【数学】排队论学习笔记

最近学了点排队论的东西，稍微记录一下

参考内容

• 【学习内容，截图来源，应该是面向考研的课程】CCTalk，西电黄丽娟，运筹学章节|排队论：https://www.cctalk.com/m/program/1607764055269013
• OM | 浅谈排队论 - 运筹OR帷幄的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/99131787
• 如何用简单易懂的实例解释排队论？ - 运筹OR帷幄的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/316750026/answer/965117554
• 维基百科

记录

• 排队系统的一般表示和三大部分：输入过程、排队规则、服务规则

• 输入过程：指顾客到达服务系统的情况。一般只考虑“相互独立到达”、“到达间隔时间分布与时间无关——平稳分布”。排队规则：指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待。损失制、等待制、混合制；先到先服务FCFS、先到后服务LCFS、带有限服务权PR、随机服务SIRO；队长是否有限；单列还是多列；中途是否可以退出。一般考虑先到先服务、中途不退队的情况。服务机构：0个1个还是多个；并联还是串联；单个进行还是成批进行；确定型还是随机型。一般考虑单个服务、随机型、服务时间分布平稳。
• 模型符号：Kendall记号及其扩充。X/Y/Z/A/B/C
• X：表示相机到达间隔时间的分布；
• Y：表示服务时间的分布；
• Z：并列的服务台的数目；
• A：系统容量（队长）；
• B：系统状态（顾客源数）；
• C：服务规则；

• 求解排队问题的目的，是研究排队系统运行的效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统结构是否合理、研究设计改进措施等。
• 常用指标：

1. 队长(系统内顾客数) L_s 和排队长(排队等候顾客数) L_q ，系统内顾客数=排队等候顾客数+正在接受服务的顾客数
2. 逗留时间(系统内总时间) W_s 和等待时间(排队时间) W_q
3. 忙期、损失率、服务强度等

• 目前排队系统理论只针对：顾客独立到达、平稳状态的对单个顾客服务的情况，队列间不能相互转移、中途不能退出
• 泊松分布(最简单流)：t时段内有k个顾客来到服务系统的概率 P_k(t) 服从泊松分布，其中 \lambda 表示单位时间内随机事件平均发生次数，即平均到达率， 1/\lambda 表示相继到达顾客的平均间隔时间。满足三个条件：①无后效性；②平稳性；③普通性。

\begin{array}{l} P_{k}(t)=e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^{k}}{k !} \quad(k=0,1,2, \ldots) \\ \text { 当 } k=0 \text { 时， } P_{0}(t)=e^{-\lambda t}\\ E[N(t)]=\lambda t\\ Var[N(t)]=\lambda t \end{array}

• 负指数分布：用 f_T(t) 表示依次服务完毕离去的顾客的间隔时间 t 的概率密度函数，用 F_T(t) 表示 t 的概率分布函数，有：

\begin{equation} f_{T}(t)=\left\{\begin{array}{ll} \mu \mathrm{e}^{-\mu t}, & t \geq 0 \\ 0, & t<0 \end{array}\right. \end{equation}

\begin{equation} F_{T}(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1- \mathrm{e}^{-\mu t}, & t \geq 0 \\ 0, & t<0 \end{array}\right. \end{equation}

\begin{align} &E[T]=\frac{1}{\mu}\\ &Var[T]=\frac{1}{\mu^2} \end{align}

• 负指数分布的重要性质——无记忆性或马尔科夫性，假设每个顾客的服务时间服从负指数分布，则 \mu 表示单位时间能被服务完成的顾客数，称为平均服务率；每个顾客平均服务时间 \frac{1}{\mu} 。
• 当输入过程是泊松流时，则顾客相继到达的间隔时间T必然服从负指数分布。泊松分布和负指数分布都表示为 M 。

• k阶爱尔朗分布：K个相互独立具有相同参数的负指数分布的和的分布，称为k阶爱尔朗分布。如：k个串列的服务台，k道工序。k个随机变量，服从参数 k\mu 的负指数分布，则 T=v_1+v_2+...+v_k ，概率密度、期望、方差：

\begin{align} &b_{k}(t)=\frac{\mu k(\mu k t)^{k-1}}{(k-1) !} \mathrm{e}^{-\mu k t}, \quad t>0\ &E[T]=\frac{1}{\mu}\ &Var[T]=\frac{1}{k\mu^2} \end{align}

• M/M/1模型，表示输入为最简单流，服务时间服从负指数分布的排队模型。
• 生灭过程的理解，后续其他类型的模型均从该图(修改参数)出发，解算稳态时的等式，得到 P_n 的公式，具体过程略。

• 服务强度 \rho=\frac{\lambda}{\mu} ，平均到达率和平均服务率之比，即相同时区内顾客到达和被服务的比值。 \rho<1 ，否则队列会无限长。 \rho=1-P_0 ，刻画服务机构繁忙程度，也称服务机构的利用率。
• M/M/1/\infty/\infty ，标准单服务台排队模型，例：医生手术，推导过程略。

• M/M/1/N/\infty ，系统容量有限的情况，例：理发店有作为容量的排队，略。
• M/M/1/\infty/m ，顾客源有限的情况，例：车间机器维修，略。
• M/M/c/\infty/\infty ，标准多服务台排队模型，例：多窗口售票，推导略。

• 多服务台单队和多服务台多队的比较

• M/M/c/N/\infty ，有限系统容量，多服务台排队系统。例：民宿房间数，略。
• M/M/c/\infty/m ，顾客源有限，多服务台排队系统，例：多工人的车间机器维修，略。
• 一般服务时间模型 M/G/1 ，指服务时间服从一般分布，通过Pollaczek-Khintchine(P-K)公式计算，该公式下可计算服务强度 \rho=\lambda E[T] ，队长 L_{S}=\rho+\frac{\rho^{2}+\lambda^{2} \operatorname{Var}[T]}{2(1-\rho)} ，最后通过Little公式计算各项指标。
• 定长服务时间模型 M/D/1 ，同理，此时方差为0
• 爱尔朗服务时间模型 M/E_k/1 ，串联k个服务站的情况，略。

• 排队系统最优化，解决①静态问题，系统设计最优；②动态问题，系统控制最优。这里主要考虑静态问题，基本思路如下，提高服务水平会提高成本，但是等待成本，因此可以计算一个最优情况。

• M/M/1模型的最优服务率， \mu 的优化。例：目标函数 z 表示服务成本和等待成本之和的期望， z=c_s\mu+c_w L_s ，其中 c_s 表示单位时间服务的人均成本， c_w 表示顾客单位时间停留成本。求解略。
• M/M/c模型的最优服务台数， c 的优化。例：目标是总费用的期望， z=c'_s\cdot c+c_w\cdot L ，其中 c'_s 表示每服务台单位时间成本， c_w 同上。