抽象代数入门——循环群的积
看到感兴趣的数学问题，想想，算算，猜猜。
考虑二阶循环群G和五阶循环群H的乘积G×H，要作出这个群的乘法表。用到的工具是Mathematica。
先给出G和H的一种表示：
G = {1, -1};
H = E^(2 # I Pi/5) & /@ Range[5] // Union运算法则都是乘法，G×H可以表示为：
GH = Table[{g, h}, {g, G}, {h, H}] // Flatten[#, 1] & // Union这10个元素在乘法下是封闭的，可自行验证。乘法表的绘制方法，比较简单：
MM = MatrixForm[#] & /@ GH;
Rasterize[Style[TableForm[Table[MatrixForm[k*kk], {k, GH}, {kk, GH}], TableHeadings -> {MM, MM}], Blue], ImageSize -> 1500]
其中，(-1, E^((2 I π)/5))是十阶元素，因此这是一个十阶循环群。
实际上，这个群有4个十阶元素：
If[#^5 != {1, 1} && #^2 != {1, 1} && #^10 == {1, 1}, #, 0] & /@ GH在乘法作用下，复数E^(I Pi/3)可以生成一个6阶循环群，把这个群写出来：
T={-1, 1, -(-1)^(1/3), (-1)^(1/3), -(-1)^(2/3), (-1)^(2/3)}T与上面的G×H是同构的，虽然模样差别很大。但这里，我们考察G×T。
GT = Table[{g, h}, {g, G}, {h, T}] // Flatten[#, 1] & // Union;这是一个12阶群（读者可自行验证），乘法表如下，3000像素大图，可放大查看：
这个群没有12阶元素，因此不是12阶循环群。一个二阶元素和一个六阶元素的集合，可以生成这个群，由此可以画出它的Cayley图：
AbelianGroup[{2, 6}] // CayleyGraph
Mathematica画的Cayley图，默认不显示元素名称。
发布于 2021-02-13 15:02
