复数项级数的绝对收敛

学习复变函数的意义就在于将“数”从实数域扩充到了复数域。当级数的项由实数变成复数时，复数项级数在收敛性上，与实数项级数既相同又不同，下面我们来对复数项级数收敛的条件进行讨论

复数项级数收敛的定义是

s为有限数

其中，有限的含义是：实部与虚部均有n趋近于无穷的极限，于是可以得到复数项级数收敛的充要条件

而实级数收敛的必要条件就是uk与vk在k趋近于无穷时趋近于零，于是有

同样的，对于复数项级数也有绝对收敛和条件收敛，且绝对收敛的判别法也是正项级数判别法，只是级数的项为复数项的模

由复数项级数收敛的充要条件可知，绝对收敛的复数项级数也一定收敛

级数中复数项的模为8^n/n!，由比值审敛法可以得到

于是级数绝对收敛

复数项级数绝对收敛还可以推出

可以看出，对于无穷项的复数项级数来说，有限项的结论是可以推广得到的

判断一个复数项级数是否绝对收敛，有如下审敛法

由比较审敛法知，如果级数ak和bk均绝对收敛，则级数wk绝对收敛。级数ak和bk均绝对收敛是复数项级数绝对收敛的充要条件

复数项的实部条件收敛，虚部绝对收敛，故不是绝对收敛