什么是张量？张量的本质和表象(张宏兵)

什么是张量？以如图二维为例，一个矢量的长度不受坐标系旋转等变换的影响。对于两个矢量，它们的各标积(自己与自己的标积或相互的标积)，以及叉积的大小，也不会受坐标系旋转等变换的影响，这是张量的来源。

坐标系旋转时，一个矢量的两个分量的绝对值会表现出此消彼长的特征，但它们的平方和保持不变，反映了矢量长度不变。(如果是双曲旋转，则两分量会表现出“此长彼长”的特征，而保持平方差不变)。

对于两个矢量，它们的标积或叉积，是与坐标系选择无关的，这是张量来源的基础。在坐标系中计算它们的各标积或叉积时，会用到两矢量的四个坐标分量的各种排列的两两乘积，这些乘积或它们的线性组合会在坐标系旋转时，表现出双重的此消彼长的特征，但它们的某些平方和会保持不变。总有一个不变的东西，来说明它是一个不变的实体(与坐标系无关的实体)。

比如，设A矢量的坐标是(a,b)，B矢量的坐标是(x,y)，计算标积和叉积时，会用到：ax,ay; bx, by 等乘积项。我们取这四项，随着坐标系旋转，可以看出这四项含有双重的此消彼长的特征，而它们的平方和保持不变。依附于矢量A与B的这四项就是一个二阶张量的四个坐标分量。

又如，我们取： a^2+b^2, ax+by; \space xa+yb, x^2+y^2 这四项，这四项是矢量A与矢量B的各标积。 当坐标系旋转时，这四项各项都不变，它们的平方和也保持不变。这四项也是一个二阶张量的四个坐标分量。这张量是以A与B为基矢的度规张量。

总之，设{(c,d),(e,f)}是一个二阶张量的坐标表示，那么，当坐标系变换时，要用变换矩阵F进行双重作用：F先分别作用于两个小括号，然后再作用于大括号。 大小括号都可以是横的或纵的(即行或列)，作用于行的矩阵与作用于列的矩阵是互逆的，前者右作用，后者左作用。

(对于笛卡尔直角坐标系，行括号转置就成为列括号，但斜交坐标系或非笛卡尔坐标系(如闵氏坐标系或者说双曲坐标系)就没有这么简单，在行列变换时，需要特别的换算)。

类推，可以有三阶张量等等。张量表示中，横括号的数量决定了此张量是几阶协变，纵括号的数量决定了此张量是几阶逆变。

下面补充说明张量的抽象定义。

延伸阅读：

初学者往往习惯于这样的定义：“什么是XX”。但是这样的定义方式会没完没了。物理上，概念定义终止于“操作定义”，比如，不能再问“时间是什么”，而是可以问“时间是如何测量的，测量时间的标准仪器和操作步骤是什么”，即最终要用现实中的行动模仿来代替“什么是XX”类型的概念定义。一个数学体系，也要终止于不定义“什么是XX”的概念，而是在公理中直接使用这些概念，公理规定了这些概念的使用方法、运算规则。 这是一种变相定义，更基础的抽象定义方法。

矢量与张量的抽象定义，就是“不进行传统式定义而直接用这些词，在公理中规定它们的关系和运算规则”。

比如，在一个矢量空间中，矢量加矢量等于一个矢量，一个数乘以矢量等于一个矢量，等等。一个基本矢量空间中，有矢量加法运算，有数乘矢量的运算，但还没有矢量与矢量的乘法运算。

然后规定矢量的标积。两矢量分别来自不同的矢量空间(例如列矢量空间与行矢量空间)，若规定可以做标积，即乘积得到一个数，那么，就是相互对偶的矢量空间。(一般中学学的矢量标积，两矢量来自于“自对偶”的矢量空间，所以忽略了对偶空间的概念。而学了线性代数，知道同维行矢量是一个矢量空间，同维列矢量是一个矢量空间，同维的列矢量空间与行矢量空间可以构成对偶空间，即它们之中分别拿出一个矢量，可以做标积)。

既然两个矢量的乘积可以得到一个数，那么可以规定，一个二阶张量与一个矢量的“缩并积”，可以得到一个矢量，再与一个矢量标积，最终可以得到一个数。缩并积是标积的推广。更高价的张量可以类似定义。 例如，三阶张量可以与一个矢量(某对偶空间中的)做缩并积，得到一个二阶张量，继续如此，最终成为标积而得到一个数。

注意这种抽象定义，不说张量是什么，而直接使用张量这个词，规定张量做什么运算可以得到什么，有什么性质，这样就变相定义了张量。抽象定义也叫公理化的定义。