群论 (Group Theory) 终极速成 / 浅谈洛伦兹群 (Lorentz group) 与洛伦兹代数

序言

我会严格区分张量与它的分量系数, 绝不会出现指着张量的分量系数叫矩阵的情况.

如果你看到一个带指标的东西, 比如说 \[{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\], 被我称为张量,
那它去掉指标后的 \[\mathcal{M}\] 表示的一定是一个里边儿装了一堆张量的矩阵.

早就想写洛伦兹群的相关内容了, 主要是洛伦兹群与相对论高度绑定了, 所以很多涉及相对论的课程或多或少都要提一点儿洛伦兹群的内容, 但是呢, 作为背景知识如果讲的太细太长又喧宾夺主了, 然后通常教室里学过群论的同学其实挺··· 不多的^[1], 所以最后就只能东删一点儿西糊弄一下, 几个符号混用滥用, 结果又稀里糊涂地推出了正确的结论. 搞得整个理论构架乌烟瘴气的, 然后不同类型的混乱之间再相互交流··· 最后反正就是有点儿群魔乱舞的味道了.

所以虽然我懂的也不多, 讲得也应该会比较浅, 但还是想至少, 能把这个理论的框架彻底捋清楚. 然后就是关于讲述的过程, 我希望能用一些更清晰直观的方法来展现, 比如说我一直都不太喜欢那种动不动就取一个无穷小变换之类的做法, 我会试着避开它. 主要就是希望能让大家从群表示论的角度搞清楚每个对象在这个数学结构所扮演的角色, 比如什么是旋量什么是覆盖群以及不同表示之间的关系等.

为此我们就要先介绍群本身, 然后介绍李代数的结构, 再从李代数引出覆盖群, 接着通过直和分解找到所有的李代数的表示, 再由李代数的表示得到所有覆盖群的表示, 最后再拿出一部分覆盖群的表示做洛伦兹群的表示, 剩下的做洛伦兹群的旋量表示. 然后到场论可就简单咯, 把这些概念一搬上去, 直接量子化就是了. 总之流程就是这么个流程, 中间肯定还要补充很多类似于克利福德代数与旋量群等内容, まあ··· 慢慢来吧.

我开头先介绍一下接下来在本文中会碰到的物理量的身份吧, 全文看完再回来看这里也行:

洛伦兹变换 \[\Lambda \in \text{O}\left( 1,3 \right)\]:

洛伦兹变换 \[\Lambda \] 是闵氏时空上的 (1,1) 型张量, 可看作一个 \[4\times 4\] 的矩阵.
洛伦兹变换的分量系数 \[{{\Lambda }^{\mu }}_{\nu }\] 是数域中的数字.

洛伦兹变换的生成元 \[\mathcal{X}\in \mathfrak{o}\left( 1,3 \right)\]:

生成元 \mathcal{X} 是洛伦兹代数里的元素, 洛伦兹代数是李代数, 即一个定义有李括号的线性空间.
生成元 \mathcal{X} 也是闵氏时空上的 (1,1) 型张量, 可看作一个 \[4\times 4\] 的矩阵.
生成元 \mathcal{X} 可以通过指数映射得到洛伦兹变换: \[\Lambda ={{\text{e}}^{\text{i}\mathcal{X}}}\].
生成元的分量系数 \[{{\mathcal{X}}^{\mu }}_{\nu }\] 是数域中的数字.

洛伦兹代数的生成元基底 \[{{\mathcal{J}}_{i}},{{\mathcal{K}}_{i}}\] 与其系数 \[{{\theta }^{i}},{{\vartheta }^{i}}\], 其中 \[i\in \left\{ 1,2,3 \right\}\]:

基底 \[{{\mathcal{J}}_{i}},{{\mathcal{K}}_{i}}\] 都是洛伦兹变换的生成元.
基底 \[{{\mathcal{J}}_{i}},{{\mathcal{K}}_{i}}\] 都是洛伦兹代数里面的元素, 即 \[{{\mathcal{J}}_{i}},{{\mathcal{K}}_{i}}\in \mathfrak{o}\left( 1,3 \right)\].
基底 \[{{\mathcal{J}}_{i}},{{\mathcal{K}}_{i}}\] 都是闵氏时空上的 (1,1) 型张量, 可看作 \[4\times 4\] 的矩阵.
基底的分量系数 \[{{\left( {{\mathcal{J}}_{i}} \right)}^{\mu }}_{\nu },{{\left( {{\mathcal{K}}_{i}} \right)}^{\mu }}_{\nu }\] 都是数域中的数字.
\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}
系数 \[{{\theta }^{i}},{{\vartheta }^{i}}\] 都是数域中的数字.
二者通过线性组合得到洛伦兹变换的一般生成元 \[\mathcal{X}={{\theta }^{i}}{{\mathcal{J}}_{i}}+{{\vartheta }^{i}}{{\mathcal{K}}_{i}}\in \mathfrak{o}\left( 1,3 \right)\].

洛伦兹代数的生成元基底 \[{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\] 与其系数 \[{{\omega }_{\mu \nu }}\], 其中 \[\mu ,\nu \in \left\{ 1,2,3,4 \right\}\]:

基底 \[{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\]是洛伦兹变换的生成元.
基底 \[{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\]是洛伦兹代数里面的元素, 即 \[{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\in \mathfrak{o}\left( 1,3 \right)\].
基底 \[{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\]是闵氏时空上的 (1,1) 型张量, 可看作 \[4\times 4\] 的矩阵.
基底的分量系数 \[{{\left( {{\mathcal{M}}^{\mu \nu }} \right)}^{\rho }}_{\sigma }\] 则是数域中的数字.
基底去掉指标后的 \[\mathcal{M}\] 则是一个里边儿装了一堆张量的矩阵.
基底 \[{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\] 与前一种基底的联系为 \[{{\mathcal{M}}^{ij}}\equiv {{\varepsilon }^{ijk}}{{\mathcal{J}}_{k}},\ {{\mathcal{M}}^{0i}}\equiv {{\mathcal{K}}_{i}},\ {{\mathcal{M}}^{i0}}\equiv -{{\mathcal{M}}^{0i}}\].
\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}
系数 \[{{\omega }_{\mu \nu }}\] 是数域中的数字.
系数去掉指标后的 \[\omega \] 是闵氏时空上的的 (0,2) 型张量, 可看作 \[4\times 4\] 的矩阵.
系数 \[{{\omega }_{\mu \nu }}\] 与前一种系数的联系为 \[{{\omega }_{ij}}\equiv {{\varepsilon }_{ijk}}{{\theta }^{k}},\ {{\omega }_{0i}}\equiv {{\vartheta }^{i}},\ {{\omega }_{i0}}\equiv -{{\omega }_{0i}}\].
系数 \[{{\omega }_{\mu \nu }}\] 与度规配合得到 \[{{\omega }^{\mu }}_{\nu }={{g}^{\mu \rho }}{{\omega }_{\rho \nu }}=-\text{i}{{\mathcal{X}}^{\mu }}_{\nu }\].
\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}
二者通过线性组合得到一般生成元 \[\mathcal{X}={{\theta }^{i}}{{\mathcal{J}}_{i}}+{{\vartheta }^{i}}{{\mathcal{K}}_{i}}=\frac{1}{2}{{\omega }_{\mu \nu }}{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\in \mathfrak{o}\left( 1,3 \right)\].

总结:

数字: \[{{\Lambda }^{\mu }}_{\nu },{{\mathcal{X}}^{\mu }}_{\nu },{{\theta }^{i}},{{\vartheta }^{i}},{{\omega }_{\mu \nu }},{{\left( {{\mathcal{M}}^{\mu \nu }} \right)}^{\rho }}_{\sigma }\].
矩阵: \[\Lambda ,\mathcal{X},{{\mathcal{J}}_{i}},{{\mathcal{K}}_{i}},{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }},\omega \].
矩阵的矩阵: \[\mathcal{M}\].

目録

15. 浅谈洛伦兹群 (Lorentz group)

15.1. 洛伦兹群的定义
15.2. 洛伦兹群对应的流形分为四块儿

16. 洛伦兹代数

16.1. 洛伦兹代数的定义
16.2. 洛伦兹代数的基矢
16.3. 洛伦兹代数的李括号与直和分解

[附录 K] 证明 \[{{\left( {{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{\rho \mu }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }-{{g}^{\sigma \mu }}{{\delta }^{\rho }}_{\nu } \right)\]

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15. 浅谈洛伦兹群 (Lorentz group)

今后只要牵扯到闵氏时空, 即配上闵氏度规 \[g=\text{diag}\left( 1,-1,-1,-1 \right)\] 的 \[{{\mathbb{R}}^{4}}\],
就默认指标 \[\left\{ \mu ,\nu ,\rho ,\sigma ,\tau \right\}\] 取 \[\left\{ 0,1,2,3 \right\}\], 而 \[\left\{ i,j,k,l \right\}\] 取 \[\left\{ 1,2,3 \right\}\].

15.1. 洛伦兹群的定义:

✦ \[\underbrace{\text{O}\left( 1,3 \right)\equiv \left\{ \left. \Lambda \ \right|\ \Lambda \in \text{GL}\left( 4,\mathbb{R} \right),{{g}_{\mu \nu }}{{\Lambda }^{\mu }}_{\rho }{{\Lambda }^{\nu }}_{\sigma }={{g}_{\rho \sigma }} \right\}}_{\dim\text{O}\left( 1,3 \right)=6}\]

其中的度规张量矩阵 \[g=\text{diag}\left( 1,-1,-1,-1 \right)\] , 作为矩阵显然有 \[{{g}^{-1}}={{g}^{\text{T}}}=g\].

本质上是闵氏时空的保度规线性变换群, 度规空间与指标运算见 Masaki Notation.

物理上的定义动机见 [東雲正樹 - 从 Boost 到洛伦兹群, ようこそ Minkowski パークへ].

15.2. 洛伦兹群对应的流形分为四块儿:

✦ 从保度规条件 \[{{\Lambda }^{\text{T}}}g\Lambda =g\to {{g}_{\mu \nu }}{{\Lambda }^{\mu }}_{\rho }{{\Lambda }^{\nu }}_{\sigma }={{g}_{\rho \sigma }}\] 可以得到一条对分量 \[{{\Lambda }^{0}}_{0}\] 的限制:

\[1={{g}_{\mu \nu }}{{\Lambda }^{\mu }}_{0}{{\Lambda }^{\nu }}_{0}={{\left( {{\Lambda }^{0}}_{0} \right)}^{2}}-\sum\limits_{i}{{{\left( {{\Lambda }^{i}}_{0} \right)}^{2}}}\Rightarrow {{\left( {{\Lambda }^{0}}_{0} \right)}^{2}}=1+\sum\limits_{i}{{{\left( {{\Lambda }^{i}}_{0} \right)}^{2}}}\ge 1\]

这即是说洛伦兹变换必有 \[{{\Lambda }^{0}}_{0}\ge 1\ \ \text{or}\ \ {{\Lambda }^{0}}_{0}\le -1\], 可以看到参数间缺了一块儿.
所以这里就不连通了, 由此可将洛伦兹群分为 \[{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right),{{\text{O}}^{-}}\left( 1,3 \right)\] 两份(非连通)流形,
这里的 \[+-\] 表示的就是 \[{{\Lambda }^{0}}_{0}\] 的正负, 显然后者不存在恒等元所以不构成群.

可以称 \[{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right)\] 为保时向 (orthochronous) 洛伦兹群, 而不构成群的 \[{{\text{O}}^{-}}\left( 1,3 \right)\] 则称之为洛伦兹群的反时向 (antichronous) 分支.

✦ 从保度规条件^[2]还可以确定行列式的取值:

\[\left| {{\Lambda }^{\text{T}}}g\Lambda \right|=\left| g \right|\Rightarrow {{\left| \Lambda \right|}^{2}}\left| g \right|=\left| g \right|\Rightarrow {{\left| \Lambda \right|}^{2}}=1\], 即有 \[\left| \Lambda \right|=\pm 1\].

这和以前的 \[\text{O}\left( 3 \right)\] 到 \[\text{SO}\left( 3 \right)\] 的情况很类似, 也以行列式的值为标准来分成两份流形.
其中 \[\left| \Lambda \right|=1\] 的记作 \[\text{SO}\left( 1,3 \right)\], 这个大家都懂, 我们称之为固有 (proper) 洛伦兹群.
而 \[\left| \Lambda \right|=-1\] 的那块儿就称之为洛伦兹群的非固有 (improper) 分支.

✦ 结合上述两点考虑我们可以将洛伦兹群 \[\text{O}\left( 1,3 \right)\] 分为四块儿连通流形:

但实际上我们今后基本上只需要研究其中的一块儿, 即所谓的固有保时向分支 \[\text{S}{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right)\].

这是因为另外三块儿都可以通过两个确定的洛伦兹变换作用在 \[\text{S}{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right)\] 上来得到.
\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}
更重要的是, 现实世界的参考系变换绝对是保时向且固有的,
你不能说哪个参考系的时间反着走的吧, 也不可能有谁活在镜子 (宇称变换后的世界) 里.

这俩确定的洛伦兹变换分别为:

(1). 时间反演 (time reversal) 变换 \[\mathcal{T}={{\mathcal{T}}^{-1}}=\text{diag}\left( -1,1,1,1 \right)\].
(2). 宇称 (parity) 变换 \[\mathcal{P}={{\mathcal{P}}^{-1}}=\text{diag}\left( 1,-1,-1,-1 \right)\].
但要认识到, 这俩都不是度规 [(0,2) 型张量], 它们本质上都是洛伦兹变换 [(1,1) 型张量].

通过上面两个特殊的洛伦兹变换与 \[\text{S}{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right)\] 可以将洛伦兹群分为:

(1). 固有保时向 (proper orthochronous) 洛伦兹群: \[\text{S}{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right)\].
(2). 非固有反时向 (proper antichronous) 分支: \[\mathcal{T}\text{S}{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right)\].
(3). 非固有保时向 (improper orthochronous) 分支: \[\mathcal{P}\text{S}{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right)\].
(4). 固有反时向 (improper antichronous) 分支: \[\mathcal{T}\mathcal{P}\text{S}{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right)\].

可能有人要问了, 固有与否不就是行列式差一个符号? 那为啥宇称变换要三个 -1 ?

Well, 四个 -1 首先排除, 因为这样把时间反演的活儿也干了, 而且还没改变行列式取值.
空间上俩 -1 的也要排除, 因为这样也改变不了行列式的取值.
空间上一个 -1 其实可以的, 但与三个 -1 是等价的, 这也是为啥宇称变换也叫镜面反射.
比如说你给 z 轴上个 -1, 那你再加一个绕 z 轴转 \[\pi \] 不就是三个 -1 的 \[\mathcal{P}\] 吗?
总之宇称变换的本意是改变三维空间的定向 (orientation),
左手坐标系变右手坐标系这样变换到镜子世界里的过程就叫改变空间定向.

16. 洛伦兹代数

16.1. 洛伦兹代数的定义:

✦ 李代数是李群恒等元的切空间, 空间内的李群生成元是与恒等元处相切的矢量:

我们知道洛伦兹群的单参子群的一般形式可以设为 \[\Lambda \left( t \right)={{\text{e}}^{\text{i}t\mathcal{X}}}\].

代入保度规条件得 \[{{\left( {{\text{e}}^{\text{i}t\mathcal{X}}} \right)}^{\text{T}}}g{{\text{e}}^{\text{i}t\mathcal{X}}}=g\] ,
然后关于参数 t 求导得 \[{{\left( \text{i}\omega {{\text{e}}^{\text{i}t\mathcal{X}}} \right)}^{\text{T}}}g{{\text{e}}^{\text{i}t\mathcal{X}}}+{{\left( {{\text{e}}^{\text{i}t\mathcal{X}}} \right)}^{\text{T}}}g\text{i}\omega {{\text{e}}^{\text{i}t\mathcal{X}}}=0\],
然后令参数 \[t=0\], 得到 \[{{\mathcal{X}}^{\text{T}}}g=-g\mathcal{X}\] 或 \[{{\omega }^{\text{T}}}=-g\omega {{g}^{-1}}\].
进一步有 \[{{\mathcal{X}}^{\text{T}}}=-g\mathcal{X}g\], 这就是全体生成元都满足的条件.

由此我们就找到了洛伦兹代数 \[\mathfrak{o}\left( 1,3 \right)\equiv \left\{ \left. \mathcal{X}\ \right|\mathcal{X}\in \text{End}\left( {{\mathbb{R}}^{4}} \right),{{\mathcal{X}}^{\text{T}}}=-g\mathcal{X}g \right\}\]^[3].

你会发现, 连着度规一起看就类似 \[\text{O}\left( 4 \right)\] 的李代数, 即 \[\mathfrak{o}\left( 4 \right)=g\mathfrak{o}\left( 1,3 \right)\].
就是说 \[{{\left( g\mathcal{X} \right)}^{\text{T}}}=-g\mathcal{X}\] 就是 \[\mathfrak{o}\left( 4 \right)\] 内元素满足的条件.
写成分量式即 \[{{\left( {{\mathcal{X}}^{\text{T}}} \right)}_{\mu }}^{\nu }{{\left( {{g}^{\text{T}}} \right)}_{\nu \rho }}=-{{g}_{\mu \nu }}{{\mathcal{X}}^{\nu }}_{\rho }\Rightarrow {{\mathcal{X}}_{\nu \mu }}=-{{\mathcal{\mathcal{X}}}_{\mu \nu }}\].
\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}
注意 \[\Lambda ={{\text{e}}^{\text{i}t\mathcal{X}}}=\sum\limits_{n=0}{\frac{{{\left( \text{i}t \right)}^{n}}}{n!}{{\mathcal{X}}^{n}}}\] 作为 (1,1) 型张量, 则说明 \[\mathcal{X}\] 必然是 (1,1) 型张量,
由此确定指标结构 \[\mathcal{X}\to {{\mathcal{X}}^{\mu }}_{\nu }\] 进一步有 \[{{\mathcal{X}}^{\text{T}}}\to {{\left( {{\mathcal{X}}^{\text{T}}} \right)}_{\mu }}^{\nu }\].

应该都知道 \[\mathfrak{s}\mathfrak{o}\left( 1,3 \right),\mathfrak{o}\left( 1,3 \right),\mathfrak{s}{{\mathfrak{o}}^{+}}\left( 1,3 \right)\] 都是一回事吧? 毕竟一个群只有一个恒等元.

16.2. 洛伦兹代数的基矢:

✦ 我们知道 \[\dim\text{O}\left( 1,3 \right)=6\], 所以就是要找六个独立生成元作为基矢^[4].

以前的 \[\text{SO}\left( 3 \right)\] 就是三个转动对应的生成元, 现在那仨还在, 因为 \[\text{SO}\left( 3 \right)\subset \text{S}{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right)\].

到洛伦兹群的情况就是三个转动与三个 boost , 这里我们全部写出来:

(1). 绕 x 轴转动: \[{{\Lambda }_{\text{R}1}}\left( {{\theta }^{1}} \right)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos {{\theta }^{1}} & \sin {{\theta }^{1}} \\ 0 & 0 & -\sin {{\theta }^{1}} & \cos {{\theta }^{1}} \\ \end{matrix} \right]\].
(2). 绕 y 轴转动: \[{{\Lambda }_{\text{R}2}}\left( {{\theta }^{2}} \right)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos {{\theta }^{2}} & 0 & -\sin {{\theta }^{2}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \sin {{\theta }^{2}} & 0 & \cos {{\theta }^{2}} \\ \end{matrix} \right]\].
(3). 绕 z 轴转动: \[{{\Lambda }_{\text{R}3}}\left( {{\theta }^{3}} \right)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos {{\theta }^{3}} & \sin {{\theta }^{3}} & 0 \\ 0 & -\sin {{\theta }^{3}} & \cos {{\theta }^{3}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\].
(4). 沿 x 轴 boost: \[{{\Lambda }_{\text{B}1}}\left( {{\vartheta }^{1}} \right)=\left[ \begin{matrix} \cosh {{\vartheta }^{1}} & -\sinh {{\vartheta }^{1}} & 0 & 0 \\ -\sinh {{\vartheta }^{1}} & \cosh {{\vartheta }^{1}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\].
(5). 沿 y 轴 boost: \[{{\Lambda }_{\text{B}2}}\left( {{\vartheta }^{2}} \right)=\left[ \begin{matrix} \cosh {{\vartheta }^{2}} & 0 & -\sinh {{\vartheta }^{2}} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sinh {{\vartheta }^{2}} & 0 & \cosh {{\vartheta }^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\].
(6). 沿 z 轴 boost: \[{{\Lambda }_{\text{B}3}}\left( {{\vartheta }^{3}} \right)=\left[ \begin{matrix} \cosh {{\vartheta }^{3}} & 0 & 0 & -\sinh {{\vartheta }^{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\sinh {{\vartheta }^{3}} & 0 & 0 & \cosh {{\vartheta }^{3}} \\ \end{matrix} \right]\].

然后我们直接写出它们对应的六个生成元:

(1). 绕 x 轴转动生成元: \[{{\mathcal{J}}_{1}}={{\left. -\text{i}\frac{\partial }{\partial {{\theta }^{1}}} \right|}_{{{\theta }^{1}}=0}}{{\Lambda }_{\text{R}1}}\left( {{\theta }^{1}} \right)=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\text{i} \\ 0 & 0 & \text{i} & 0 \\ \end{matrix} \right]\].
(2). 绕 y 轴转动生成元: \[{{\mathcal{J}}_{2}}={{\left. -\text{i}\frac{\partial }{\partial {{\theta }^{2}}} \right|}_{{{\theta }^{2}}=0}}{{\Lambda }_{\text{R}2}}\left( {{\theta }^{2}} \right)=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \text{i} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\text{i} & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]\].
(3). 绕 z 轴转动生成元: \[{{\mathcal{J}}_{3}}={{\left. -\text{i}\frac{\partial }{\partial {{\theta }^{3}}} \right|}_{{{\theta }^{3}}=0}}{{\Lambda }_{\text{R}3}}\left( {{\theta }^{3}} \right)=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\text{i} & 0 \\ 0 & \text{i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]\].
(4). 绕 x 轴 Boost 生成元: \[{{\mathcal{K}}_{1}}={{\left. -\text{i}\frac{\partial }{\partial {{\vartheta }^{1}}} \right|}_{{{\vartheta }^{1}}=0}}{{\Lambda }_{\text{B}1}}\left( {{\vartheta }^{1}} \right)=\left[ \begin{matrix} 0 & \text{i} & 0 & 0 \\ \text{i} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]\].
(5). 绕 y 轴 Boost 生成元: \[{{\mathcal{K}}_{2}}={{\left. -\text{i}\frac{\partial }{\partial {{\vartheta }^{2}}} \right|}_{{{\vartheta }^{2}}=0}}{{\Lambda }_{\text{B}2}}\left( {{\vartheta }^{2}} \right)=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \text{i} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{i} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]\].
(6). 绕 z 轴 Boost 生成元: \[{{\mathcal{K}}_{3}}={{\left. -\text{i}\frac{\partial }{\partial {{\vartheta }^{3}}} \right|}_{{{\vartheta }^{3}}=0}}{{\Lambda }_{\text{B}3}}\left( {{\vartheta }^{3}} \right)=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & \text{i} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{i} & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]\].
不难看出前面仨都是老朋友了, 就是以前的 \[\text{SO}\left( 3 \right)\] 生成元.

我们选 \[{{\mathcal{J}}_{i}},{{\mathcal{K}}_{i}},i\in \left\{ 1,2,3 \right\}\] 作基底, 即 \[\mathfrak{o}\left( 1,3 \right)=\text{span}\left( {{\mathcal{J}}_{1}},{{\mathcal{J}}_{2}},{{\mathcal{J}}_{3}},{{\mathcal{K}}_{1}},{{\mathcal{K}}_{2}},{{\mathcal{K}}_{3}} \right)\].

这意味着 \[\forall \Lambda \in \text{S}{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right)\] 可以表达为 \[{{\text{e}}^{\text{i}\mathcal{X}}}={{\text{e}}^{\text{i}{{\theta }^{i}}{{\mathcal{J}}_{i}}+\text{i}{{\vartheta }^{i}}{{\mathcal{K}}_{i}}}}\].
上面以及接下来就懒得写参数 t 了, 毕竟生成元的线性组合还是生成元是个常识.
首先六个生成元都是独立的, 然后我们很容易验证 \[{{\theta }^{i}}{{\mathcal{J}}_{i}}+{{\vartheta }^{i}}{{\mathcal{K}}_{i}}\in \mathfrak{o}\left( 1,3 \right)\],
因为六个生成元均满足 \[\left\{ \begin{align} & {{\mathcal{J}}_{i}}^{\text{T}}=-g{{\mathcal{J}}_{i}}g \\ & {{\mathcal{K}}_{i}}^{\text{T}}=-g{{\mathcal{K}}_{i}}g \\ \end{align} \right.\], 所以它们的线性组合 \[\mathcal{X}\] 肯定也满足.
然后作为例子你可以试试看, 容易验证 \[{{\text{e}}^{\text{i}{{\vartheta }^{1}}{{\mathcal{K}}_{1}}}}=\sum\limits_{n}{\frac{{{\left( {{\vartheta }^{1}} \right)}^{n}}}{n!}{{\left( {\rm i}{{\mathcal{K}}_{1}} \right)}^{n}}}={{\Lambda }_{\text{B}1}}\].
\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}
以前这种矩阵级数我都是手把手算出来的, 现在实在是不想再算这些了嗷, 太简单了这个.

✦ 采取一种带 \[\left( 0,1,2,3 \right)\] 指标^[5]的形式, 记 \[\left\{ \begin{align} & {{\mathcal{M}}^{ij}}\equiv {{\varepsilon }^{ijk}}{{\mathcal{J}}_{k}}, \\ & {{\mathcal{M}}^{0i}}\equiv {{\mathcal{K}}_{i}}, \\ & {{\mathcal{M}}^{i0}}\equiv -{{\mathcal{M}}^{0i}}. \\ \end{align} \right.\] 与 \[\left\{ \begin{align} & {{\omega }_{ij}}\equiv {{\varepsilon }_{ijk}}{{\theta }^{k}}, \\ & {{\omega }_{0i}}\equiv {{\vartheta }^{i}}, \\ & {{\omega }_{i0}}\equiv -{{\omega }_{0i}}. \\ \end{align} \right.\]

从定义来看显然有 \[{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}=-{{\mathcal{M}}^{\nu \mu }}\] 与 \[{{\omega }_{\mu \nu }}=-{{\omega }_{\nu \mu }}\].

以 \[\omega \] 为例, \[{{\omega }_{0i}}=-{{\omega }_{i0}}\] 是定义给出的, 而 {{\omega }_{ij}}={{\varepsilon }_{ijk}}{{\theta }^{k}}=-{{\varepsilon }_{jik}}{{\theta }^{k}}=-{{\omega }_{ji}} 也很显然.

这样一来就有参数矩阵 \[\omega \to {{\omega }_{\mu \nu }}\] 与生成元矩阵 \[\mathcal{M}\to {{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\] 了.

即 \[\omega =\left[ \begin{matrix} 0 & {{\vartheta }^{1}} & {{\vartheta }^{2}} & {{\vartheta }^{3}} \\ -{{\vartheta }^{1}} & 0 & {{\theta }^{3}} & -{{\theta }^{2}} \\ -{{\vartheta }^{2}} & -{{\theta }^{3}} & 0 & {{\theta }^{1}} \\ -{{\vartheta }^{3}} & {{\theta }^{2}} & -{{\theta }^{1}} & 0 \\ \end{matrix} \right],\mathcal{M}=\left[ \begin{matrix} 0 & {{\mathcal{K}}_{1}} & {{\mathcal{K}}_{2}} & {{\mathcal{K}}_{3}} \\ -{{\mathcal{K}}_{1}} & 0 & {{\mathcal{J}}_{3}} & -{{\mathcal{J}}_{2}} \\ -{{\mathcal{K}}_{2}} & -{{\mathcal{J}}_{3}} & 0 & {{\mathcal{J}}_{1}} \\ -{{\mathcal{K}}_{3}} & {{\mathcal{J}}_{2}} & -{{\mathcal{J}}_{1}} & 0 \\ \end{matrix} \right]\].

由此可得 \[\mathcal{X}={{\theta }^{i}}{{\mathcal{J}}_{i}}+{{\vartheta }^{i}}{{\mathcal{K}}_{i}}=\frac{1}{2}{{\omega }_{\mu \nu }}{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\], 下面解释一下那个系数 \[\frac{1}{2}\] 的由来:

可以将 \[{{\omega }_{\mu \nu }}{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\] 看作是 \[\text{tr}\left( \omega {{\mathcal{M}}^{\text{T}}} \right)\], 易得 \[\text{tr}\left( \omega {{\mathcal{M}}^{\text{T}}} \right)=2\left( {{\theta }^{i}}{{\mathcal{J}}_{i}}+{{\vartheta }^{i}}{{\mathcal{K}}_{i}} \right)\].
\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}
但更简单的做法是直接计算求和式:
\[{{\omega }_{\mu \nu }}{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}=\sum\limits_{\mu ,\nu }{{{\omega }_{\mu \nu }}{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}}\]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{i}{{{\vartheta }^{i}}{{\mathcal{K}}_{i}}}+\sum\limits_{i}{\left( -{{\vartheta }^{i}} \right)\left( -{{\mathcal{K}}_{i}} \right)}+\sum\limits_{i}{{{\theta }^{i}}{{\mathcal{J}}_{i}}}+\sum\limits_{i}{\left( -{{\theta }^{i}} \right)\left( -{{\mathcal{J}}_{i}} \right)}\]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2{{\vartheta }^{i}}{{\mathcal{K}}_{i}}+2{{\theta }^{i}}{{\mathcal{J}}_{i}}\].

所以 \[\forall \Lambda \in \text{S}{{\text{O}}^{+}}\left( 1,3 \right)\] 就均可表达为 \[\Lambda ={{\text{e}}^{\text{i}\mathcal{X}}}={{\text{e}}^{\frac{\text{i}}{2}{{\omega }_{\mu \nu }}{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}}}\], 不过没啥本质上的区别.

费老大劲才把比较清晰的 \[{{\text{e}}^{\text{i}\mathcal{X}}}={{\text{e}}^{\text{i}{{\theta }^{i}}{{\mathcal{J}}_{i}}+\text{i}{{\vartheta }^{i}}{{\mathcal{K}}_{i}}}}\] 给写成吓人的 \[{{\text{e}}^{\frac{\text{i}}{2}{{\omega }_{\mu \nu }}{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}}}\], 咱吃饱了撑的?
其实这主要是因为这种形式可以产生洛伦兹指标, 这样运算起来会更协调一些,
然后将来还可以用克利福德代数 (Clifford algebra) 来产生 \[{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\],
这样就可以用克利福德代数的表示来诱导出洛伦兹代数的旋量表示.
\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}
最后就是不要担心 \[{{\mathcal{M}}^{0i}}\equiv {{\mathcal{K}}_{i}},{{\omega }_{0i}}\equiv {{\vartheta }^{i}}\] 是不是指标不平衡.
虽然 \[{{\mathcal{M}}^{0i}},{{\omega }_{0i}}\] 上的 i 是洛伦兹指标的空间分量, 但 \[{{\mathcal{K}}_{i}},{{\vartheta }^{i}}\] 上的并不是.

✦ 有一个特别奇妙的地方就是, 其实 \[{{\mathcal{X}}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}{{\omega }^{\mu }}_{\nu }\], 证明如下:

参见 [附录K] 我们证明了关系 \[{{\left( {{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{\rho \mu }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }-{{g}^{\sigma \mu }}{{\delta }^{\rho }}_{\nu } \right)\].
于是 \[{{\mathcal{X}}^{\mu }}_{\nu }=\frac{1}{2}{{\omega }_{\rho \sigma }}{{\left( {{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\frac{1}{2}\left( {{\omega }_{\rho \sigma }}{{g}^{\rho \mu }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }-{{\omega }_{\rho \sigma }}{{g}^{\sigma \mu }}{{\delta }^{\rho }}_{\nu } \right)\]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\text{i}\frac{1}{2}\left( {{\omega }_{\rho \sigma }}{{g}^{\rho \mu }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }+{{\omega }_{\sigma \rho }}{{g}^{\sigma \mu }}{{\delta }^{\rho }}_{\nu } \right)=\text{i}{{\omega }^{\mu }}_{\nu }\].

上面这个关系这实际上不仅巧妙, 还十分重要:

因为最初的洛伦兹指标源于洛伦兹变换 \[\Lambda \to {{\Lambda }^{\mu }}_{\nu }\],
然后由关系 \[\Lambda ={{e}^{\text{i}\mathcal{X}}}=\sum\limits_{n}{\frac{{{\left( \text{i} \right)}^{n}}}{n!}}{{\mathcal{X}}^{n}}\] 确定 \[\mathcal{X}\to {{\mathcal{X}}^{\mu }}_{\nu }\] 的指标也是洛伦兹指标.
而刚才证明的 \[{{\mathcal{X}}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}{{\omega }^{\mu }}_{\nu }\] 则说明 \[\omega \] 携带的指标也是洛伦兹指标.
最后由缩并关系 \[\frac{1}{2}{{\omega }_{\mu \nu }}{{\mathcal{M}}^{\mu \nu }}\] 说明 \[\mathcal{M}\] 携带的也是洛伦兹指标.
不过其实由关系 \[{{\left( {{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{\rho \mu }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }-{{g}^{\sigma \mu }}{{\delta }^{\rho }}_{\nu } \right)\] 就已经说明问题了.

*选读 - \[{{\left( {{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{\rho \mu }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }-{{g}^{\sigma \mu }}{{\delta }^{\rho }}_{\nu } \right)\] 的来历:

就上面这个关系虽然很容易验证, 但不觉得这个东西凭空出现很奇妙吗?
不像是能蒙出来的吧? 反正我不··· 至少不能很快地蒙出来, 所以下面介绍一个推导方法:
我们前面证明了 \[\forall \mathcal{X}\in \mathfrak{o}\left( 1,3 \right)\] 的指标结构为 \[\mathcal{X}\to {{\mathcal{X}}^{\mu }}_{\nu }\], 且满足 \[{{\mathcal{X}}_{\mu \nu }}=-{{\mathcal{X}}_{\nu \mu }}\].
由此得 \[{{\mathcal{X}}^{\mu }}_{\nu }={{g}^{\mu \rho }}{{\mathcal{X}}_{\rho \nu }}=\frac{1}{2}\left( {{g}^{\mu \rho }}{{\mathcal{X}}_{\rho \nu }}-{{g}^{\mu \rho }}{{\mathcal{X}}_{\nu \rho }} \right)\]
\[\,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\left( {{g}^{\mu \rho }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }{{\mathcal{X}}_{\rho \sigma }}-{{g}^{\mu \rho }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }{{\mathcal{X}}_{\sigma \rho }} \right)\]
\[\,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\left( {{g}^{\mu \rho }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }{{\mathcal{X}}_{\rho \sigma }}-{{g}^{\mu \sigma }}{{\delta }^{\rho }}_{\nu }{{\mathcal{X}}_{\rho \sigma }} \right)\]
\[\,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\text{i}}{{\mathcal{X}}_{\rho \sigma }}\text{i}\left( {{g}^{\mu \rho }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }-{{g}^{\mu \sigma }}{{\delta }^{\rho }}_{\nu } \right)\]
\,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\text{i}}{{\mathcal{X}}_{\rho \sigma }}{{\left( {{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\frac{1}{2}{{\omega }_{\rho \sigma }}{{\left( {{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right)}^{\mu }}_{\nu }.

16.3. 洛伦兹代数的李括号与直和分解:

✦ 暴力算出 \[\left[ {{\mathcal{M}}^{\mu \nu }},{{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right]=-\text{i}\left( {{g}^{\mu \rho }}{{\mathcal{M}}^{\nu \sigma }}-{{g}^{\mu \sigma }}{{\mathcal{M}}^{\nu \rho }}-{{g}^{\nu \rho }}{{\mathcal{M}}^{\mu \sigma }}+{{g}^{\nu \sigma }}{{\mathcal{M}}^{\mu \rho }} \right)\]:

没办法, 这个就老老实实地用 \[{{\left( {{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{\rho \mu }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }-{{g}^{\sigma \mu }}{{\delta }^{\rho }}_{\nu } \right)\] 暴力算吧.

\[{{\left[ {{\mathcal{M}}^{\mu \nu }},{{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right]}^{\tau }}_{\eta }={{\left( {{\mathcal{M}}^{\mu \nu }} \right)}^{\tau }}_{\delta }{{\left( {{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right)}^{\delta }}_{\eta }-{{\left( {{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right)}^{\tau }}_{\delta }{{\left( {{\mathcal{M}}^{\mu \nu }} \right)}^{\delta }}_{\eta }\]
\;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\left( {{g}^{\mu \tau }}{{\delta }^{\nu }}_{\delta }-{{g}^{\nu \tau }}{{\delta }^{\mu }}_{\delta } \right)\left( {{g}^{\rho \delta }}{{\delta }^{\sigma }}_{\eta }-{{g}^{\sigma \delta }}{{\delta }^{\rho }}_{\eta } \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\left( {{g}^{\rho \tau }}{{\delta }^{\sigma }}_{\delta }-{{g}^{\sigma \tau }}{{\delta }^{\rho }}_{\delta } \right)\left( {{g}^{\mu \delta }}{{\delta }^{\nu }}_{\eta }-{{g}^{\nu \delta }}{{\delta }^{\mu }}_{\eta } \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{g}^{\nu \tau }}{{\delta }^{\mu }}_{\delta }\left( {{g}^{\rho \delta }}{{\delta }^{\sigma }}_{\eta }-{{g}^{\sigma \delta }}{{\delta }^{\rho }}_{\eta } \right)-{{g}^{\mu \tau }}{{\delta }^{\nu }}_{\delta }\left( {{g}^{\rho \delta }}{{\delta }^{\sigma }}_{\eta }-{{g}^{\sigma \delta }}{{\delta }^{\rho }}_{\eta } \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{{g}^{\rho \tau }}{{\delta }^{\sigma }}_{\delta }\left( {{g}^{\mu \delta }}{{\delta }^{\nu }}_{\eta }-{{g}^{\nu \delta }}{{\delta }^{\mu }}_{\eta } \right)-{{g}^{\sigma \tau }}{{\delta }^{\rho }}_{\delta }\left( {{g}^{\mu \delta }}{{\delta }^{\nu }}_{\eta }-{{g}^{\nu \delta }}{{\delta }^{\mu }}_{\eta } \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{g}^{\nu \tau }}{{\delta }^{\mu }}_{\delta }{{g}^{\rho \delta }}{{\delta }^{\sigma }}_{\eta }-{{g}^{\nu \tau }}{{\delta }^{\mu }}_{\delta }{{g}^{\sigma \delta }}{{\delta }^{\rho }}_{\eta }
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{{g}^{\mu \tau }}{{\delta }^{\nu }}_{\delta }{{g}^{\sigma \delta }}{{\delta }^{\rho }}_{\eta }-{{g}^{\mu \tau }}{{\delta }^{\nu }}_{\delta }{{g}^{\rho \delta }}{{\delta }^{\sigma }}_{\eta }
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{{g}^{\rho \tau }}{{\delta }^{\sigma }}_{\delta }{{g}^{\mu \delta }}{{\delta }^{\nu }}_{\eta }-{{g}^{\rho \tau }}{{\delta }^{\sigma }}_{\delta }{{g}^{\nu \delta }}{{\delta }^{\mu }}_{\eta }
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{{g}^{\sigma \tau }}{{\delta }^{\rho }}_{\delta }{{g}^{\nu \delta }}{{\delta }^{\mu }}_{\eta }-{{g}^{\sigma \tau }}{{\delta }^{\rho }}_{\delta }{{g}^{\mu \delta }}{{\delta }^{\nu }}_{\eta }
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{g}^{\nu \tau }}{{g}^{\rho \mu }}{{\delta }^{\sigma }}_{\eta }-{{g}^{\nu \tau }}{{g}^{\sigma \mu }}{{\delta }^{\rho }}_{\eta }+{{g}^{\mu \tau }}{{g}^{\sigma \nu }}{{\delta }^{\rho }}_{\eta }-{{g}^{\mu \tau }}{{g}^{\rho \nu }}{{\delta }^{\sigma }}_{\eta }
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{{g}^{\rho \tau }}{{g}^{\mu \sigma }}{{\delta }^{\nu }}_{\eta }-{{g}^{\rho \tau }}{{g}^{\nu \sigma }}{{\delta }^{\mu }}_{\eta }+{{g}^{\sigma \tau }}{{g}^{\nu \rho }}{{\delta }^{\mu }}_{\eta }-{{g}^{\sigma \tau }}{{g}^{\mu \rho }}{{\delta }^{\nu }}_{\eta }
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{g}^{\mu \rho }}\left( {{g}^{\nu \tau }}{{\delta }^{\sigma }}_{\eta }-{{g}^{\sigma \tau }}{{\delta }^{\nu }}_{\eta } \right)+{{g}^{\mu \sigma }}\left( {{g}^{\rho \tau }}{{\delta }^{\nu }}_{\eta }-{{g}^{\nu \tau }}{{\delta }^{\rho }}_{\eta } \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{{g}^{\nu \sigma }}\left( {{g}^{\mu \tau }}{{\delta }^{\rho }}_{\eta }-{{g}^{\rho \tau }}{{\delta }^{\mu }}_{\eta } \right)+{{g}^{\nu \rho }}\left( {{g}^{\sigma \tau }}{{\delta }^{\mu }}_{\eta }-{{g}^{\mu \tau }}{{\delta }^{\sigma }}_{\eta } \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\text{i}{{\left( {{g}^{\mu \rho }}{{\mathcal{M}}^{\nu \sigma }}+{{g}^{\mu \sigma }}{{\mathcal{M}}^{\rho \nu }}+{{g}^{\nu \sigma }}{{\mathcal{M}}^{\mu \rho }}+{{g}^{\nu \rho }}{{\mathcal{M}}^{\sigma \mu }} \right)}^{\tau }}_{\eta }
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\text{i}{{\left( {{g}^{\mu \rho }}{{\mathcal{M}}^{\nu \sigma }}-{{g}^{\mu \sigma }}{{\mathcal{M}}^{\nu \rho }}-{{g}^{\nu \rho }}{{\mathcal{M}}^{\mu \sigma }}+{{g}^{\nu \sigma }}{{\mathcal{M}}^{\mu \rho }} \right)}^{\tau }}_{\eta }.
也还好吧, 没啥难算的, 就是说千万别用笔纸算, 写出来乱成什么样可不敢想嗷.

✦ 利用 Mathematica 挨个计算^[6]得出结论: \left\{ \begin{align} & \left[ {{\mathcal{J}}_{i}},{{\mathcal{J}}_{j}} \right]=\text{i}{{\varepsilon }_{ij}}^{k}{{\mathcal{J}}_{k}}, \\ & \left[ {{\mathcal{J}}_{i}},{{\mathcal{K}}_{j}} \right]=\text{i}{{\varepsilon }_{ij}}^{k}{{\mathcal{K}}_{k}}, \\ & \left[ {{\mathcal{K}}_{i}},{{\mathcal{K}}_{j}} \right]=-\text{i}{{\varepsilon }_{ij}}^{k}{{\mathcal{J}}_{k}}. \\ \end{align} \right.

可以看到 \[\left\{ {{\mathcal{J}}_{1}},{{\mathcal{J}}_{2}},{{\mathcal{J}}_{3}} \right\}\] 是李括号封闭的, 但 \[\left\{ {{\mathcal{K}}_{1}},{{\mathcal{K}}_{2}},{{\mathcal{K}}_{3}} \right\}\] 并不是.

这说明 \[\text{span}\left( {{\mathcal{J}}_{1}},{{\mathcal{J}}_{2}},{{\mathcal{J}}_{3}} \right)\] 配上李括号构成子代数, 实际上就是 \[\mathfrak{s}\mathfrak{u}\left( 2 \right)\] 或 \[\mathfrak{s}\mathfrak{o}\left( 3 \right)\].
这并不令人意外, 毕竟这仨是三维空间旋转生成元, 当然可以构成 \[\mathfrak{s}\mathfrak{o}\left( 3 \right)\].
这也就说明 \[\text{SO}\left( 3 \right)\] 是洛伦兹群的一个子群, 同时表明所有的 Boost 并不构成子群.

✦ 引入复线性组合 \[\mathcal{J}_{i}^{\pm }=\frac{1}{2}\left( {{\mathcal{J}}_{i}}\pm \text{i}{{\mathcal{K}}_{i}} \right)\], 计算后得到结论 \left\{ \begin{align} & \left[ \mathcal{J}_{i}^{+},\mathcal{J}_{j}^{+} \right]=\text{i}{{\varepsilon }_{ij}}^{k}\mathcal{J}_{k}^{+}, \\ & \left[ \mathcal{J}_{i}^{-},\mathcal{J}_{j}^{-} \right]=\text{i}{{\varepsilon }_{ij}}^{k}\mathcal{J}_{k}^{-}, \\ & \left[ \mathcal{J}_{i}^{+},\mathcal{J}_{j}^{-} \right]=0. \\ \end{align} \right.

这样就形成了两个封闭的子代数 \[\text{span}\left( \mathcal{J}_{1}^{\pm },\mathcal{J}_{2}^{\pm },\mathcal{J}_{3}^{\pm } \right)=\mathfrak{s}\mathfrak{u}\left( 2 \right)\].

这意味着可以做分解 \[{{\mathfrak{o}}_{\mathbb{C}}}\left( 1,3 \right)=\mathfrak{s}{{\mathfrak{u}}_{\mathbb{C}}}\left( 2 \right)\oplus \mathfrak{s}{{\mathfrak{u}}_{\mathbb{C}}}\left( 2 \right)\],
但也没那么便宜, 注意到左下角的 \[\mathbb{C}\] 了吗? 这是复化之后的洛伦兹代数.
所谓复化就是指将原本的实线性空间中的数域换成复数域.
这样就允许我们存在 \[\mathcal{J}_{i}^{\pm }=\frac{1}{2}\left( {{\mathcal{J}}_{i}}\pm \text{i}{{\mathcal{K}}_{i}} \right)\] 这样的复线性组合了.
\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}
至于 \[\mathfrak{s}\mathfrak{u}\left( 2 \right)\] 的表示, 我们可太懂了, 倒不如说 \[\text{SU}\left( 2 \right)\] 的复线性表示我们简直了如指掌.
作为单连通李群, \[\text{SU}\left( 2 \right)\] 与其李代数 \[\mathfrak{s}\mathfrak{u}\left( 2 \right)\] 的表示是一一对应的, 所以谈谁都一样.
由关系 \[{{\mathfrak{o}}_{\mathbb{C}}}\left( 1,3 \right)=\mathfrak{s}{{\mathfrak{u}}_{\mathbb{C}}}\left( 2 \right)\oplus \mathfrak{s}{{\mathfrak{u}}_{\mathbb{C}}}\left( 2 \right)\] 我们就可以轻易地给出 \[{{\mathfrak{o}}_{\mathbb{C}}}\left( 1,3 \right)\] 的表示.
然后 \[{{\mathfrak{o}}_{\mathbb{C}}}\left( 1,3 \right)\] 与 \[{{\mathfrak{o}}_{\mathbb{R}}}\left( 1,3 \right)\] 的表示也是一一对应的,
所以就找到了全体 \[{{\mathfrak{o}}_{\mathbb{R}}}\left( 1,3 \right)\] 的表示了, 这就是我们做这个操作的目的.
\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}
复化李代数的表示与它的任意实形式的表示都是一一对应的^[7], 详情参考^[8][9].

这篇暂就讲到这里吧, 也算是讲完了洛伦兹群和洛伦兹代数的概念, 往后就是洛伦兹群的表示.

不过后面还要铺垫卡西米尔算符与正交群的覆盖群以及克利福德代数等概念才能继续.

[附录 K] 证明 \[{{\left( {{\mathcal{M}}^{\rho \sigma }} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{\rho \mu }}{{\delta }^{\sigma }}_{\nu }-{{g}^{\sigma \mu }}{{\delta }^{\rho }}_{\nu } \right)\]:

先给出 \[\mathcal{M}=\left[ \begin{matrix} 0 & {{\mathcal{K}}_{1}} & {{\mathcal{K}}_{2}} & {{\mathcal{K}}_{3}} \\ -{{\mathcal{K}}_{1}} & 0 & {{\mathcal{J}}_{3}} & -{{\mathcal{J}}_{2}} \\ -{{\mathcal{K}}_{2}} & -{{\mathcal{J}}_{3}} & 0 & {{\mathcal{J}}_{1}} \\ -{{\mathcal{K}}_{3}} & {{\mathcal{J}}_{2}} & -{{\mathcal{J}}_{1}} & 0 \\ \end{matrix} \right]\] 然后再把家人们都请出来:

\begin{align} & {{\mathcal{J}}_{1}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\text{i} \\ 0 & 0 & \text{i} & 0 \\ \end{matrix} \right],{{\mathcal{J}}_{2}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \text{i} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\text{i} & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right],{{\mathcal{J}}_{3}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\text{i} & 0 \\ 0 & \text{i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right], \\ & {{\mathcal{K}}_{1}}=\left[ \begin{matrix} 0 & \text{i} & 0 & 0 \\ \text{i} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right],{{\mathcal{K}}_{2}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \text{i} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{i} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right],{{\mathcal{K}}_{3}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & \text{i} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{i} & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]. \\ \end{align}

然后就直接可以挨个写出来验证了:

\[{{\left( {{\mathcal{M}}^{23}} \right)}^{\mu }}_{\nu }={{\left( {{\mathcal{J}}_{1}} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{2\mu }}{{\delta }^{3}}_{\nu }-{{g}^{3\mu }}{{\delta }^{2}}_{\nu } \right)\] 显然成立.
\[{{\left( {{\mathcal{M}}^{31}} \right)}^{\mu }}_{\nu }={{\left( {{\mathcal{J}}_{2}} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{3\mu }}{{\delta }^{1}}_{\nu }-{{g}^{1\mu }}{{\delta }^{3}}_{\nu } \right)\] 显然成立.
\[{{\left( {{\mathcal{M}}^{12}} \right)}^{\mu }}_{\nu }={{\left( {{\mathcal{J}}_{3}} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{1\mu }}{{\delta }^{2}}_{\nu }-{{g}^{2\mu }}{{\delta }^{1}}_{\nu } \right)\] 显然成立.
\[{{\left( {{\mathcal{M}}^{01}} \right)}^{\mu }}_{\nu }={{\left( {{\mathcal{K}}_{1}} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{0\mu }}{{\delta }^{1}}_{\nu }-{{g}^{1\mu }}{{\delta }^{0}}_{\nu } \right)\] 显然成立.
\[{{\left( {{\mathcal{M}}^{02}} \right)}^{\mu }}_{\nu }={{\left( {{\mathcal{K}}_{2}} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{0\mu }}{{\delta }^{2}}_{\nu }-{{g}^{2\mu }}{{\delta }^{0}}_{\nu } \right)\] 显然成立.
\[{{\left( {{\mathcal{M}}^{03}} \right)}^{\mu }}_{\nu }={{\left( {{\mathcal{K}}_{3}} \right)}^{\mu }}_{\nu }=\text{i}\left( {{g}^{0\mu }}{{\delta }^{3}}_{\nu }-{{g}^{3\mu }}{{\delta }^{0}}_{\nu } \right)\] 显然成立.

证毕.

参考

1. ^无论是因为方向对理论要求程度不高还是因为年级太低还没办法选群论, 或者还可能是学了一学期却只听了个寂寞.
2. ^为啥总是保度规条件? 因为洛伦兹群就这么一个条件, 没别的了啊.
3. ^End(R^4) 的意思是 R^4 里的所有线性变换, End 是自同态映射 endomorphism 的缩写, 全体线性变换 (包括可逆与不可逆的) 都属于自同态映射. 如果说的不那么玄乎的话, End(R^4) 就是全体 4 x 4 实矩阵的意思.
4. ^李代数作为李群的切空间显然与李群作为流形的维度相同.
5. ^未必就是洛伦兹指标噢, 这个还有待证明.
6. ^我真的挨个验证过了.
7. ^实际上这是一个很容易接受的事实, 不是吗?
8. ^T. Bröcker and T. tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1985, GTM 98, Chapter III.8.
9. ^W. Miller, Symmetry Groups and Their Applications, Academic Press, New York, 1972.