平面几何定理之六（三角形角平分线定理）
平面几何定理之六（三角形角平分线定理）
这是平面几何的古老定理，是平面几何最基本的定理之一，但也是最先从初中平面几何删除的内容之一。
定理1 三角形内角平分线分对边成两线段，两线段之比等于相应邻边的比。
如图1，AD是ΔABC的∠A的平分线，则
\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}
分析：如图2，AD是ΔABC的∠A的平分线，则∠BAD＝∠CAD，作CE∥DA交BA的延长线于点E，则BA：AE＝BD：DC；
而因为CE∥DA，所以∠CAD＝∠ECA，∠BAD＝∠E，又∠BAD＝∠CAD，所以∠ECA＝∠E，所以AC＝AE，所以
\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}
反之，如上作辅助线，则由于
\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD},\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}
所以
\frac{AB}{AC}=\frac{AB}{AE}
所以AC＝AE，从而∠ECA＝∠E，又∠BAD＝∠E，所以∠BAD＝∠CAD，也即是说AD是ΔABC的∠A的平分线。
就是说，定理1的逆定理也是成立的。
定理2 若三角形两边不相等，则其相应外角的平分线外分对边的两线段与相应邻边成比例。
如图3，ΔABC中，AB≠AC，AD是外角∠CAE的平分线，外分边BC成线段BD和CD，则
\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}
分析：如图4，AD是ΔABC的∠CAE的平分线，则∠CAD＝∠EAD，作CF∥DA交AB于点F，则BF：BA＝BC：BD，即1－AF：AB＝1－CD：BD，所以AB：AF＝BD：CD；
而因为CF∥DA，所以∠CAD＝∠ACF，∠DAE＝∠AFC，又∠CAD＝∠EAD，所以∠AVF＝∠AFC，所以AC＝AF，所以
\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}
由于上述分析都是可逆的，因此同样可以证明，定理2的逆定理也是成立的，具体分析此处略去。
下面举例说明定理的应用。
例1 （高考北京卷理科2003•15）在ΔABC中， a=3,b=2\sqrt{6} ，∠B＝2∠A.
（1）求cosA的值；
（2）求 c 的值.
分析：我们画个图，如图5，其中BD是∠ABC的平分线，由于∠B＝2∠A，所以∠A＝∠CBD，所以ΔABC∽ΔADC，所以CD：BC＝BC：AC，所以 CD=\frac{a^{2}}{b}
又因为BD是∠ABC的平分线，所以
\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}\Rightarrow\frac{BA+BC}{AC}=\frac{BD+CD}{CD}
即
\frac{a+c}{a}=\frac{b}{CD}\Rightarrow CD=\frac{ab}{a+c}
所以
\frac{ab}{a+c}=\frac{a^{2}}{b}\Rightarrow b^{2}=a^{2}+ac
因为 a=3,b=2\sqrt{6} ，所以
(2\sqrt{6})^{2}=3^{2}+3c\Rightarrow c=5
由余弦定理，得
cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{a+c}{2b}=\frac{8}{4\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}
例2 已知ΔABC三边长分别为 a,b,c ，求ΔABC角平分线的长。
分析：分别记∠A，∠B，∠C的角平分线的长为 t_{a},t_{b},t_{c} .
我们以 t_{b} 为例进行分析。
如图6，因为BD是∠ABC的平分线，所以
\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}\Rightarrow\frac{BA+BC}{AC}=\frac{BD+CD}{CD}
即
\frac{a+c}{a}=\frac{b}{CD}\Rightarrow CD=\frac{ab}{a+c}
因此
AD=b-\frac{ab}{a+c}=\frac{bc}{a+c}
应用余弦定理，得
cos \angle CBD==\frac{a^{2}+t_{b}^{2}-(\frac{ab}{a+c})^{2}}{2at_{b}}
cos \angleABD=\frac{c^{2}+t_{b}^{2}-(\frac{bc}{a+c})^{2}}{2ct_{b}}
因为∠CBD＝∠ABD，所以
\frac{a^{2}+t_{b}^{2}-(\frac{ab}{a+c})^{2}}{2at_{b}}=\frac{c^{2}+t_{b}^{2}-(\frac{bc}{a+c})^{2}}{2ct_{b}}
即
c[a^{2}+t_{b}^{2}-(\frac{ab}{a+c})^{2}]=a[c^{2}+t_{b}^{2}-(\frac{bc}{a+c})^{2}]
化简，得
(a-c)t_{b}^{2}=\frac{(a-c)ac[(a+c+b)(a+c-b)]}{(a+c)^{2}}
令 s=\frac{a+b+c}{2} ，则当 a\nec 时，有
t_{b}^{2}=\frac{4acs(s-b)}{(a+c)^{2}}\Rightarrow t_{b}=\frac{2}{a+c}\sqrt{acs(s-b)}
当 a=c 时，ΔABC是等腰三角形，一方面，由勾股定理，得
t_{b}=\sqrt{a^{2}-(\frac{b}{2})^{2}}
另一方面，由 得，
t_{b}=\frac{2}{2a}\sqrt{a^{2}(2a+b)(2a-b)}=\sqrt{a^{2}-(\frac{b}{2})^{2}}
即，对任意三角形，都有
t_{b}=\frac{2}{a+c}\sqrt{acs(s-b)}
用同样的方法，可得
t_{a}=\frac{2}{b+c}\sqrt{bcs(s-a)},t_{c}=\frac{2}{a+b}\sqrt{abs(s-c)}
例3 （斯库顿（Schooten）定理）任意三角形的角平分线的平方，等于夹这个角的两边的乘积，减去第三边上截得两线段的乘积。
如图7，在ΔABC中，AD是角平分线，定理的意思是
AD^{2}=AB\cdot AC-BD\cdot CD
分析：首先，我们有
\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow AB=\frac{BD}{CD}\cdot AC
其次，过D作∠ADE＝∠B，交AC于点E，则因为∠DAE＝∠BAD，∠ADE＝∠B，所以ΔADE∽ΔABD，所以AB：AD＝AD：AE，所以
AD^{2}=AB\cdot AE=AB(AC-CE)=AB\cdot AC-AB\cdot CE
因为∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝∠BAD+∠B＝∠ADC，而∠C＝∠C，所以ΔADC∽ΔDCE，所以CE：CD＝CD：AC，得
CD=\frac{CD^{2}}{AC}
所以
AB\cdot CE=\frac{BD}{CD}\cdot AC\cdot \frac{CD^{2}}{AC}=BD\cdot CD
所以AD^{2}=AB\cdotAC-BD\cdotCD
