
设G是有限群,且\operatorname{char} k \not|\ \ |G|。设V是k[G]模,U \leqslant V是V的k[G]子模。则存在V的k[G]子模W使得V = U \oplus W。
证明:
首先设Z是V中关于U的一个线性补空间,即V = U \oplus Z。设\pi_U:V \to V是这个直和分解到U上的投影。即对u \in U和z \in Z有\pi_U(u+z) = u。由|G|1_k \ne 0,可以定义线性变换\varphi: V \to V
\varphi(v) := \dfrac{1}{|G|}\sum_{g \in G}\rho(g)\circ \pi \circ \rho(g^{-1})(v)
容易验证\varphi是一个k[G]模同态,且\varphi也是一个从V到U的投影。设W := \ker\varphi,则由模的第一同构定理,W是V的k[G]子模。且由投影的性质有
V = \operatorname{im}\varphi \oplus \ker\varphi = U \oplus W
命题 1.9 半单模,完全可约表示
设A是k代数,V是左A模,且V \ne \{0\}。以下命题等价:
- 存在V的一族单A子模\{U_i: i\in I\},使得 V = \bigoplus_{i \in I} U_i;
- 对V的任意A子模U,都存在A子模W使得V = U \oplus W。 满足以上条件的A模称为半单模或者完全可约模。对于群代数A=k[G],V上提供的表示\rho:G\to\operatorname{GL}(V)称为完全可约表示。
证明:
1\implies 2:设U是V的子模。由Zorn引理存在一个(集合包含意义下的)极大子模W使得U \cap W = \{0\}。我们要证V = U \oplus W。如不然,则存在一个单子模U_i \not\subset U \oplus W。于是U_i \cap (U \oplus W) = \{0\},即U \cap (U_i \oplus W) = \{0\}。这与W的极大性矛盾。因此V = U \oplus W。
2\implies 1:首先我们证明V有至少一个单A子模。固定v \in V \setminus \{0\},于是Av是V的一个循环子模。考虑A的一个极大左理想I,则Iv是一个Av的一个极大子模。由题设存在V的另一个子模W使得V = Iv \oplus W,于是
Av = Av \cap V = Av \cap (Iv \oplus W) = Iv \oplus (Av \cap W)
因此有A模同构:
Av \cap W \cong Av/Iv \cong (A/I)v
其中(A/I)v是单A模由I的极大性。故Av \cap W是V的子单模。
考虑集族及其上定义的偏序:
\mathscr S := \left\{ \{U_i: i \in I\} \subseteq \mathcal{P}(V):\ U_i \leq V \text{ 是单模,且 } \sum_{i \in I} U_i = \bigoplus_{i \in I} U_i \right\}
\{U_i: i \in I\}\leq_{\mathscr S}\{U_i: i \in J\} \iff I \subset J
由前面的论述有\mathscr S \ne \varnothing,因此Zorn引理推出\mathscr S有一个极大元\{U_i:i \in K\}。由题设存在V的另一个子模Z使得
V = \left( \bigoplus_{i \in K} U_i \right) \oplus Z
由\{U_i:i \in K\}的极大性,Z是V的单子模,因此命题得证。
从完全可约表示的定义和Maschke定理我们有如下推论:
推论 1.10
设G是有限群,且\operatorname{char} k \not|\ \ |G|。则每个有限维表示\rho: G \to \operatorname{GL}(V)都是完全可约的。
定义 1.11 半单代数
设A是域k上的代数。若A的左模都是完全可约的,则称A是半单代数。
推论 1.12
设G是有限群,且\operatorname{char} k \not|\ \ |G|。则群代数k[G]是半单代数。
研究群表示\rho:G \to \operatorname{GL}(V),等价于研究k[G]模的结构。由Maschke定理,k[G]是半单代数。因此我们在下一节构建关于半单代数的理论,并以此研究群表示的结构。